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Problemas do Capítulo 2 - Física da Matéria Condensada (2016/2) 
Data de entrega: 19/09/16 
(Faça apenas os problemas 1, 3, 4 e 5) 
 
 
1. Cálculo quântico da interação de Van der Waals. 
Consideremos um modelo simples em que os átomos são representados por osciladores harmônicos 
unidimensionais, com apenas um elétron ligado a um núcleo positivo por uma “mola” de constante 
K, como mostra a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere inicialmente dois átomos idênticos, infinitamente afastados um do outro. A Hamiltoniana 
H0 deste sistema desacoplado é dada por 
 
2
22
1
2
22
12
1
2
1
0
22
Kx
m
p
Kx
m
p
H 
 . 
 
a) Mostre que a energia U0 do estado fundamental deste sistema desacoplado é 
U0
1
2 02  
, onde 
0 1 2 ( / ) /K m
. 
b) Iremos calcular agora a energia do estado fundamental quando estes dois átomos se 
aproximam de uma distância r um do outro. Consideremos uma interação Coulombiana 
entre as cargas do sistema. A Hamiltoniana H1 desta interação é 
 












2
2
1
2
21
22
0
1
4
1
xr
e
xr
e
xxr
e
r
e
H 
 . 
 
Suponha que a distância r seja muito maior do que as dimensões atômicas, 
rxx |||,| 21
. 
Desta forma, mostre que pode-se expandir H1, obtendo 
3
0
21
2
1
2 r
xxe
H



 . 
c) Precisamos agora encontrar os autovalores da Hamiltoniana total 
H H H 0 1
. Como é 
usual em sistemas de duas partículas, o problema se resolve se fizermos a transformação 
para coordenadas relativas e do centro-de-massa: 
 
x x xcm  
1
2
1 2( )
 ; 
x x xrel  
1
2
1 2( )
 
p p pcm  
1
2
1 2( )
 ; 
p p prel  
1
2
1 2( )
 . 
 
x1 
x2 
r 
+ - + - 
 
Reescreva a Hamiltoniana total em termos destas novas coordenadas e mostre que as 
novas frequências normais do sistema são e dadas por 
 
2
1
3
0
2
2 















 m
r
e
K


 . 
d) Mostre que, para valores grandes de r, a energia do novo estado fundamental é 
 
 
















  )(
28
1
1 12
2
3
0
2
02
1 rO
Kr
e
U  
 , 
de modo que a variação de energia com relação à situação onde os átomos estão 
infinitamente afastados é dada por 
6
2
3
0
2
00
32
1
r
A
Kr
e
UUU 







 
 . 
Note o sinal negativo, indicando uma interação atrativa, e a dependência com r
-6
. Repare também 
que a origem da interação é quântica. Isto fica claro no fato de U ser proporcional a 

. Porém, em 
sala de aula, obtivemos uma expressão clássica para a interação de Van der Waals com a mesma 
dependência com r
-6
. Mas, naquele caso, tivemos que supor incialmente que havia uma flutuação do 
dipolo elétrico em um dos átomos, fato difícil de explicar classicamente mas que sai naturalmente 
do cálculo quântico. 
 
 
2. Propriedades elásticas: módulo de bulk 
No Capítulo 2, mostramos que o potencial de interação entre dois átomos de gases nobres (da 
coluna VIII da Tabela Periódica), em função da distância de separação r, pode ser bem descrito 
pela forma analítica de Lennard-Jones: 





















612
4)(
rr
rU

 , 
onde e são constantes. Ao formar um sólido, os átomos se agrupam espacialmente em um 
arranjo geométrico conhecido como rede fcc (“cúbica de face centrada”). Nesta rede cristalina, 
dividindo-se todo o espaço em células cúbicas, os átomos ocupam (a T=0K) os vértices e os centros 
das faces de cada cubo, como mostra a figura abaixo. 
 a) Seja R a distância mínima (conhecida como 
distância entre primeiros vizinhos) entre dois átomos 
nesta estrutura, como mostrado na figura. Convença-se 
que, em um sólido infinito, cada átomo tem exatamente 
12 primeiros vizinhos. Assumindo-se que apenas as 
interações entre primeiros vizinhos são relevantes (o que 
é justificado pelo fato do potencial ser de curto alcance), 
mostre que a energia de coesão por átomo é 





















612
24
)(
RRN
RU c 
 
 
R 
b) Na verdade, quando inclui-se a interação entre vizinhos mais distantes, pode-se mostrar 
que Uc/N é 





















612
45392,1413188,122
)(
RRN
RU c 
 
Justifique porque o coeficiente do termo atrativo (~R
-6
) é maior que o do termo repulsivo (~R
-12
). 
Obtenha a distância de equilíbrio R0 que minimiza a energia do sistema e a energia mínima por 
átomo, Uc(R0)/N. 
 
 c) O módulo de elasticidade volumétrica (módulo de bulk), 
0
0
VdV
dp
VB 
, onde p é a 
pressão e V0 é o volume total do sólido, é um dos parâmetros que indicam a “dureza” de um 
material. De fato, B é o inverso da compressibilidade, ou seja, indica o grau de resistência do 
material a pressões externas. Veja na Tabela 3 do Kittel (p. 59) o módulo de bulk dos diversos 
sólidos elementares, e note porque o diamante é considerado o material mais “duro” da natureza. A 
T=0 K, temos
dVdUp c
. Calcule o módulo de bulk no equilíbrio para os cristais de gases 
nobres. (Dica: você precisará antes calcular o volume ocupado por átomo do cristal na rede fcc, em 
função de R). 
 
 
3. Constante de Madelung. 
Usando o truque de somar por camadas neutras, calcule a constante de Madelung (com 
precisão de 10
-2) para a rede quadrada infinita bidimensional esquematizada abaixo. O valor “exato” 
é 1,615543. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Ligação covalente na molécula de H

2
. 
Considere a molécula de H

2
. A partir da função de onda variacional 
2211 susu 
, 
você irá obter os autovalores e autovetores correspondentes ao estados ligante e anti-ligante: 
 2121, ssal 
, com energias 
VE sal ,
, onde 
2211
sHssHss 
. 
a) Definindo 
1221 sHssHsV 
 e 
1221 ssssS 
 (integral de overlap), e 
usando 
12211  ssss
, minimize o valor esperado da energia 

 H
E 
 com relação a 

1u
 
e 

2u
 para obter 
S
V
E sal



1
,
 . Convença-se que 0V e obtenha os autovetores correspondentes. 
b) Para longas distâncias entre os átomos de hidrogênio, pode-se mostrar que S e V’ decaem 
exponencialmente com a distância de separação. Neste caso, pode-se usar as aproximações 
1S
 e 
sV 
. Mostre então que, como foi dito em sala, 
VE sal ,
, com 
SVV s
. 
 
5. A partir da expressão (2.10) e incluindo interações até segundos vizinhos, calcule o 
parâmetro de rede de equilíbrio e o módulo de bulk de um cristal hipotético onde os átomos 
interagem por um potencial de Lennard-Jones e ocupam as posições de uma rede cúbica simples. 
 
 6. Energia de ponto zero da molécula de He2 - Comentamos em aula que o He não forma 
um sólido a temperatura zero por causa do movimento de ponto zero. Neste problema, vamos 
entender este resultado a partir da análise da molécula de He2. 
(a) A massa do átomo de hélio é igual a 6,68 × 10
-27
 kg. Calcule a massa reduzida da molécula 
hipotética de He2. 
(b) Para interação entre átomos de He, os parâmetros do potencial são ε = 1,403 × 10-22 J e σ = 
0,256 nm. Por minimização da energia potencial, obtenha a distância interatômica de equilíbrio da 
molécula e o valor da energia potencial no pontode equilíbrio. 
(c) Obtenha a frequência de oscilações para pequenas vibrações da molécula em torno do 
equilíbrio. 
(d) Qual a energia de ponto zero do sistema? Perceba que a energia de ponto zero é maior que a 
profundidade do poço de energia potencial em que a molécula se encontra, calculada no item (b). 
Assim, as oscilações de ponto zero impedem, de fato, a formação da molécula. É pelo mesmo 
motivo que o He, ao contrário das demais substâncias, não se solidifica mesmo a temperatura zero, 
permanecendo no estado líquido.