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Propriedades dos Determinantes Prof. Mariane Giareta 1. Se os elementos de uma fila de uma matriz quadrada A forem nulos, o seu determinante é nulo. Exemplo: 2. Se duas filas de uma matriz quadrada A forem iguais ou proporcionais, seu determinante é nulo. Exemplo: 3. Se uma fila de uma matriz quadrada A for combinação linear de outras duas, seu determinante é nulo. Exemplo: 4. O determinante da matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transporta; det(A) = det(At ) Exemplo: 5. Teorema de Jacobi “Um determinante não se altera quando se somam aos elementos de uma fila uma combinação linear de outra fila paralela.” Exemplo: 6. Se trocarmos entre si duas filas paralelas de uma matriz quadrada A, o determinante da nova matriz é oposto do determinante da primeira matriz. Exemplo: 0 962 000 321 = − 3L-22L1L que observe 0 517 222 153 == − −− 23 412 510 321 23 510 412 321 = − −=− 2 42 31 2 43 21 −=−= -2)det( 2-0 21 3L-LL se-aplicaA Sobre 2)det( 43 21 ** 122 = ==−= = AAAA 0 652- 1-48 652- 0 030 561 521 ==−− 7. Se multiplicarmos todos elementos de uma fila da matriz quadrada A por um número real k, então o determinante da nova matriz é o produto de k pelo determinante da primeira matriz. 61812 43 63 3LL 2 43 21 11 −=−==−= ** Conseqüência: Se uma matriz An, for multiplicada por um escalar m , det(mA) =mn det(A). 8. Se numa matriz quadrada A, forem nulos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal (matriz triangular superior e ou inferior) , então o determinante da matriz A se resume ao termo principal de A. Exemplo 9. Teorema de Binet “Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem n, então det(AB)=det(A) .det(B)” Exemplo *** Conseqüências: • Se existe AB e BA , mesmo que diferentes então, det(AB)=det(BA) • Se A é uma matriz quadrada não singular, isto é, A tem inversa, Determinante da inversa de A é o inverso do determinante de A )det( 1)det( 1)det()det( )det()det()det( 1 1 1 1 A A AA IAA IAA = = = = − − − − 14 700 610 542 −= − 10det(AB) -5det(B) 2)det( 05 21 3-1- 43 B 43 21 ==−= − = = = A ABA
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