Campos e Ondas Apostila

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Campos e Ondas – CCE0118 
 
I. Propagação de Ondas Planas 
 
1. Uma onda plana uniforme com amplitude 100ej0 V/m em 
z = 0 propaga-se na direção +z na frequência de 100 MHz em 
um meio homogêneo, isotrópico e dissipativo cujas 
constantes são: μr = 1, εr = 4 e σ = 22,22 mS. Determine: 
a) a constante de atenuação α, em dB/m; 
b) a constante de fase β, em rad/m; 
c) a constante de propagação γ; 
d) o comprimento de onda no meio, em metros; 
e) a velocidade de fase, em m/s; 
f) a impedância característica do meio, em ohms; 
g) a expressão do campo elétrico em função do tempo e da 
distância; 
h) a expressão do campo magnético em função do tempo e 
da distância; 
i) a profundidade de penetração em metros; 
j) a intensidade do campo elétrico, quando a onda penetrar 
20 metros no material; 
k) a intensidade do campo magnético, quando a onda 
penetrar 20 metros no material; 
l) a densidade de potência da onda em z = 0; 
m) a densidade de potência da onda em z = 20 metros. 
 
2. Ao afastar-se de uma fonte isotrópica pontual, a onda 
eletromagnética vai tomando a forma de uma onda plana, ou 
seja, os pontos de mesma fase (superfície isofásica) estão 
contidos em um plano. Após uma determinada distância 
podemos considerar esta onda uma onda plana uniforme, na 
qual os campos elétricos e magnéticos estão em fase no 
tempo e são ortogonais no espaço. A direção da propagação 
da energia e as componentes elétricas e magnéticas são 
ortogonais entre si, caracterizando uma onda transversal 
eletromagnética, TEM. Considere agora a seguinte situação: 
uma onda plana uniforme desloca-se em um meio sem perdas 
(não-dissipativo, σ = 0) cuja constante dielétrica é igual a 5. A 
frequência de operação é de 1,8 GHz. A intensidade r.m.s. do 
campo magnético é de 2,5 mA/m na região considerada. 
Determine: 
a) a impedância característica do meio na região 
considerada; 
b) a relação entre o campo elétrico e o campo magnético em 
qualquer região do meio considerado; 
c) a interpretação física da impedância característica do 
meio; 
d) a velocidade de propagação relativa da onda 
eletromagnética neste meio; 
e) a interpretação física da velocidade de propagação 
relativa da onda eletromagnética no meio 
f) o comprimento de onda no meio; 
g) a interpretação física do comprimento de onda no meio; 
h) o índice de refração do meio; 
i) a interpretação física do índice de refração no meio; 
j) o ângulo de afastamento da normal neste meio de uma 
onda oriunda do ar (N = 450) fazendo um ângulo de 25º com a 
normal à interface; 
k) o ângulo crítico (Brewster, retorno ou de reflexão total), 
considerando o ar (N = 450) e o meio considerado; 
l) a interpretação física do ângulo crítico; 
m) o valor médio do vetor de Poynting na região considerada; 
n) o valor médio da potência em uma área de 0,5 m2, normal 
à direção de propagação na região considerada; 
o) o valor médio da potência em uma área de 0,5 m2, fazendo 
um ângulo de 45º em relação à direção de propagação na 
região considerada; 
p) considerando-se que a intensidade de campo foi medida a 
10 metros da fonte, determine a potência efetivamente 
irradiada em relação à isotrópica na direção considerada; 
q) a densidade de potência a uma distância de 100 metros da 
fonte; 
r) o valor médio da potência em uma área de 0,5 m2, normal 
à direção de propagação a 100 metros da fonte; 
s) o valor médio da potência em uma área de 0,5 m2, fazendo 
um ângulo de 45º em relação à direção de propagação a 100 
metros da fonte; 
t) a constante de fase do meio; 
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u) a interpretação física da constante de fase; 
v) a variação de fase em um trecho de 47,5 cm; 
w) o tempo para um pulso nessa frequência deslocar-se 12 
km neste meio; 
x) a constante de atenuação do meio; 
y) a interpretação física da constante de atenuação; 
z) a atenuação sofrida pela onda eletromagnética ao 
propagar-se 150 metros no meio. 
 
3. Considere uma onda plana uniforme senoidal 
propagando-se em um dielétrico sem perdas no qual a 
permeabilidade relativa seja igual a 1 e a constante dielétrica 
seja igual a 4 na frequência de operação. Medidas indicam 
que a intensidade de pico do campo magnético na região 
considerada é de 0,5 mA/m. A frequência de operação é de 35 
GHz. Determine: 
a) a impedância característica do meio; 
b) a velocidade de onda relativa do meio em porcentagem; 
c) o índice de refração do meio; 
d) a intensidade do campo elétrico na região de medida do 
campo magnético; 
e) o valor médio do vetor de Poynting; 
f) o valor médio da potência em uma área de 1,5 mm2 
normal à direção de propagação; 
g) a atenuação sofrida pela onda após 0,15 m de propagação 
no meio. 
h) a variação de fase após 0,15 m de propagação no meio; 
i) a distância no meio para a qual a diferença de fase é de 
0,2π rad. 
j) o comprimento de onda da frequência de operação no 
meio considerado. 
 
4. Uma onda plana uniforme com amplitude 5ej20graus 
mV/m propaga-se no vácuo na direção +z em 5,4 GHz e incide 
perpendicularmente contra um meio dissipativo cujos 
parâmetros são: permeabilidade relativa igual a 1, constante 
dielétrica igual a 4 e condutividade igual a 22,2 mS. 
Determine: 
a) a constante de atenuação em dB/m no meio dissipativo; 
b) a constante de fase em rad/m no meio dissipativo; 
c) a constante de atenuação em dB/m no vácuo; 
d) a constante de fase em rad/m no vácuo; 
e) o comprimento de onda da onda no meio dissipativo, em 
centímetros; 
f) o comprimento de onda da onda no vácuo, em 
centímetros; 
g) a velocidade de fase no meio dissipativo em porcentagem; 
h) a velocidade de fase no vácuo em porcentagem; 
i) a impedância característica do meio dissipativo, em ohms; 
j) a impedância característica do vácuo, em ohms; 
k) o coeficiente de reflexão; 
l) a expressão do campo elétrico incidente em função do 
tempo; 
m) a expressão do campo elétrico refletido em função do 
tempo; 
n) a expressão do campo elétrico que se propaga no meio 
dissipativo; 
o) a expressão do campo magnético incidente em função do 
tempo; 
p) a expressão do campo magnético refletido em função do 
tempo; 
q) a expressão do campo magnético que se propaga no meio 
dissipativo; 
r) a profundidade de penetração, em milímetros; 
s) a intensidade do campo elétrico após penetrar 30 cm no 
meio dissipativo; 
t) a variação de fase do campo elétrico ao penetrar 30 cm no 
meio dissipativo. 
 
5. Considere a seguinte situação: uma onda plana uniforme 
na frequência de 1,2 GHz propaga-se dentro de um 
reservatório com glicerina, cujo εr = 50. Medidas dentro do 
recipiente indicam que a intensidade rms do campo 
magnético é 2,5 mA/m. Determine: 
a) a impedância característica do meio; 
b) a velocidade relativa da onda no meio; 
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c) o índice de refração do meio; 
d) o campo elétrico no meio; 
e) O valor médio do valor de Poynting; 
f) o valor médio da potência em uma área de 0,5 m2, normal 
à direção de propagação; 
g) a atenuação sofrida pela onda após 1 metro de 
propagação no meio, em dB. 
 
6. Ao deslocar-se em um meio dissipativo a onda 
eletromagnética transfere energia para este meio, o que 
resulta em uma atenuação por propagação. Considere o sinal 
oriundo de uma BTS operando na frequência de 1,8 GHz 
incidindo em um solo com εr = 4 e σ = 22,2 mS. A onda incide 
normal ao material e nesse ponto sua amplitude é dada por 
100ej0 mV/m. Determine: 
a) a constante de atenuação, em dB/m; 
b) a constante de fase, em rad/m; 
c) a constante de propagação;d) o comprimento de onda no meio, em metros; 
e) a velocidade de fase, em m/s; 
f) a impedância característica do meio, em ohms; 
g) a expressão do campo elétrico em função do tempo e da 
distância; 
h) a expressão do campo magnético em função do tempo e 
da distância; 
i) a profundidade de penetração, em metros; 
j) a intensidade do campo elétrico, quando a onda penetrar 
20 metros no material. 
 
7. As placas paralelas de um capacitor têm áreas de 10cm2 
cada uma e estão separadas por uma distância de 1 cm. O 
capacitor é preenchido com um material dielétrico com Ɛ = 
4Ɛ0 e a tensão no capacitor é dada por v(t) = 20cos(2π106t) 
volts. Determine a corrente de deslocamento. [Ulaby] 
 
8. Um capacitor coaxial de comprimento l = 6 cm usa um 
material dielétrico com Ɛr = 9. Os raios dos condutores 
cilíndricos medem 0,5 cm e 1 cm. Se a tensão aplicada no 
capacitor for v(t) = 100cos(120πt), determine a corrente de 
deslocamento. [Ulaby] 
 
9. Uma onda eletromagnética que se propaga no oceano 
tem um campo elétrico variante no tempo dado por E = E0 
cos(ωt) âz V/m. Se a permissividade da água é 81Ɛ0 e a 
condutividade é igual a 4 S/m, determine a razão entre os 
módulos da densidade de corrente de condução e da 
densidade de corrente de deslocamento para cada uma das 
seguintes frequências: [Ulaby] 
a) 1 kHz; 
b) 1 MHz; 
c) 1 GHz; 
d) 100 GHz. 
 
10. Uma onda acústica que se desloca na direção x em um 
fluido (líquido ou gás) é caracterizada por uma pressão 
diferencial p(x,t). A unidade de pressão é o newton por metro 
quadrado (N/m2). Determine uma expressão para p(x,t) para 
uma onda senoidal que se desloca na água na direção positiva 
de x, dado que a frequência é 1 kHz, a velocidade do som na 
água é 1,5 km/s, a amplitude da onda é 10 N/m2 e p(x,t) 
apresenta seu valor máximo em t = 0 e x = 0,25m. Considere a 
água como um meio sem perdas. [Ulaby] 
 
11. Um feixe laser de luz que se propaga na atmosfera é 
caracterizado por uma intensidade de campo elétrico dado 
por E(x,t) = 150e−0,03xcos(3×1015t − 107x) V/m. Onde x é a 
distância à partir da fonte. A atenuação se deve à absorção 
dos gases pela atmosfera. Determine: [Ulaby] 
a) a direção de deslocamento da onda; 
b) a constante de fase da onda; 
c) a velocidade de propagação da onda; 
d) a atenuação característica da atmosfera em dB/km; 
e) a profundidade pelicular; 
f) a amplitude da onda a 200 metros da fonte. 
 
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12. O campo elétrico de uma onda eletromagnética é dado 
por: E(z,t) = 10cos(π107t + πz/15 + π/6) V/m. Determine: 
a) a direção de propagação da onda; 
b) a frequência da onda; 
c) o comprimento de onda; 
d) a velocidade de fase; 
e) o valor de pico; 
f) o valor eficaz (r.m.s.). [Ulaby] 
 
13. Uma onda eletromagnética se propaga na direção z em 
um meio que apresenta perdas com uma constante de 
atenuação α = 0,5 Np/m. Se a amplitude do campo elétrico da 
onda é de 100 V/m em z = 0, qual a distância alcançada pela 
onda antes que sua amplitude seja reduzida para: [Ulaby] 
a)10 V/m; 
b) 1 V/m; 
c) 1 µV/m. 
 
14. O campo elétrico de uma onda plana em 1 MHz que se 
desloca na direção positiva de z no ar aponta na direção x. 
Obtenha as expressões para E(z,t) e H(z,t) Se o valor de pico 
de E for 1,2π mV/m e E for máximo em t = 0 e z = 50 m. Faça o 
gráfico de tais campos como uma função de z em t = 0. [Ulaby] 
 
15. Uma onda plana uniforme em 10 MHz se propaga em um 
meio não-magnético com µ = µ0 e Ɛr = 9. Determine: 
a) a velocidade de fase; 
b) o número de onda; 
c) o comprimento de onda; 
d) a impedância intrínseca do meio. [Ulaby] 
 
16. O fasor do campo elétrico de uma onda plana uniforme 
em 300 MHz que se propaga em um meio sem perdas com 
uma impedância intrínseca de 188,5 Ω é dado por Ê = 10×e−j4πy 
âz mV/m. Determine: [Ulaby] 
a) o fasor do campo magnético associado; 
b) a expressão instantânea para E(y,t), caso o meio seja não 
magnético. 
 
17. Se o fasor do campo magnético de uma onda plana que 
se propaga em um meio com impedância intrínseca Z = 100 Ω 
é dado por H = (10ây + 20 âz) e−j4x mA/m, determine o fasor do 
campo elétrico associado e a expressão do seu valor 
instantâneo. Considere uma frequência de 1,2 GHz. [Ulaby] 
 
18. Uma onda plana uniforme se propaga para baixo na 
direção positiva de z na água do mar, sendo que o plano x-y 
indica a superfície do mar e z = 0 um ponto imediatamente 
abaixo da superfície. Os parâmetros constitutivos da água do 
mar são: Ɛr = 80, µr = 1 e σ = 4 S/m. Se o campo magnético em 
z = 0 for dado por H(0,t) = 100 × cos(2π×103t +15º) ây mA/, 
a) Obtenha as expressões para E(z,t) e H(z,t); 
b) Determine a profundidade na qual a amplitude de E é 1% 
de seu valor em z = 0. [Ulaby] 
 
19. Os parâmetros constitutivos do cobre são: µ = µ0, Ɛ = Ɛ0 e 
σ = 5,8 × 107 S/m. Considerando que esses parâmetros são 
independentes da frequência, ao longo de qual faixa de 
frequência do espectro eletromagnético o cobre é bom 
condutor? [Ulaby] 
 
20. Ao longo de qual faixa de frequência pode o solo seco, 
com Ɛr = 1, µr = 1 e σ = 10−4 S/m, ser considerado um meio 
dielétrico de baixa perda? [Ulaby] 
 
21. Para uma onda que se propaga em um meio com 
profundidade pelicular igual a 1 mm, qual é a amplitude de E a 
uma distância de 3 mm, comparada com o valor inicial? 
[Ulaby] 
 
22. Um submarino a uma profundidade de 200 metros utiliza 
uma antena de fio para receber transmissões de sinais em 1 
kHz. Determine a densidade de potência incidente no 
submarino devido ao campo magnético dado por H(0,t) = 100 
× cos(2π×103t +15º) ây mA/. Os parâmetros constitutivos da 
água do mar são: Ɛr = 80, µr = 1 e σ = 4 S/m. [Ulaby] 
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23. Um radar de aeronave que opera em 10 GHz utiliza uma 
antena de varredura de feixe estreito montada na parte 
frontal da aeronave, atrás de um radome dielétrico. Considere 
que a constante dielétrica do material do radome é igual a 9. 
Determine sua espessura para que o radome seja 
transparente ao sinal do radar. Devido a limitações mecânicas, 
a espessura do material é de pelo menos 1,2 cm. [Ulaby] 
 
24. Um feixe de luz amarela localizado no ar com 
comprimento de onda igual a 0,6 µm incide paralelamente à 
normal de uma superfície de vidro. Se a superfície está 
localizada no plano z = 0 e a permissividade relativa do vidro é 
2,25, determine: [Ulaby] 
a) a velocidade de propagação da onda no vidro; 
b) as localizações dos pontos de máximo do campo elétrico 
no ar; 
c) a localização do ponto de máximo do campo elétrico mais 
próximo da interface; 
d) o coeficiente de reflexão; 
e) a taxa de onda estacionária; 
f) a fração da potência incidente transmitida para o vidro. 
 
25. Uma onda TEM polarizada em x, na frequência de 1 GHz, 
se propaga no ar na direção positiva de z e incide em uma 
superfície metálica que coincide com o plano x−y em z = 0. Se 
a amplitude do campo elétrico da onda incidente for 12 mV/m 
e a superfície metálica for feita de cobre, com µr = 1, Ɛr = 1 e σ 
= 5,8 × 107 S/m, obtenha as expressões para os campos 
instantâneos elétrico e magnético no ar. Considere a 
superfície metálica com uma grande profundidade pelicular 
(não ocorre reflexão múltipla). 
 
Equações aplicáveis 
a) Velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas 
no vácuo: 
smc /
1
00

 
Equação 1 
Em que: 
µ0: permeabilidade magnética do vácuo, 4×π×10−7 H/m; 
ε0: permissividade elétrica do vácuo, 8,854 ×10−12 F/m. 
 
b) Impedância característica do vácuo: 
ohmsohmsZ


120
0
0
0 
 
Equação 2 
 
c) Dielétricos sem perdas (α = 0 Np/m): 
mrad / 
 
Equação 3 
 
sm
c
v
rr
p /



 
Equação 4 
 
m
rr 




 0
2
 
Equação 5 
 
ohms
Z
Z
r
c

0
 
Equação 6 
 
d) Dielétricos com perdas: 
mNp /1
'
"
1
2
'
2/1
2
















 

 
Equação 7 
 
mrad /1
'
"
1
2
'
2/1
2
















 

 
Equação 8
 
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ohms
j
Zc
"' 



 
Equação 9
 
 
e) Condutores (geral): 
''
"
tan






 
Equação 10
 
mNp /1
'
1
2
'
2/1
2

















 

 
Equação 11
 
mrad /11
2
'
2/1
2

















 

 
Equação 12
 
f) Bons condutores (tan(θ) >> 1): 
  f
 
Equação 13 
 
ohmsjZc  
11
 
Equação 14 
 
metrosf   /1 
Equação 15 
 
λ = 2 × π × δ metros 
Equação 16 
 
vp = ω × δ m/s 
Equação 17 
 
II. Linhas de Transmissão 
 
2.1 Modelo Geral 
 
O modelo geral de linha de transmissão é mostrado na figura 
a seguir. O modelo é válido apenas para cabos metálicos, 
incluídos par telefônico, cabo telefônico, par trançado e cabo 
coaxial e representa um comprimento elementar da linha. 
 
 
Figura 1: Linha de transmissão com perdas 
 
Em que: 
R: resistência por unidade de comprimento, Ω.m−1; 
L: indutância por unidade de comprimento, H.m−1; 
G: condutância por unidade de comprimento, S.m−1; 
C: capacitância por unidade de comprimento, F.m−1. 
 
A resistência R é o modelo para as perdas ôhmicas 
introduzidas pela linha de transmissão. Quanto maior o 
comprimento da linha maior será a perda ôhmica. 
 
A indutância L é o modelo para as perdas no campo 
magnético, já que a linha de transmissão é um condutor 
percorrido por corrente variável no tempo. Esta indutância 
leva a linha de transmissão a comportar-se como um filtro 
passa – baixa. Quanto maior o comprimento da linha maior 
será a indutância. 
 
A condutância G é o modelo para as perdas pelo dielétrico, 
caracterizadas pela polarização das moléculas do dielétrico e 
pela impedância finita entre os condutores da linha, devido ao 
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isolamento entre elas. Quanto maior o comprimento da linha 
maior será a condutância. 
 
A capacitância C é o modelo para as perdas no campo elétrico, 
já que a linha de transmissão é basicamente dois condutores 
separados por um dielétrico. A capacitância leva a linha de 
transmissão a comportar-se como um filtro passa – baixa. 
Quanto maior o comprimento da linha maior será a 
capacitância. 
 
 
26. Uma determinada linha de transmissão apresenta uma 
resistência característica igual a 12,1  / km. Determine a 
resistência de um segmento de 50 metros desta linha. 
 
A impedância característica de uma linha de transmissão 
relaciona a tensão e a corrente em um ponto qualquer da 
linha e pode ser calculada a partir de seus parâmetros 
concentrados por: 
 
CjG
LjR
i
v
Z
tl
tl
ohms 




,
,
,0
 
Equação 18: Impedância característica 
 
Para frequência de operação muito elevadas (microondas), ou 
quando os termos R e G podem ser desprezados tem-se a 
impedância característica de uma linha de transmissão é dada 
por: 
 
C
L
Z ohmsC ,
 
Equação 19: Impedância característica - aproximação 
Em que: 
L: indutância característica da linha de transmissão, H/m; 
C: capacitância característica da linha de transmissão, F/m. 
 
 
27. Para uma determinada linha de transmissão os 
parâmetros característicos são: 
R: 1,2  / 100 m; G: 22 mS / 100m; L: 3,0 μH / 100m; 
C: 1200 pF / 100 m. 
Determine a impedância característica nas frequências de: 
a) 100 kHz; 
b) 1 MHz; 
c) 10 MHz; 
d) 20 MHz. 
 
Os resultados acima comprovam a tendência da linha para 
uma impedância característica de aproximadamente 50 ohms, 
para frequência mais elevadas. A questão é determinar-se o 
comportamento de atenuação desta linha em frequência mais 
elevadas, o que veremos a seguir. 
 
O parâmetro de transmissão característico de atenuação e 
retardo de uma linha de transmissão é dado por: 
 
   CjGLjRj   
Equação 20: Parâmetro da linha 
Em que: 
α: atenuação característica da linha, Np/m; 
β: retardo de fase, rad/m; 
R: resistência por unidade de comprimento, Ω / m; 
L: indutância por unidade de comprimento, H / m; 
G: condutância por unidade de comprimento, S / m; 
C: capacitância por unidade de comprimento, F / m. 
 
1Np = 8,686 dB. 
 
 
28. Para uma determinada linha de transmissão os 
parâmetros característicos são: 
R: 1,2  / 100 m; G: 22 mS / 100m; L: 3,0 μH / 100m; 
C: 1200 pF / 100 m. 
Determine a atenuação da linha nas frequências de: 
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a) 100 kHz; 
b) 1 MHz; 
c) 10 MHz; 
d) 20 MHz. 
 
 
2.2 Linhas sem perdas 
 
Uma linha sem perdas não apresenta os termos resistivo e 
condutivo. No entanto, a ausência destes parâmetros não 
significa que a linha não oferece um comportamento 
diferente para frequências diferentes. Como pode ser 
claramente observado do modelo da figura a seguir, a linha 
continua comportando-se como uma estrutura passa – baixa. 
 
 
Figura 2: Linha sem perdas 
 
A impedância característica desta linha é dada por: 
 
C
Z
C
L
Z ohmsohmsC

 ,0,
 
Equação 21: Impedância característica - linha sem perdas 
Em que: 
Z0: impedância característica do vácuo, igual a 120 × ohms; 
L: indutância característica da linha de transmissão, H/m; 
C: capacitância característica da linha de transmissão, F/m; 
: permissividade elétrica do dielétrico, em F/m. 
 
 
29. Uma linha de transmissão sem perdas apresenta 
impedância característica de 50 ohms e uma auto-indutância 
característica igual a 0,08 μH / m. Determine a capacitância de 
um segmento de 4,0 metros desta linha. 
 
 
A velocidade de propagação da onda nesta linha é dada por: 
 
CL
v sm


1
/
 
Equação 22: Velocidade de propagação 
Em que: 
L: indutância característica da linha de transmissão, H/m; 
C: capacitância característica da linha de transmissão, F/m. 
 
 
A constante de fase é dada por: 
 
CLradmrad  / 
Equação 23: Constante de fase 
Em que: 
L: indutância característica da linha de transmissão, H/m; 
C: capacitância característica da linha de transmissão, F/m. 
 
O tempo de propagação na linha é dado por: 

 l
ts

 
Equação 24: Tempo de propagação 
Em que: 
: retardo de fase da linha de transmissão, rad/m; 
l: comprimento da linha de transmissão, m; 
: frequência angular de operação, rad/s. 
 
A permissividade elétrica de um dielétrico é dada por: 
 
0  r
 
Equação 25: Constante dielétrica 
Campos e Ondas 9 de 31 
 
 
 
Em que: 
r: constante dielétrica do material, adimensional; 
0: permissividade do vácuo, igual a 36× / 109 F/m. 
 
A velocidade de propagação da energia eletromagnética em 
um dielétrico é dada por: 
 
r
sm
c
v

/
 
Equação 26: Velocidade de propagação 
Em que: 
c: velocidade de propagação das ondas eletromagnéticano 
vácuo, 3 × 108 m/s; 
r: constante dielétrica do material, adimensional. 
 
 
30. A constante dielétrica de um material é igual a 2,1. 
Determine a velocidade de propagação das ondas 
eletromagnéticas nesta linha. 
 
 
A velocidade de fase ou velocidade relativa de propagação em 
um dielétrico é dada por: 
 
%100
1
% 
r
v

 
Equação 27: Velocidade relativa 
 
31. A constante dielétrica de um material é igual a 2,1. 
Determine a velocidade relativa de propagação ou de fase das 
ondas eletromagnéticas nesta linha. 
 
 
O quadro a seguir apresenta o valor da constante dielétrica de 
alguns materiais utilizados como dielétricos em linhas de 
transmissão. 
 
Tabela 1: Constante dielétrica 
Isolamento Constante 
dielétrica, εr 
vp % 
PE (polietileno) sólido 2,3 66 
PE anti Chama 2,6 62 
PE Expandido 1,32 87 
PTFE Sólido 2,07 69,5 
PTFE Expandido 1,56 80 
Teflon FEP 
PVC 3 a 6 
Ar com suporte em hélice 
de PE 
1,11 95 
 
2.3 Linha carregada 
 
O modelo geral de gerador, linha de transmissão sem perdas e 
impedância de carga adotado para nossa análise é mostrado a 
seguir. 
 
 
Figura 3: Linha de transmissão carregada 
Em que: 
Ug: tensão de pico do gerador, em volts; 
Zg: impedância do gerador, em ohms; 
Zl: impedância de carga, em ohms; 
Zin: impedância refletida na entrada dos terminais de saída do 
gerador, em ohms; 
Zout: impedância refletida na nos terminais de saída da carga, 
em ohms; 
Vinc: tensão incidente, em volts; 
Vref: tensão refletida, em volts; 
Campos e Ondas 10 de 31 
 
 
 
ZC: impedância característica da linha de transmissão. 
Geralmente 50 Ω em sistemas de RF e 75 Ω em sistemas de TV 
a cabo; 
l: comprimento da linha, em metros; 
β: constante de fase da linha; 
vl: velocidade de propagação na linha, m/s; 
λl: comprimento de onda na linha, em metros. 
 
As seguintes relações se aplicam: 
a) Impedância refletida na saída 
 
 ltgZjZ
ltgZjZ
ZZ
g
g
Cout


 

0
0
 
Equação 28: Impedância refletida de saída 
 
b) Impedância refletida na entrada 
 
 ltgZjZ
ltgZjZ
ZZ
L
L
in


 

0
0
0
 
Equação 29: Impedância refletida de entrada 
 
 
Se l = n ×λ / 2, onde n = 0, 1, 2, 3 ... então tg(β×l) = 0, logo Zout 
= Zg e Zin = ZL 
Se l = n × λ / 4, onde n = 1, 3, 5, 7 ... então tg(β×l) = ±∞, logo 
Zout = ZC2 / Zg e Zin = ZC2 / ZL 
 
Observe então que: 
Se l = λ / 2, então tg(β×l) = 0. 
Se l = λ / 2 + λ / 4, então tg(β×l) = ∞. 
Se l = λ / 2 + λ / 2 = λ, então tg(β×l) = 0. 
Se l = λ + λ / 4, então tg(β×l) = ∞. 
 
A cada um quarto de comprimento de onda (λ / 4) a 
impedância é o inverso da referência e a cada meio 
comprimento de onda (λ / 2) a impedância de repete. 
 
Como aplicar um curto na fonte? Ou seja, qual deve ser a 
impedância de carga, ZL, para que se reflita um curto na 
fonte? A resposta é obtida fazendo-se Zin = 0 na equação 31. 
Assim: ZL = −j × ZC × tg(β×l), de modo que se Z0 é real tem-se ZL 
é necessariamente uma impedância reativa, ou puramente 
capacitiva ou puramente indutiva. 
 
Se tg(β×l) > 0, tem-se uma reatância capacitiva. 
Cálculo do valor do capacitor que aplicado aos terminais de 
carga reflete um curto circuito na fonte: 
 
)(2
1
ltgZf
C
C 
 
 
Equação 30: Curto capacitivo 
 
Se tg(β×l) < 0, tem-se uma reatância indutiva. 
Cálculo do valor do indutor que aplicado aos terminais de 
carga reflete um curto circuito na fonte: 
 
f
ltgZ
L C





2
)( 
Equação 31: Curto indutivo 
Qual a impedância refletida se a carga for um curto – circuito 
(ZL = 0)? 
A resposta é fazendo-se ZL = 0 na equação 12. 
Assim: Zin = j × ZC × tg(β×l), de modo que se ZC é real tem-se ZL 
é necessariamente uma impedância reativa, ou puramente 
capacitiva ou puramente indutiva. 
 
Se tg(β×l) < 0, tem-se uma reatância capacitiva. 
Cálculo do valor do capacitor que aplicado aos terminais de 
carga reflete um curto circuito na fonte: 
 
)(2
1
ltgZf
C
o 
 
 
Equação 32: Curto capacitivo 
 
Se tg(β×l) > 0, tem-se uma reatância indutiva. 
Campos e Ondas 11 de 31 
 
 
 
Cálculo do valor do indutor que aplicado aos terminais de 
carga reflete um curto circuito na fonte: 
 
f
ltgZ
L





2
)(0
 
Equação 33: Curto indutivo 
 
Qual a impedância refletida se a carga for um circuito aberto 
(ZL = ∞)? 
A resposta é fazendo-se ZL = ∞ na equação 12. 
Assim: Zin = ZC / [j× tg(β×l)], de modo que se ZC é real tem-se ZL 
é necessariamente uma impedância reativa, ou puramente 
capacitiva ou puramente indutiva. 
 
Se tg(β×l) > 0, tem-se uma reatância capacitiva. 
Cálculo do valor do capacitor que aplicado aos terminais de 
carga reflete um curto circuito na fonte: 
 
)2
)(
CZf
ltg
C





 
Equação 34: Circuito aberto capacitivo 
Se tg(β×l) < 0, tem-se uma reatância indutiva. 
Cálculo do valor do indutor que aplicado aos terminais de 
carga reflete um curto circuito na fonte: 
 
)(2 ltgf
Z
L C



 
Equação 35: Curto circuito indutivo 
Atenção!!! “β×l” é expresso em radianos. 
 
 
2.4 Parâmetros de carregamento 
 
Coeficiente de reflexão 
 
a) Na saída 
outl
outl
l
ZZ
ZZ



 
Equação 36: Coeficiente de reflexão de saída 
 
b) Na entrada 
gin
gin
in
ZZ
ZZ



 
Equação 37: Coeficiente de reflexão de entrada 
 
Taxa de Onda Estacionária 
a) Na saída 
l
l
outVSWR 




1
1 
Equação 38: Taxa de Onda Estacionária de saída 
 
b) Na entrada 
in
in
inVSWR 




1
1 
Equação 39: Taxa de Onda Estacionária de entrada 
Velocidade de propagação na linha 
r
l
c
v


 
EM que: 
vl: velocidade de propagação na linha, em m/s; 
c: velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas np 
vácuo, 3 ×108 m/s; 
εr: constante dielétrica da linha. 
 
Constante de fase na linha 
ll
l
v
f





 22
 
Equação 40: Constante de fase 
 
Campos e Ondas 12 de 31 
 
 
 
ATENÇÃO: Observe que na equação acima utilizamos o 
comprimento de onda na linha e NÃO o comprimento de onda 
no vácuo. 
 
ATENÇÃO: Observe ainda que na equação acima utilizamos a 
velocidade de propagação na linha e NÃO a velocidade de 
propagação da onda no vácuo. 
 
Comprimento de onda na linha 
f
vl
l 
 
Equação 41: Comprimento de onda na linha 
 
 
Perda de transmissão 
a) Na saída 
 









out
out
dBoutl
VSWR
VSWR
T
4
1
log10
2
10,,
 
Equação 42: Perda de Transmissão na saída 
 
 
b) Na entrada 
 









in
in
dBinl
VSWR
VSWR
T
4
1
log10
2
10,,
 
Equação 43: Perda de Transmissão na entrada 
 
 
2.5 Relação de Onda Estacionária – ROE 
 
A Taxa de Onda Estacionária (TOE) ou a Relação de Onda 
Estacionária (ROE) ou VSWR (Voltage Standig Wave Ratio), ou 
Coeficiente de Onda Estacionária (COE), relaciona a tensão 
incidente na carga com a tensão refletida. Além de não ser 
aproveitado na transmissão, o sinal refletido na linha se volta 
contra o transmissor e dependendo de certos valores pode vir 
mesmo a danificá-lo. 
O valor ideal da taxa de onda estacionária é 1, ou 1 : 1, lê-se 1 
para 1. Nesta situação, toda energia entregue ao sistema é 
aproveitada e transmitida.Na prática, imperfeições no 
sistema, no cabo, no casamento, ou até mesmo se está 
chovendo ou não podem afastar esse valor do valor ótimo. E 
mesmo que em determinado sistema o valor da relação de 
onda estacionária seja de 1: 1 pode ser que nada esteja sendo 
transmitido. Como isso é possível? Basta ligar um resistor de 
50 ohms na saída de um cabo de 50 ohms, ligado na outra 
extremidade em um transmissor de 50 ohms que nada vai ser 
transmitido. Claro o sistema está casado. Meça agora em 
qualquer ponto a ROE e você vai achar 1:1. Só que neste caso 
nem, um micro watt de potência está sendo efetivamente 
irradiado. 
 
As relações entre a taxa de onda estacionária, o coeficiente de 
reflexão e as impedâncias envolvidas são mostradas abaixo. 
 
1
1
VSWR





 
Equação 44: Taxa de onda estacionária 
Em que ρ é o coeficiente de reflexão, adimensional ( − 1 ≤ ρ ≤ 
1). 
 
L C
L C
Z Z
Z Z




 
Equação 45 
Em que: 
Zl: impedância de carga, em ohms; 
Zc: impedância característica, em ohms. 
 
O quadro a seguir apresenta alguns valores de VSWR, perda 
de retorno, perda de transmissão, coeficiente de reflexão, 
porcentagem de potência transmitida e porcentagem de 
potência refletida. 
 
Quadro 2: Taxa de onda estacionária, ROE ou VSWR 
Campos e Ondas 13 de 31 
 
 
 
VSWR 
TOE 
COE 
Return 
Loss, (dB) 
Transmission 
Loss, (dB) 
Coeficiente 
de reflexão 
de tensão 
Potência 
Trans, % 
Potência 
Ref, % 
1,00  .00 0.00 100.0 0.0 
1,10 26.4 .01 0.05 99.8 0.2 
1,20 20.8 .04 0.09 99.2 0.8 
1,30 17.7 .07 0.13 98.3 1.7 
1,70 11.7 .30 0.26 93.3 6.7 
1,80 10.9 .37 0.29 91.8 8.2 
1,90 10.2 .44 0.31 90.4 9.6 
2,00 9.5 .51 0.33 88.9 11.1 
2,50 7.4 .88 0.43 81.6 18.4 
3,00 6.0 1.25 0.50 75.0 25.0 
4,00 4.4 1.94 0.60 64.0 36.0 
5,00 3.5 2.55 0.67 55.6 44.4 
7,00 2.5 3.59 0.75 43.7 56.2 
9,00 1.9 4.44 0.80 36.0 64.0 
15,0 1.2 6.30 0.88 23.4 76.6 
20,0 0.9 7.41 0.90 18.1 81.9 
30,0 0.6 9.04 0.94 12.5 87.5 
38,2 0.5 10.00 0.95 10.0 90.0 
 
A ROE em uma linha de transmissão é alterada pela atenuação 
dessa linha, conforme mostrado na figura a seguir. 
 
 
 
Podemos ainda definir a perda de retorno e a perda de 
transmissão, dadas por: 
 
)(log20,Re 10 dBLossturn 
Equação 46: Perda de retorno 
 
 
 






210 1
1
log10, dBLossonTransmissi
 
Equação 47: Perda de Transmissão 
 
A porcentagem de potência efetivamente entregue à carga e a 
porcentagem de potência refletida de volta para o gerador 
são dadas por: 
 
2100%,Re fletidaPotência 
Equação 48: Potência refletida 
 
 
 2, % 100 1Potência Transmitida    
Equação 49: Porcentagem de potência transmitida 
 
 
 
32. Você ficou encarregado de fazer uma série de medidas 
em um segmento de 10 metros de cabo coaxial 7/8”C com 
dielétrico polietileno, na frequência de 2 GHz. Para o 
comprimento dado considere o cabo sem perdas. Em seguida 
você colocou em uma extremidade do cabo uma carga 
constituída por um resistor de 47 ohms em paralelo com 13 
pF. A fonte de sinal é um gerador em 2GHz, com 500 mV de 
amplitude de pico. Determine: 
a) o coeficiente de onda estacionária na extremidade do 
cabo junto ao gerador para a carga resistiva - capacitiva; 
b) a impedância refletida devido à um curto circuito na carga 
na distância de 9,890707101m. 
 
33. Você foi encarregado de realizar uma série de medidas 
em um circuito modelado por um gerador de varredura com 
Campos e Ondas 14 de 31 
 
 
 
amplitude de pico de saída de 1volt alimentando um resistor 
de 100 ohms e um capacitor em série de 22 pF. As medidas 
serão efetuadas sobre o capacitor. Determine: 
a) a variação percentual da tensão de saída em aberto e 
carregada, considerando-se que o instrumento de medida é 
modelado por um resistor de 50 ohms; 
b) a variação percentual da frequência de corte em aberto 
e carregado, considerando-se que o instrumento de medida é 
modelado por um resistor de 50 ohms em paralelo com um 
capacitor de 8 pF. 
 
34. Você ficou encarregado de fazer uma série de medidas 
em um segmento de cabo coaxial 7/8”C com dielétrico 
polietileno, na frequência de 2 GHz. Inicialmente você fez uma 
medida de atenuação em um segmento de 10 metros e 
obteve uma atenuação de 0,3 dB. Em seguida colocou uma 
carga de 50 ohms em uma extremidade do cabo e obteve uma 
impedância refletida na outra extremidade de 50 ohms. Em 
seguida colocou uma carga constituída por um resistor de 47 
ohms em paralelo com 13 pF. Determine: 
a) se o valor da atenuação medida está em conformidade 
com a especificação do cabo; 
b) se a impedância refletida de 50 ohms confere com a 
teoria; 
c) a impedância refletida na outra extremidade do cabo, 
desprezando as sem perdas do cabo, para a carga resistiva - 
capacitiva; 
d) a relação de onda estacionária na extremidade oposta do 
cabo, neste caso; 
e) a porcentagem de potência refletida na carga, neste caso; 
f) a porcentagem de potência refletida na extremidade do 
gerador; 
g) a potência entregue a linha devido a um transmissor de 40 
watts; 
h) a potência entregue a carga para uma potência aplicada a 
linha de 40 watts 
i) a impedância refletida devido à um circuito aberto na 
distância de 4,97m; 
j) a impedância refletida devido à um curto circuito na 
distância de 4,97m; 
k) a impedância refletida devido à um circuito aberto na 
distância de 9,8907071m; 
l) a impedância refletida devido à um curto circuito na 
distância de 9,890707101m; 
m) o retardo introduzido pelos 10 metros de cabo; 
n) o tempo gasto para um pulso de 1 ns percorrer totalmente 
10 m de cabo. 
Dados: 
 Equação da impedância refletida em um cabo sem 
perdas. 
ohms
ltgZjZ
ltgZjZ
ZZ
L
L
entrada
)(
)(
0
0
0


 
 
 
Onde “Z0” é a impedância característica da linha (ohms), “Zl” é 
a impedância de carga (ohms), “β” é a constante de fase da 
linha (rad/m) e “l” é o comprimento da linha (metros). 
 
 Constante de fase de uma linha de transmissão 
mrad
f rMHz
/
300
2  
 
 
Onde εr é a constante dielétrica do dielétrico usado na linha 
de transmissão. 
 
Respostas 
a) b) c) 
d) e) f) 
g) h) i) 
j) k) l) 
m) n) 
 
 
35. Um circuito RC série com R = 120 ohms e C = 18 pF é 
alimentado por um gerador ideal de tensão na frequência de 
1,8 GHz e com 1mV de pico de amplitude. Determine: 
a) a tensão em aberto sobre o capacitor (módulo e fase); 
Campos e Ondas 15 de 31 
 
 
 
b) a tensão sobre o resistor (módulo e fase); 
c) a frequência de corte do circuito RC; 
d) o tempo para a tensão de saída alcançar 90% do valor final 
caso o sinal de entrada seja uma onda quadrada; 
e) o módulo da tensão sobre o capacitor medida com um 
instrumento modelado por um resistor de 50 ohms; 
f) o erro percentual na medida de tensão acima; 
g) o módulo da tensão sobre o capacitor medida com um 
instrumento modelado por um resistor de 50 ohms em 
paralelo com um capacitor de 5 pF; 
h) o erro percentual na medida de tensão acima; 
i) a variação percentual na frequência de corte considerando-
se a medida do item “g”. 
 
Respostas 
a) b) c) 
d) e) f) 
g) h) i) 
 
36. Um cabo coaxial com dielétrico polietileno e 5,0 metros 
de comprimento é terminado por uma carga modelada por 
um circuito RC paralelo. Os valores são R = 55 ohms e C = 2 pF. 
A frequência de teste é 2 GHz. Determine: 
a) o coeficiente de onda estacionária na carga, considerando-se um gerador de 50 ohms na outra extremidade do cabo; 
b) a porcentagem de potência perdida pelo descasamento da 
carga; 
c) a impedância refletida na outra extremidade do cabo; 
d) a taxa de onda estacionária nos terminais do gerador; 
e) a porcentagem de potência perdida pelo descasamento da 
impedância refletida; 
f) a perda por descasamento. 
 
Respostas 
a) b) c) 
d) e) f) 
 
37. Um cabo coaxial cuja impedância característica é 50 
ohms, apresenta na frequência de 500 MHz uma velocidade 
de fase de 66%. Um segmento de 1,2 metros desse cabo é 
terminado por uma carga modelada por um resistor de 47 
ohms. Determine: 
a) a perda por transmissão na saída (em dB); 
b) a impedância refletida na extremidade oposta da carga. 
(valor 3,0 pontos. Cada item 1,5 pontos) 
 
38. Um segmento de 1,3 metros de cabo coaxial cuja 
impedância característica é 50 ohms é terminado por uma 
carga constituída por um resistor de 75 ohms em série com 
um capacitor de 2 (dois) nF. A frequência do sinal de excitação 
é 300 MHz. O conjunto é alimentado por um gerador senoidal 
cuja impedância de saída característica é 50 ohms e tensão de 
pico 25 volts. A velocidade de fase da linha de transmissão é 
de 52%. Determine: 
a) A especificação de instalação determina que o valor 
máximo da perda por transmissão seja de 0,25 dB. Verifique 
se a instalação acima atende a esta especificação; 
b) o valor da impedância refletida a 52 cm da carga na forma 
resistor – elemento reativo; 
c) o valor da impedância refletida a 0,65 m do gerador, na 
configuração série; 
d) a potência dissipada sobre a carga. 
(valor 4,0 pontos. Cada item 1,0 ponto) 
 
Resposta: 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
39. Um segmento de cabo coaxial de 1 metro de 
comprimento, cuja impedância característica é 50 ohms é 
terminado por uma carga modelada por um resistor de 45 
ohms em paralelo com8 pF na frequência de 5,0 GHz. O 
dielétrico do cabo coaxial é um material cuja constante 
Campos e Ondas 16 de 31 
 
 
 
dielétrica é igual a 9. O cabo pode ser considerado sem perdas 
para o segmento em questão. Na outra extremidade do cabo 
é ligado um transmissor de 50 ohms de impedância de saída 
com potência de saída igual a 2,0 watts. Determine: 
a) a potência efetivamente aplicada à carga; 
b) a impedância refletida à distância de 20,5 cm da carga, 
quando esta é um curto circuito; 
c) a ROE nos terminais do gerador; 
d) a menor distância dos terminais da carga para a qual um 
curto circuito de carga é refletido como um capacitor que 
entre em ressonância em 5 GHz quando ligado a um 
indutor de 0,1 nH. 
(valor da questão 4,0 pontos; 1,0 ponto cada item) 
 
40. Com relação à impedância vista por um gerador ligado a 
uma linha de transmissão sem perdas, o circuito será 
ressonante em: 
I – série, se a linha tiver comprimento λ/4 e terminar em 
aberto. 
II – paralelo, se a linha tiver comprimento λ/2 e terminar 
em aberto. 
III – série, se a linha tiver comprimento λ e terminar em 
aberto. 
IV – paralelo, se a linha tiver comprimento λ/4 e terminar 
em curto-circuito. 
V – paralelo, se a linha tiver comprimento λ/2 e terminar 
em curto-circuito. 
 
Indique os itens corretos. Justifique. 
Resposta: 
I: 
II: 
III: 
IV: 
V: 
 
41. Um transmissor em 150 MHz entrega 100 W a uma 
antena com 10 dBi de ganho. Nessas condições, determine a 
potência disponível em uma antena receptora com 
aproximadamente 16 dBi de ganho e área efetiva de 4π m2, 
distante 10 km do transmissor e em condições de espaço livre. 
Resposta: 
 
42. Determine perda de potência total em uma linha de 
transmissão se o coeficiente de onda estacionária medido no 
final desta linha é 4 e o percentual de 9% da potência 
fornecida pelo gerador é observado novamente na entrada da 
linha, em um processo de reflexão. 
Resposta: 
 
43. Uma antena transmissora operando em uma frequência 
f0 tem uma impedância de entrada igual a 60 + j30 Ω e área 
efetiva de π m2. Essa antena é utilizada em um sistema 
receptor, ligada diretamente em uma linha de transmissão de 
50 Ω, que está perfeitamente casada a uma carga resistiva. 
Fazendo-se incidir sobre a referida antena uma onda plana 
com um campo igual a 13 μV/m, determine a potência 
transferida para a carga. 
Resposta: 
 
44. Suponha que se deseje simular um circuito ressonante LC 
em paralelo na frequência de 100 MHz e que se disponha de 
um cabo coaxial com fator de velocidade unitário e perdas 
condutoras desprezíveis. Nessa situação, o circuito ressonante 
pode ser obtido utilizando-se um trecho desse cabo com 75 
cm de comprimento e em curto circuito. 
Certo ou errado? Justifique. 
 
45. Considere-se que o transmissor de uma estação esteja 
conectado à antena por meio de uma linha de transmissão 
coaxial. Nesse caso, é suficiente medir, por meio de 
equipamento adequado, o coeficiente de onda estacionária na 
linha de transmissão, e, a partir desse parâmetro, calcular a 
potência radiada. Certo ou errado? Justifique. 
 
Campos e Ondas 17 de 31 
 
 
 
A figura a seguir ilustra o resultado de medida da perda de 
retorno versus VSWR, ou coeficiente de onda estacionária, de 
um sistema de radiação composto por uma linha de 
transmissão conectada a uma antena. Considerando essas 
informações, julgue os seguintes itens. 
 
Figura 4: VSWR 
 
46. Sabendo-se que a referência para a medida mencionada 
é a entrada da linha de transmissão, é correto afirmar que, no 
momento da realização da medida, o módulo do coeficiente 
de reflexão na entrada da linha é igual a 0,5 para a frequência 
de 2 GHz. Certo ou errado? Justifique. 
 
47. Para um sistema radiante, a perda de retorno mostrada 
é equivalente à potência radiada pela antena, em dBW, 
subtraída da potência entregue à linha de transmissão pelo 
gerador , em dBW. Certo ou errado? Justifique. 
 
48. Considere a seguinte situação. Pedro, um técnico em 
telecomunicações, foi escalado para realizar a manutenção 
em um sistema transmissor que apresentava defeito. 
Suspeitando que esse defeito encontrava-se no sistema 
radiante, Pedro desconectou o cabo coaxial que ligava o 
sistema radiante ao transmissor e mediu com equipamentos 
adequados a VSWR desse sistema. O valor obtido por Pedro 
para a VSWR foi igual a 1. Nessa situação, a suspeita de Pedro 
estava correta, pois há curto-circuito no sistema irradiante. 
Certo ou errado? Justifique. 
 
 
Figura 5: Medida de Potência de Transmissão 
 
Um dos problemas encontrados em sistemas de comunicação 
via radio é a determinação precisa da intensidade de campo 
elétrico na região de campo distante. Considerando a figura 
acima, que ilustra uma montagem para a medida de campo 
elétrico em um ponto localizado a uma distância d de uma 
antena transmissora, julgue os itens subsequentes. 
 
49. A medida correta do campo no ponto de recepção deve 
levar em consideração interferência multipercurso, reflexões 
de superfícies metálicas ou objetos dielétricos usados na 
montagem e imprecisões no valor dos ganhos das antenas. 
Certo ou errado? Justifique. 
 
50. Independente da frequência do sinal gerado pela fonte, 
para que a medida seja realizada em condição de campo 
distante, é necessário que o ponto de recepção esteja distante 
de 200 vezes a maior dimensão da antena. Certo ou errado? 
Justifique. 
 
51. Considere que a potência efetivamente irradiada (ERP) 
pela antena seja igual a 1 kW e que a propagação ocorra em 
condição de espaço livre. Considere ainda que, nessa situação, 
a intensidade de campo elétricoem uma distância d = 7 km, 
tenha sido igual a 90 dBμV/m. Se a distância aumentar para d 
= 14 km, a intensidade do campo elétrico será reduzida a 45 
dBμV/m. Certo ou errado? Justifique. 
 
52. Na montagem ilustrada, o equipamento utilizado para 
medir a frequência do sinal pode ser um analisador de 
Campos e Ondas 18 de 31 
 
 
 
espectro. Por meio do analisador de espectro, é possível 
verificar o sinal gerado no domínio da frequência e obter, 
inclusive, informações acerca de frequências espúrias. Certo 
ou errado? Justifique. 
 
53. O acoplador direcional dual mostrado na montagem é 
um dispositivo que possui um amplificador de baixo ruído 
para compensar a potência refletida causada pela 
descontinuidade na entrada da antena. Assim, a potência 
transmitida, monitorada no medidor de potência incidente, 
pode ser conhecida com boa precisão. Certo ou errado? 
Justifique. 
 
54. Na manutenção de uma estação radiobase de um 
sistema celular, o uso de um acoplador bidirecional em 
associação com um circulador a ferrite na frequência de 
transmissão permite avaliar, por meio de um osciloscópio, 
degradações da razão entre a potência do sinal e a potência 
de ruído de intermodulação de terceira ordem dos 
amplificadores de transmissão de classe C. Certo ou errado? 
Justifique. 
 
55. Uma linha de transmissão sem perdas apresenta uma 
impedância característica igual a 50 ohms. Medidas em um 
segmento de 100 metros desta linha indicaram um valor de 
autoindutância igual a 8 H. Determine a capacitância de um 
segmento de 4 metros deste cabo. 
 
56. Uma linha de transmissão com baixas perdas apresenta 
uma impedância característica igual a 50 ohms e uma 
capacitância distribuída por unidade de comprimento igual a 
100 pF/m. Medidas realizadas no cabo indicam que após 15 
metros de cabo o sinal é reduzido a 80% de seu valor original. 
Determine: 
a. o retardo introduzido por 25 metros de cabo na frequência 
de 100 MHz; 
b. a atenuação em dB, introduzida por 25 metros de cabo; 
c. a atenuação por unidade de comprimento. 
 
57. Uma linha de transmissão com 100 metros de 
comprimento é operada na frequência de 10,0 MHz e 
apresenta uma atenuação de 0,002 Np/m. A velocidade de 
fase é igual a 90% e a impedância característica é igual a 50 
ohms. Determine a impedância de carga, caso a impedância 
refletida na entrada seja igual a 30 – j10 ohms. 
 
58. Uma determinada linha de transmissão apresenta 
impedância característica igual a 50 ohms e deve entregar 1 
kW a uma carga. Segundo o fabricante a tensão r.m.s. na linha 
deve ser inferior a 250 volts. Determine: 
a. a VSWR máxima de operação na linha para que não 
ocorra danos à mesma; 
b. o nível de potência que deve ser fornecido pelo gerador. 
 
59. Deseja-se uma linha de transmissão com impedância 
característica igual a 50 ohms. O cabo coaxial deve ter o 
diâmetro interno igual a 1 cm e o material de espaçamento 
uma constante dielétrica igual a 4. Determine o valor do 
diâmetro do condutor externo. 
 
60. Uma linha paralela de transmissão apresenta um 
espaçamento de 10 cm e uma impedância característica de 
600 ohms. Determine o diâmetro requerido para o fio. 
 
61. Uma linha de transmissão cuja impedância característica 
é igual a 50 ohms com 100 metros de comprimento é operada 
em 2 GHz, com uma atenuação de 0,002 Np/m. Medidas 
realizadas indicaram uma velocidade de fase igual a 2,7 x 108 
m/s. Uma carga igual a 30 – j10 ohms é ligada na extremidade 
da linha. Determine: 
a) a atenuação total da linha em dB; 
b) a constante de fase; 
c) o coeficiente de reflexão na carga; 
d) a VSWR na carga; 
e) a perda de transmissão na carga 
 
Campos e Ondas 19 de 31 
 
 
 
62. Uma linha de transmissão apresenta os seguintes 
parâmetros distribuídos: R = 147,2 /km, C = 50 nF/km, L = 22 
nH/km e G = 30 mS/km. Determine: 
a) a impedância característica; 
b) a atenuação em dB/km na frequência de 800 Hz; 
c) a atenuação, em dB, de 1.5 km de linha. 
 
63. Um cabo paralelo cuja impedância característica é igual a 
300 ohms é ligado a uma fonte cuja impedância de saída é 300 
ohms, tensão eficaz 60 volts e frequência de operação 100 
MHz. A velocidade de propagação na linha é de 2,5 x 108 m/s. 
O comprimento da linha é de 2 metros. 
a) uma carga de 300 ohms é ligada na extremidade oposta do 
gerador. Determine: o coeficiente de reflexão na carga, a taxa 
de onda estacionária, a tensão na carga e a potência fornecida 
pelo gerador à carga. 
b) considere uma segunda carga de 300 ohms ligada em 
paralelo à primeira. Determine: o coeficiente de reflexão na 
carga, a taxa de onda estacionária, a tensão na carga e a 
potência fornecida pelo gerador à nova carga. 
c) as cargas são agora substituídas por um capacitor – 300 
ohms. Determine: o coeficiente de reflexão na carga, a taxa de 
onda estacionária, a tensão na carga e a potência fornecida 
pelo gerador à carga. 
 
64. Uma antena do tipo dipolo sintonizada na frequência de 
operação é ligada em uma linha de transmissão cuja 
impedância característica é 50 ohms. Determine a taxa de 
onda estacionária. O dipolo é substituído por um dipolo 
dobrado também sintonizado na frequência de operação. 
Determine o novo coeficiente de onda estacionária. Em qual 
das duas situações anteriores a perda por descasamento é 
menor? Justifique. 
 
65. As constantes de LF de uma linha de transmissão por km 
em 1000 Hz são: R = 6 ohms, L = 2,2 mH, C = 0,005 F e G = 
0,25 S. Determine: 
a. a impedância de carga para a qual não haverá reflexões na 
linha; 
b. a atenuação, em dB, em 100 km de linha; 
c. o retardo introduzido em 10 km de linha. 
 
66. Uma linha de transmissão apresenta os seguintes 
parâmetros característicos: R = 10,4 ohms, L = 3,666 mH, G = 
0,8  S e C = 0,00835F, para a frequência angular de 5000 
rad / segundo, determine: 
a. a impedância característica; 
b. a constante de propagação; 
c. a velocidade de fase; 
d. a atenuação após 10 km de linha, em dB; 
O retardo introduzido em 10 km de linha. 
 
67. Na frequência de 1590 Hz os parâmetros característicos 
de uma determinada linha de transmissão são: R = 10 mΩ/m, 
G = 1 µS/m, C = 1 nF/m e L = 1 µH/m. Para esta frequência de 
operação determine: 
a. a atenuação característica; 
b. a atenuação devido à 50 metros desta linha; 
c. a variação de fase em 50 metros desta linha; 
d. a tensão a 100 metros do gerador, na situação de carga 
casada para uma tensão de entrada igual a V(s) = 0,775;0o. 
 
68. Os parâmetros característicos de uma linha são R = 28 
ohms / km e C = 0,040 F /km. Na frequência de 1600 Hz os 
efeitos da indutância e da condutância são desprezíveis. O 
cabo é carregado com indutores de 88 mH e resistência de 3,7 
ohms a cada 2000 metros de intervalo. Determine o 
decréscimo em atenuação devido ao carregamento em 1600 
Hz e o valor aproximado da frequência de corte; R = 10,4 
ohms, L = 0,0037 H, G = 0,8  S e C = 0,00835F. Porque tal 
solução não é mais adotada nos modernos circuitos de 
telefonia? 
 
69. Os parâmetros distribuídos de uma linha de transmissão 
em 5000 rad/s são: R = 10,4 ohms/km, L = 3,67 mH / km, G = 
Campos e Ondas 20 de 31 
 
 
 
0,8  S /km e C = 0,00835F / km. Bobinas de carregamento 
com 246 mH cada e com 7,3 ohms são adicionadas à linha em 
intervalos de 7,88 km. Determine: 
a. o valor da impedância característica da linha; 
b. o valor da constante de propagação característica da linha; 
c. a velocidade de propagação característica da linha; 
d. a impedância modificada; 
e. a constante depropagação modificada; 
f. a velocidade de propagação modificada. 
 
70. Um gerador em 1000 Hz, 1 volt rms é ligado em uma 
linha com 1000 km de extensão carregada com a impedância 
característica. Os parâmetros por km são R = 10,4 ohms, L = 
0,0037 H, G = 0,8  S e C = 0,00835F. Determine: 
a. a constante de propagação; 
b. a velocidade de fase; 
c. a impedância característica; 
d. a tensão a 100 km do gerador, considerando a fase inicial 
igual a zero radianos; 
e. a velocidade de fase; 
f. a potência fornecida na extremidade da linha. 
 
71. Uma linha de transmissão em UHF com impedância 
característica de 50 ohms é carregada com uma impedância 
de 50 + j50 ohms. Determine: 
a. o coeficiente de reflexão; 
b. a taxa de onda estacionária de tensão (VSWR); 
c. a perda de retorno; 
d. a perda de transmissão; 
e. a porcentagem de potência transmitida; 
f. a porcentagem de potência refletida. 
 
72. Uma determinada linha de transmissão apresenta 
impedância característica igual a 50 ohms. Determine a taxa 
de onda estacionária com as seguintes cargas: 
a. ZL = 70 + j0 ohms; 
b. ZL = 800 + j0 ohms; 
c. ZL = 650 – j475 ohms. 
 
73. Uma antena dipolo cuja impedância é 100 ohms 
puramente resistiva deve ser casada em 100 MHz por meio de 
uma linha aberta com 600 ohms de impedância característica 
por meio de um stub em curto. Determine o ponto de ligação 
e o comprimento do stub. Supor que a linha e o stub não 
introduzem perdas e apresentam a mesma impedância 
característica. 
 
74. Defina os seguintes termos e seu significado físico: 
a. Constante de atenuação; 
b. Impedância característica; 
c. Velocidade de fase. 
 
75. Defina os seguintes termos e seu significado físico: 
a. Onda estacionária; 
b. Coeficiente de reflexão; 
c. Taxa de onda estacionária de tensão (VSWR); 
d. Perda de transmissão (transmission loss); 
e. Perda por descasamento (mismatch loss); 
f. Perda por retorno (return loss). 
 
76. Um transmissor cuja potência de saída é de 100 watts é 
ligado a uma linha de transmissão em cuja extremidade 
oposta está ligada uma antena. A VSWR na saída do 
transmissor é de 1,3. A perda no cabo é de 1,5 dB. A VSWR na 
ligação cabo-antena é de 1,3. Determine a potência 
efetivamente aplicada à antena. 
 
77. Uma determinada linha de transmissão opera em ω = 108 
rad/s, com α = 8 dB/m, β = 1 rad/m e Z0 = 60 + j40 Ω, 
apresenta 2 metros de comprimento. Considere a linha 
conectada a uma fonte 10;0o, Zg = 40 Ω e está conectada à 
uma carga de 20 + j50 Ω, determine: [Sadiku] 
a. o coeficiente de reflexão na carga; 
b. a taxa de onda estacionária na carga; 
c. a impedância de entrada; 
d. o coeficiente de reflexão na fonte; 
Campos e Ondas 21 de 31 
 
 
 
e. a taxa de onda estacionária na fonte; 
f. a corrente na entrada da linha; 
g. a corrente na metade da linha; 
h. a impedância refletida na metade da linha 
 
78. Em uma determinada linha de transmissão sem perdas, 
de 30 metros de comprimento, com impedância característica 
de 50 ohms e operando em 2 MHz é terminada por uma carga 
ZL = 60 + j40 ohms. Se a velocidade de propagação relativa na 
linha é de 60%, determine: 
a. o coeficiente de reflexão na carga; 
b. a taxa de onda estacionária na carga; 
c. a impedância de entrada refletida na entrada da linha. 
 
79. O barramento de uma rede de computadores é 
composto de um cabo coaxial de 400 m de comprimento. Esse 
cabo tem impedância característica de 50 Ω e velocidade de 
propagação de 200 x 106 m/s. A rede não está funcionando 
apropriadamente. Medindo-se a impedância em um dos 
terminais (o outro está terminado em 50 Ω), obteve-se o 
seguinte resultado. 
Frequência, kHz Módulo da impedância, Ω 
100 100 
 
Considerando a possibilidade de o cabo estar em curto 
circuito, determine a provável localização desse defeito. 
 
Dados / Informações técnicas 
Impedância característica: 
Velocidade de propagação: 
Constante de propagação: 
Frequência angular: ω; j = , L e C – indutância e 
capacitância distribuídas da linha, respectivamente. 
 
Z1 é a impedância vista do lado “1” a uma distância “d” da 
carga Z2 colocada na extremidade “2”. 
tanh(ø) = j tan(ø) 
 
80. Uma linha de 50 Ω com 100 m de comprimento é 
operada em 2,0 GHz, com atenuação característica de 0,002 
Np/m. Medidas realizadas indicaram uma velocidade de fase 
de 2,7 x 108 m/s, sob uma carga de 20 – j10 Ω. Determine: 
a) A atenuação total da linha, em dB; 
b) A constante de fase; 
c) A variação de fase devido ao comprimento da linha; 
d) O coeficiente de reflexão na carga; 
e) A taxa de onda estacionária na carga; 
f) A perda de transmissão na carga; 
g) A perda de retorno na carga; 
h) A impedância vista pelo gerador, 
i) A perda por descasamento no gerador; 
j) A perda total na linha, por atenuação e descasamento. 
 
81. Para a linha de transmissão cujos dados são fornecidos a 
seguir, determine: 
a) A impedância característica da linha; 
b) A atenuação em dB/km, para a frequência de 800 Hz. 
Dados / Informações técnicas 
R’ = 147,2 Ω / km; 
C’ = 50 nF / km; 
L = 22 nH / km; 
G’ = 30 mS / km. 
 
82. O cabo RG-58/U apresenta as seguintes características: 
raio interno = 0,45 mm; raio externo: de 1,47mm a 2,4 mm; 
dielétrico: polietileno (constante dielétrica = 2,26); 
condutividade do polietileno = 10−16 S/m; condutividade do 
cobre = 5,8 x 107 S/m. Considerando a frequência de operação 
de 1,0 GHz, determine: 
a) A profundidade pelicular; 
b) Os parâmetros distribuídos característicos; 
c) A atenuação em dB/m; 
d) A constante de fase; 
e) A impedância característica; 
Campos e Ondas 22 de 31 
 
 
 
f) O atraso de fase em 12 metros do cabo. 
 
 
 
Respostas dos exercícios 
 
26) A resistência ôhmica desta linha, para um trecho de 50 
metros, é igual a 12,1  / km × 0,05 km = 605 m. 
 
27) 
a) 10,1 , ângulo 28,8 graus; 
b) 28,5 , ângulo 43,2 graus; 
c) 49 , ângulo 44,8 graus; 
d) 49,7 , ângulo 44,9 graus. 
 
28) 
a) 1,93 dB / 100 metros; 
b) 5,75 dB / 100 metros; 
c) 33,4 dB / 100 metros; 
d) 65,8 dB / 100 metros. 
Pelos resultados acima observa-se que esta linha não é 
adequada para utilização em frequências acima de 20 MHz. 
 
29) 
C
L
ZC 
, logo 
 
mpF
Z
L
C
C
/32
50
1008,0
2
6
2




 
Clinha = 4 m × 32 pF/m = 128 pF. 
 
30) v = 3 ×108 / (2,1)1/2 = 207.019.667,8 m/s. 
 
31) v = 100% / (2,1)1/2 = 69 %. 
 
 
Equações aplicáveis 
 
a) Constante de Atenuação: 
)()( CjGLjRj   
Equação 50 
 
b) Impedância característica: 
)(
)(
,0
CjG
LjR
Z ohms 




 
Equação 51 
 
c) Coeficiente de Reflexão: 
GL
GL
ZZ
ZZ



 
Equação 52 
 
d) Taxa de Onda Estacionária de Tensão: 





1
1
VSWR
 
Equação 53 
 
e) Porcentagem de Potência Transmitida: 
%100)1(% 2  tP
 
Equação 54 
 
f) Porcentagem de Potência Refletida: 
%100Pr% 2  
 
Equação 55 
 
g) Perda de Transmissão (Transmission Loss): 
 

















VSWR
VSWR
TLdB
4
1
log10
||1
1
log10
2
10
210 
 
Equação 56 
 
h) Perda de Retorno (Return Loss): 
||log20 10 dBRL
 
Equação 57 
 
Campos e Ondas 23 de 31 
 
 
 
 
Cabo Coaxial 
i) Resistência por unidade de comprimento de cabo coaxial 
em ohm por metro: 
mMS
rMHz
cmcm
mS
Hz
mm
m
f
ba
f
baR
/
3
/
/
10
11
11
2
1























 
Equação 58 
Em que: 
acm: diâmetro interno em centímetros; 
bcm: diâmetro externo em centímetros; 
fMHz: frequência de operação em MHz; 
μr: permeabilidade magnética relativa do material condutor; 
σMS/m: condutividade do condutor em MS/m. 
 
 
j) Indutância por unidade de comprimento de cabo coaxial 
em nano henry por metro: 







a
b
L rmnH ln200/ 
 
Equação 59 
Em que: 
acm: diâmetro interno em centímetros; 
bcm: diâmetro externo em centímetros; 
 
k) Condutância por unidade de comprimento de cabo 
coaxial em pico siemen por metro: 
 
a
b
G
mpS
mpS
ln
2 /
/
 

 
Equação 60 
Em que: 
acm: diâmetro interno em centímetros; 
bcm: diâmetro externo em centímetros; 
σpS/m: condutividade do dielétrico em pS/m. 
 
l) Capacitância por unidade de comprimento de cabo 
coaxial em pico farad por metro: 
 
a
b
C rmpF
ln
55,55
/


 
Equação 61 
Em que: 
acm: diâmetro interno em centímetros; 
bcm: diâmetro externo em centímetros; 
εr: constante dielétrica do dielétrico. 
 
m) Impedância característica de cabo coaxial sem perdas em 
alta frequência (aproximação) em ohm: 







a
b
Z
r
10,0 log
138

 
Equação 62 
Em que: 
acm: diâmetro interno em centímetros; 
bcm: diâmetro externo em centímetros; 
εr: constante dielétrica do dielétrico. 
 
n) Frequência de corte de cabo coaxial em giga hertz: 
r
GHzc
ba
f


)(2
75,6
,
 
Equação 63 
o) Profundidade pelicular em micro metro: 
mMSMHz
m
f /
4
102
10

 


 
Equação 64 
Em que: 
fMHz: frequência de operação em MHz; 
σMS/m: condutividade do condutor em MS/m. 
 
p) Impedância refletida 
Campos e Ondas 24 de 31 
 
 
 
)(
)(
0
0
0,
ltgZjZ
ltgZjZ
ZZ
L
L
ohmsin 




 
Equação 65 
Em que: 
Z0: impedância característica da linha na frequência de 
operação, em ohms; 
ZL: impedância de carga, em ohms; 
β: constante de fase da linha, em rad/m; 
l: comprimento da linha, em metros. 
 
q) Comprimento de onda no cabo coaxial 
00,3
.
m
GHz r rf

 
 
 
Equação 66 
 
r) Constante de fase no cabo coaxial 
/
2
rad m
m




 
Equação 67 
 
s) Velocidade de fase no cabo coaxial 
p
r
c
v

 
 
 
Equação 68 
3 Carta de Smith 
 
83. Para uma impedância característica de linha igual a 50 
ohms, localize e determine utilizando a carta de Smith: 
a) a impedância Za = 50 + j100 ohms; 
b) a impedância Za*. Compare com o valor obtido pelo 
cálculo. Comente sobre a exatidão do método gráfico; 
c) a admitância Ya = 1 / Za. Compare com o valor obtido pelo 
cálculo. Comente sobre a exatidão do método gráfico; 
a. a admitância Ya*. Compare com o valor obtido pelo 
cálculo. Comente sobre a exatidão do método gráfico. 
 
84. Para uma impedância característica de linha igual a 50 
ohms e uma impedância de carga igual a 50 + j100 ohms, 
determine utilizando a carta de Smith: 
a) o coeficiente de reflexão de tensão. Compare com o valor 
obtido pelo cálculo. Comente sobre a exatidão do método 
gráfico; 
b) a Taxa de Onda Estacionária de tensão, VSWR. Compare 
com o valor obtido pelo cálculo. Comente sobre a exatidão do 
método gráfico; 
c) a Perda de Retorno. Compare com o valor obtido pelo 
cálculo. Comente sobre a exatidão do método gráfico. 
 
85. Uma carga é modelada por um resistor de 100 ohms em 
série com um indutor de 31,83 nH em 500 MHz. Determine: 
a) a impedância da carga; 
b) a impedância normalizada da carga para uma impedância 
característica de 50 ohms; 
c) o coeficiente de reflexão para esta carga; 
d) a taxa de onda estacionária para esta carga. 
 
86. Uma carga é modelada por uma resistor de 100 ohms em 
série com um capacitor de 3,183 pF em 500 MHz. Determine: 
a) a impedância da carga; 
b) a impedância normalizada da carga para uma impedância 
característica de 50 ohms; 
c) o coeficiente de reflexão para esta carga; 
d) a taxa de onda estacionária para esta carga. 
 
87. Uma carga é modelada por um resistor de 100 ohms em 
paralelo com um capacitor de 3,183 pF em 500 MHz. 
Determine: 
a) a impedância da carga; 
b) a impedância normalizada da carga para uma impedância 
característica de 50 ohms; 
c) o coeficiente de reflexão para esta carga; 
d) a taxa de onda estacionária para esta carga. 
 
Campos e Ondas 25 de 31 
 
 
 
88. Determine a impedância refletida por um curto circuito 
nas condições dadas a seguir. Considere a impedância 
característica da linha igual a 50 ohms e a linha sem perdas. 
a) 0,1 λ da carga; 
b) 0,25 λ da carga; 
c) 0,33 λ da carga; 
d) 0,5 λ da carga; 
e) 0,8 λ da carga; 
f) 1 λ da carga. 
 
89. Determine a impedância refletida por um circuito aberto 
nas condições dadas a seguir. Considere a impedância 
característica da linha igual a 50 ohms e a linha sem perdas. 
a) 0,1 λ da carga; 
b) 0,25 λ da carga; 
c) 0,33 λ da carga; 
d) 0,5 λ da carga; 
e) 0,8 λ da carga; 
f) 1 λ da carga. 
 
90. A impedância normalizada refletida por um curto circuito 
em uma linha é +j2,5 ohms. Considerando-se uma impedância 
característica de 50 ohms e a linha sem perdas determine a 
distância mínima até o curto circuito. Considere a frequência 
de operação igual a 500 MHz e a velocidade relativa na linha 
igual a 65%. 
 
91. A impedância normalizada refletida por um curto circuito 
em uma linha é −j2,5 ohms. Considerando-se uma impedância 
característica de 50 ohms e a linha sem perdas determine a 
distância mínima até o curto circuito. Considere a frequência 
de operação igual a 500 MHz e a velocidade relativa na linha 
igual a 65%. 
 
92. Medidas realizadas em uma linha fendida cujo dielétrico 
é o ar indicaram um valor máximo de tensão igual a 3 volts e 
um valor mínimo de tensão igual a 1 volt. Determine a taxa de 
onda estacionária de tensão. 
 
93. Medidas realizadas em uma linha fendida cujo dielétrico 
é o ar indicaram um valor máximo de tensão igual a 3 volts e 
um valor mínimo de tensão igual a 1 volt. Considerando-se 
que a distância entre dois mínimos consecutivos é de 10 cm, 
determine: 
a) a frequência de operação da linha; 
b) a impedância de carga. 
 
94. O dielétrico de uma determinada linha de transmissão 
coaxial é o polietileno. Determine o comprimento mínimo de 
uma linha sem perdas cuja impedância característica é 50 
ohms para que um curto reflita um circuito aberto. Considere 
a frequência de operação igual a 500 MHz. 
 
95. O dielétrico de uma determinada linha de transmissão 
coaxial é o polietileno. Determine o comprimento mínimo de 
uma linha sem perdas cuja impedância característica é 50 
ohms para que um circuito aberto reflita um curto. Considere 
a frequência de operação igual a 500 MHz. 
 
96. O dielétrico de uma determinada linha de transmissão 
coaxial é o polietileno. Determine o comprimento mínimo de 
uma linha sem perdas cuja impedância característica é 50 
ohms para que um curto reflita um circuito LC paralelo 
equivalente na ressonância. Considere a frequência de 
operação igual a 500 MHz. 
 
97. O dielétrico de uma determinada linha de transmissão 
coaxial é o polietileno. Determine o comprimento mínimo de 
uma linha sem perdas cuja impedância característica é 50 
ohms para que um circuito abertoreflita um circuito LC série 
equivalente na ressonância. Considere a frequência de 
operação igual a 500 MHz. 
 
98. Uma impedância de 25+j100 ohms é aplicada a uma 
linha de transmissão cuja impedância característica é 50 
Campos e Ondas 26 de 31 
 
 
 
ohms. Considere a frequência de operação igual a 500 MHz. 
Determine: 
a) a impedância refletida a 0,15 λ da carga; 
b) o coeficiente de reflexão nesse ponto; 
c) o Coeficiente de Onda Estacionária de tensão nesse ponto; 
d) a distância até o primeiro máximo de tensão; 
e) a distância até o primeiro mínimo de tensão. 
 
99. Em uma determinada linha de transmissão sem perdas, 
de 30 metros de comprimento, com impedância característica 
de 50 ohms e operando em 2 MHz é terminada por uma carga 
ZL = 60 + j40 ohms. Se a velocidade de propagação relativa na 
linha é de 60%, determine: 
a) o coeficiente de reflexão na carga; 
b) a Relação de Onda Estacionária de tensão na carga; 
c) a perda de transmissão na carga; 
d) a perda de retorno na carga; 
e) a impedância de entrada refletida na entrada da linha de 
transmissão; 
f) a impedância refletida na entrada da linha; 
g) o coeficiente de reflexão na entrada da linha; 
h) a taxa de onda estacionária na entrada da linha; 
i) a perda de transmissão na entrada da linha; 
j) a perda de retorno na entrada da linha; 
k) a distância da carga até o primeiro máximo de tensão; 
l) a distância da carga até o primeiro mínimo de tensão. 
m) A corrente na entrada da linha supondo um gerador com 
valor de pico de 2,5 volts e fase relativa zero. [Sadiku] 
 
100. Uma antena é modelada por em 900 MHz por um 
resistor de 47 ohms em paralelo com 12 pF e ligada a um cabo 
coaxial com 5 metros de comprimento, cuja impedância 
característica é 50 ohms e dielétrico polietileno. Determine: 
a) o coeficiente de reflexão na antena; 
b) a perda de transmissão na antena; 
c) a perda de retorno na antena; 
d) a taxa de onda estacionária na antena; 
e) a impedância refletida na extremidade oposta da antena; 
f) o coeficiente de reflexão na extremidades oposta da 
antena; 
g) a taxa de onda estacionária na extremidade oposta da 
antena; 
h) a perda de transmissão na extremidade oposta da antena; 
i) a perda de retorno na extremidade oposta da antena; 
j) a distância da antena até o primeiro mínimo de tensão na 
linha de transmissão; 
k) a distância da antena até o primeiro máximo de tensão na 
linha de transmissão. 
 
101. Projete uma estrutura de casamento para adaptar uma 
carga de 25+j100 ohms para uma linha de transmissão com 50 
ohms de impedância característica e obter-se um coeficiente 
de reflexão teórico igual a zero, na frequência de 900 MHz. 
 
 
 
4 Guias e Cavidades de microondas 
 
102. Um guia de onda retangular com lado 2b e um guia de 
onda circular de diâmetro 2r apresentam a mesma área da 
seção reta. Caso o comprimento de onda de corte do guia de 
onda retangular seja 4b, determine o comprimento de onda 
do guia circular. (REA) 
 
103. Determine a frequência de corte do primeiro modo de 
ordem mais elevada para uma linha coaxial de 50 ohms com 
dielétrico a ar e cujo condutor interno apresenta um raio de 2 
mm. (REA) 
 
104. Determine as primeiras quatro frequências de corte 
relativas a frequência de corte do modo dominante para os 
três seguintes casos de guias de onda retangulares: b/a = 1; 
b/a = ½ e b/a = 1/3. Considerando-se a = 3 cm determine os 
modos de propagação para f = 9 GHz. (REA) 
 
Campos e Ondas 27 de 31 
 
 
 
105. Determine o comprimento de onda e a frequência de 
corte para os modos TE11 e TE10 para um guia de onda 
retangular com largura e altura iguais a “a” e “b”, 
respectivamente. Qual é o significado do TE10? (REA) 
 
106. Um guia de onda retangular com dielétrico ar apresenta 
dimensões 10 cm e 6 cm. Determine as frequências de corte 
pra os modos TM10, TM20, TM11 e TM21. (REA) 
 
107. Uma cavidade de ressonância retangular apresenta o ar 
como dielétrico e dimensões 4 x 2 x 4 cm. Determine as três 
frequências mais baixas de oscilação e especifique os modos 
de oscilação. (REA) 
 
108. Projete um guia de onda retangular com dielétrico ar, 
para operação em 12 GHz, no modo TE10 com 25% de fator de 
segurança. Ou seja, requer-se que o modo com a próxima 
frequência de corte superior opere a 25% abaixo de sua 
frequência de corte. (REA) 
 
109. Determine todos os modos que podem ser transmitidos 
em um guia de onda retangular cujas dimensões são 4x2 cm, 
com dielétrico ar. Suponha que o guia é excitado a 3 GHz e 6 
GHz. (REA) 
 
110. Um guia de onda retangular com dimensões a = 2,5 cm e 
b = 1 cm deve operar abaixo de 15,1 GHz. Quantos modos TE 
e TM podem ser transmitidos pelo guia se o mesmo é 
preenchido com um meio caracterizado por σ = 0, ε = 4ε0, μr= 
1? Calcule as frequências de corte dos modos. [Sadiku] 
 
111. Em um guia de onda retangular, para o qual a = 1,5 cm, b 
= 0,8 cm, σ = 0, μ = μ0 e ε = 4ε0, o campo magnético é dado 
por: 
mAztsen
b
y
a
x
senH x /)10(
3
cos2 11  












Determine: 
a) o modo de operação; 
b) a frequência de corte; 
c) a constante de fase β; 
d) a constante de propagação γ; 
e) a impedância intrínseca da onda, η. [Sadiku] 
 
112. Um guia de onda padrão, contendo ar e de dimensões a 
= 8,636 cm e b = 4,318 cm, é alimentado por um cabo coaxial 
com uma portadora de 4 GHz. Determine se o modo TE10 irá 
se propagar. Se este for o caso, calcule a velocidade de fase e 
a velocidade de grupo. [Sadiku] 
 
Equações aplicáveis 
 
a) Guia de Onda Retangular (dielétrico ar): 
 
Modo TE TE/TM Modo TM 
mn
o
mn
kZ
Zh
,
0
, 


 - 
- 
o
mn
mn
k
Z
Ze
,0
,


 
 
22
, 












b
m
a
n
kc mn

 
 
2
,,
2
, mneomn kk 
 
 
22
,
2













b
m
a
n
c mn
 
 
o
ok

2

 
 
 
22
,
2













b
m
a
nc
fc mn
 
 
 
1
2
,
, 






f
fc
c
mn
mn


 
 
 
ko >kcm,n: o modo se propaga 
ko < kcm,n: o modo decai rapidamente 
 
O modo mais baixo de propagação TE é o TE1,0 
Campos e Ondas 28 de 31 
 
 
 
O modo mais baixo de propagação TM é o TM1,1 
 
 
b) Guia de Onda circular: 
 
Valores de pn m para modos TM 
n pn1 pn2 pn3 
0 2,405 5,520 8,654 
1 3,832 7,016 10,174 
2 5,135 8,417 11,620 
 
 
Comprimento de onda de corte para modo TM: 
 
mn
mnTMc
p
a

 2,,
 
Equação 69 
Onde “a” é o raio do guia de onda (em metros) 
 
Valores de p’n m para modos TE 
 
n p’n1 p’n2 p’n3 
0 3,832 7,016 10,174 
1 1,841 5,331 8,536 
2 3,054 6,706 9,970 
 
Comprimento de onda de corte para modo TE: 
mn
mnTEc
p
a
'
2
,,



 
Equação 70 
 
Cavidades de Micro ondas (dielétrico ar): 
c) Cavidade Retangular 
 
 
 
22
2
, 












b
m
a
n
komn

 
Equação 71 
 
222
,, 


















a
n
b
m
d
l
k lmn
 
Equação 72 
 
222
,,
222



















a
n
b
m
d
l
cf lmn
 
Equação 73 
 
d) Cavidade Cilíndrica 
O modo mais baixo é o TE111.