1498584_Campos e Ondas Cap 3 b - Lei da Gauss rev2019

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Prof. Luciano Bossi - 2019 
CAMPOS E ONDAS
Cap. 3
Densidade de Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência
Referências
(1) Eletromagnetismo – W. Hayt / J. Buck – cap.2
(2) Eletromagnetismo para Engenheiros – Clayton R. Paul – cap. 3
Atenção: Para esta apresentação foi utilizado material retirado do livro indicado acima. Como
trata-se de apresentação resumida, para o completo entendimento do tema o texto completo deve
ser consultado.
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS – PUC-MG
IPUC - CURSO DE ENGENHARIA ELETRÔNICA E DE TELECOMUNICAÇÃO
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O conceito de linhas de fluxo elétrico será introduzido neste capítulo. Apesar de
não ocorrer um fluxo de partículas, a quantidade denominada de fluxo elétrico
será útil para o entendimento dos efeitos associados ao conceito de campo
elétrico.
A Lei de Gauss, além de sua importância conceitual, nos permitirá resolver
problemas que possuem alto grau de simetria com certa facilidade.
A aplicação do teorema da divergência a problemas de eletromagnetismo nos
permitirá simplificar a análise de alguns deles.
Densidade de Fluxo Elétrico, Lei de 
Gauss e Divergência
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Densidade de fluxo elétrico
Michael Faraday, em torno de 1837, fez um experimento com duas cascas
esféricas concêntricas isoladas, concluindo pela existência de um fluxo elétrico de
deslocamento (displacement).
a) Introduziu uma carga conhecida na esfera menor;
b) Montou a casca esférica maior em torno da esfera menor, com um
material dielétrico no espaço entre elas;
c) Ligou instantaneamente a casca esférica externa ao terra;
d) Desmontou o conjunto cuidadosamente e mediu a carga na casca
esférica externa;
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Faraday fez o experimento com vários materiais dielétricos diferentes entre as
duas esferas e concluiu que a carga medida na esfera maior ao final de cada
experimento era sempre a mesma: igual em módulo à carga que estava
depositada na esfera interna, mas de sinal contrário.
Ele concluiu que ocorria uma espécie de deslocamento de cargas (displacement)
entre esfera de dentro e a esfera de fora, independente do meio entre elas.
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Densidade de fluxo elétrico
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Nos experimentos Faraday concluiu que existia uma proporcionalidade entre a
carga total depositada na esfera interna e a carga que era deslocada para a esfera
externa. Com as medições ele concluiu que a constante de proporcionalidade era
igual a 1 (no sistema SI).
Definindo como  o fluxo elétrico, podemos escrever que:  = Q. Assim, o fluxo
elétrico é também medido em Coulomb.
Para obter resultados quantitativos, vamos considerar que a esfera interna tem
raio “a” e a casca esfera externa tem raio “b”. É depositada uma carga +Q na
esfera interna e uma carga –Q na esfera externa (ver figura 3.1).
Podemos visualizar o caminho das linhas de fluxo  entre as duas esferas.
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Densidade de fluxo elétrico
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Como a área da superfície da esfera interna é igual a 4a2, podemos então
considerar que a densidade de cargas na superfície da esfera interna (distribuição
uniforme de cargas) é igual a Q/4a2 (C/m2).
Define-se como densidade de fluxo elétrico D (displacement density), um vetor
indicando a quantidade e sentido das linhas de fluxo por metro quadrado.
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Densidade de fluxo elétrico
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O vetor D tem o sentido das linhas de fluxo em cada ponto e nos dá a densidade
de linhas de fluxo por metro quadrado, ou seja, a intensidade de fluxo elétrico no
ponto.
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Densidade de fluxo elétrico
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Considerando uma carga pontual, a uma distância radial “r” dessa carga,
teríamos a densidade de fluxo elétrico igual a:
A intensidade de campo elétrico, no mesmo ponto e no espaço livre, é dada
por:
Então podemos concluir que, no espaço livre temos a relação:
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Densidade de fluxo elétrico
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A relação entre a intensidade de campo elétrico E e a densidade de fluxo
elétrico D é válida qualquer que seja a distribuição de cargas. Para uma
distribuição genérica de cargas, com densidade volumétrica de cargas v:
Válido somente no espaço livre.
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Densidade de fluxo elétrico
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Letra a) Trata-se de uma superfície esférica com dimensão de 1/8 de uma esfera inteira.
O fluxo que passa por esta parte então é igual à 1/8 do fluxo total de uma esfera, que tem
o mesmo valor da carga envolvida.
Letra b) Trata-se de um cilindro fechado, lateral cilíndrica e tampas inferior e superior
planas. Todas as linhas de fluxo produzidas pela carga atravessam a superfície fechada em
alguma parte. Então o fluxo total é igual à carga envolvida.
Letra c) Trata-se de uma superfície plana afastada 26 cm da carga. Para uma superfície de 
dimensões infinitas, metade do fluxo produzido pela carga a atravessaria.
Exercício proposto:
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Exercício proposto:
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Densidade de fluxo elétrico
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Lei de Gauss
Os resultados dos experimentos de Faraday com as esferas concêntricas podem
ser resumidos como uma lei experimental que estabelece que o fluxo elétrico
que passa por uma região esférica imaginária que fica entre as duas esferas é
igual à carga envolvida pela superfície esférica fechada.
No experimento, a carga envolvida pode ser a carga total distribuída na casca da
esfera interna ou uma carga pontual colocada no centro da esfera.
Entretanto, o fluxo elétrico total produzido por uma carga Q independe do
formato da região onde ele está distribuído, portanto os resultados dos
experimentos de Faraday são válidos qualquer que seja a distribuição de cargas
no interior da região fechada.
É claro que a orientação e a distribuição das linhas de fluxo elétrico irão
depender da forma com que as cargas estão distribuídas, mas o fluxo total não
dependerá.
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A generalização dos resultados dos experimentos de Faraday produz o que
conhecemos com Lei de Gauss:
“O fluxo elétrico que passa através de qualquer superfície
fechada é igual à carga total envolvida por tal superfície”.
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Lei de Gauss
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Lei de Gauss
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O vetor D ganha o subscrito “S” para lembrar que é o seu valor na superfície S,
uma vez que ele pode mudar de valor com a posição.
Observe que o produto escalar entre DS e o vetor unitário de superfície dS nos dá
a projeção de DS na direção perpendicular à superfície, ou seja, a componente de
DS que atravessa a superfície naquele ponto. Assim temos o fluxo que atravessa a
superfície naquela região.
Tomando a integral por toda a superfície fechada, teremos o fluxo total que
atravessa aquela superfície.
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Lei de Gauss
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O fluxo elétrico total que atravessa a superfície fechada é igual à carga
envolvida. A Lei de Gauss pode ser aplicada a qualquer superfície fechada, à
escolha do usuário. Tal superfície é denominada de Superfície Gaussiana.
Se o resultado da integral for positivo indica um fluxo para fora; se for
negativo será um fluxo para dentro. A carga total envolvida pode ser
generalizada por:
A Lei de Gauss pode ser escrita na forma:
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Lei de Gauss
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Para ilustrar a aplicação da Lei de Gauss, vamos analisar os resultados ao redor
de uma carga pontual Q. A intensidade de campo elétrico E ao redor de uma
carga pontual Q colocada na origem do sistema de coordenadas esféricas é
dada por:
Utilizando a relação entre E e D, temos que:
Escolhemos uma superfície Gaussiana na forma de uma casca esférica, com a
carga no seu centro. Então, na superfície de uma casca esférica imaginária de
raio “a”, temos que:
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Exemplo de aplicação da Lei de Gauss em uma casca esférica imaginária de
raio “a”, ao redor de uma carga pontual Q:
O fluxo total que atravessa a superfície fechada é igual à carga envolvida Q.
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Lei de Gauss
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a) Utilizamos a relação entre E e D. O campo não depende de  e de 
b) A carga total na esfera é igual ao fluxo em r=3.
c) O fluxo que deixa a esfera em r=4 é igual à carga envolvida.
Exercício proposto:
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Lei de Gauss
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a) O fluxo total deixando uma superfície fechada é igual à carga líquida 
envolvida, independente da posição das cargas;
b) Determine a carga total no trecho de linha que está dentro da superfície 
cúbica fechada;
c) Determine a carga total no plano de cargas que está dentro da superfície 
cúbica fechada. O plano é inclinado. Determine a área do plano que corta 
a superfície e está dentro dele;
Exercício proposto:
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Lei de Gauss
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Vamos utilizar a Lei de Gauss para determinar a expressão de DS para algumas
situações onde a distribuição de cargas é simétrica e uniforme.
Observe que a quantidade procurada (DS) está dentro do sinal de integral e é uma
quantidade vetorial.
Assim, somente conseguiremos utilizar a Lei de Gauss para obter a expressão
desejada para algumas situações onde a simetria do problema permitir que
façamos algumas simplificações antes de aplicar a Lei de Gauss. As simplificações
serão feitas a partir decisões tomadas a partir da aplicação Lei de Coulomb
(qualitativamente) na situação analisada.
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Aplicações da Lei de Gauss para distribuições simétricas de cargas 
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A Lei de Gauss nos dá liberdade para escolher a superfície fechada de integração.
A solução do problema ficará fácil se conseguirmos escolher uma região de
integração (superfície gaussiana) que traga duas situações:
a) O vetor DS, densidade de fluxo elétrico na superfície da região fechada, é
tangente ou normal à superfície em todos os pontos. Se for tangente, então a
projeção DS.dS será nula. Se for normal, então DS.dS será um escalar DSdS;
b) O módulo do vetor DS é constante em todos os pontos da superfície fechada
onde DS.dS não é nulo.
Com as duas hipóteses atendidas, podemos tirar DS de dentro do sinal de
integral, que tornará o problema de solução trivial. O vetor DS procurado será
igual à carga total Q dividida pela área da superfície fechada escolhida, na direção
dada pelo unitário de superfície dS.
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Aplicações da Lei de Gauss para distribuições simétricas de cargas 
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Para exemplificar, vamos aplicar o exposto ao redor de uma carga pontual Q.
Devido à simetria do problema, escolhemos uma superfície esférica de raio r,
ao redor da carga pontual, e escolhemos o sistema de coordenadas esféricas.
Com estas escolhas temos atendidas as duas hipóteses: DS é normal à
superfície fechada em todos os pontos e, para o mesmo valor de r, é constante
em módulo. Deste modo, temos:
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Aplicações da Lei de Gauss para distribuições simétricas de cargas 
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Assim, temos que:
Como o vetor DS deve estar na mesma direção do unitário dS:
No exemplo mostrado pode ser observado que a escolha da superfície de
integração (superfície Gaussiana) foi essencial para simplificar o problema. Se
tivéssemos escolhido uma superfície quadrada o vetor DS não seria nem
constante nem normal nem tangente à superfície, impedindo o procedimento.
O sistema de coordenadas escolhido também foi fundamental nas
simplificações e tem a ver com a simetria do problema.
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Como um segundo exemplo, vamos analisar a intensidade de campo elétrico
ao redor de uma linha infinita de cargas, com distribuição uniforme de cargas
dada por L . Por razões de simetria, escolhemos o sistema de coordenadas
cilíndricas.
A aplicação da Lei de Gauss na solução do problema depende da simetria. Se
nós não conseguirmos mostrar que a simetria existe, não podemos utilizar a Lei
de Gauss para buscar a solução do problema.
É necessário verificar se as duas premissas são atendidas:
a) O vetor DS, densidade de fluxo elétrico na superfície da região fechada, é
tangente ou normal à superfície em todos os pontos;
b) O módulo do vetor DS é constante em todos os pontos da superfície fechada
onde DS.dS não é nulo.
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Aplicações da Lei de Gauss para distribuições simétricas de cargas 
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Para verificar se o sistema de coordenadas escolhido nos dá a simetria
desejada, fazemos as duas perguntas:
(1) Com quais coordenadas o campo não deve variar ?
(2) Quais as componentes de campo não estão presentes ?
As respostas a estas duas questões nos informarão quais componentes de
campo estarão presentes e com quais coordenadas elas vão variar. Aí podemos
avaliar se a simetria obtida é suficiente para aplicarmos a Lei de Gauss.
• Para responder à pergunta (1) fazemos a análise de cada variável do sistema de
coordenadas separadamente.
• Para responder a pergunta (2) fazemos a análise de cada componente de campo no
sistema de coordenadas escolhido, com a Lei de Coulomb em mente.
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Aplicações da Lei de Gauss para distribuições simétricas de cargas 
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Para a análise, fazemos uso de uma carga de teste positiva imaginária, a colocamos ao redor da
distribuição de cargas a ser analisada e usamos a Lei de Coulomb (qualitativamente).
(1) Com quais coordenadas o campo não deve variar ?
• Mantendo  e  constantes e variando z, notamos que o problema não se altera
pois a linha é infinita em z o problema não depende da variável z;
• Mantendo z e  constantes e variando , notamos que o problema se altera pois
estamos mudando a distância até a fonte de campo  o problema deve depender
da variável ;
• Mantendo  e z constantes e variando, notamos que o problema não se altera
pois a linha de cargas é vista da mesma forma qualquer que seja o ângulo   o
problema não depende da variável  ;
Concluímos que o campo elétrico somente deve variar com a coordenada .
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(2) Quais as componentes de campo não estão presentes ?
• Analisando a componente D , notamos que as cargas distribuídas ao longo da
linha de cargas podem excitar esta componente, então ela deve estar presente;
• Analisando a componente D , notamos que as cargas distribuídas ao longo da
linha de cargas não conseguem excitar esta componente, então ela deve não vai
estar presente;
• Analisando a componente Dz , notamos que as cargas distribuídas ao longo da linha
de cargas podem excitar esta componente mas, devido à simetria e a linha ser
infinita em z, as componentes simétricas se anulam, então ela não deve estar
presente;
 Desta forma, o campo D procurado terá somente a componente D .
 A componente D variará somente com a coordenada .
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Aplicações da Lei de Gauss para distribuições simétricas de cargas 
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Escolhendo um cilindro de altura “L” centrado na linha de cargas, como mostrado na
figura 3.4, teremos:
• Na superfície lateral do cilindro o campo DS procurado será paralelo ao vetor unitário
de superfície dS, então DS.dS pode ser representado somente pelo produto simples
de dois escalares DSdS.
• Nas tampas superior e inferior do cilindro o campo DS será perpendicular ao vetor
unitário de superfície dS, então DS.dS será nulo nessas regiões.
• Na superfície lateral do cilindro, todos os pontos estão à mesma distância  da linha
de cargas, então DS será constante em toda a superfície (depende somente de  );
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Aplicando a Lei de Gauss, teremos:
Obtendo que:
A carga total envolvida pela superfície cilíndrica é dada por:
Por fim, temos que:
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O resultado é o mesmo que tivemos com a resolução do problema aplicando a Lei de
Coulomb diretamente (cap.2).
A análise detalhada da situação e a aplicação da Lei de Gauss tornaram o trabalho de
cálculo muito mais simples aqui. Sem a simetria proporcionada pela escolha do sistema
de coordenadas cilíndricas não seria possível a solução pela aplicação da Lei de Gauss.
Vamos estender a análise para a situação de um cabo coaxial de comprimento
infinitamente grande, onde temos dois condutores cilíndricos concêntricos. O condutor
interno tem raio “a” e o condutor externo tem raio “b” e espessura da parede
desprezível. A região entre os dois condutores é preenchida com “ar” (ver figura 3.5).
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Vamos assumir que a carga no condutor interno está toda na superfície do condutor e
está distribuída de forma uniforme, com densidade superficial de cargas igual a s.
As considerações sobre a simetria do problema nos levam a concluir que existirá somente
a componente de campo D e ela somente irá depender da coordenada  .
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Vamos também considerar que no condutor externo está depositada a mesma
quantidade de cargas que existe no condutor interno, porém com sinal contrário.
A análise é a mesma feita para um condutor cilíndrico, utilizando o sistema de
coordenadas cilíndricas, entretanto temos 3 regiões distintas:
(a) Região dentro do condutor interno, com  < a ;
(b) Região entre os dois condutores, com a <  < b ;
(c) Região externa ao cabo, com  > b .
Para a região dentro do condutor interno, com a superfície gaussiana tendo  < a ,
nenhuma carga existirá dentro da região, então a carga total envolvida será nula. Então
concluímos que:
para  < a 
para  < a 
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Para a região entre os dois condutores, com a superfície gaussiana a <  < b ;
Nessa região a carga total envolvida é a carga total no trecho de comprimento L do
condutor interno:
Aplicando a Lei de Gauss na região escolhida, para a <  < b , obtemos que:
Então concluímos que:
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A solução obtida está em função da distribuição superficial de cargas no condutor
interno, dada por S :
A carga total contida no condutor externo (outer cyl) é igual à carga no condutor interno
(inner cyl), de sinal contrário, então:
Assim teremos a seguinte relação:
A relação entre a densidade superficial de cargas no condutor interno e a densidade
linear de carga é dada por:
Então podemos colocar o resultado na forma:
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Para a região externa ao cabo, com a superfície gaussiana tendo  > b , a carga total
envolvida será composta pela carga do condutor interno e pela carga do condutor
externo no trecho L, que são iguais e de sinal contrário, então a carga total envolvida será
nula. Assim concluímos que:
para  > b 
para  > b 
Os resultados nos levam a concluir que em um cabo coaxial ou em um capacitor coaxial
não existe campo elétrico externo e que também não existe campo no interior do
condutor interno, com toda a energia sendo armazenada no espaço entre os dois
condutores (assunto será novamente avaliado no cap. 5).
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Exemplo (cabo coaxial):
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Exemplo (cabo coaxial):
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Exercício proposto:
O problema está colocado em sistema de coordenadas esféricas. Uma carga pontual está
colocada na origem e duas superfícies de carga (cascas esféricas condutoras) em r = 1cm
e em r = 1,8 cm.
O fluxo elétrico total em cada posição solicitada é igual à carga envolvida e a densidade
de fluxo é igual ao fluxo total dividido pela área da superfície esférica: Área = 4  r2 m2
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TEOREMA DA DIVERGÊNCIA
Elemento diferencial de volume
Divergência
Lei de Gauss
Teorema da divergência
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Elemento diferencial de volume
Vamos analisar a variaçãoda densidade de fluxo elétrico ao redor de um ponto no
espaço. No ponto P, a densidade de fluxo é igual a:
Vamos considerar um pequeno volume ao redor do ponto P, sendo um cubo com lados
medindo x , y e z e vamos aplicar a Lei de Gauss:
Veja a figura 3.6, a seguir.
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Elemento diferencial de volume
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Para avaliar a integral de superfície no volume fechado em forma de um cubo, podemos
separar a integral em 6 partes, uma para cada face do cubo:
Vamos considerar a primeira parcela da integral (face frontal) com a área yz na direção
âx e que o volume é infinitesimal, assim podemos aproximar o produto escalar por:
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Elemento diferencial de volume
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Agora temos que considerar a variação da componente Dx pelo deslocamento de uma
distância igual a x/2 desde o ponto P.
Onde é a taxa de variação da componente Dx com a distância na direção âx.
A integral ao longo da face frontal então é dada por:
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Elemento diferencial de volume
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Na face de trás, a análise é semelhante, mas com o deslocamento de uma distância igual
a -x/2 desde o ponto P e o unitário de superfície apontando na direção – âx.
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Elemento diferencial de volume
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Combinando as duas integrais (face da frente e face de trás), temos:
A análise semelhante para as duas faces laterais (direita e esquerda), nos dará:
Finalmente, a análise para as faces de cima e de baixo, nos dará:
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Elemento diferencial de volume
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Combinando os três resultados, temos a solução aproximada para a integral:
Que pode ser escrita como:
A Lei de Gauss foi aplicada em um volume incremental v , que nos deu o resultado:
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Divergência
Vamos analisar a expressão obtida em torno de um volume incremental, agora com um
tamanho infinitesimal ( v 0 ):
Podemos utilizar a definição da densidade volumétrica de cargas v:
Temos 2 informações distintas nas igualdades, que vamos tratar separadamente:
e
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A expressão obtida pode ser utilizada para avaliar qualquer função vetorial A que varia
com a posição, ao redor de um ponto.
Esta operação é denominada de Divergência do vetor.
A divergência de um densidade de fluxo vetorial A é igual ao fluxo que sai de uma
superfície fechada pequena quando seu volume tende a zero.
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Divergência
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Podemos calcular o Divergente de D (div D) nos sistemas de coordenadas específicos. O
resultado da operação é um escalar que nos informa a quantidade de fluxo por unidade de
volume que sai de um pequeno volume fechado:
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Divergência
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Consolidando o que foi exposto nas duas últimas seções, vamos interpretar a operação
de divergência aplicada na densidade de fluxo elétrico.
De forma literal: “O fluxo elétrico por unidade de volume que deixa uma superfície
fechada infinitesimal é igual à densidade volumétrica de cargas naquele ponto”.
Denominado de forma pontual da Lei de Gauss ou primeira Equação de Maxwell
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Divergência
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O Teorema da Divergência
Vamos utilizar o operador vetorial “nabla” (ou simplesmente) “del” indicado pelo
símbolo :
Fazemos o produto escalar do operador vetorial  com o vetor D , em coordenadas
retangulares:
Que resulta em:
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Vamos verificar as relações obtidas, partindo da Lei de Gauss:
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O Teorema da Divergência
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A relação é denominada de Teorema da Divergência:
Teorema da Divergência:
“A integral da componente normal de qualquer função vetorial sobre
uma superfície fechada é igual à integral do divergente dessa função
vetorial através do volume definido pela superfície fechada”.
Observe que relaciona uma integral tripla (em um volume) com a integral dupla (sobre
a superfície fechada) definida pelo mesmo volume.
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O Teorema da Divergência
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Exemplo de aplicação. Vamos resolver o exemplo a seguir duas vezes sendo cada vez
pela aplicação de um dos lados do Teorema da Divergência:
Primeiro: fazendo a integral de superfície fechada de D.dS
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O Teorema da Divergência
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Primeiro: fazendo a integral de superfície fechada de D.dS (continuação)
O fluxo elétrico líquido que sai da superfície fechada é igual a 12 C.
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O Teorema da Divergência
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Segundo: Fazendo o outro lado do teorema da divergência: Integral de volume do
divergente de D
A carga total envolvida no volume é de 12 C.
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Campos e Ondas
O Teorema da Divergência
Prof. Luciano Bossi - 2019
Exercício proposto: Avaliar ambos os lados do teorema da divergência.
Observe que trata-se de uma superfície cilíndrica de raio =2 (constante), o ângulo 
de 0 a  (meio cilindro) e altura em z igual 5 (de 0 a 5). Use sistema de coordenadas
cilíndricas.
A integral de superfície vai dar muito mais trabalho. São 5 superfícies: tampa superior
(unitário âz), tampa inferior (unitário -âz), lateral cilíndrica (unitário â) e a parte reta do
corte do cilindro que deve ser considerada em 2 metades devido à orientação do vetor
unitário: em  =0 o unitário é -â e em  = o unitário é +â .
Na integral de volume é mais simples, utilizar o unitário de volume em coordenadas
cilíndricas dv =  d d dz
IPUC – Engenharia Eletrônica e de Telecomunicação
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O Teorema da Divergência