Calculo do pu

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Aula 18 
Modelo pu para 
transformadores com 
tap fora do nominal
Tap 
•Pode-se variar a relação entre as espiras de 
um transformador quando se deseja controlar a 
tensão em um dos terminais.
•O termo utilizado para nomear a tomada para
variar a relação de espiras é “tap” do 
transformador;
•O tap pode ser variado manual ou 
automaticamente. 
•No caso de variação automática a tensão num 
dos terminais é comparada a uma referência e 
o erro é utilizado para gerar um sinal que 
corrige a posição do tap. 
•Caso o tap do transformador não esteja na 
posição nominal a relação de transformação 
deve ser representada
• Considere o transformador com “tap” fora do 
nominal. Caso ocorra mudança de “tap” tal 
que: 
222 ∆NNN +→
• A nova relação de transformação: 
22
1´
∆NN
N
a
+
→
Modelo pu para transformadores 
com tap fora da nominal
• Transformando em p.u.:
• No caso de “tap” fora da nominal, o “tap” relativo, 
não necessáriamente unitário, variando normalmente 
de 0,9 a 1,1. No modelo referido ao secundário, a 
impedância em p.u. é a medida através do ensaio de 
curto no secundário.
upZupZ .1. 2
2
1 





=
α
• No caso de “tap” fora da nominal, o “tap” relativo, 
deve ser representado no modelo para fluxo de carga, 
já que as impedâncias vistas do secundário e primário 
em p.u. não são idênticas. No modelo deve constar a 
impedância visto de um dos lados e a posição do 
“tap”.
Exemplo
Considere um transformador de tap variável, 
100 MVA, 220/69 kV, x = 8 %. O 
comutador de tap está no lado de baixa e tem 
20 posições, com tap variando de ± 5 %. 
Representar o transformador em p.u, quando 
o tap está na posição + 2. Considere os 
valores de base: Sb = 100 MVA, 
Vb1 = 220 kV, Vb2 = 69 kV.
Solução
De acordo com as especificações do comutador de 
tap:
Posição central – tap nominal;
10 posições para variação de + 5 % – cada posição 
equivale a +0,5%;
O comutador está na posição 2: corresponde a uma 
variação no número de espiras de 1%.
01,0
2
2
==
∆
t
N
N 01,11 =+= tα
Os circuitos em p.u nas bases apresentadas ficam:
Note que as impedâncias referidas são diferentes.
Fluxo de potência de 
transformador 
monofásico
Vamos obter o fluxo de potência ativa e 
reativa através do transformador monofásico 
em função do estado das barras terminais do 
transformador. 
Iremos representar o transformador em p.u. e 
incluir o tap.
Esta representação pode ser estendida para o 
transformador trifásico porque trabalhamos 
somente com o circuito de seqüência positiva 
(sistema em regime permanente).
Os parâmetros são :
•Tap relativo (também chamado de off-set) em 
p.u.
•Impedância de dispersão em p.u.
 
1 : akm 
Qfm 
Pkm
Ek m
 
Em k
 
Pfm 
Qkm
rkm + j xkm f
 
Parâmetros em p.u. do 
transformador
Seja o diagrama simplificado da linha com a 
convenção de sinais adotada apresentado a 
seguir : 
O modelo pi para deduzir as expressões dos 
fluxos de potência ativa e reativa da linha é :
Lembrando do fluxo de potência 
em L.T.
 
Qmk 
Pkm
Ek m
 
Em k
 
Pmk 
Qkm
 
Ikm 
rkm + j xkm 
j ykm
 
Ek m
 
Em k
 
j ykm
 
Vamos obter as potências ativa e reativa da 
linha em função das tensões das barras 
terminais (fasor => amplitude e ângulo).
A impedância série é dada por :
Potência ativa e reativa da linha
kmkm xjr +
Ou, escrevendo através de admitância série :
22
22
kmkm
kmkm
xr
xb
xr
rg
onde
bjgy
km
km
km
km
kmkm
km
ser
+
−
=
+
=
+=
A admitância transversal é dada por : 
2
Yjbjyj
km
derkm
der
km
der ==
Sejam as tensões complexas nas barras 
terminais dadas por :
m
k
j
mm
j
kk
eVE
eVE
θ•
θ•
=
=
A corrente injetada no terminal k tem duas 
componentes e é descrito por :
( )








−++=








−+=+=
••••
••••••
mkkmkmk
der
kmkm
mksekmk
der
km
se
km
der
kmkm
EEjbgE.jbI
sejaou
EEYE.jbIII
A potência complexa injetada no nó k é dada 
por :
*
kmkkkkm I.EQjPS
••−
=+=
Logo 
kmjkkmkm IeVQjP k
•θ−
=−
Lembrando que 
θ=




 θ−piθ=




 θ−pi cos
2
senesen
2
cos
Chegamos a
( ) kmkmmkkmkmmkkmdekm2kkm
kmkmmkkmkmmkkm
2
kkm
cosbVVsengVVbbVQ
senbVVcosgVVgVP
θ+θ−+−=
θ−θ−=
As perdas ativas na linha são dadas por :
Perda somente na resistência série.
E as perdas reativas por :
( )
2
mkkmmkkm
kmmk
2
m
2
kkmmkkm
EE.gPP
ou
cosVV2VVgPP
••
−=+
θ−+=+
Perdas ativa e reativa na linha
( ) ( )
( ) 2mkkmdekm2m2kmkkm
kmmk
2
m
2
kkm
de
km
2
m
2
kmkkm
EE.bbVVQQ
ou
cosVV2VVbbVVQQ
••
−−+−=+
θ−+−+−=+
Perda reativa na reatância série e na 
admitância transversal.
Reparem que a perda reativa na linha tem uma 
parcela devido à perda no elemento 
longitudinal e outra devido ao elemento 
transversal. 
Quando estas parcelas são próximas o 
consumo de reativo da linha tende a zero.
Quando compensamos somente a admitância 
transversal a linha continua consumindo 
reativo devido à reatância longitudinal.
Analisando a perda reativa na 
linha
Expressões semelhantes podem ser deduzidas 
para o transformador.
Entre os nós k e f (fictício) temos um 
transformador ideal com relação de 
transformação 1 : a .
Transformador ideal não tem perda, ou seja, a 
potência que sai é igual à potência injetada.
Entre os nós k e m temos somente a 
impedância de dispersão e podemos aplicar as 
equação da linha omitindo o termo transversal.
Expressão do fluxo de potência 
no transformador
fmkf SS
−−
=
Entre nós f e m .
As condições terminais do transformador ideal 
k f são dadas por :
Substituindo estes valores temos :
Diferenças entre as expressões transformador 
– LT
•Termo transversal
•Tap 
fmkmmffmkmmfkm
2
ffm
fmkmmffmkmmfkm
2
ffm
cosbVVsengVVbVQ
senbVVcosgVVgVP
θ+θ−−=
θ−θ−=
kmfmkf
kmfmkmkf
QQ;
PP;aVV
=θ=θ
==
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) kmkmmkmk
kmkmmkmkkm
2
kmkkm
kmkmmkmk
kmkmmkmkkm
2
kmkkm
cosbVaV
sengVaVbaVQ
senbVaV
cosgVaVgaVP
θ+
θ−−=
θ−
θ−=
O modelo do transformador defasador é 
composto por um transformador ideal com 
relação de transformação complexa e pela 
impedância de dispersão. 
Novamente temos um nó fictício para 
podermos incluir o transformador ideal com a 
defasagem.
Os parâmetros do modelo são :
•Relação de transformação complexa
•Impedância de dispersão em p.u.
Fluxo de potência em 
transformadores defasadores
Entre os nós k e f (fictício) temos um 
transformador ideal com relação de 
transformação 1 : a.ejφφφφkm .
O transformador ideal não tem perda, ou seja, 
a potência que sai é igual à potência injetada.
Entre os nós f e m temos somente a 
impedância de dispersão e podemos aplicar as 
equação da linha omitindo o termo transversal.
 
1 : a ej φφφφkm
 
Qfm 
Pkm
Ek m
 
Em k
 
Pfm 
Qkm
rkm + j xkm f
 
fmkf SS
−−
=
Modelo do transformador 
defasador
Lembrando da equação do fluxo de potência 
na linha
Entre nós f e m .
As condições terminais do transformador ideal 
k f com defasagem são dadas por :
Substituindo estes valores temos :
( ) kmkmmkkmkmmkkmdekm2kkm
kmkmmkkmkmmkkm
2
kkm
cosbVVsengVVbbVQ
senbVVcosgVVgVP
θ+θ−+−=
θ−θ−=
fmkmmffmkmmfkm
2
ffm
fmkmmffmkmmfkm
2
ffm
cosbVVsengVVbVQ
senbVVcosgVVgVP
θ+θ−−=
θ−θ−=
kmfmkmkf
kmfmkmkf
QQ;
PP;aVV
=φ+θ=θ
==
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )kmkmkmmkmk
kmkmkmmkmkkm
2
kmkkm
kmkmkmmkmk
kmkmkmmkmkkm2
kmkkm
cosbVaV
sengVaVbaVQ
senbVaV
cosgVaVgaVP
φ+θ+
φ+θ−−=
φ+θ−
φ+θ−=
Diferenças entre as expressões dos 
transformadores 
•Abertura angular de 
kmkmkm para φ+θθ
Exercício 
Calcular os fluxos de potência ativa e reativa 
num transformador com relação nominal 
de transformação 138 kV/69 kV, com 
reatância de dispersão de 8 % sendo:
1. Abertura angular de 5º , amplitude das 
tensões terminais de 130 kV e 70 kV;
2. Dados iguais a (1) com tap de 1 : 1,10 do 
lado de alta;
3. Dados iguais a (1) com tap de 1 : 1ej30303030°°°°
Verificamos que ao variar-se o tap 
(módulo) atuamos no fluxo de potência 
reativa ;
Ao variarmos a abertura angular entre 
duas barras atuamos na potência ativa.
Tap e defasagem
•Tensão na barra 1 tem ângulo adiantado 
em relação à tensão na barra 2 � fluxo 
de potência de 1 para 2
•Fluxo de potência reativa -> da barra de 
maior amplitude de tensão para a de 
menor amplitude
 588 W 
588 Var 823 Var 
705 W 
N2 N1 0100∠ 
4,47,76 −∠
Exercício já apresentado
Como as linhas de transmissão têm resistência 
muito pequena comparada com a reatância:
R << X � Z ≈ jX
Podemos simplificar as expressões de Pkm 
Como as tensões têm módulo próximo à 
unidade e para pequenas aberturas angulares 
temos :
A máxima potência transmitida ocorreria para 
aberturas angulares próximas de 90°, mas o 
limite prático é bem menor.
A potência máxima a ser transmitida diminui 
com o aumento da reatância da linha, que é
função do seu comprimento.
km
mk
km senX
VVP θ=
Relembrando LT
X
P kmkm
θ
≈
Com R ≈ 0, toda a potência ativa gerada é
entregue em 2
Observando as equações anteriores, para um 
sistema de potência típico em que R/X é
muito pequeno podemos afirmar:
a) Pequenas variações em δ1 e δ2 resultarão 
em grandes variações no fluxo de 
potência ativa, enquanto pequenas 
variações nas tensões não têm influência 
significativas no fluxo de P. Por isto o 
fluxo de potência ativa é controlado 
principalmente pela diferença entre os 
ângulos elétricos das tensões terminais: 
P12 ∝ δ12 (δ1 - δ2 ). 
Se δδδδ1 > δδδδ2 (adiantado): 
P12 > 0 ���� Fluxo de 1 para 2. 
b) Assumindo R ≈ 0, a potência máxima 
teórica ocorre quando δ12 = 90°, dada por:
X
VV 21
12 =MaxP
Veremos que se aumentarmos δ12 além 
da máxima capacidade de transmissão, 
ocorrerá perda de sincronismo entre as 
duas máquinas 1 e 2.
b) Para manter a estabilidade transitória o 
sistema de potência normalmente opera com 
ângulos de carga pequenos (δ).
d) Verficamos também que o fluxo de 
potência reativa é determinado pela diferença 
entre as amplitudes das tensões terminais:
Q12 ∝ (V1-V2)