Dimens de engr

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Dimensionamento de engrenagem 
Engrenagem cilíndrica de dentes retos 
Fórmula de Lewis [1] ( Wilfred Lewis – 1892) 
É uma equação que calcula a tensão no pé do dente da engrenagem e leva em consideração 
a forma desse dente. Esta equação considera o dente como uma viga engastada com seção 
retangular b x t, onde b é a largura da engrenagem e t é a espessura do dente na base. 
Observa-se que o lado tracionado ( lado de P) é mais sensível à fadiga que o lado 
comprimido, embora deste lado o valor de tensão seja maior. Assim, calcula-se a tensão do 
lado de P na região mais perigosa. Esta tensão é a composição da tensão normal de flexão, 
mais alta, com a tensão normal de compressão. Deve-se observar também que embora a 
tensão do lado comprimido seja maior, em valor absoluto, que do lado tracionado, esta 
diferença não é tão grande assim[2]. Para tanto, usa-se uma parábola com a mesma 
resistência do dente, aplicando-se as forças nos vértices da parábola. O ângulo entre a força 
F e a força Ft, aplicada no vértice da parábola, é um pouco maior que o ângulo entre F e Ft 
se estas fossem aplicadas na altura da circunferência primitiva. 
 
 
 
Assim, a tensão pode ser escrita c
I
M f
f =maxσ , onde lFM tf .= , sendo βsenFFt .= , 
12
. 3tbI = e 
2
tc = . Desta maneira, a tensão máxima fica 2max .
.6
tb
lFsen
f
βσ = . 
A tensão de compressão será: 
tb
F
c .
cos βσ = . 
A composição das duas tensões dá o valor da tensão máxima no lado do ponto P: 
tb
F
tb
lFsen
P .
cos
.
.6
2
ββσ −= . 
Sabendo que αcos
FtF = , onde α é o ângulo de pressão, quando se considera a força 
aplicada na altura da circunferência primitiva, substituindo na expressão acima e 
multiplicando o numerador e o denominador por m (módulo), pode-se ter: 
 
α
β
α
βσ
cos..
cos
cos..
.6
2 tmb
mF
tmb
lsenmF tt
P −= ou ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −= α
β
α
βσ
cos.
cos.
cos..
...6
. 2 t
m
t
lsenm
mb
Ft
P 
 
Obs.: A força tangente na circunferência primitiva é, praticamente igual à força tangente no 
vértice da parábola, pois a diferença de ângulo é muito pequena, o que permite considerar 
as forças tangentes iguais. 
A expressão entre parênteses representa o fator de forma q 
Assim, α
β
α
β
cos.
cos.
cos..
...6
2 t
m
t
lsenmq −= 
Então, pode-se escrever: 
mb
qFt
P .
.=σ 1 
Esta tensão deve ser menor que a tensão admissível que depende do material usado na 
engrenagem. O módulo deve ser um número normalizado. 
Obs.: Alguns autores recomendam que a expressão acima seja dividida por um fator ( fator 
de carga) e que varia de 0,8 a 1,5, dependendo da utilização da engrenagem e freqüência de 
aplicação da carga máxima. Por exemplo, e = 0,8 se a utilização e a freqüência de carga 
máxima forem grandes. 
Segundo Sarkis, a expressão acima deve vir multiplicada por um fator de serviço, obtido 
em tabelas especializadas, tal qual a tabela AGMA. 
Assim, a equação 1 fica, sem considerar o efeito dinâmico: 
σϕσ ≤=
mb
qFt
P .
..
 
Abaixo, tem-se a tabela de q para engrenamento externo e interno para os ângulos de 
pressão 200 e 140 30’, segundo o MANUAL DA PROTEC[3]. 
 
Engrenamento externo 
 
Z 12 13 14 15 16 17 18 21 24 28 34 40 50 65 80 100 ∞ 
200 4,6 4,35 4,1 3,9 3,75 3,6 3,5 3,3 3,2 3,1 3,0 2,9 2,8 2,7 2,6 2,5 2,5 q 
14030` 5,38 5,22 5,07 4,93 4,8 4,68 4,37 4,13 3,9 3,7 3,5 3,4 3,27 3,18 3,1 2,8 
 
 
 
Engrenamento interno 
 
Z 20 24 30 38 50 70 100 200 ∞ 
200 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 q 
14030` 1,67 1,77 1,86 1,94 2,1 2,22 2,32 2,5 2,8 
 
 
 
Efeito dinâmico 
Um par de engrenagens, pelo uso a alta velocidade ou por causa do ruído generalizado, 
pode sofrer com o efeito dinâmico. Neste caso, convém introduzir um fator que leve em 
consideração esse efeito dinâmico. Para tanto, há a equação de Barth, dada pela expressão 
abaixo: 
v
Kv += 1,6
1,6 quando a qualidade do dente for boa, ou 
v
Kv += 05,3
05,3 se a qualidade do dente não for tão boa. 
v é a velocidade tangencial na circunferência primitiva dada em m/s 
Assim, a equação 1 fica: 
 
 
Esta equação é usada para se obter uma estimativa preliminar das dimensões da 
engrenagem, mas não considera fatores importantes como a vida da engrenagem. 
 
Pressão superficial 
A análise de pressão entre os dentes durante contato e transmissão de força é baseada na 
pressão de contato entre dois cilindros de comprimento l e diâmetros d1 e d2, considerando 
o índice 1 para o pinhão e o índice 2 para a engrenagem[1]. 
21
2
2
21
2
1
11
/)1(/)1(
.
2
dd
EE
l
Fy
+
−+−= υυπ Fórmula de Hertz 
A pressão superficial máxima é, então: 
yl
Fp π
2
max = 
F é a força de esmagamento entre os cilindros e l é o comprimento dos dois cilindros. 
ν1, ν2, E1 e E2 são as constantes elásticas. d1 e d2 são os diâmetros dos cilindros em contato. 
Fazendo: F=Ft/cosα ; d = 2r e l = b, pode-se escrever: 
Substituindo estes dados e a fórmula de Hertz na expressão da pressão máxima, temos: 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
==
2
2
2
1
2
1
212
max
2
11cos
11
EE
b
rr
F
p
t
c υυαπ
σ 
Os raios instantâneos de curvatura do pinhão e da engrenagem no ponto de contato entre os 
dentes são designados por r1 e r2. Estes raios podem ser considerados próximos da 
circunferência primitiva e são representados na figura abaixo. Assim, pelo triângulo 
retângulo formado pelo raio da circunferência primitiva, o ângulo α e o raio instantâneo no 
ponto de contato, tanto no pinhão quanto na engrenagem, pode-se escrever: 
2
1
1
αsendr = e 
2
2
2
αsendr = 
v
t
P Kmb
qF
..
.=σ
 
 
A expressão acima pode ser escrita: 
2/1
21
2/1
2
2
2
1
2
1
max
11
cos.
.
11
1 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+−
=
rrb
F
EE
p t αυυπ
 
O primeiro fator pode ser representado pela constante Kp. Assim, a expressão acima fica: 
2/1
21
max
11
cos..
. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=
rrbK
FKp
v
t
p α 
Obs.: O valor de Kp pode ser negativo para indicar compressão e foi acrescentado o fator de 
velocidade (Kv), discutido anteriormente. 
Segundo Sarkis[4], o dimensionamento de engrenagens pelo critério de pressão superficial 
e pelo critério de resistência é dado abaixo: 
 
DIMENSIONAMENTO ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS (ECDR) 
CRITÉRIO DA PRESSÃO 
3
2
62
011 14,0
110.72,5 cm
i
i
p
Mdb
adm
t ϕ±
±= 
Engrenamento externo (+) ------- Engrenamento interno (-) 
 
2
6
1
7,48
cm
Kgf
W
HB
admp = 610
60 hn
W = 
Na fórmula acima, HB entra em Kgf/mm2 , mas a pressão será dada em Kgf/cm2 
CRITÉRIO DE RESISTÊNCIA NO PÉ DO DENTE 
σϕσ ≤=
mb
qFt
.
..
max 
Obs: Esta fórmula foi apresentada acima. 
FATOR DE SERVIÇO (ϕ) PODE SER DADO PELA TABELA ABAIXO 
 
Máquina motora Máquina movida 
Motor elétrico Turbina hidráulica. 
motor com quatro ou 
mais cilíndros 
Motor de um a três 
cilíndros 
Torque constante e 
pequenas massas: 
geradores elétricos , 
ventiladores e 
agitadores para 
líquidos 
 
 
1 
 
 
1,25 
 
 
1,5 
Torque variável e 
massas médias : 
máquinas 
ferramentas , 
máquinas de 
elevação, elevadores 
bombas e 
compressores 
 
 
1,25 
 
 
1,5 
 
 
1,75 
Torque muito 
variável e grandes 
massas: laminadores, 
prensas de embutir e 
estampar, 
escavadeiras 
 
 
1,75 
 
 
2 
 
 
2,25 
 
Fator de forma (q): 
 
PARA ENGRENAMENTO EXTERNO 
 
N0 DE DENTES 12 13 14 15 16 17 18 21 24 28 34 40 50 65 80 100 ∞ 
FATOR (q) 4,54,3 4,1 3,9 3,75 3,6 3,5 3,3 3,2 3,1 3,0 2,9 2,8 2,7 2,6 2,6 2,45 
 
PARA ENGRENAMENTO INTERNO 
 
N0 DE DENTES 20 24 30 38 50 70 100 200 ∞ 
FATOR (q) 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,45 
 
 
 
DENOMINAÇÃO SÍMBOLO FÓRMULA 
Número de dentes z 
m
dz 0= 
Módulo m 
z
dmoutm 00 == π 
Passo t0 t0 = m . π 
Espessura no primitivo s0 
2
0
0
ts = (folga nula nos 
flancos) 
Vão entre dentes no 
primitivo 
l0 
2
0
0
t
l = (folga nula nos 
flancos) 
Diâmetro primitivo d0 d0 = m . z 
Distância entre centros a0 
2
).(
2
2100
0
21 mzzdda +=+=
Altura comum do dente h h=2.m 
Altura da cabeça do dente hk hk = m 
Altura do pé do dente hf hf = 1,2 . m 
Altura do dente hz hz = 2,2 . m 
Folga da cabeça sk sk = 0,2 . m 
Diâmetro externo ou da 
cabeça 
dk dk = d0 + 2 . hk 
Diâmetro do pé do dente df df = d0 – 2. hf 
Diâmetro de base dg dg = d0 . cos α0 
Ângulo de pressão α0 200 
 
 
 
 
 
 
DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS CILÍDRICAS DE DENTES 
HELICOIDAIS ( ECDH) 
Segundo Stipkovic[5], o critério de pressão e o de resistência podem ser dados de acordo 
com o desenvolvimento abaixo: 
CRITÉRIO DA PRESSÃO 
31
2
222011 cmi
i
hadmp
tM
fdb
±=
ϕ
 
Engrenamento externo (+) ------- Engrenamento interno (-) 
ϕh representa o fator de correção de hélice 
ϕh 1,00 1,11 1,22 1,31 1,40 1,47 1,54 1,60 1,66 1,71 
β0 00 50 100 150 200 250 300 350 400 450 
 
Para um ângulo de pressão de 200 , temos os seguintes valores de f 
Pinhão de aço e coroa de aço _____ f = 1512 
Pinhão de aço e coroa de fofo______ f = 1234 
0sen0cos)
2
1
1
1(
2
1
35,0
αα
EE
f
+
= 
Pinhão de fofo e coroa de fofo ____ f = 1069 
 
2
6
1
7,48
cm
Kgf
W
HB
admp = 610
60 hn
W = 
CRITÉRIO DA RESISTÊNCIA NO PÉ DO DENTE 
σϕσ ≤= renmb
qtF
..
.max 
e = 1,35 para o pinhão 
e = 1,50 para a coroa 
ϕr é dado pela tabela abaixo 
 
 
ϕr 1,00 1,20 1,28 1,33 1,35 1,36 1,36 1,36 1,36 1,36 
β0 00 50 100 150 200 250 300 350 400 450 
 
 
Para determinarmos o fator de forma, usamos a mesma tabela de engrenagens cilíndricas de 
dentes retos, tomando o cuidado para achar o número de dentes equivalente por meio da 
expressão abaixo: 
 
0
3cos β
Z
nZ = 
NÚMEROS NORMALIZADOS VARIAÇÃO 
 
 0,30 ATÉ 1,00 0,10 
 1,00 ATÉ 4,00 0,25 
 4,00 ATÉ 7,00 0,50 
 7,00 ATÉ 16,00 1,00 
16,00 ATÉ 24,00 2,00 
24,00 ATÉ 45,00 3,00 
45,00 ATÉ 80,00 5,00 
 
DENOMINAÇÃO SÍMBOLO FÓRMULA 
Número de dentes z 
sm
dz 0= 
Módulo frontal ou 
circunferencial 
ms 
0
0
sec.
cos
0 ββπ n
ns mm
t
m ===
Módulo normal mn 
π
0n
t
m = 
Passo frontal ts0 ts0 = ms . π 
Passo normal tn0 tn0 = mn . π 
Espessura frontal no 
primitivo 
ss0 
2
0
0
s
s
t
s = (folga nula nos 
flancos) 
Espessura normal no 
primitivo 
sn0 
2
0
0
n
n
t
s = (folga nula nos 
flancos) 
Vão entre dentes frontal ls0 
2
0
0
s
s
t
l = (folga nula nos 
flancos) 
Vão entre dentes normal l n0 
2
0
0
n
n
t
l = (folga nula nos 
flancos) 
Diâmetro primitivo d0 d0 = ms . z 
Ângulo de hélice β0 
nmz
d
.
sec 00 =β 
Distância entre centros a0 
2
).(
2
2100
0
21 smzzdda +=+= 
Altura comum do dente h h=2.mn 
Altura da cabeça do dente hk hk = mn 
Altura do pé do dente hf hf = 1,2 . mn (DIN 867 e 862) 
Altura do dente hz hz = 2,2 . mn (DIN 867 e 862) 
Folga da cabeça sk sk = 0,2 . mn (DIN 867 e 862) 
Diâmetro externo ou da 
cabeça 
dk dk = d0 + 2 . hk 
Diâmetro do pé do dente df df = d0 – 2. hf 
Diâmetro de base dg dg = d0 . cos α0 
Ângulo de pressão normal αn0 200 (DIN 867) 
Ângulo de pressão frontal αs0 
0cos
0
0 β
αα ns tgtg = 
 
 
 
DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS CÔNICAS DE DENTES RETOS[5] 
 
CRITÉRIO DE PRESSÃO 
3
2
2
2
1.22
11
1cos2 cm
i
i
p
Mfdb
adm
t
m
±= δ 
 
CRITÉRIO DE RESISTÊNCIA 
σσ ≤=
emmb
qtF
..
.max 
O fator de carga (e) vai variar de 1,25 até 1,75, sendo geralmente tomado como 1,50 
O fator de forma é obtido da mesma maneira que para engrenagens cilíndricas de dentes 
retos, corrigindo o número de dentes por meio da fórmula abaixo, dependendo de ser coroa 
ou pinhão. 
δcos
ZZ n = 
RELAÇÕES ÚTEIS : 
 
2
1
2
cos
sen
z
z
tg
+
=
δ
δδ 
Para δ=900 , então 
1
2
2 z
ztgi == δ e δ1 = δ − δ2 
 
5,0
1
1 =
md
b e mmm 8,0≅ 
 
 
TRANSMISSÃO COROA – PARAFUSO SEM FIM 
O parafuso é uma espécie de engrenagem helicoidal, onde o ângulo de hélice é faz o 
dente tornar-se uma rosca. 
 
A coroa tem a forma de engrenagem helicoidal , onde o ângulo de hélice é um 
complemento do ângulo do parafuso. 
 
A circunferência primitiva do parafuso é uma linha reta, sendo chamada de reta 
primitiva. o passo do parafuso é chamado de passo linear, sendo igual ao passo da 
coroa, para parafuso de uma entrada. Os parafuso podem ter ângulo de hélice à 
direita ou à esquerda e podem ser de uma entrada , duas entradas, etc. 
 
SÃO USADAS NAS 
TRANSMISSÕES ENTRE 
EIXOS REVERSOS, 
ESPECIALMENTE EM EIXOS 
ORTOGONAIS. 
POSSIBILIDADE DE 
RELAÇÃO DE TRANSMISSÃO 
ALTÍSSIMA i=10 ATÉ i=100 
Quando o parafuso for de uma entrada, o avanço da coroa será igual ao passo linear 
e igual ao passo circular. Quando o parafuso for de dupla entrada, o avanço da coroa 
será o dobro do passo linear e o passo circular será o dobro do passo linear. 
 
A relação de transmissão não depende do diâmetro do parafuso e da rosca, mas do 
número de entradas do parafuso e do número de dentes da coroa, ou seja, uma volta 
do parafuso de uma entrada desloca um dente da coroa ; uma volta do parafuso de 
dupla entrada desloca dois dentes da coroa. 
 
 
REFERÊNCIAS 
[1] Shigley, J. E.; Mischke, C.R. – Mechanical Engineering Design – McGraw-Hill 
International Edition – Fifth Edition, 1989. 
[2] Oliveira, N, C, G – Engrenagens – Volume 1, Grêmio Politécnico, 1963. 
[3] Provenza, Francesco – Desenhista de Máquinas, Pro-Tec, 1978 
[4] Melconian Sarkis – Elementos de máquinas – Editora Érica – Segunda Edição, ???? 
[5] Stipkovic Filho, Marco – Engrenagens – Editora MacGraw – Hill do Brasil, 1978 
 
γ ângulo de hélice 
pp passo linear do parafuso 
pc passo circular da coroa 
zc número de dentes da coroa 
zp número de entradas do parafuso