Apostila (parte 1)

Prévia do material em texto

Cálculo Numérico 
1 / 11 
 
Cálculo Numérico 
 
Autor do Texto Original: Prof. Cecil Granado 
Pequenas alterações de formato e contribuições menores (04/03/2010): Prof. Braga 
 
Considerações Iniciais: 
 
 Ao iniciar o período letivo a maioria dos alunos, lembrando o que aconteceu no 
período anterior, prometem para si mesmos que desta vez será diferente, que não terão 
problemas com recuperações no fim do semestre, que serão alunos aplicados estudando 
bastante. Pensando nisso deixo umas dicas que, apesar de serem conhecidas, valem a pena 
serem lembradas e levadas em consideração. 
 
1) Matérias de exatas geralmente se baseiam em assuntos estudados anteriormente, 
seguem uma seqüência que não deve ser interrompida, por isso é importante manter-se 
atualizado, não deixando que se acumulem tarefas ou assuntos não vistos. Não chegue 
atrasado às aulas, preste atenção e não saia mais cedo. Torne-se “presente” de corpo e 
alma. 
2) Verifique seu horário de aulas, coloque entre “janelas” os momentos de estudos e 
revisões. Se possível estude anteriormente o assunto a ser abordado na aula seguinte. 
3) Caso falte (por um bom motivo!) consulte aquele colega para aprender o que foi visto 
naquele dia, mas isso tem que ser feito antes da próxima aula. 
4) Prestando atenção na aula você notará que o professor dá a “dica” do que é 
importante. 
5) A prática conduz à perfeição: faça prontamente os exercícios propostos, refaça-os, 
pense em como resolver o mesmo problema de outra maneira, procure sugerir 
variantes do exercício já resolvido. Executando a tarefa o quanto antes, aumentam as 
chances de aprendizado. 
6) Duas cabeças pensam mais que uma: quando tiver dificuldade, convide um ou mais 
colegas para estudarem juntos. O trabalho em equipe produz resultados. Mesmo 
estando ensinando mais do que aprendendo verá que melhora a compreensão e 
retenção dos conceitos. 
7) Alguns livros o acompanharão na sua vida profissional. Tente montar uma pequena 
biblioteca, pelo menos das disciplinas que julgar mais importante. 
8) Quando notar que está com dificuldades, procure ajuda imediatamente. Procure o 
professor, um ou mais colegas, monitores, apele para outros recursos. Faça alguma 
coisa, pois uma pequena dificuldade agora certamente se transformará numa outra 
maior ainda. No entanto, não despreze nenhum exercício por mais simples que lhe 
possa parecer. 
9) Qualquer um de nós já passou pela experiência de trabalhar num problema e não 
conseguir resolvê-lo, ou resolvê-lo e então verificar que o seu resultado não “bate” 
com a resposta. Se não conseguir a resposta certa, não se frustre nem gaste muito 
tempo num único problema. Existem outros problemas para serem resolvidos. 
10) Nunca deixe de criticar sua própria resposta. Responda perguntas como: O valor é 
muito grande (pequeno)? Tem sentido um valor negativo? Estranho, esperava algo 
diferente! Constate se a resposta satisfaz as condições do problema. Reveja a 
resolução e se encontrar algum erro, procure entender o erro cometido para evitar sua 
repetição. 
 
Cálculo Numérico 
2 / 11 
 
 
 Sem a pretensão de transformar essas dicas em “Os Dez Mandamentos do Estudante”, 
você poderá constatar que entrará mais tranqüilo para fazer sua próxima avaliação e terá bons 
resultados. 
 
Introdução: Uma Idéia de Cálculo Numérico 
 
 Todos os fenômenos da natureza são estudados, por pesquisadores, através de modelos 
matemáticos que os descrevem e os caracterizam. Esses modelos utilizam métodos e técnicas 
que envolvem a resolução de equações, cujos resultados são comparados com o que acontece 
na realidade. Quanto mais próximo for o resultado obtido em relação à realidade mais 
adequado é o modelo a esse fenômeno. 
 A modelagem matemática do problema não é algo simples se levarmos em conta todos 
os detalhes envolvidos no problema físico. Por isso, na maioria dos casos, os modelos sofrem 
simplificações tornando-os mais viáveis sob o ponto de vista prático. 
 
Fases para a solução de problemas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Modelos simples produzem erros inerentes à sua simplicidade e modelos mais 
complexos, outros tipos de erros. De qualquer forma a solução obtida será próxima à solução 
real, ou seja, sendo uma solução aproximada estaremos assim incorrendo em erros. 
Alguns erros são atribuídos à precisão dos dados que serão tratados, da representação 
numérica desses valores nas máquinas de cálculos, quantidade de operações efetuadas, etc. 
Então ficam as questões: Qual o tamanho do erro? Esse erro é desprezível? Podemos 
diminuir a dimensão do erro? Compensa o trabalho? 
Observação da 
Natureza 
Problema Físico e 
obtenção de dados 
Modelo 
Matemático 
Método 
Numérico 
Análise dos 
Resultados 
Cálculo Numérico 
3 / 11 
 
Com a intenção de minimizar o erro que aparecerão durante o processo de resolução 
de problemas devemos usar todo nosso potencial e conhecimento adquirido ao longo dos 
anos. 
 Sem muito exagero e com respeito às outras disciplinas, podemos escrever que: 
 
Cálculo Numérico = Álgebra + Geometria + Cal Dif Int + Computação + ... + Bom Senso. 
(a igualdade acima não permite mudança de membros) 
 
 
Sistemas de Numeração 
 
Felizmente usamos os algarismos indos-arábicos que obedecem ao sistema de 
numeração posicional, onde a posição do algarismo é importante e tem um significado de 
quantidade. 
 No sistema posicional decimal que usamos no número 345,67, o 3 significa centenas, 
o 4 dezenas, o 5 unidades e a partir da vírgula a parte fracionária: o 6 décimos e o 7 
centésimos. 
 No sistema não posicional, citamos os algarismos romanos e como exemplo o número 
IV, que ocupa 2 posições e significa quatro e não quinze como num sistema posicional (já que 
I vale um e V vale cinco). Experimente fazer alguns cálculos com eles. 
 
Base de Numeração 
 
Um número inteiro r, na forma decimal, pode ser representado em qualquer base b 
(onde b é um número natural maior ou igual a 2) da seguinte forma: 
 bnnn ddddddr )...()( 0122110 −−±= onde di são dígitos inteiros entre 0 e b-1. 
 
 O valor numérico em decimal do número r representado anteriormente é dado por: 
 
0
0
1
1
2
2
2
2
1
1 ... bdbdbdbdbdbd
n
n
n
n
n
n ++++++
−
−
−
−
 
 
 Para um número real r, não inteiro, sua representação na base b, é dada por: 
 bmnnn dddddddddr )......()( 210122110 −−−−−±= 
porém, essa representação pode não ser possível com um número finito de dígitos. 
 
Números racionais (dízimas periódicas: 0,33333...; 1,212121...; 3,467467467...) e 
irracionais ( ...67182818284,2...;7320508,13...;4142135,12...;1415926535,3 ==== epi ) 
que em sua forma decimal já têm infinitos algarismos, terão também infinitos algarismos em 
qualquer base escolhida. 
 
Exemplo: (187)10 = (10111011)2 e (13,25)10 = (1101,01)2 
 1.27+0.26+1.25+1.24+1.23+0.22+1.21+1.20 = 128+ 0+32+16+8+0+2+1=187 
1.23+1.22+0.21+1.20+0.2-1+1.2-2 = 8+4+0+1+0+0,25 = 13,25 
 outras bases poderiam ser tomadas. 
 
Sistema Decimal 
 
Um número no sistema decimal é formado a partir da expressão:
 
m
m
n
n
n
n aaaaaa
−
−
−
−
−
−
+++++++ 10...101010...1010 11
0
0
1
1
1
1 
Cálculo Numérico 
4 / 11 
 
 onde ai são dígitos inteiros entre 0 e 9 
 
Exemplo: 1.101+3.100+2.10-1+5.10-2 = 10+3+0,2+0,05 = 13,25 
 
Sistema Binário: 
 
 O valor numérico em decimal de um número expresso no sistema binário é dado por: 
 
m
m
n
n
n
n aaaaaa
−
−
−
−
−
−
+++++++ 2...222...22 11
0
0
1
1
1
1 
 onde ai são dígitos 0 ou 1 
 
Por mais preciso que se queira ser, aumentando o número de casas decimais dos 
valores envolvidosnos cálculos, a máquina recebe os valores no sistema decimal que são 
convertidos ao sistema binário para que os cálculos possam ser executados e então o resultado 
nesse sistema é convertido ao sistema decimal para nossa interpretação. Esse processo de 
codificação e decodificação influencia o resultado final. O sistema binário utilizado por 
computadores oferece vantagens para efetuar os cálculos, no entanto tem desvantagem para 
armazenamento dos dados, pois um número decimal escrito na forma binária requer mais 
dígitos para sua representação, requerendo mais memória do equipamento. 
 
Conversão de um número do sistema decimal para o sistema binário: 
 
Representar o número inteiro (173)10 na base 2. 
Divida 173 por 2 e anote o valor do resto que deverá ser 0 ou 1. 173 2 
 1 86 
Divida o quociente da divisão anterior por 2 novamente 86 2 
E anote o valor do resto. 0 43 
E assim sucessivamente: 43 2 21 2 10 2 5 2 2 2 
 1 21 1 10 0 5 1 2 0 1 
 
O número na base 2 será a seqüência dos restos na ordem inversa precedido do quociente (1). 
 Assim, temos: (173)10 = (10101101)2 
 Fácil conferir: 1.27+0.26+1.25+0.24+1.23+1.22+0.21+1.20 = 128+32+8+4+1 = 173 
 
Equivalentemente poderíamos formar uma seqüência, na ordem inversa, a partir do último 
quociente seguido de todos os valores dos restos. (para N > 1 o último quociente é sempre 1) 
Representar o número fracionário (0,375)10 na base 2. 
Multiplique o valor 0,375 por 2 e anote o número à esquerda da vírgula 
 0,375 x 2 = 0,750 
Repita apenas com a parte fracionária e anote o número à esquerda da vírgula
 
0,750 x 2 = 1,500 
Repita o processo até encontrar a parte fracionária totalmente igual a zero 
 0,500 x 2 = 1,000 
 
O número (0,375)10 na forma binária é a seqüência dos valores das partes inteiras precedidas 
de 0,. Assim, temos que: (0,375)10 = (0,011)2 
 Fácil conferir: 0.2-1+1.2-2+1.2-3 = 0+0,25+0,125 = 0,375 
Como você escreveria o número: 173,375 na base 2 ? (10101101,011) 
 
Cálculo Numérico 
5 / 11 
 
Algoritmos de conversão: 
 
De binário para decimal: Seja 201221 )...( aaaaaaN nnn −−= um inteiro na forma binária. 
O valor de N na forma decimal é dado pelo procedimento: 
 
 
 
 
 
onde bo corresponde ao número N na forma decimal. 
 
Exemplo:- Qual o valor decimal de (11001)2 ? 
os coeficientes são: a0=1; a1=0; a2=0; a3=1; a4=1; n=4 (para 5 coeficientes) 
então: 
 
 
 
 
 
 (11001)2 = (25)10 
 
De decimal para binário: Seja N um número inteiro positivo em decimal. Sua 
representação binária 201221 )...( aaaaaa nnn −− será dada pelo procedimento: 
 
 
 Onde ak=1 se bk é impar ou ak=0 se bk é par. 
 
O procedimento termina quando obtemos bk=0 
 
 O valor em binário será a seqüência dos valores de ak 
 
na ordem contrária. 
 
Exemplo: Sendo N = (37)10, qual sua representação na forma binária ? 
 
 
 a0=1, pois b0 é impar 
 
 
 a1=0, pois b1 é par 
 
 
 a2=1, pois b2 é impar 
 
 
 a3=0, pois b3 é par 
 
 
 a4=0, pois b4 é par 
 
 
 a5=1, pois b5 é impar 
 
2512.212
126.202
63.202
31.212
1
100
211
322
433
44
=+=+=
=+=+=
=+=+=
=+=+=
==
bab
bab
bab
bab
ab
2
......
2
2
11
11
2
00
1
0
−−
−
=
=
−
=
−
=
=
kk
k
abb
abb
abb
Nb
0
2
1
1
2
2
2
2
4
4
2
9
9
2
18
18
2
37
37
6
5
4
3
2
1
0
=
−
=
=
−
=
=
−
=
=
−
=
=
−
=
=
−
=
=
1b
0b
0b
1b
0b
1b
b
......
2
2
122
11
=
+=
+=
=
−−−
−−
nnn
nnn
nn
bab
bab
ab
100
211
.2
.2
......
bab
bab
+=
+=
=
Cálculo Numérico 
6 / 11 
 
 
 concatenando os valores obtidos na ordem inversa: 
100101 
Assim temos que: (37)10 = (100101)2 
 
Exercício:- 1) Faça a conversão dos números inteiros de 0 a 10 para a base 2, para os quais 
não encontrará dificuldades, depois faça o mesmo para os números 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; ... 0,9 e 
encontrará problemas que o fará refletir a respeito dos erros comentados anteriormente. 
 2) Procure uma forma de descobrir quantos algarismos na base 2 são 
necessários para representar um número escrito na base 10. 
 
Tipos de Erros 
 
Erros nos dados: depende da precisão do aparelho de medição que gerar dados 
confiáveis ou não. 
Erro no modelo: a correta descrição do fenômeno em estudo na fase da modelagem é 
muito importante na obtenção dos resultados. 
Erro de truncamento: cometemos esse tipo de erro ao calcularmos um valor que é o 
resultado de uma soma de outros valores para o qual utilizamos apenas certa quantidade deles. 
Exemplo: Some todos os termos do somatório: LL+++++++
32
1
16
1
8
1
4
1
2
11 
1) Usando apenas os 4 primeiros termos, temos: 875,1
8
15
8
1
4
1
2
11 ==+++ 
2) Usando apenas os 5 primeiros termos, temos: 9375,1
16
31
16
1
8
1
4
1
2
11 ==++++ 
Trata-se de uma progressão geométrica com primeiro termo 1 e razão ½ e cujo 
somatório é 2. A soma dos infinitos termos de uma p.g. de razão 1<q é dada pela fórmula: 
2
1
1
12
1
2
1
0
0
=
−
=
−
==∑
∞
=
∞ q
aS
n
n
 onde o primeiro termo é a0=1 e razão q=½. 
 Note a diferença nos resultados ao somarmos o 5º. termo. Isso não acontece no 
arredondamento. 
Erro de arredondamento: considerando que cada equipamento tem sua precisão, 
podemos não querer usar todo seu potencial, assim limitamos a precisão previamente. 
 
Arredondamento para o número mais próximo: Seja um número com n casas decimais 
para o qual queremos utilizar apena k casas decimais. Ao fazer o arredondamento na casa de 
ordem k, verificamos o algarismo da casa de ordem k+1: 
Se o algarismo da casa de ordem k+1: 
Cálculo Numérico 
7 / 11 
 
1) é maior que 5 então somamos uma unidade no algarismo de ordem k. 
Exemplo: 0,235867 arredondado com (k=) 3 casas decimais fica 0,236. 
2) é menor que 5 então o algarismo permanece o mesmo. 
Exemplo: 0,234367 arredondado com (k=) 3 casas decimais fica 0,234 
3) é igual a 5: 
 a) e existem outros algarismos além da ordem k+1 com pelo menos um diferente de 
zero, então somamos uma unidade no algarismo de ordem k. 
Exemplo: 0,236501 arredondado com (k=) 3 casas decimais fica 0,237. 
 b) e não existem outros algarismos além da ordem k+1ou todos são iguais a zero, 
procedemos da seguinte maneira: 
b1) Se algarismo de ordem k é par, então o algarismo de ordem k permanece o 
mesmo. (0,2365, arredondado com (k=) 3 casas decimais fica 0,236). 
b2) Se algarismo de ordem k é impar, então somamos uma unidade no 
algarismo de ordem k. (0,2315, arredondado com (k=) 3 casas decimais fica 0,232). 
Qual a lógica no procedimento 3) ? 
 
Erro Absoluto e Relativo. 
 
 Sejam: 
 =x valor exato. (nem sempre conhecido) 
 =x valor aproximado de x. (uma estimativa de x) 
 
Erro Absoluto: xxEA −= mantém a unidade da variável x 
 
Erro Relativo: 
x
xx
ER
−
= não tem unidade (pode ser expresso em %) 
 O erro relativo relaciona o erro absoluto ao valor exato, em outras palavras, o erro 
relativo avalia a dimensão do erro, onde ele é cometido. 
 
Exemplo: Um construtor, ao edificar um quarto, errou 2cm na dimensão horizontal de uma 
parede. Devia ser de 4m e ficou com 3,98m. O serralheiro, ao montar a janela de 2m, tambémerrou 2cm na horizontal. Ambos cometeram o mesmo erro? 
 Pensando absolutamente sim, ambos cometeram o mesmo erro, 2cm. 
Cálculo Numérico 
8 / 11 
 
 No entanto, o construtor cometeu um erro relativo menor, pois 2cm em 4m não é 
o mesmo que 2cm em 2m. 
Erro relativo do construtor: 005,0
4
02,0
4
98,34
==
−
=RCE (0,5%) 
Erro relativo do serralheiro: 01,0
2
02,0
2
98,12
==
−
=RSE (1%) 
 
Sabe-se que o serralheiro tem maior precisão em relação ao construtor, devido às 
ferramentas que utiliza e dimensões de seu trabalho. Como se vê, alguns erros são 
admissíveis, outros não. Por isso define-se o erro de antemão. Mesmo antes de executar 
cálculos, devemos pré fixar o máximo erro admissível. 
 
Resolução de Equações Algébricas e Transcendentais 
 
Resolver uma equação algébrica ou transcendental significa determinar o valor x que 
satisfaz a equação (função) em estudo. Em geral ela é apresentada na forma: f(x) = 0. 
O valor numérico x que satisfaz f(x) = 0 é chamado de raiz ou zero da função. 
Exemplo: x = 5 é raiz (ou zero) de f(x) = x2 – 4x – 5, pois: f(5) = 52 – 4.5 – 5= 0 
As equações algébricas são aquelas escritas na forma polinomial, enquanto que as 
transcendentais não podem ser escritas nesta forma. As transcendentais envolvem funções 
trigonométricas, exponenciais, logarítmicas ou a combinação entre elas. 
Equações algébricas (polinomiais) até o terceiro grau têm solução analítica, bem como 
algumas transcendentais simples são de fácil solução, no entanto, para equações algébricas de 
grau superior a três e para a maioria das equações transcendentais, a solução (porém 
“aproximada”!) só é possível através de métodos numéricos. 
Trabalharemos com esse tipo de equações com valores numéricos reais. 
Para determinarmos os valores de interesse (os zeros) da equação (função), devemos 
usar dois procedimentos: 
I – Isolar, confinar a raiz, determinando um intervalo fechado [a, b], que contenha uma única 
raiz. 
II– Refinar, aprimorar o valor inicial encontrado neste intervalo, até que o erro seja tolerado. 
(em II, a maneira de se refinar, aprimorar esse valor nos leva a diferentes métodos) 
 
I – Isolando, confinando a raiz. 
Cálculo Numérico 
9 / 11 
 
Teorema de Cauchy-Bolzano 
(Augustin-Louis Cauchy, matemático francês, *1789, †1857; 
Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano, matemático, teólogo austríaco, *1781, †1848) 
Seja f(x) uma função contínua em um intervalo fechado [a, b]. 
Se f(a) . f(b) < 0 então existe pelo menos um ponto x ∈ [a, b] tal que f(x) = 0. 
Nota: Se )(xf ′ existir e não mudar de sinal em (a , b), então este intervalo contém uma única 
raiz. O teorema nos garante a existência de raiz no intervalo e a nota, sua unicidade. 
 
Resumo para isolar a raiz: 
� Esboce o gráfico da equação (função), através de uma tabela de valores de x e y e 
verifique onde ocorre mudança de sinal em y. Os valores de x para os quais há mudança 
de sinal definem o intervalo [a , b], ou localize o(s) ponto(s) onde o gráfico corta o eixo x. 
� Procure decompor a função em outras duas funções conhecidas de modo que seja mais 
fácil esboçar o gráfico delas num único sistema cartesiano e avalie a abscissa x no ponto 
de encontro entre elas. 
Use os recursos de sua calculadora gráfica, caso tenha uma, ou um programa de 
computador, como por exemplo wplotpr.exe, livre para download em: 
http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html e prefira a versão em português. Você também 
pode usar a planilha eletrônica Excel, contida na maioria dos computadores disponíveis. 
 
 
II– Refinando, aprimorando o valor inicial encontrado 
Uma vez isolada uma raiz no intervalo fechado [a, b], procure nesta fase, considerar 
uma aproximação para a raiz e melhorá-la sucessivamente até obter uma aproximação com a 
precisão definida de antemão. Neste momento usaremos os diferentes métodos iterativos 
(recursivos) que estudaremos. 
Melhorar sucessivamente uma aproximação da raiz significa utilizar métodos 
iterativos, que consistem na execução de uma seqüência de cálculos que geram valores que 
são reutilizados nos cálculos seguintes, criando um conjunto de valores que convergem para a 
solução procurada. Convém notar que os valores obtidos são, em geral, cada vez melhores que 
antes, porem não será a solução exata. 
 Um comentário sobre precisão e exatidão. A precisão deve ser entendida como algo 
intrínseco da máquina com a qual estamos operando e a exatidão tem a ver com o resultado 
do trabalho executado pela máquina. A exatidão prescinde da precisão. Tome sua máquina 
Cálculo Numérico 
10 / 11 
 
de calcular e verifique com quantos dígitos ela representa, por exemplo, o número raiz 
quadrada de 2 e compare com outras. 
 
O Método da Bisseção 
 
 Consiste em dividir ao meio o intervalo inicial [a, b] que contém a raiz até que um 
dos critérios de parada seja satisfeito. 
1) Número de iterações máximas. 
2) ξ<)( kxf (épsilon) 
3) Erro Absoluto: ξ<−= xxE kA ou Erro Relativo: ξ<−=
k
k
R
x
xx
E 
Onde 
• kx é a aproximação da raiz na iteração de ordem k, 
• ξ é o erro máximo permitido 
• x é o valor exato. 
 Como, quase sempre, não se conhece o valor exato x , substituímos os valores kx e 
x em por kb e ka respectivamente, ficando: ξ<−= kkA abE ; ξ<−=
k
kk
R b
ab
E , onde 
],[ kk ba é o intervalo de ordem k. 
 Caso geral: Seja f(x)= 0, uma função que satisfaz o teorema de Cauchy-Bolzano 
no intervalo [a, b]. Seja para efeitos de recursividade o intervalo [a0 , b0] = [a, b]. Calcula-se a 
aproximação inicial x0 como sendo a média entre os valores a0,b0. 2
00
0
ba
x
+
= . 
Determina-se )( 0xf e 
1) Se )( 0af . )( 0xf <0, então a raiz encontra-se entre a0 e x0 e fazemos a1= a0 e b1= x0 
2) Se )( 0xf . )( 0bf <0, então a raiz encontra-se entre x0 e b0 e fazemos a1= x0 e b1= b0 
3) Repita o processo até que o critério de parada escolhido seja satisfeito. 
Como a cada iteração o intervalo [a, b] é dividido ao meio, então na n-ésima iteração o 
comprimento do intervalo será dado por: 
nnn
ab
ab
2
−
=− . Usando o critério de erro absoluto 
ξ<− nn ab , temos, portanto: ξ<−nab2 . 
Cálculo Numérico 
11 / 11 
 
Isolando n, temos: 
2log
log 




 −
>
ξ
ab
n , onde este valor n define a quantidade de iterações 
de o método utilizará para obter a solução com a precisão ξ . Determinação de raiz real de 
uma função ou Zeros reais de funções.