Aula 2 - Erros e Aritmetica de Ponto Flutuante - Cálculo Numérico Fabio Pontes

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Cálculo Numérico Prof. Fabio Pontes 
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AULA 2: Teoria de Erros e Aritmética de Ponto 
Flutuante 
Tópicos principais: 
• Introdução. 
• Definição de Erros: Fontes e Tipos. 
• Classificação dos erros. 
• Erros de arredondamento. 
• Algarismos significativos. 
• Acurácia e Precisão. 
• Representação dos Números no Computador. 
• Erros de truncamento. 
• Propagação do erro. 
• Erro numérico total e acurácia de resultados 
numéricos. 
• Estabilidade numérica e condicionamento. 
• Erros inerentes ao modelo ou erros de formulação. 
• Erros inerentes aos dados ou incertezas nos dados. 
1. Introdução 
 
Nas aulas seguintes estudaremos métodos numéricos 
adequados à solução de diversos tipos de problemas que 
surgem nas mais diversas áreas da Engenharia e da Física. A 
resolução de tais problemas envolve várias fases que podem 
ser assim estruturadas [1]: 
 
Figura 1 Etapas do desenvolvimento do modele e solução 
[1]. 
No entanto, não é raro se chegar a resultados finais não 
esperados ou até mesmo a outros que não têm relação alguma 
com a física do problema. Desta forma, cabe as seguintes 
questões [1]: 
a) Como justificar tais erros? 
b) O que se pode fazer para evitá-los ou minimizá-los? 
Neste capítulo daremos noções básicas de erros que 
ocorrem em métodos numéricos. O objetivo é mostrar as 
principais fontes de erros possíveis e como contorná-los [1]. 
Um método numérico é um método não analítico que 
tem como objetivo determinar um ou mais valores numéricos, 
que são soluções de um certo problema. Ao contrário das 
metodologias analíticas, que conduzem a soluções exatas para 
os problemas, os métodos numéricos produzem, em geral, 
apenas soluções aproximadas. Por este fato, antes da 
utilização de qualquer método numérico é necessário decidir 
qual a precisão dos cálculos com que se pretende obter a 
solução numérica desejada. A precisão dos cálculos 
numéricos é também, como veremos, um importante critério 
para a seleção de um algoritmo particular na resolução de um 
dado problema. A diferença entre o valor obtido 
(aproximado) e o valor exato chama-se erro. Neste contexto 
é necessário saber identificar e conhecer a natureza dos 
principais tipos e fontes de erros. 
Definição de Erros: Fontes e Tipos 
A resolução de um problema de engenharia num 
computador utilizando um modelo numérico produz, em 
geral, uma solução aproximada do problema. A introdução de 
erros na resolução do problema pode ser devida a vários 
fatores. 
Os erros numéricos são causados pelo uso de 
aproximações para representar operações e quantidades 
matemáticas exatas. Eles incluem erros de truncamento, que 
resultam quando são feitas aproximações para representar 
procedimentos matemáticos exatos, e erros de 
arredondamento, que aparecem quando números com uma 
quantidade limitada de algoritmos significativos são usados 
para representar números exatos. Para ambos os tipos, seja x 
ou x o valor aproximado de uma quantidade cujo valor exato 
ou valor verdadeiro é x. O erro de x , Et ou x , define-se 
como [2]: 
tx Ex= + → t x x xE =  = − Erro verdadeiro 
Em que Et ou x é usado para designar o valor exato 
do erro. O subscrito t é incluído para designar que esse é o 
erro “verdadeiro” (true, em inglês) em contraste com outros 
casos, como será descrito em breve, em que uma estimativa 
“aproximada” do erro deve ser empregada [2]. 
Um defeito dessa definição é que ela não leva em 
conta a ordem de grandeza do valor que está sendo 
examinado. Por exemplo, um erro de um centímetro é muito 
mais significativo quando se mede um rebite do que uma 
ponte. Uma forma de considerar o valor das quantidades que 
estão sendo calculadas é normalizar o erro com o valor 
verdadeiro, dando origem ao erro relativo percentual 
verdadeiro (εt) [2]: 
100%
t
x x
x

−
=
 
 
 
 Erro relativo percentual verdadeiro 
O erro relativo como expressa o erro como fração de x 
está relacionado com o erro percentual ou percentagem de 
erro. Observe que, para as equações de erro verdadeiro e erro 
relativo percentual verdadeiro, E e ε têm o subscrito t para 
indicar que o erro está normalizado com relação ao valor 
verdadeiro, valor esse que pode ser fornecido. Entretanto, nas 
situações reais, tais informações raramente estão disponíveis. 
Para os métodos numéricos, o valor verdadeiro será 
conhecido apenas ao se lidar com funções que podem ser 
resolvidas analiticamente. Este será o caso típico quando se 
investigar o comportamento teórico de uma técnica particular 
para sistemas simples. Entretanto, nas aplicações do mundo 
real, obviamente não se conhecerá a priori a resposta 
verdadeira. Para tais situações, uma alternativa é normalizar 
o erro usando a melhor estimativa disponível do valor 
verdadeiro, isto é, a aproximação propriamente dita [2]. 
 
PROBLEMA
MODELO 
MATEMÁTICO
SOLUÇÃO
modelagem resolução
PROBLEMA
ESCOLHA DO 
MÉTODO 
NUMÉRICO
IMPLEMENTAÇÃO 
COMPUTACIONAL
CONSTRUÇÃO 
DO MODELO 
MATEMÁTICO
LEVANTAMENTO 
DE DADOS
ANÁLISE DOS 
RESULTADOS
VERIFICAÇÃO
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2 
 
100%
a
erro aproximado
aproximação
 =
 
 
 
 Erro aprox. relativo percentual 
Em que o subscrito a significa que o erro foi 
normalizado por um valor aproximado. Observe também que, 
para aplicações do mundo real, a equação do erro verdadeiro 
não pode ser usada para calcular o termo do erro para a 
equação do erro aproximado relativo percentual. Um dos 
desafios dos métodos numéricos é determinar estimativas de 
erro na ausência de conhecimento relativo ao valor 
verdadeiro. Por exemplo, certos métodos numéricos usam 
uma abordagem iterativa para calcular as respostas. Em tais 
abordagens, uma aproximação atual é feita com base em uma 
aproximação prévia. Esse processo é realizado repetidamente, 
ou iterativamente, para se calcular com sucesso (é o que se 
espera) aproximações cada vez melhores. Para tais casos, o 
erro é frequentemente estimado como a diferença entre as 
aproximações prévia e corrente. Assim, o erro relativo 
porcentual é determinado de acordo com [2]: 
100%
a
aproximação atual - aproximação prévia
aproximação atual
 =
 
 
 
Erro aproximado relativo percentual 
Essa e outras abordagens para expressar erros serão 
mais bem discutidas em capítulos subsequentes. Os sinais nas 
equações de erros anteriores podem ser tanto positivos quanto 
negativos. Se a aproximação for maior do que o valor 
verdadeiro (ou a aproximação prévia for maior do que a 
aproximação atual), o erro é negativo; se a aproximação for 
menor do que o valor verdadeiro, o erro é positivo. Além 
disso, para as equações de erros relativos, o denominador 
pode ser menor do que zero, o que também pode levar a um 
erro negativo. Frequentemente, ao se realizar cálculos, não há 
preocupação com o sinal do erro, mas interesse em saber se o 
valor absoluto porcentual é menor que uma tolerância 
porcentual pré-especificada εs. Portanto, em geral, é útil usar 
o valor absoluto das equações de erros anteriores. Define-se 
ainda erro absoluto de x como o valor absoluto (Ea) de ∆ x
. Assim, o erro absoluto é o módulo entre a diferença entre o 
valor exato do número x e de seu valor aproximado x , 
aE x x= − Erro absoluto 
Em geral, apenas o valor de x é conhecido, e neste 
caso, é impossível obter o valor exato do erro absoluto. 
Para tais casos, os cálculos são repetidos até que 
a s = . Se essa relação for válida, supõe-se que o resultado 
está dentro do nível aceitável pré-especificado εs. Observe 
que, no resto deste texto, serão utilizados quase que 
exclusivamente valores absolutos quando forem usados erros 
relativos. Também é conveniente relacionar esses erros ao 
número de algarismos significativos na aproximação. Pode 
ser mostrado que, se o seguinte critério for satisfeito, é 
possível ter certeza de que o resultado é correto até pelo 
menos n algarismossignificativos: ( )20,5.10 %.ns 
−
= 
Com as definições precedentes como base, é possível 
avançar para dois tipos de erros ligados diretamente com os 
métodos numéricos: os erros de arredondamento e os erros de 
truncamento. 
Considere o número π = 3,14159265... Neste número 
as reticências (...) indicam que o número possuía mais dígitos, 
mas que nós não queremos ou não podemos continuar a 
representá-los. Uma situação deste tipo ocorre sempre que um 
número não pode ser representado por um número exato de 
casas decimais. Sempre que no decurso dos cálculos ocorra 
uma situação análoga temos que decidir com quantos dígitos 
queremos trabalhar. Este aspecto é de particular importância 
quando de utilizamos computadores pois este retém apenas 
um número fixo de algarismos. 
Como estamos lidando com aproximações, é 
necessário estabelecer critérios para avaliar o seu grau de 
precisão. Em geral, dizemos que x é o valor aproximado de 
x, arredondado para k casas decimais corretas se: 
0.5 10 kaE x x
−= −   
Classificação dos erros 
Em função da sua origem, podemos considerar quatro 
tipos de erros: 
✓ Erros inerentes ao modelo ou erros de 
formulação: Um modelo matemático raramente 
oferece uma representação exata dos fenômenos 
reais. Na grande maioria dos casos são apenas 
modelos idealizados, já que ao estudar os fenômenos 
da natureza nos vemos forçados, em regra geral, a 
aceitar certas condições que simplificam o problema 
de forma a torná-lo tratável. Este tipo de 
simplificação pode resultar em erro de formulação. 
✓ Erros inerentes aos dados ou incertezas nos 
dados: São gerados uma vez que um modelo 
matemático não contém apenas equações e relações, 
mas também contém dados e parâmetros que, 
frequentemente, são medidos experimentalmente, e 
portanto, aproximados. As aproximações nestes 
dados podem ter grande repercussão no resultado 
final. 
✓ Erro de truncamento: Muitas equações têm 
soluções que apenas podem ser construídas no 
sentido que um processo de solução infinito possa 
ser descrito como limite da solução em questão. Na 
prática um processo infinito não pode ser 
completado e por isso tem de ser truncado após certo 
número finito de operações. A substituição de um 
processo de solução infinita por um processo finito 
(truncamento), resulta num certo tipo de erro 
designado erro de truncamento. 
✓ Erro de arredondamento: Seja em cálculos que 
estejam sendo efetuados manualmente ou ainda em 
cálculos obtidos por computador somos obrigados a 
utilizar uma aritmética de precisão finita, ou seja, 
devemos considerar um número finito de dígitos. O 
erro que ocorre ao desconsiderar algarismos e 
arredondar um número é designado por erro de 
arredondamento. 
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OBS: Os erros inerentes ao modelo e os erros inerentes aos 
dados são erros iniciais do problema, exteriores ao processo 
de cálculo, enquanto que os erros de truncamento e os erros 
de arredondamento ocorrem no processo de cálculo de uma 
solução numérica. 
2. Erros de arredondamento 
 O erro de arredondamento introduzido em um dado 
cálculo depende do sistema usado pela máquina. Se um 
número x não têm representação finita na base numérica deste 
sistema, ou se o tamanho da palavra da máquina não comporta 
x, teremos uma aproximação por arredondamento. Logo, os 
erros de arredondamento estão associados ao fato de os 
computadores utilizarem um número limitado de dígitos para 
representarem números. 
Como mencionado anteriormente, os erros de 
arredondamento se originam do fato de que o computador 
mantém apenas um número fixo de algarismos significativos 
durante os cálculos. Números como π, e ou √7 não podem ser 
expressos por um número fixo de algarismos significativos. 
Portanto, eles não podem ser representados exatamente por 
um computador. Além disso, como os computadores usam 
uma representação na base 2, não podem representar 
precisamente certos números exatos na base 10. A 
discrepância introduzida por essa omissão de algarismos 
significativos é chamada de erro de arredondamento [2]. 
Algarismos significativos 
 Antes de discutir os erros associados aos métodos 
numéricos, é útil revisar os conceitos básicos ligados à 
representação aproximada dos próprios números [2]. 
Sempre que se emprega um número em um cálculo, é 
preciso estar certo de que ele pode ser usado com confiança. 
Por exemplo, a Figura 2 exibe um velocímetro e um 
hodômetro de um automóvel. A inspeção visual de um 
velocímetro indica que o carro está movendo-se entre 48 e 49 
km/h. Como o indicador está mais alto do que o ponto médio 
entre os marcadores de escala, pode-se dizer com segurança 
que o carro está movendo-se a aproximadamente 49 km/h. O 
resultado é confiável porque, se dois ou mais indivíduos 
razoáveis lerem essa medida, eles chegarão à mesma 
conclusão. Entretanto, se a velocidade fosse estimada até uma 
casa decimal, uma pessoa poderia dizer 48,8, enquanto a outra 
poderia dizer 48,9 km/h. Mas, por causa dos limites desse 
instrumento, apenas os dois primeiros algarismos podem ser 
usados com confiança. Estimativas do terceiro algarismo (ou 
algarismos superiores) devem ser vistas como aproximações. 
Seria absurdo afirmar, com base nesse velocímetro, que o 
automóvel está movendo-se a 48,8642138 km/h. Em 
contraste, o hodômetro fornece até seis algarismos corretos. 
A partir da Figura 2, pode-se concluir que o carro percorreu 
um pouco menos que 87.324,5 km durante seu período de 
uso. Nesse caso, o sétimo algarismo (e os próximos) é incerto 
[2]. 
 
Figura 2 Um velocímetro e um hodômetro de automóvel 
ilustram o conceito de algarismos significativos [2]. 
O conceito de um algarismo significativo foi 
desenvolvido para designar formalmente a confiabilidade de 
um valor numérico. Os algarismos significativos de um 
número são aqueles que podem ser usados com confiança. 
Eles correspondem ao número de algarismos corretos mais 
um algarismo estimado. Por exemplo, o velocímetro e o 
hodômetro na Figura 2 fornecem leituras de três e sete 
algarismos significativos, respectivamente. Para o 
velocímetro, os dois algarismos corretos são 48. 
Convenciona-se tomar o algarismo estimado como a metade 
da menor divisão de escala no aparelho de medida. Portanto, 
a leitura do velocímetro consistiria em três algarismos 
significativos: 48,5. De forma similar, o hodômetro 
forneceria uma leitura com sete algarismos significativos, ou 
seja, 87.324,45 [2]. 
Embora usualmente seja um procedimento imediato 
avaliar os algarismos significativos de um número, alguns 
casos podem causar confusão. Por exemplo, zeros não são 
sempre algarismos significativos porque eles podem ser 
necessários apenas para localizar a vírgula decimal. Os 
números 0,00001845, 0,0001845 e 0,001845 têm quatro 
algarismos significativos. Analogamente, quando zeros à 
direita são usados em números grandes, não é claro quantos, 
ou se algum, destes zeros são significativos. Por exemplo, o 
valor nominal do número 45.300 pode ter três, quatro ou 
cinco algarismos significativos, dependendo de os zeros 
serem conhecidos com confiança. Tais incertezas podem ser 
resolvidas usando-se a notação científica, onde 4,53.104, 
4,530.104, 4,5300.104 designam que o número é conhecido 
com três, quatro ou cinco algarismos significativos, 
respectivamente [2]. 
O conceito de algarismos significativos tem duas 
implicações importantes no estudo de métodos numéricos: 
1) Os métodos numéricos fornecem resultados aproximados, 
e portanto, é necessário desenvolver critérios para especificar 
quanta confiança se tem no resultado aproximado. Uma 
forma de fazer isso é em termos de algarismos significativos. 
Por exemplo, pode-se decidir que a aproximação é aceitável 
se ela for correta até quatro algarismos significativos [2]. 
2) Embora quantidades como π, e ou √7 representem 
quantidades específicas,elas não podem ser expressas 
exatamente por um número limitado de algarismos. Por 
exemplo, π = 3,141592653589793238462643... ad infinitum. 
Como os computadores mantêm apenas um número finito de 
algarismos significativos, tais números jamais podem ser 
representados exatamente. A omissão dos algarismos 
significativos remanescentes é chamada de erro de 
arredondamento [2]. 
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Tanto o erro de arredondamento quanto o uso de 
algarismos significativos para expressar confiança em um 
resultado numérico serão explorados em detalhes 
posteriormente. Além disso, o conceito de algarismos 
significativos terá relevância na definição de acurácia e 
precisão a seguir [2]. 
Acurácia e Precisão 
Os erros associados tanto aos cálculos quanto às 
medidas podem ser caracterizados com relação a sua acurácia 
e precisão. A acurácia se refere a quão próximo o valor 
calculado ou medido está do valor verdadeiro. A precisão se 
refere a quão próximos os valores individuais calculados ou 
medidos estão uns dos outros [2]. 
Esses conceitos podem ser ilustrados graficamente 
usando-se uma analogia da prática de tiro ao alvo. Os buracos 
de bala em cada alvo na Figura 3 podem ser pensados como 
previsões de uma técnica numérica, enquanto a mosca 
representa a verdade. Inacurácia (também chamada viés) é 
definida como um desvio sistemático da verdade. Embora os 
tiros na Figura 3c estejam agrupados mais juntos do que 
aqueles na Figura 3a, os dois casos são igualmente inacurados 
porque ambos estão centrados no quadrante superior 
esquerdo do alvo. As imprecisões (também chamadas 
incertezas), por outro lado, referem-se à intensidade do 
espalhamento. Portanto, embora as Figuras 3b e d sejam 
igualmente exatas (isto é, centradas na mosca), a última é 
mais precisa porque os tiros estão agrupados mais juntos [2]. 
 
Figura 3 Um exemplo do tiro ao alvo ilustrando os 
conceitos de acurácia e precisão. (a) Inacurado e impreciso; 
(b) acurados e impreciso; (c) inacurado e preciso; (d) 
acurado e preciso [2]. 
Os métodos numéricos deveriam ser suficientemente 
acurados ou sem viés para satisfazer os requisitos de um 
problema de engenharia particular. Eles também deveriam ser 
suficientemente precisos para permitirem projetos adequados 
de engenharia. Aqui, será usado o termo coletivo erro para 
representar tanto a inacurácia quanto a imprecisão de 
predições. Com esses conceitos como base, podem-se discutir 
os fatores que contribuem para o erro dos cálculos numéricos 
[2]. 
 
Representação dos Números no Computador 
Os erros numéricos de arredondamento estão 
diretamente relacionados à maneira como os números são 
armazenados no computador. A unidade fundamental na qual 
a informação é representada é chamada de palavra, entidade 
que consiste em uma sequência de dígitos binários (binary 
digits), ou bits. Os números são tipicamente armazenados em 
uma ou mais palavras. Para entender como isso é feito, 
primeiro é necessário revisar algum material relacionado aos 
sistemas numéricos [2]. 
Um sistema numérico é meramente uma convenção 
para representar quantidades. Como são 10 dedos na mão e 
10 dedos no pé, o sistema numérico com o qual há mais 
familiaridade é o sistema decimal ou o sistema numérico na 
base 10. A base é o número usado como referência para 
construir o sistema. O sistema na base 10 usa os 10 algarismos 
- 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - para representar os números. Por 
si só, esses algarismos são satisfatórios para contar de 0 a 9 
[2]. 
Para quantidades maiores, combinações desses 
algarismos básicos devem ser usadas, com a posição ou o 
valor do lugar especificando a ordem de grandeza. O 
algarismo mais à direita em um número completo representa 
um número entre 0 e 9. O segundo algarismo a partir da direita 
representa um múltiplo de 10. O terceiro algarismo a partir da 
direita representa um múltiplo de 100 e assim por diante. Por 
exemplo, no número 86.409 há oito grupos de 10.000, seis 
grupos de 1.000, quatro grupos de 100, zero grupos de 10 e 
nove unidades a mais, ou [2]: 
 
A Figura 4a fornece uma representação visual de 
como o número é formulado no sistema na base 10. Esse tipo 
de representação é chamada notação posicional [2]. 
 
Figura 4 Como os sistemas (a) decimal (base 10) e (b) 
binário (base 2) funcionam. Em (b), o número binário 
10101101 é equivalente ao número decimal 173 [2]. 
 
Como o sistema decimal é tão familiar, em geral não 
se percebe que existem alternativas. Por exemplo, se os seres 
humanos tivessem oito dedos na mão e oito dedos no pé, sem 
dúvida teriam desenvolvido um sistema octogonal ou uma 
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representação na base 8. Nesse mesmo sentido, o amigo 
computador é como um animal de dois dedos que é limitado 
a dois estados - ou 0 ou 1. Isso está relacionado ao fato de que 
as unidades lógicas primárias dos computadores digitais são 
componentes elétricas ligadas ou desligadas. Portanto, os 
números em um computador são representados com um 
sistema binário ou na base 2. Da mesma forma como no 
sistema decimal, as quantidades podem ser representadas 
usando-se a notação posicional. Por exemplo, o número 
binário 11 é equivalente a (1 + 21) + (1 + 20) = 2 + 1 = 3 no 
sistema decimal. A Figura 4b ilustra um exemplo mais 
complicado [2]. 
Agora que foi revisado como o número na base 10 
pode ser representado na forma binária, é simples conceber 
como os inteiros são representados em um computador. A 
abordagem mais direta, chamada de método dos valores com 
sinal, utiliza o primeiro bit de uma palavra para indicar o 
sinal, com um 0 para positivo e um 1 para negativo. Os bits 
restantes são usados para armazenar o número. Por exemplo, 
o valor inteiro -173 seria armazenado em um computador de 
16 bits, como na Figura 5 [2]. 
 
Figura 5 A representação de um inteiro decimal -173 em 
um computador de 16 bits usando-se o método do valor com 
sinal [2]. 
Observe que esse método descrito do valor com sinal 
não é usado para representar inteiros nos computadores 
convencionais. Uma abordagem preferida, chamada de 
técnica do complemento de 2, incorpora diretamente o sinal 
no valor absoluto do número em vez de fornecer um bit 
separado para representar mais ou menos. Isto é, os números 
acima ou abaixo de um intervalo não podem ser 
representados. Uma limitação mais séria é encontrada no 
armazenamento e na manipulação de quantidades fracionárias 
como descrito a seguir [2]. 
As quantidades fracionárias são representadas 
tipicamente em computadores usando-se a forma de ponto 
flutuante. Nessa abordagem, o número é expresso como uma 
parte fracionária, chamada mantissa ou significando, e uma 
parte inteira, chamada de expoente ou característica, como 
em [2]: 
m . be Representação na forma de ponto flutuante 
Em que m é a mantissa, b é a base do sistema numérico 
que está sendo usado, e e é o expoente. Por exemplo, o 
número 156,78 poderia ser representado como 0,15678.103 
em um sistema de ponto flutuante na base 10 [2]. 
A Figura 6 mostra uma forma na qual um número em 
ponto flutuante poderia ser armazenado em uma palavra. O 
primeiro bit fica reservado para o sinal; a próxima série de 
bits, para o expoente com sinal; e os últimos bits, para a 
mantissa [2]. 
 
Figura 6 A maneira como um número em ponto flutuante é 
armazenado em uma palavra [2]. 
Observe que a mantissa está usualmente normalizada 
se ela tiver o algarismo dominante nulo. Por exemplo, 
suponha que a quantidade 1/34 = 0,029411765… seja 
armazenada em um sistema na base 10 em ponto flutuante que 
permita que apenas quatro casas decimais sejam 
armazenadas. Então, a quantidade 1/34 seria armazenada 
como 0,0294.100 [2]. 
Entretanto, nesse processo, a inclusão do zero inútil à 
direita da vírgula nos força a abandonar o algarismo 1 na 
quinta casa decimal. O número pode sernormalizado para se 
remover o zero dominante pela multiplicação da mantissa por 
10 e pela diminuição do expoente por 1 para fornecer 
0,2941.10-1 [2]. 
Assim, manteve-se um algarismo significativo 
adicional quando o número foi armazenado. 
A conseqüência da normalização é que o valor 
absoluto de m é limitado. Isto é, 1 1b m  , em que b é a 
base. Por exemplo, para um sistema na base 10, m iria variar 
entre 0,1 e 1, e para um sistema na base 2, entre 0,5 e 1 [2]. 
A representação em ponto flutuante permite que tanto 
frações quanto números muito grandes sejam expressos em 
um computador. Contudo, ela tem algumas desvantagens. Por 
exemplo, os números em ponto flutuante ocupam mais espaço 
e levam mais tempo para processar do que os números 
inteiros. Mais significativo, porém, é que seu uso introduz 
uma fonte de erros, já que a mantissa mantém apenas um 
número finito de algarismos significativos. Portanto, foi 
introduzido um erro de arredondamento [2]. 
Figura 7 a) O menor número positivo em ponto flutuante 
possível para um sistema numérico hipotético para uma 
máquina que armazena informação usando palavras de 7 
bits. O primeiro bit indica o sinal do número, os próximos 
três para o sinal e o módulo do expoente, e os três últimos 
para o módulo da mantissa. b) Cada valor é indicado por um 
traço. Apenas os números positivos são mostrados. Um 
conjunto idêntico também se estenderia na direção negativa 
[2]. 
 
A Figura 7b mostra diversos aspectos da representação 
em ponto flutuante que são significativos com relação aos 
erros de arredondamento do computador [2]: 
a) b)
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1. Existe um intervalo limitado de quantidades que podem ser 
representadas. Exatamente como no caso dos inteiros, há 
números positivos e negativos grandes que não podem ser 
representados. Tentativas de usar números fora do intervalo 
aceitável vão resultar no que é chamado de um erro de 
overflow. Entretanto, além das quantidades grandes, a 
representação em ponto flutuante tem a limitação adicional de 
que números muito pequenos também não podem ser 
representados. Isso é ilustrado pelo “buraco” causado pelo 
underflow entre zero e o primeiro número positivo na Figura 
7b. Deve ser observado que esse buraco se torna maior por 
causa da restrição de normalização da 1 1b m  [2]. 
2. Existe apenas um número finito de quantidades que podem 
ser representadas dentro do intervalo. Portanto, o grau de 
precisão é limitado. Obviamente, os números irracionais não 
podem ser representados exatamente. Além disso, os números 
racionais que não coincidem exatamente com muitos valores 
no conjunto também não podem ser representados 
precisamente. Os erros introduzidos pela aproximação em 
ambos os casos são chamados de erros de quantização. A 
aproximação propriamente dita é feita de uma das duas 
maneiras: truncando ou arredondando. Por exemplo, suponha 
que o valor de π = 3,14159265358… deva ser armazenado em 
um sistema numérico na base 10 com sete algarismos 
significativos. Um método de aproximação seria 
simplesmente omitir ou truncar o oitavo termo e os termos 
mais altos, como em π = 3,141592, com a introdução de um 
erro associado de Et = 0,00000065... [2]. 
Essa técnica de manter apenas os termos significativos 
é chamada de “truncamento” no jargão da computação. Preste 
atenção para não confundir esse termo com os erros de 
truncamento discutidos a seguir. Observe que, para o sistema 
numérico na base 2 na Figura 7b, truncar significa que 
qualquer quantidade que caia dentro de um intervalo de 
comprimento Δx será armazenada como a quantidade na 
extremidade inicial do intervalo. Assim, o limitante superior 
do erro para o truncamento é Δx. Adicionalmente, um viés é 
introduzido porque todos os erros são positivos. A deficiência 
do truncamento decorre de que termos mais altos na 
representação decimal completa não têm impacto na versão 
aproximada. Por exemplo, no exemplo de π, o primeiro 
algarismo descartado é 6. Portanto, o último dígito mantido 
deveria ser arredondado para cima para fornecer 3,141593. 
Tal arredondamento reduz o erro para Et = 0,00000035... [2]. 
Conseqüentemente, o arredondamento fornece um 
erro absoluto menor do que o truncamento. Observe que, para 
o sistema numérico na base 2 na Figura 7b, arredondar 
significa que qualquer quantidade caindo dentro de um 
intervalo de comprimento Δx será representada pelo número 
permitido mais próximo. Então, o limitante superior do erro 
para o arredondamento é Δx/2. Adicionalmente, nenhum viés 
é introduzido porque alguns erros são positivos e alguns são 
negativos. Alguns computadores usam arredondamento. 
Entretanto, isso sobrecarrega a carga computacional e, 
conseqüentemente, muitas máquinas usam simplesmente o 
truncamento [2]. 
Essa abordagem é justificada pela hipótese de que o 
número de algarismos significativos é suficientemente grande 
para que o erro de arredondamento resultante seja usualmente 
desprezível. 
3. O intervalo entre os números, Δx, aumenta quando o 
módulo dos números cresce. É essa característica, claro, que 
permite que a representação em ponto flutuante preserve os 
algarismos significativos. Mas ela também significa que o 
erro de quantização será proporcional ao módulo do número 
que está sendo representado. Para números em ponto 
flutuante normalizados, essa proporcionalidade pode ser 
expressa, para os casos em que é empregado o truncamento, 
como [2]: 
x
x 

 Proporcionalidade quando é empregado o truncamento 
e, para os casos nos quais o arredondamento é usado, 
como [2]: 
2
x
x
  Proporcionalidade quando é empregado o arredondamento 
onde ξ é chamado de épsilon da máquina, que pode 
ser calculado como [2]: 
ξ = b1-t Épsilon da máquina 
onde b é a base numérica e t é o número de algarismos 
significativos na mantissa [2]. 
Observe que as desigualdades nas equações 2
x
x
  
e 
x
x 
  significam que esses são limitantes para os erros. 
Isto é, eles especificam os piores casos [2]. 
3. Erros de truncamento 
O erro de truncamento é uma função das 
aproximações usadas no esquema numérico e é independente 
do sistema de computador. A natureza de tais aproximações 
e os seus efeitos serão discutidos posteriormente, como no 
caso de uma expansão em série de Taylor de uma função. 
Assim, os mesmos dependem do método numérico 
utilizado e por isso serão individualmente analisados ao 
estudar os vários métodos no decurso dos diferentes capítulos 
da disciplina. 
Vamos limitar aqui a análise a um exemplo concreto 
que ajuda a uma melhor percepção deste tipo de erros. 
A generalidade dos métodos numéricos, como 
veremos ao longo da disciplina, são baseados na aproximação 
de funções por polinômios. Por essa razão, quando um erro 
de um método numérico é questionado, temos de verificar a 
precisão com que o polinômio aproxima a verdadeira função. 
Sabemos que o desenvolvimento de Taylor, que é uma 
série de potências infinita, representa de forma exata uma 
função no interior de um intervalo de convergência. 
Comparando o desenvolvimento polinomial da solução 
numérica com o desenvolvimento em série de Taylor da 
solução exata, particularmente determinado para que ordem 
ocorre a discrepância, torna-se possível avaliar o erro de 
truncamento. 
Consideremos uma função f contínua e com derivadas 
contínuas, de qualquer ordem, nas vizinhanças de uma 
abcissa x = a, então f pode ser representada de forma exata e 
Cálculo Numérico Prof. Fabio Pontes 
7 
 
única em qualquer ponto x na vizinhança de x = a (mais 
exatamente, no intervalo ]a - R, a + R[ denominado intervalo 
de convergência; R é o raio de convergência da série para x = 
a) através da série de potências: 
 
Designada por representação em série de Taylor. 
A expansão de Taylor de uma função para a = 0 
(corresponde a representar a função no intervalo]-R, R[) é 
designada por série de MacLaurin. 
 
Propagação do erro 
O objetivo primordial do cálculo de erros consiste em 
dados os erros de um conjunto de quantidades, determinar o 
erro de uma dada função dessas quantidades. 
Dada uma função ( )1 2, ,..., nf x x x das variáveis 
1 2, ,..., nx x x determinar um limite superior do valor absoluto 
do erro que vem para o valor da função, f , quando se utilizam 
os valores aproximados x1, x2, ... , xn. Este problema pode ser 
resolvido com base na fórmula de propagação do erro. Deste 
modo, para n variáveis independentes 
1 2, ,..., nx x x tendo 
erros 
1 2, ,..., nx x x   , vale a seguinte relação geral: 
 
A equação anterior pode ser usada para definir 
relações de propagação de erros para operações matemáticas 
comuns. Os resultados estão resumidos na Tabela 1. 
Recomenda-se a dedução dessas fórmulas como exercícios 
para casa. 
Tabela 1 Limitantes estimados dos erros associados com as 
operações matemáticas usuais utilizando números inexatos 
 e U V [2]. 
 
Erro numérico total e acurácia de resultados numéricos 
Os erros de arredondamento e truncamento são as duas 
maiores fontes de inacurácia em soluções numéricas. 
Entretanto, vários outros erros podem estar presentes. Dentre 
estes, um importante é o erro devido a incompleta 
convergência de uma solução iterativa. 
Em problemas onde o domínio de uma variável 
independente é discretizada (x) uma diminuição de x leva 
a um aumento no número de cálculos e, logo, um aumento no 
erro de arredondamento. Por outro lado, o erro de 
truncamento é reduzido quando x diminui. O erro global ou 
total, resultante da soma destes dois erros apresenta um ponto 
de mínimo, como pode ser visto na Figura 8, abaixo. 
Figura 8 Variações dos erros com o tamanho de x (log 
erro vs log x). 
 
Estabilidade numérica e condicionamento 
 Uma outra consideração importante, relacionada 
com os erros e a acurácia de uma solução numérica, é a 
estabilidade numérica. Este fato está relacionado diretamente 
na solução de equações diferenciais parciais. A instabilidade 
em esquemas numéricos está relacionada com a amplificação 
de pequenos erros introduzidos pelo próprio esquema de 
discretização [2]. 
O condicionamento de um problema matemático se 
relaciona com sua sensibilidade a variações em seus valores 
de entrada. Diz-se que um cálculo é numericamente instável 
se as incertezas dos valores de entrada são brutalmente 
aumentadas pelo método numérico. Essas ideias podem ser 
estudadas usando-se a série de Taylor de primeira ordem [2]: 
 
Essa relação pode ser empregada para se estimar o 
erro relativo de f (x) como em [2]: 
 
O erro relativo de x é dado por [2]: 
r
x x
E
x
−
= 
Um número de condicionamento pode ser definido 
como a razão desses erros relativos [2]: 
 
O número de condicionamento fornece uma medida da 
extensão pela qual uma incerteza em x é ampliada por f (x). 
Um valor 1 diz que o erro relativo da função é idêntico ao erro 
relativo em x. Um valor maior que 1 diz que o erro relativo 
foi ampliado, enquanto um valor menor do que 1 diz que foi 
Cálculo Numérico Prof. Fabio Pontes 
8 
 
atenuado. Funções com valores muito grandes são ditas mal 
condicionadas. Qualquer combinação de fatores na equação 
do número de condicionamento que aumente o valor 
numérico do número de condicionamento tenderá a aumentar 
as incertezas no cálculo de f (x) [2]. 
4. Erros inerentes ao modelo ou erros de formulação 
Os erros de formulação ou do modelo se relacionam 
com vieses que podem ser atribuídos a modelos matemáticos 
incompletos. Um exemplo de um erro de formulação 
desprezível é o fato de a segunda lei de Newton não levar em 
conta efeitos relativísticos. Isso não afeta a adequação da 
solução do exemplo da queda livre de um paraquedista 
porque esses erros são mínimos nas escalas de tempo e espaço 
associadas com este problema. Contudo, suponha que a 
resistência do ar não seja linearmente proporcional à 
velocidade de queda, mas uma função do quadrado da 
velocidade. Se este fosse o caso, soluções analítica e 
numérica poderiam estar erradas por causa do erro de 
formulação em função de uma simplificação. É necessário 
estar ciente desses problemas e perceber que, ao se trabalhar 
com um modelo precariamente concebido, nenhum método 
numérico fornecerá resultados adequados [2]. 
5. Erros inerentes aos dados ou incertezas nos dados 
Erros, algumas vezes, entram em uma análise por 
causa de incertezas nos dados físicos nos quais um modelo é 
baseado. Por exemplo, suponha que se queira testar o modelo 
do paraquedista em queda livre fazendo com que um 
indivíduo pule repetidas vezes e então medindo sua 
velocidade depois de um intervalo de tempo especificado. 
Incertezas estariam sem dúvida associadas a tais medidas, já 
que o paraquedista cairia mais rapidamente durante alguns 
saltos do que em outros. Esses erros podem exibir tanto falta 
de acurácia quanto imprecisão. Se os instrumentos 
consistentemente subestimarem ou superestimarem a 
velocidade, o profissional está lidando com um aparelho não-
acurado ou com viés. Por outro lado, se as medidas forem 
aleatoriamente altas e baixas, trata-se de uma questão de 
precisão [2]. 
Os erros nas medidas podem ser quantificados 
resumindo os dados com uma ou mais estatísticas bem 
escolhidas que transfiram tanta informação quanto possível 
com relação às características específicas dos dados. Essas 
estatísticas descritivas são mais frequentemente escolhidas 
para representar (1) a posição do centro da distribuição de 
dados e (2) o grau de dispersão dos dados. Como tal, elas 
fornecem uma medida do viés e da imprecisão, 
respectivamente [2]. 
Embora seja necessário estar ciente dos enganos, erros 
de formulação e incerteza nos dados, os métodos numéricos 
usados para construir modelos podem ser estudados, na maior 
parte, independentemente de tais erros. Portanto, na maior 
parte deste curso, a suposição é de que não foram cometidos 
erros grosseiros, o modelo é seguro, e as medidas estão livres 
de erro. Nessas condições, é possível estudar os erros 
numéricos sem fatores complicadores [2]. 
 
Referências Bibliográficas 
[1] BLANCO, Cláudio J. C., MACÊDO, Emanuel N. Notas 
de Aula - Métodos Numéricos. Programa de Pós-Graduação 
em Engenharia de Recursos Naturais da Amazônia 
(PRODERNA). 2009. 
[2] CHAPRA, Steven C. Métodos Numéricos Aplicados 
Com MATLAB para Engenheiros e Cientistas. 3ª Edição. 
McGraw Hill. 2013. 
 
Cálculo Numérico Prof. Fabio Pontes 
9 
 
Exercícios de Teoria de Erros e Aritmética de Ponto 
Flutuante 
01. Suponha que você tenha a tarefa de medir os 
comprimentos de uma ponte e de um rebite e que conseguiu 
9.999 e 9 cm, respectivamente. Se os valores verdadeiros 
forem 10.000 e 10 cm, respectivamente, calcule (a) o erro 
verdadeiro e (b) o erro relativo porcentual verdadeiro para 
cada caso. 
02. Calcule o erro absoluto do número π, se o valor exato é π 
= 3,14159265 e o valor aproximado é  = 22/7 = 
3,14285714. 
03. Pretende-se calcular a área de um terreno circular, de raio 
aproximadamente igual a 250m. Usando 3,14 para valor 
aproximado de π, quantos algarismos significativos apresenta 
o valor da área? 
04. Em matemática, as funções, em geral, podem ser 
representadas por séries infinitas. Por exemplo, a função 
exponencial pode ser calculada usando-se 
 
Portanto, conforme mais termos forem adicionados em 
sequência, a aproximação se torna uma estimativa cada vez 
melhor do valor verdadeiro de ex. A Equação é chamada de 
expansão em série de MacLaurin. Começando com a versão 
mais simples, ex = 1, some um termo de cada vez para estimar 
e0,5. Depois que cada termo for adicionado, calcule o erro 
verdadeiro e o erro relativo porcentual aproximado, 
respectivamente. Observe que o valor verdadeiro é e0,5 = 
1,648721... Adicione termos até que o valor absolutodo erro 
estimado aproximado εa esteja dentro do critério de erro pré-
especificado εs que garanta três algarismos significativos. 
05. Faça a representação em série de MacLaurin das funções: 
a) sen(x) e b) cos(x). 
06. Determine o intervalo dos inteiros na base 10 que pode 
ser representado em um computador de 16 bits. 
07. Crie um conjunto de números hipotéticos em ponto 
flutuante para uma máquina que armazena informação 
usando palavras de 7 bits. Use o primeiro bit para o sinal do 
número, os próximos três para o sinal e o módulo do 
expoente, e os três últimos para o módulo da mantissa. 
08. Determine o épsilon da máquina e verifique sua 
efetividade na caracterização dos erros do sistema numérico 
do exercício anterior. Suponha que seja usado truncamento. 
09. Investigue o efeito do erro de arredondamento em um 
número grande de cálculos interdependentes. Desenvolva um 
programa para somar um número 100.000 vezes. Some o 
número 1 em precisão simples, e 0,00001 em precisão 
simples e dupla. 
10. Calcule os valores das raízes de uma equação quadrática 
com a = 1, b = 3000.001 e c = 3. Compare os valores 
calculados com as raízes verdadeiras x1 = - 0,001 e x2 = - 
3000. 
11. A função exponencial y = ex é dada pela série infinita: 
 
Calcule esta função para x = 10 e x = - 10 e preste atenção aos 
problemas dos erros de arredondamento. 
12. Da análise matemática sabem que existe o limite 
( )1lim 1
x
x
x→
+ e que o seu valor é o número irracional e. Para 
que este número seja utilizado, é necessário conhecer o seu 
valor. Através da sua definição não é possível calcular o seu 
valor exato, tanto pela complexidade das operações a efetuar 
como pela impossibilidade de atingir o limite. Recorre-se 
então a um processo de cálculo mais simples, que fornece um 
valor aproximado desse número dentro de um certo grau de 
precisão considerado satisfatório. Calcule o valor aproximado 
para este limite utilizando o desenvolvimento em série de 
Taylor de ex e truncando a série em oito termos. 
13. Determinar um limite superior do erro absoluto do volume 
de uma esfera, V = (1/6)πd3 , se o diâmetro é d = 3.7 ± 0.05 
cm e π ≅ 3.14. 
14. Com relação a teoria de erros e aritmética de ponto 
flutuante, escolha o único item incorreto: 
a) Um modelo matemático raramente oferece uma 
representação exata dos fenômenos reais. Na grande maioria 
dos casos são apenas modelos idealizados, já que ao estudar 
os fenômenos da natureza nos vemos forçados, em regra 
geral, a aceitar certas condições que simplificam o problema 
de forma a torná-lo tratável. Esse tipo de aproximação 
provoca os chamados erros inerentes ao modelo. 
b) Os erros inerentes aos dados são gerados uma vez que um 
modelo matemático não contém apenas equações e relações, 
mas também contém dados e parâmetros que, 
frequentemente, são medidos experimentalmente, e portanto, 
aproximados. As aproximações nestes dados podem ter 
grande repercussão no resultado final. 
c) Muitas equações têm soluções que apenas podem ser 
construídas no sentido que um processo de solução infinito 
possa ser descrito como limite da solução em questão. Na 
prática um processo infinito não pode ser completado e por 
isso tem de ser truncado após certo número finito de 
operações. A substituição de um processo de solução infinita 
por um processo finito (truncamento), resulta num certo tipo 
de erro designado erro de truncamento. 
d) Seja em cálculos que estejam sendo efetuados 
manualmente ou ainda em cálculos obtidos por computador 
somos obrigados a utilizar uma aritmética de precisão finita, 
ou seja, devemos considerar um número finito de dígitos. O 
erro que ocorre ao desconsiderar algarismos e arredondar um 
número é designado por erro de arredondamento. 
e) Os erros de truncamento e os erros de arredondamento são 
erros iniciais do problema, exteriores ao processo de cálculo, 
enquanto que os erros inerentes ao modelo e os erros inerentes 
aos dados ocorrem no processo de cálculo duma solução 
numérica.