Cálculo Numérico: aprendizagem com apoio de software- Selma Arenales em pdf

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CálculoCálculo
 Numérico Numérico
Selma ArenalesSelma Arenales
 Artur Darez Artur Darezzozo
 Aprendizagem co Aprendizagem com apoio de som apoio de softwareftware
Cálculo NuméricoCálculo Numérico
Aprendizagem com Apoio de Software Aprendizagem com Apoio de Software 
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Arenales, Selma
Cálculo numérico : aprendizagem com apoio de
software / Selma Arenales, Artur Darezzo. --
São Paulo: Cengage Learning, 2010.
1ª reimpr. da 1ª ed. de 2008.
Bibliografa.
ISBN 
1. Cálculo numérico 2. Cálculo numérico – Problemas,
exercícios etc. I. Darezzo, Artur. II. Título.
07-6796 CDD-515.07
Índices para catálogo sistemático:
1. Cálculo numérico : Estudo e ensino 515.4092
Selma Arenales
Artur Darezzo
Cálculo Numérico
 Aprendizagem com Apoio de Software 
Austrália • Brasil • Japão • Coréia • México • Cingapura • Espanha • Reino Unido • Estados Unidos
Cálculo Numérico: Aprendizagem com apoio
de software
Selma Arenales
Artur Darezzo
Gerente Editorial: Patricia La Rosa
Editora de Desenvolvimento: Ligia Cosmo Cantarelli
Supervisor de Produção Editorial: Fábio Gonçalves
Produtora Editorial: Renata Siqueira Campos
Supervisora de Produção Gráfica: Fabiana Alencar
Albuquerque
Copidesque: Sueli Bossi da Silva
Revisão: Gisele Múfalo
Diagramação: Segmento & Co. Produções Gráficas
Ltda.
Capa: Eduardo Bertolini
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Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste livro po-
derá ser reproduzida, sejam quais forem os meios empregados,
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 Impresso no Brasil.
 Printed in Brazil.
1 2 3 4 5 6 7 11 10 09 08
Ao Marcos Arenales, meu esposo,
aos meus pais Maria e Sebastião Vasconcelos e
à minha família de amigos.
Com carinho para minha esposa Regina,
companheira de todas as jornadas e
aos meus filhos Helga, Fabiana e João Paulo.
Prefácio IX 
Agradecimentos X 
 Capítulo 1 Erros em processos numéricos 1
1.1 Introdução 1
1.2 Erros na fase da modelagem 2
1.3 Erros na fase de resolução 2
1.4 Erros de representação 5
1.5 Erro de arredondamento 10
1.6 Erro absoluto 10
1.7 Erro relativo 11
1.8 Erro de truncamento 12
1.9 Propagação dos erros 14
Exercícios 16
Capítulo 2 Solução numérica de sistemas de equações lineares e
matrizes inversas 19
2.1 Introdução 19
2.2 Sistemas de equações lineares 19
2.3 Métodos diretos 21
2.4 Matrizes inversas 46
2.5 Condicionamento de sistemas lineares 49
2.6 Métodos iterativos 49
2.7 Trabalhando com o Software Numérico 65
Exercícios 68
Capítulo 3 Solução numérica de equações 73
3.1 Introdução 73
3.2 Localização das raízes: métodos gráficos 74
3.3 Métodos numéricos para resolução de equações 76
3.4 Equações polinomiais 96
3.5 Sistemas de equações não lineares 106
Sumário
viii Cálculo Numérico
Capítulo 4 Aproximação de funções 127
4.1 Introdução 127
4.2 Interpolação polinomial 127
4.3 Fórmula interpolatória de Lagrange 132
4.4 Interpolação linear 138
4.5 Fórmula interpolatória de Newton 141
4.6 Interpolação inversa 148
4.7 Fórmula interpolatória de Newton-Gregory 153
4.8 Aproximação de funções – o método dos mínimos quadrados 157
4.9 Trabalhando com o Software Numérico 182
Exercícios 185
Capítulo 5 Integração numérica 189
5.1 Introdução 189
5.2 Fórmulas de quadratura de Newton-Cotes 191
5.3 Erro cometido na integração numérica 192
5.4 Regra dos trapézios 193
5.5 Regra 1/3 de Simpson 200
5.6 Regra 3/8 de Simpson 208
5.7 Fórmula de quadratura de Gauss 216
5.8 Integração dupla 223
5.9 Trabalhando com o Software Numérico 227
Exercícios 229
Capítulo 6 Solução numérica de equações diferenciais ordinárias 233
6.1 Introdução 233
6.2 Problema de valor inicial (PVI) 236
6.3 Discretização 241
6.4 Métodos baseados em série de Taylor 242
6.5 Métodos de Runge-Kutta 251
6.6 Métodos previsor-corretor 269
6.7 Trabalhando com o Software Numérico 278
Exercícios 282
Capítulo 7 Manual do Software Numérico 285
7.1 Introdução 286
7.2 Objetivos 286
7.3 Software Numérico – Módulos desenvolvidos 286
7.4 Abertura do Software Numérico 287
7.5 Descrição dos módulos do Software Numérico 288
Referências bibliográ  ficas 361
Índice remissivo 363
Este livro foi projetado e escrito com o objetivo de oferecer aos estudantes de
ciências exatas um material didático simples e de fácil entendimento dos tópi-
cos de um curso básico de Cálculo Numérico, de um semestre, nas instituições
de ensino superior.
Originado a partir de uma apostila, Notas de Cálculo Numérico , escrita pe-
los autores e pelos professores que ministravam a disciplina de Cálculo Nu-
mérico e publicada pelo Departamento de Matemática, conforme Darezzo, A. F.;
 Arenales, S. H. V. et al. (1992), esta obra reflete a experiência de muitos anos dos
autores, no ensino da disciplina Cálculo Numérico para diferentes cursos do
Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia da Universidade Federal de São
Carlos – UFSCar.
 O livro é composto de sete capítulos contendo os principais tópicos abor-
dados numa disciplina básica de Cálculo Numérico nas universidades, apre-
sentando os métodos numéricos com desenvolvimento teórico e os respectivos
algoritmos descritos de forma simples, com exemplos e listas de exercícios para
fixação do conteúdo.
 Alguns resultados do Cálculo Diferencial Integral, da Álgebra Linear e da
Geometria Analítica foram utilizados no decorrer dos capítulos, considerando
que os alunos tenham estes conhecimentos.
 Juntamente com este livro desenvolvemos o Software Numérico de apoio
ao ensino/aprendizagem de tópicos básicos de Cálculo Numérico, no qual con-
ceitos e resultados dados em sala de aula são reforçados em aulas de exercícios
nos laboratórios computacionais. O Software Numérico relaciona cinco módulos:
Sistemas Lineares, Raízes de Funções, Interpolação e Aproxi mação de Funções,
Integração Numérica e Equações Diferenciais Ordinárias.
Este software  foi desenvolvido inicialmente durante o Projeto de Rees-
truturação do Ensino de Engenharia – Projeto Reenge (1996), em seguida foi
aperfeiçoado e tem sido utilizado como ferramenta metodológica, em aulas
Prefácio
x Cálculo Numérico
de exercícios, para todas as turmas de Cálculo Numérico no Laboratório de
Ensino do Departamento de Matemática da UFSCar.
Acreditamos, também, que este material possa ser aplicado em cursos na
modalidade Ensino a Distância, o qual o professor, com listas de exercícios
 bem elaboradas, reforça e melhora a aprendizagem desses assuntos, com
a aplicação do Software Numérico, que contém um  Arquivo de Correção , o
qual armazena todas as etapas de execução dos exercícios feitos pelos alunos.
Posteriormente, o professor pode acessá-lo, analisá-lo e realizar comentários
sobre tentativas, erros e acertos dos alunos estabelecendo uma interação pro-
fessor/aluno a distância, que pode ser encontrado para download no site da
Editora Thomson (www.thomsonlearning.com.br).
O  Manual do Software Numérico, no qual o usuário possui, de forma
simples e clara, um resumo sobre os métodos numéricos desenvolvidos nos
capítulos anteriores deste livro com exemplos ilustrativos, além de infor-
mações sobre o uso, sintaxe, entrada de dados e todos os esclarecimentos
à disposição no  Help On Line pode ser encontrado no CD que acompanha
este livro.
O usuário pode instalar o software de maneira simplesutilizando a
senha 6028.
Este software  também foi usado, numa experiência de ensino na dis-
ciplina de Cálculo Numérico, integrado com o uso de Mapas Conceituais.
Com esta metodologia de ensino/aprendizagem foi possível observar efeitos,
influências, benefícios e dificuldades, tanto nas atividades em sala de aula
como em aulas de laboratório, conforme publicação Salvador, J. A.; Arenales,
S. H. V. et al. (2003).
Agradecimentos
Aos estudantes da UFSCar e do Centro Universitário Central Paulista – Unicep,
pelo retorno positivo nas versões preliminares que nos incentivou a publi-
car este livro.
Aos colegas do Departamento de Matemática da UFSCar que de alguma
forma acompanharam este trabalho e acreditaram no seu desenvolvimento,
através do incentivo diário e de sugestões para que os objetivos propostos
fossem alcançados.
Em especial, ao Professor Dr. Marcos Nereu Arenales, docente do Depar-
tamento de Matemática Aplicada e Estatística – ICMC-USP-São Carlos, pela
leitura e pelas sugestões pertinentes nos diversos capítulos deste livro.
Selma Arenales
 Artur Darezzo
1.1 Introdução
De uma maneira geral, a resolução de um problema de qualquer área do conhe-
cimento científico passa inicialmente por uma fase de observação e entendimento
do fenômeno físico envolvido na qual, usando conhecimentos já estabelecidos,
 buscamos, através de simplificações, quando necessárias, a construção de
um modelo matemático que represente, com a maior fidelidade possível,
o problema que desejamos tratar. Esta etapa é caracterizada como fase da
modelagem do modelo matemático.
Com o problema representado através de um modelo matemático, bus-
camos, para a sua resolução, um método exato quando possível, ou, quando
não, um método numérico aproximado.
Mesmo quando utilizamos na resolução do modelo matemático um mé-
todo exato, isto é, um método que apresenta a solução exata para o modelo,
pelo fato de este envolver um número muito grande de operações elemen-
tares (adição, multiplicação, subtração e divisão) e, sendo estas processadas
em equipamento com capacidade limitada para armazenar dados, podemos
cometer erros.
Por outro lado, quando optamos, em razão da complexidade do modelo
matemático, pela resolução através de um método numérico, além dos erros
no processamento anteriormente mencionados, podemos também cometer
erros provenientes do fato de utilizarmos, para a resolução do modelo mate-
mático, um algoritmo aproximado. Esta etapa é caracterizada como fase de
resolução do modelo matemático.
Podemos entender as duas fases descritas anteriormente através do es-
quema representado na Figura 1.1.
Neste capítulo apresentamos os principais erros que podem ocorrer na
fase da resolução de um problema. Os erros cometidos devido à mudança
Erros em Processos Numéricos
Capítulo 1
2 Cálculo Numérico
da base de processamento, os erros de representação, devido ao sistema uti-
lizado pelos computadores para armazenar dados numéricos; os erros de
arredondamento e truncamento; e erros absolutos e relativos.
1.2 Erros na fase da modelagem
São os erros decorrentes de simplificações, muitas vezes necessárias, para
que o fenômeno da natureza que estivermos observando possa ser repre-
sentado por um modelo matemático e que tenha condições de ser tratado
com as ferramentas matemáticas disponíveis.
1.3 Erros na fase de resolução
São erros provenientes da utilização de algum equipamento, como, por exem-
plo, um computador, para processarmos os cálculos necessários à obtenção de
uma solução para o modelo matemático. Tais erros ocorrem devido ao fato
de os equipamentos terem capacidade limitada para armazenar os dígitos
significativos de valores numéricos utilizados nas operações elementares de
adição, multiplicação, subtração e divisão.
Os erros nesta fase de resolução podem ser classificados em erros na
mudança de base e erros de representação, apresentados a seguir:
Erros na mudança da base 
A maioria dos equipamentos computacionais representa os valores numé-
ricos no sistema binário. Assim, quando os dados numéricos presentes nos
modelos matemáticos são lidos, estes são transformados em uma outra base
de representação
Figura 1.1
Erros em Processos Numéricos 3
Acontece, muitas vezes, que esta transformação pode ser acometida de
erros, em razão da limitação da representação do equipamento computacio-
nal que estamos utilizando para o processamento dos dados numéricos.
Dado um número real, N, é sempre possível representá-lo em qualquer
 base b, da seguinte forma:
N a b b i
i
i n
m
=
=
∑ ×
onde a bi ∈ −{ }0 1 2 3 1, , , ,...,( ) , com n e m inteiros.
Base binária
m
i
2 i
i n
N a ×2
=
= ∑ , { }ia 0,1∈
Exemplo 1.1
a) 0 1 2 32(1011) 1× 2 1× 2 0 × 2 1× 2= + + +
Neste caso, o binário só tem a parte inteira, isto é, i = 0, 1, 2, 3, e temos:
0 1 2 31, 1, 0, 1= = = =a a a a
b) 2 1 0 1 22(111.01) 1 × 2 0 × 2 1 × 2 1 × 2 1 × 2
− −= + + + +
Neste caso, o binário tem parte inteira e parte fracionária, isto é, n = –2 e
m = 2, e portanto:
2 1 0 1 21, 0, 1, 1, 1− −= = = = =a a a a a
Base decimal
m
i
10 i
i n
N a ×10
=
= ∑ , { }ia 0, 1, ..., 9∈ , com n e m inteiros.
Exemplo 1.2
a) 0 1 210(231) 1×10 3 ×10 2 ×10= + +
Neste caso, o número na base decimal é inteiro, i = 0, 1, 2 e temos:
0 1 21, 3, 2= = =a a a
b) 2 1 0 1 210(231.35) 5 ×10 3 ×10 1×10 3 ×10 2 ×10
− −= + + + +
Neste caso, o número na base decimal tem parte inteira e parte fracionária,
n = –2 e m = 2, e temos:
2 1 0 1 25, 3, 1, 3, 2− −= = = = =a a a a a
Assim, dado um número real qualquer numa base b, podemos escrevê-lo
em uma outra base b’, a partir de adequação conveniente de seus coeficien-
tes a  = 0, 1, 2, 3, ..., (b – 1) e de uma potência adequada na nova base b’
4 Cálculo Numérico
Mudança da base binária para a base decimal 
Procedimento: multiplicar o dígito binário por uma potência adequada de 2.
Exemplo 1.3
a) 0 1 2 32 10(1101) 1× 2 0 × 2 1× 2 1× 2 (13 )= + + + =
b) 3 2 1 0 1 22 10(111.011) 1× 2 1× 2 0 × 2 1× 2 1× 2 1× 2 (7.375)
− − −
= + + + + + =
Mudança da base decimal para a base binária (número na base
decimal tem somente a parte inteira)
Procedimento: divisões sucessivas.
O procedimento consiste na divisão do número na base decimal sucessi-
 vamente por 2, armazenando, a cada passo, o algarismo do resto (r), até que o
quociente da divisão seja igual a 1. O binário é constituído pelo quociente 1
e pelos coeficientes do resto da divisão, a partir do resto mais significativo
(rn – 1 ) para o menos significativo (r1 ). Desta forma, temos:
N10 = (1 rn – 1 rn – 2 rn – 3 ... r3 r2 r1 )2
Exemplo 1.4
a) 0 1 2 3 410 2( 25) (11001) 1 × 2 0 × 2 0 × 2 1× 2 1× 2= = + + + +  , isto é:
25 ÷ 2 = 12 e resto = 1, 12 ÷ 2 = 6 e resto = 0, 6 ÷ 2 = 3 e resto = 0
3 ÷ 2 = 1 e resto = 1.
b) 0 1 2 310 2(11) (1011) 1× 2 1× 2 0 × 2 1× 2= = + + +
Mudança da base decimal para a base binária (número na base
decimal tem somente a parte fracionária)
Procedimento: multiplicações sucessivas.
O procedimento é constituído dos seguintes passos:
a) Multiplicamos o número fracionário por 2.
b) Do resultado do passo a), a parte inteira é o primeiro dígito binário.
c) Do resultado do passo b), a parte fracionária é novamente multiplicada
por 2.
d) O processo continua até que a parte fracionária seja nula.
Exemplo 1.5
a) 1 2 3 4 3 1610 2 10( 0.1875) ( 0.0011) 0 × 2 0 × 2 1 × 2 1 × 2 ( )
− − − −
= = + + + =  , isto é:
(0.1875)(2) = 0.375 → parte inteira = 0 e parte fracionária = 0.375
(0.375)(2) = 0.75 → parte inteira = 0 e parte fracionária = 0.75
(0.75)(2) = 1.5 → parte inteira = 1 e parte fracionária = 0.5
(0.5)(2) = 1.0 → parte inteira = 1 e parte fracionária = 0
Erros em Processos Numéricos 5
b) 10 10 10 2 2 2(13.25) (13) (0.25) (1101) (0.01) (1101.01)= + = + =
c) 10 2( 0.2) ( 0.001100110011...)=
Observe que (0.2)10 é uma dízima periódica de período (0.0011). Assim, o
decimal (0.2)10 não tem uma representaçãobinária exata, isto é, a representação
é aproximada e, portanto, apresenta erro.
1.4 Erros de representação
Na construção de um equipamento computacional, uma questão importante a
ser considerada em sua arquitetura é a forma que será adotada para represen-
tar os dados numéricos. Basicamente, na memória de um equipamento, cada
número é armazenado em uma posição que consiste de um sinal que identifica
se o número é positivo ou negativo e um número fixo e limitado de dígitos
significativos.
De maneira geral, destacamos o seguinte sistema de armazenamento de
 valores numéricos:
Sistema de ponto fl utuante normalizado 
Um número no sistema de ponto flutuante é caracterizado por uma base b , um
número de dígitos significativos n e um expoente exp.
Dizemos que um número real nr está representado no sistema de ponto
flutuante se for possível escrevê-lo da seguinte maneira:
nr = m × bexp
onde m é a mantissa do número, 2≥b  é a base e exp é o expoente da base.
Neste sistema de ponto flutuante, as seguintes condições devem ser
 verificadas:
m = ± 0. d1 d2 ... dnMn ∈ N
sendo n o número máximo de dígitos na mantissa, d 1 , d2 , ..., dn , dígitos sig-
nificativos da mantissa, do sistema de representação, com o primeiro
dígito satisfazendo a condição 11 d (b 1)≤ ≤ −  e os demais dígitos satisfazendo
i0 d (b 1)≤ ≤ −  ; i = 2, 3, ..., n.
O expoente exp varia da seguinte maneira:
mí n máxexp exp exp≤ ≤
sendo mí nexp 0≤  e máxexp 1≥  com expmín e expmáx inteiros.
 A união de todos os números em ponto flutuante, juntamente com a re-
presentação do zero, constitui o sistema de ponto flutuante normalizado, que
indicamos por SPF (b, n, expmín , expmáx)
6 Cálculo Numérico
Neste sistema, o zero é representado da seguinte maneira:
zero :0.0000.......0 bexpmín
Considerando o sistema de ponto flutuante normalizado dado na forma
genérica por SPF (b, n, expmín , expmáx) , temos:
a) O menor positivo exatamente representável, não nulo, é o real formado
pela menor mantissa multiplicada pela base elevada ao menor expoen-
te, isto é:
menor = (0.1000.......0) bexpmín
b) O maior positivo exatamente representável é o real formado pela maior
mantissa multiplicada pela base elevada ao maior expoente, isto é:
maior = (0 . [b 1][b  1] ... [b  1]) bexpmáx
c) O número máximo de mantissas positivas possíveis é dado por:
1n b)1 b(mantissas −
+
−=
d) O número máximo de expoentes possíveis é dado por:
possíveis máx mí nexp exp exp 1= − +
e) O número de elementos positivos representáveis é dado pelo produto en-
tre o número máximo de mantissas pelo máximo de expoentes, isto é:
possíveisNR mantissas × exp+ +=
Se considerarmos que dado um número real ∈nr SPF   temos que
− ∈nr SPF e a representação do zero, podemos concluir que o número total
de elementos exatamente representáveis NRt é dado por:
tNR 2 × NR 1+= +
Exemplo 1.6
Considere o sistema de ponto flutuante SPF (b, n, expmín , expmáx) = SPF (3, 2,
–1, 2) , isto é, de base 3, 2 dígitos na mantissa, menor expoente igual a –1 e maior
expoente 2. Para este sistema temos:
a) O menor exatamente representável:
1 1 2 1 10 10 × 3 (1× 3 0 × 3 ) × 3− − − −= + =
n vezes
        
(n–1) vezes
        
n vezes
         
Erros em Processos Numéricos 7
b) O maior exatamente representável:
1 22 20.22 × 3 (2 × 3 2 × 3 )× 3 8− −= + =
c) A quantidade de reais positivos exatamente representáveis:
Temos que a quantidade de reais positivos exatamente representáveis é
dada pelo produto entre todas as mantissas possíveis de dois dígitos, formadas
com os dígitos da base 3, isto é, 0.10, 0.11, 0.12, 0.20, 0.21, 0.22, e todas as pos-
sibilidades de expoentes, que no caso são –1, 0, 1, 2.
Desta forma, os 24 positivos exatamente representáveis estão listados
a seguir:
1
0
1
2
exp 1: 0.10 × 3 1/9
exp 0: 0.10 × 3 1/3
exp 1: 0.10 × 3 1
exp 2: 0.10 × 3 3
−= − =
= =
= =
= =
1
0
1
2
exp 1: 0.11× 3 4/27
exp 0: 0.11× 3 4/9
exp 1: 0.11× 3 4/3
exp 2: 0.11× 3 4
−= − =
= =
= =
= =
1
0
1
2
exp 1: 0.12 × 3 5/27
exp 0: 0.12 × 3 5/9
exp 1: 0.12 × 3 5/3
exp 2: 0.12 × 3 5
−= − =
= =
= =
= =
1
0
1
2
exp 1: 0.20 × 3 2/9
exp 0: 0.20 × 3 2/3
exp 1: 0.20 × 3 2
exp 2: 0.20 × 3 6
−= − =
= =
= =
= =
1
0
1
2
exp 1: 0.21× 3 7/27
exp 0: 0.21× 3 7/9
exp 1: 0.21× 3 7/3
exp 2: 0.21× 3 7
−= − =
= =
= =
= =
1
0
1
2
exp 1: 0.22 × 3 8/27
exp 0: 0.22 × 3 8/9
exp 1: 0.22 × 3 8/3
exp 2: 0.22 × 3 8
−= − =
= =
= =
= =
Observe que o menor real positivo representável é
1
9
 e o maior positivo
representável é o real 8.
Por outro lado, sabemos que se um real x ∈SPF então –x ∈SPF e, como
no sistema de ponto flutuante normalizado o zero é uma representação, te-
mos que os representáveis de SPF pertencem ao conjunto:
R =  {}1 1x; x , 8 8, 09 9   ∈ − −      ∪ ∪ 
8 Cálculo Numérico
Todos os reais que não pertencem à união dos intervalos anteriores não
são representáveis e qualquer tentativa de representação fora dos intervalos an-
teriores constitui-se em uma mensagem de erro, isto é,
Erro de Underflow , se a tentativa de representação satisfizer:
Erro de Overflow , se a tentativa de representação satisfizer:
Se marcarmos os reais exatamente representáveis na reta real, verifica-
remos, num primeiro momento, uma maior concentração de representáveis nas
proximidades do zero e uma menor concentração à medida que nos afastamos da
origem e que, aparentemente, não existe uma uniformidade na sua distribuição.
No entanto, é possível observar que os representáveis definidos através do
produto de cada uma das mantissas multiplicada pela base elevada ao mesmo
expoente são igualmente espaçados na representação sobre a reta.
 Assim, os reais
10.10×3−  , 10.11×3−  , 10.12×3−  , 10.20×3−  , 10.21×3−  , 10.22×3−
são igualmente espaçados por 3
1
h
27
= .
Os reais
00.10×3  , 00.11× 3  , 00.12×3  , 00.20×3  , 00.21×3  , 00.22×3
são igualmente espaçados por 2
1
h
9
= .
Enquanto os reais
10.10×3 , 10.11×3 , 10.12×3 , 10.20×3 , 10.21×3 , 10.22×3
são espaçados por 1
1
h
3
= .
E os reais representados por
20.10×3  , 20.11×3  , 20.12×3  , 20.20×3  , 20.21× 3  , 20.22×3
são igualmente espaçados por h0 = 1.
De modo geral, podemos representar o espaçamento entre os representá-
 veis exatamente da seguinte maneira:
i i
1
h ; i 0, 1, 2, 3
3
= =
Exemplo 1.7
Considere o sistema de ponto flutuante SPF (2, 3, –1, 2) , isto é, de base 2, 3
dígitos na mantissa, menor expoente igual a –1 e maior expoente 2.
Erros em Processos Numéricos 9
Para este sistema temos 16 reais positivos exatamente representáveis
além do zero.
A representação na reta real de alguns dos reais positivos do sistema
SPF (2, 3, –1, 2) pode ser visualizada através da Figura 1.2:
Figura 1.2
Observe que o menor positivo exatamente representável é 1/4 e o
maior é 7/2.
Exemplo 1.8
Considere o sistema de ponto flutuante normalizado SPF (3, 2, –1, 2), de base
3, 2 dígitos na mantissa, menor expoente igual a –1 e maior expoente 2.
Para este sistema, temos que:
1
3
1
x ( 0.10 ) × 3
9
−= = e 23y 5 (0.12) × 3= =
são exatamente representáveis, no entanto,( ) ( . ) ( . )x y+ = +0 00010 3 0 123
2
3× ×
( . )=3 0 1201 32 3
2× não é exatamente representável em SPF, uma vez que no
sistema de ponto flutuante considerado a mantissa é de 2 dígitos.
Observação
Pode ocorrer de outras propriedades consagradas no conjunto dos números
reais não serem verdadeiras, no sentido da exatidão da representação, no
sistema de ponto flutuante normalizado, como as propriedades comuta-
tiva e associativa na adição, e as propriedades comutativa e distributiva na
multiplicação.
Exemplo 1.9
Dados x , y , z ∈ℜ e o sistema de ponto flutuante normalizado SPF (3, 2, –1, 2),
temos:
Se 13
5
x (0.12) × 3
3
= = , 13
7
y (0.21) × 3
27
−= =  e 03
8
z (0.22) × 3
9
= =
temos:
( ) 1x y z 0 22 × 3+ + = e ( ) 1x y z 0 21× 3+ + =
10 Cálculo Numérico
Podemos observar que:
x +(y + z) ≠ (x + y) + z
1.5 Erro de arredondamentoQuando estamos utilizando um equipamento computacional para proces-
sar uma determinada operação aritmética, se o número obtido não pertencer
às regiões de Underflow ou de Overflow e este não é representável exata-
mente no sistema de ponto flutuante SPF o mesmo será representado de forma
aproximada por nra.
Esta aproximação será caracterizada como um arredondamento do
real nr, para que sua representação seja possível no SPF.
Assim, dizemos que um número na base decimal nr foi arredondado
na posição k se todos os dígitos de ordem maior que k forem descartados
segundo o seguinte critério:
a) O dígito de ordem k é acrescido de uma unidade se o de ordem (k + 1)
for maior que a metade da base. Caso contrário, o número nr é repre-
sentado com os k dígitos iniciais.
 b) Se o dígito de ordem (k + 1) é exatamente a metade da base e o de
ordem k é par, então o número nr é representado com k dígitos e,
se o dígito de ordem k é ímpar, então o de ordem k é acrescido de
uma unidade.
c) O arredondamento por corte considera que, para obter um número
com k dígitos, simplesmente trunca-se na posição k.
Exemplo 1.10
Consideremos um equipamento com o sistema de ponto flutuante normali-
zado SPF (b, n, expmín , expmáx) = SPF (10, 4, –5, 5).
a) Se 3a 0.5324 × 10=  e 2 b 0.4212 ×10−= , então 1a b 0.22424688 ×10× = ,
que é arredondado e armazenado como 1a(a x b) 0.2242 ×10= .
b) Se 3a 0.5324 × 10=  e 2 b 0.1237 ×10= , então 3a b 0.54477 ×10+ = , que
é arredondado e armazenado como 3a(a b) 0.5448 ×10+ = .
1.6 Erro absoluto
Definimos erro absoluto como
abs ex aproxE a a= −
onde aex é o valor exato da grandeza considerada e aaprox é o valor aproxi-
mado da mesma grandeza.
Erros em Processos Numéricos 11
Como na maioria das vezes o valor exato não é disponível, a definição
anterior fica sem sentido. Assim, é necessário trabalharmos com um limi-
tante superior para o erro, isto é, escrevê-lo na forma:
ex aproxa a− ≤ ε
onde ε é um limitante conhecido.
A desigualdade anterior pode ser entendida da seguinte maneira:
–ε ≤ aex – aaprox ≤ ε
ou ainda
aprox ex aproxa a a− ε ≤ ≤ + ε
isto é, aaprox é o valor aproximado da grandeza aex com erro absoluto não
superior a ε.
1.7 Erro relativo
Definimos erro relativo como:
ex aprox
rel
ex ex
a aE
E
a a
−
= =
onde aex é o valor exato da grandeza considerada e aaprox é o valor aproxi-
mado da mesma grandeza.
Como na maioria das vezes o valor exato não é disponível, a definição
anterior fica sem sentido. Dessa forma, é preciso trabalharmos com um limi-
tante superior para o erro relativo, isto é, escrevê-lo na forma:
aproxa
ε
δ ≤
onde δ, é um limitante conhecido.
Podemos observar que o erro relativo nos fornece mais informações sobre
a qualidade do erro que estamos cometendo num determinado cálculo, uma vez
que no erro absoluto não é levada em consideração a ordem de grandeza do
valor calculado, enquanto no erro relativo esta ordem é contemplada.
Exemplo 1.11
a) Consideremos o valor exato aex = 2345.713 e o valor aproximado
aaprox = 2345.000
Então,
Eabs = 0.713
Erel = 0.00030396
12 Cálculo Numérico
b) Consideremos o valor exato aex = 1.713 e o valor aproximado
aaprox = 1.000
Então,
Eabs = 0.713
Erel = 0.416229
Observe que nos exemplos a) e b) o erro absoluto é o mesmo, embora o
erro cometido pela aproximação seja muito mais significativo no exemplo b). No
exemplo a) , o erro relativo é da ordem de 0.03%, e no exemplo b) , é da ordem
de 41.6%.
Observação
Em geral, nos procedimentos numéricos geramos uma seqüência de soluções
aproximadas que convergem ou não para a solução desejada do problema.
Os erros absolutos e relativos serão usados como critério de parada nestas
seqüências de aproximações. Em geral, o erro relativo é preferível, devido às
observações nos exemplos anteriores.
Exemplo 1.12
Para resolver a equação 2f(x) x a 0= − =  , com a > 0, podemos utilizar o seguinte
processo iterativo:
n 1 n
n
1 a
x x
2 x
+
  = +    
 n = 0, 1, 2, ...
 Assim, dado o valor x0 , podemos, através da expressão anterior, gerar a
seqüência de soluções aproximadas x1 , x2 , ...
Dado que a propriedade de convergência da seqüência de aproxi-
mações esteja estabelecida e uma tolerância pré-fixada ε  foi definida para o
cálculo de uma raiz da equação f (x ) = 0, podemos verificar, de forma absolu-
ta , se a seqüência de aproximações atingiu a precisão anterior ε , realizando
o seguinte teste:
Se n 1 nx x+ − ≤ ε   for verdadeiro, dizemos que xn+1  é a raiz da equação
f(x) = 0 com tolerância ε ; caso contrário, devemos calcular outro elemento da
seqüência. Podemos de forma alternativa realizar o seguinte teste:
Se
n 1 n
n 1
x x
x
+
+
−
≤ ε  for verdadeiro, concluímos que xn+1 é a raiz da equação
com a tolerância ε  e, em caso contrário, devemos proceder ao cálculo de outro
termo da seqüência. No primeiro teste, usamos Eabs e no segundo Erel.
1.8 Erro de truncamento
Quando representamos uma função através de uma série infinita e, por limi-
tações do sistema de armazenamento de dados do equipamento, considerar-
mos apenas um número finito de termos, dizemos que estamos cometendo um
erro de truncamento.
Erros em Processos Numéricos 13
Exemplo 1.13
a) Consideramos a representação de uma função f(x) utilizando a Série
de Taylor, nas vizinhanças do ponto x:
2 n
(1) (2) (n)( x x ) ( x x ) ( x x )f(x) f(x) f (x) f (x) ... f (x) ...
1! 2! n!
− − −
= + + + + +
onde (n )f (x) é o valor da n-ésima derivada da função f(x) no ponto x.
Quando truncamos a série no 3o termo, isto é, considerando apenas
os termos até a derivada de ordem 2, na expressão anterior, temos um
erro cometido nesta aproximação, como segue:
2
(1) (2)(x x ) (x x )f(x) f(x) f (x) f (x)
1! 2!
− −
≅ + +
b) Consideremos o desenvolvimento de xf(x) e=  em Série de Taylor,
isto é:
2 3 n
x x x xe 1 x ... ...
2! 3! n!
= + + + + + +
ou, de forma compacta:
n
x
n 0
x
e
n!
∞
=
= ∑
Suponha que o equipamento utilizado para trabalhar numericamente
com a série seja capaz de armazenar somente dados referentes aos 4 primeiros
termos, isto é:
2 3
x x xe 1 x
2! 3!
≅ + + +
Neste caso, desprezamos todos os termos de potência maiores que 4,
isto é, truncamos a série no termo de potência de ordem 3.
Destacando os quatro primeiros termos da série, podemos escrevê-la
da seguinte maneira:
( )
n
x 3 2
n 4
1 x
e x 3 x 6 x 6
6 n!
∞
=
= + + + + ∑
Vamos supor que desejamos calcular o valor de ex para x = 2 usando
apenas os quatro primeiros termos da série, isto é, a série truncada.
Neste caso, temos e2 = 6.33333, que é um valor com erro absoluto bem
significativo quando comparado com o valor e2 = 7.38906 obtido numa calcu-
ladora científica que armazena uma quantidade maior de termos da série.
14 Cálculo Numérico
1.9 Propagação dos erros
Quando desenvolvemos ou utilizamos um processo numérico para buscar a so-
lução de um determinado problema, normalmente o processamento envolve um
número muito grande de operações elementares. Assim, na maioria das vezes, o
erro cometido em uma operação isolada pode não ser muito significativo para a
solução do problema que estamos tratando, mas sim, é necessário analisar como os
erros se propagam quando tratamos com muitas operações no processamento.
Neste caso, é fundamental termos o conhecimento da forma com que
estes erros estão se propagando, isto é, caso estejam se acumulando a uma
taxa crescente, dizemos que o erro é ilimitado, e a seqüência de operações é
considerada instável.
Se, por outro lado, os erros estão se acumulando a uma taxa decres-
cente, dizemos que o erro é limitado e, portanto, a seqüência de operações
é considerada estável.
Podemos visualizar, através da Figura 1.3, as situações de erros ilimi-
tado e limitado:
Exemplo 1.14
Usando aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, base decimal e arredon-
damento por corte, calcule o valor da seguinte soma:
4
i i
i 1
S (x y )
=
= +∑ , sendo xi = 0.46709 e yi = 3.5678
Para i = 1, na aritmética definida,realizamos inicialmente a operação
que resulta no seguinte valor aproximado:
1
1 1 1S (x y ) 0.4034 10= + = ×
Calculando o erro absoluto, temos:
2E 4 03569 4 034 0 00169 0 169 10−= = = ×
Figura 1.3
a) b)
Erros em Processos Numéricos 15
Para i = 2, realizamos a operação que resulta no seguinte valor aproximado:
1
2 1 1 2 2S (x y ) (x y ) 0.8068 10= + + + = × ,
cujo erro absoluto é dado por:
2
abs2E 8.07138 8.068 0.00338 0.338 10
−= − = = ×
Observe que, ao realizarmos a mesma operação de adição por duas vezes,
cometemos um erro absoluto significativamente maior.
Para i = 3, realizamos a operação que resulta no seguinte:
2
3 1 1 2 2 3 3S (x y ) (x y ) (x y ) 0.1210 10= + + + + + = ×
cujo erro absoluto é dado por:
2
abs3E 12.10707 12.10 0.00707 0.707 10
−= − = = ×
Para i = 4, repetindo o mesmo procedimento, obtemos o seguinte valor
para a soma:
2
4 0.1613 10= ×S ,
que apresenta o seguinte erro absoluto:
1
abs3E 16.14276 16.13 0.01276 0.12767 10
−= − = = ×
Como podemos observar, na medida em que aumentamos o número de
parcelas na operação de adição, considerando a aritmética definida anterior-
mente, aumentamos também o erro absoluto cometido na soma final. Desta
forma, a seqüência de operações pode tornar-se instável, conforme gráfico
na Figura 1.3 a).
Exemplo 1.15
Para resolver a equação 0ax)x(f  2 =−= , com a > 0, podemos utilizar o
seguinte processo iterativo:
n 1 n
n
1 a
x x
2 x
+
  
= +  
  
 , para n = 0, 1, 2, ...
Neste procedimento, em cada iteração estão envolvidas as operações
de adição, multiplicação e divisão, que são repetidas até que se calcule o valor
aproximado xn para solução da equação com uma precisão ε  desejada.
Desta forma, se o valor final xn está sujeito a um determinado tipo de
erro, a cada iteração realizada este erro pode se propagar ao longo do pro-
cesso. Se este procedimento convergir para a solução x da equação, apesar
dos erros cometidos, temos que a seqüência de operações se torna estável,
conforme gráfico da Figura 1.3 b).
16 Cálculo Numérico
Exercícios
1. Representar na base binária os seguintes números decimais:
a) 13
 b) 29.75
c) 17.6
d) 0.46875
2. Represente o número decimal (0.2) na base binária com 4, 8, 12 e 16 dígitos.
3. Considerando que a base 16 é representada através dos dígitos 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, represente:
a) (27D)16 na base decimal
 b) (27D.9)16 na base decimal
c) (32.E.32)16 na base decimal
4. Representar os seguintes números na forma normalizada
a) (100)10
 b) (0.0158)10
c) (101)2
5. Representar os seguintes números na base binária na forma normalizada
a) (0.1875)10
 b) (25.75)10
c) (437)8
6. Represente na reta os positivos exatamente representáveis do sistema de
ponto flutuante normalizado SPF(3, 2, –1, 2).
7. Considere o sistema de ponto flutuante normalizado SPF = SPF (2, 4, –1, 2)
de base 2, 4 dígitos na mantissa, menor expoente –1 e maior expoente 2.
Para este sistema:
a) Qual é o menor positivo exatamente representável?
 b) Qual é o maior positivo exatamente representável?
c) Quantos são os exatamente representáveis positivos?
d) Qual é o número total de reais exatamente representáveis?
e) Represente na reta todos os positivos exatamente representáveis.
f) Defina as regiões de overflow e de underflow.
8. No sistema de ponto flutuante normalizado SPF (2, 3, –1, 2), represente,
em cada caso, o valor arredondado e o arredondado por corte (truncado)
das seguintes operações:
a) 0 10.101× 2 0.110 × 2−+
 b) 0 10.101× 2 0.111× 2+
c) 0 10 111× 2 × 0 110 × 2 −
Erros em Processos Numéricos 17
9. Considere o sistema de ponto flutuante normalizado SPF (3, 2, –1, 2), de
 base 3, 2 dígitos na mantissa, menor expoente igual a –1 e maior expoen-
te 2. Para este sistema, temos que:
a)
9
1
= x e  y  = 5 são exatamente representáveis. Verifique se x +  y é
exatamente representável em SPF.
 b)
3
4
= x e  y  = 1 são exatamente representáveis. Verifique se x +  y é
também exatamente representável em SPF.
10. Considere um equipamento cujo sistema de ponto flutuante normali-
zado é SPF (2, 10, –15, 15), de base 2, 10 dígitos na mantissa, menor ex-
poente –15 e maior expoente 15. Para este sistema:
a) Qual o menor positivo exatamente representável?
 b) Qual é o próximo positivo, depois do menor positivo representável?
c) Transforme o menor positivo e o próximo para a base decimal.
d) Verifique se existem reais entre o menor e o próximo positivo. Comente.
e) Qual o maior positivo exatamente representável?
f) Quantos são os exatamente representáveis positivos?