Aula Algebra Linear, prof. Ana Lúcia, Estácio

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Prof. Ana Lúcia
analucia@live.estacio.br
ana1u@live.com
ana1u@yahoo.com.br
Estrutura de Ensino:
Conteúdo (Teoria)•
Exemplos•
Exercícios•
Atividade para casa•
Lista de Exercício•
Coordenadores curso Engenharia:
jorge.rocha@estacio.br
jesus.more@estacio.br
Conteúdo da Disciplina:
Introdução1.
Matrizes2.
Sistemas lineares3.
Espaços Vetoriais4.
Base e Dimensão5.
Transformações Lineares6.
Autovalores e Autovetores7.
Bibliografia:
Bernnard Kolman - Introdução a Álgebra Linear, Ed. LTC•
David Lay - Álgebra Linear e suas aplicações - Ed. LTC•
Boldrine - Álgebra Linear, Ed. Habra•
Álgebra Linear
segunda-feira, 6 de agosto de 2012
18:30
 Página 1 de Algebra 
Definição: Dizemos que uma matriz m x n é uma tabela de elementos dispostos em m linhas e n colunas.
Considere a seguinte matriz:












m nmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
21
22221
11211
m → indica linha
n → indica coluna
Essa matriz também pode ser expressa por:
(aij) →
nj
mi
≤≤
≤≤
1
1
Cada número que compões uma matriz chama-se termo dessa matriz.
Dada a matriz
(aij) →
nj
mi
≤≤
≤≤
1
1 ao símbolo aij daremos o nome de termo geral dessa 
matriz.
Notação: Indicaremos por Mm x n (|R)o conjunto das matrizes reais m x n ou A = (aij)m x n
Exemplos:










−
40
31
01
)(23 ℜ∈ ×MA
A =
Cada matriz costuma ser denotada por uma letra maiúscula do alfabeto
Se m = n, ao invés deMm x n (|R), usa-se a notação Mn (|R).
Exemplo:






=
13
02
A )(22 ℜ∈ ×MA
)(2 ℜM
i → indica coluna
j → indica linha
A11
a32
Matrizes
segunda-feira, 13 de agosto de 2012
19:08
 Página 2 de Algebra 
1) Vamos escrever a matriz A = (aij)2 x 3 
onde A = (aij) = i - j:






−
−−
=





=
101
210
232221
131211
aaa
aaa
A
a11 = 1-1 = 0
a12 = 1-2 = -1
a13 = 1-3 = -2
a21 = 2 - 1 = 1
a22 = 2 - 2 = 0
a23 = 2 - 3 = -1
Resposta:
2) O diagrama abaixo representa um mapa rodoviário mostrando as estradas que ligam as cidades
1, 2, 3 e 4. A matriz A = [aij]4 x 4 associada esse mapa é definida da seguinte forma:
aij = 1, se i está ligada diretamente a j
0, se i = j ou i não tem ligação direta com j 
Sabendo que i e j referem-se às cidades do mapa e variam no conjunto {1, 2 , 3 e 4}, construa a matriz A.
1
2
4
3
3) Sendo a matriz A = [aij]4 x 3 em que aij = 0, se i ≥ j
1, se i < j












=












=
0110
1010
1101
0010
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A












=












=
000
000
100
110
434241
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
aaa
A
Exercícios
segunda-feira, 13 de agosto de 2012
19:30
 Página 3 de Algebra 
1) Matriz quadrada: Aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas. Dizemos então que a 
matriz quadrada é de ordem n.
Notação: An x n = An
Ex:










=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
A3 x 3 = A3
Ordem da Matriz
Diagonal Principal:
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Os elementos de A cujo índice da linha é igual ao índice da 
coluna (i = j) formam a diagonal da matriz (diagonal principal).
Ex:










=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Diagonal Secundária:










=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Traço de A:
Se A é quadrada, então o traço de A, denotado por Tr(A) é definido pela soma das entradas na diagonal 
principal de A.
Tr(A) = a11 + a22 + a33 = 6
Ex:










−=
870
035
321
A
2) Matriz Nula: É a matriz onde os elementos são todos iguais a zero, isto é, aij = 0, 
Tr(A) = 6
Notação: 0m x n
Exemplo:






=× 000
000
32O










=×
000
000
000
33O
3) Matriz Linha: é aquela que é formada por uma única linha.
Ex: A1 x 3 = [1 3 5]. (m = 1)
ij∀
Tipos Especiais de Matrizes
segunda-feira, 20 de agosto de 2012
19:23
 Página 4 de Algebra 
4) Matriz Coluna: é aquela que possui uma única coluna.
ex: 









−
7
0
2
5) Matriz Diagonal: é uma matriz quadrada (m = n), onde aij = 0, para i ≠ j, isto é, os elementos que não 
estão na diagonal são nulos.
Ex:










−
100
060
004
6) Matriz Identidade (In): é a matriz que tem o elemento 
aij = 1 se i = j
0 se ≠ j
Ex:
7) Matriz Triangular Superior: é a matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal 
principal são nulos.
Ex: 









 −
=
3400
320
5673
A
8) Matriz Triangular Inferior: é a matriz quadrada onde os elementos acima da diagonal principal são 
nulos.
ex:










−−
−=
37456
034
002
A
n = 1
A = A3 x 1






=
10
01
A










=
100
010
001
B
I2
I3
















=
1...000
...
0...100
0...010
0...001
MMMM
nI
Tipos de Matrizes
segunda-feira, 20 de agosto de 2012
19:50
 Página 5 de Algebra 
Amxn = [aij]mn Brxs = [bij]rxse ex: 





=
25
32
A 





=
dc
ba
B
Seja A = (aij)2x3, onde aij = i + j. Determine m, n e p em: tal que A = B.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 




=





+++
+++
=
543
432
322221
221211
A
m + n = 2 -> m = 2 - n = 2 - 2 -> m = 0
n + 1 = 3 -> n = 3 - 1 = 2
n - p = 4 -> -p = 4 - n = 4 - 2 = 2 -> p = -2
( ) ( )
( ) ( ) 




−+
−+
=
51
23
pnn
pmnm
B
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 




=





−+
−+
=
543
432
51
23
pnn
pmnm
Blogo:
e
a = 2
b = 3
c = 5
d = 2
Soma de Matrizes:
Exercício 1: 
Resolva o sistema:






=





+++
+++
=





+





=+
11911
10913
)65()54()56(
)46()36()67(
655
436
546
667
BA













−
−−
=





+−






−
=





++
64
22
64
20
1418
1216
48
62
yx
yx
Ex:






−
=





−−−
−−
=





−





−
=+⇒





−
=





++
1810
614
414818
612216
48
62
1418
1216
1418
1216
48
62
yxyx





−
=





++−
+−+−
=





+





−
−−
=−⇒





−
−−
=





−−
120
02
6644
2202
64
20
64
22
64
22
64
20
yxyx
yx −





−
=
1810
614






−
−−
=





+−
−−−
=





−
−




−
=−⇒




−
=−−





− 3010
616
1812100
60142
1810
614
120
02
2
120
02
1810
614
yyy






−
=⇒





−
−−
=−
155
38
155
38
yy 





−
=





+−−
−−
=





−
−−
+





−
=
35
361518510
36814
155
38
1810
614
x
Igualdade de Matrizes
segunda-feira, 27 de agosto de 2012
19:08
 Página 6 de Algebra 
3) Sejam as matrizes A = (aij)10x12, onde onde aij = 2i - j, B = (bij)10x12, onde bij = i + j e C =A + B, onde cij = 
aij + bij . Determine os elementos:
a) C7 8
b) C10 12
a)
A78 = 2(7) - (8) = 14 - 8 = 6
B78 = (7) + (8) = 15
C78 = A78 + B78 = 6 + 15 = 21
b)
A10 12 = 2(10) - (12) = 20 - 12 = 8
B10 12 = (10) + (12) = 22
C10 12 = A10 12 + B10 12 = 8 + 22 = 30
2) Determine a matriz x, tal que x - A + b = C, onde A, B e C são matrizes do mesmo tipo.
x = A - B + C
A + B = B + A1.
(A + B) + C = A + (B + C)2.
A + 0mxn = A3.
A + (-A) = 0mxn4.
Propriedades das Matrizes
Exercício
segunda-feira, 27 de agosto de 2012
20:13
 Página 7 de Algebra 
Produto no real p/ matriz:





 −−
=





−
×−
03
96
01
32
3
1) (C1 + C2).A = C1.A + C2.A
2) C.(A + B) = CA + CB
3) C1 (C2.A) = (C1 . C2).A






=





−
×
00
00
01
32
0
Matriz Transposta:
Notação: AT ou A'










−
−=
37
02
13
A 





−
−
=
501
723TA
Exercício:
Resolva a equação 2xT -3A = B, onde: 





−
−
=
32
11
A 





−
−
=
105
41
B






−
−
=





−
−
=
96
33
)3.(32.3
)1.(31.3
3A






=





−++−
−++−
=





−
−
+





−
−
=+=
11
12
)9(1065
)3(431
96
33
105
41
32 ABxT








=





÷÷
÷÷
=





÷=
2
1
2
1
2
11
2112
2122
11
12
2Tx








=
2
1
2
1
2
11
x⇒
Matriz Simétrica → AT = A










−
−
−
=⇒










−
−
−
=
0102
1035
254
0102
1035
254
TAAExemplo:
Demais propriedades:
(AT)T = A
(A + B)T = AT + BT
(C . A)T = C . AT
(A . B)T = BT . AT
C = escalar (k)
Operações
segunda-feira, 10 de setembro de 2012
19:13
 Página 8 de Algebra 
AT = -A
Exemplo:










−
−
−
=−⇒










−
−−
=⇒










−
−
−
=
0102
1005
250
0102
1005
250
0102
1005
250
AAA T
Multiplicação de Matrizes:
Am x n . Bl x p = Cm x p
L C L C L C
OBS: colunaA = linhaB
Ex: A2x3 e B3x2 = AB2x2 → colunas de A é igual a linhas de B.






=





= ×× 22
11
00
11
2222 BA






=





++
++
=





×





=× ×× 00
33
)2.01.0()2.01.0(
)2.11.1()2.11.1(
00
11
00
11
2222 BA
Exemplo 2:










−
−
=




−
=
31
42
23
614
312
BA






−++−++
−++−−++−
=










−
−
×




−
=× ))3.(6()4.1())2.(4()1.6()2.1()3.4(
))3.(3()4.1())2).(2(()1.3()2.1(3).2((
31
42
23
614
312
BA






−
−−
=





−++−++
−++++−
=×
2220
11
)18()4()8()6()2()12(
)9()4()4()3()2()6(
BA
Matriz anti-simétrica
segunda-feira, 10 de setembro de 2012
19:39
 Página 9 de Algebra 
Definição: Conjunto com m equações lineares com n incógnitas (x1, x2, ... xn)
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm
(1)
Onde
a11 , a12 ... a1n, b1, b2, bm, Є |R
Exemplos:



2 =7y +3x 
1 =4y +5x 





0 = z-y +2x 
0 = z-2y -x 
0 = 2z-y +x 
Forma matricial de um sistema linear.
(1) Pode ser escrito da seguinte forma:














=




























mnm nmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
......
.
...
............
...
...
2
1
2
1
21
22221
11211
Notação simplificada:
Ax = B
Exemplo:



+ 0 =7y 3x
0 =4y +5x 






=











2
1
73
45
y
x
Obs: Matrizes associadas a um sistema.
Seja o sistema



+ 0 =7y 3x
0 =4y +5x Podemos associar a matriz 






73
45
e a matriz 






273
145
B=
A =
Matriz incompleta
Matriz completa
A BX
Sistemas Lineares
segunda-feira, 29 de outubro de 2012
18:49
 Página 10 de Algebra 
Solução de um sistema linear
Classificação:
Um sistema linear é classificado de acordo com seu número de soluções.
Podemos ter:
Sistema Possível Determinado → Tem apenas uma solução
Ideterminado → Tem infinitas soluções
Sistema Impossível → não tem solução
Exemplos: 



+ 5 =2y 3x
4- =5y -x
Det = 0, S = 0 ou S = { }
Det ≠ 0
Método Convencional:
1544)1(5
11717125215521215
52)45(3
45
=+−=⇒−=−
=⇒=⇒+=+⇒=+−
=+−
−=
xx
yyyyyy
yy
yx
Impossível0)4(4
24
12
10- =2y 4x
5=y -2x
=−−−=⇒





−
−



−
Det 0200
101044
10)52(24
52
=⇒−=
−=+−
−=+−+
+−=
S
xx
xx
xy
a)
b)
Sistemas Lineares
segunda-feira, 29 de outubro de 2012
19:08
 Página 11 de Algebra 
c)
066)1()3()8(262
12
21
11
112
321
211
2 = zy2x
23z2yx
1 =2zyx
=−=−−−−−++=
−










−





+−
=++
++
Det = 0
S = Ø
Posição das retas de acordo com as soluções dos sistemas lineares.
Retas concorrentes = Sistema possível e determinado•
Retas coincidentes = Sistema possível e indeterminado•
Retas paralelas = Sistema impossível•
Solução de um sistema linear por escalonamento:
* Eliminação Gauss - Jordan
* Eliminação Gaussiana → Será utilizada nos exemplos.
Método do escalonamento
Este método procura transformar o sistema dado em sistemas equivalentes. Podemos realizar 
transformações elementares.
Trocar as posições de duas equações1.
multiplicar uma das equações por um no real.2.
multiplicar a equação por um no real e adicionar o resultado a outra equação.3.
Exemplo:



+
=
10=4y 2x
-23y -4x






−−
=−×





−
⇒




 −−
22110
1042)2(
234
1042
1042
234
110)2(42
22211
22110
1042
=⇒=+
=⇒−=−⇒





−−
xx
yy
1 2 3
)3()2(
7133
8212
5421
2 = zy33x
82zy2x
5 =4zy2x
−×−×










−−
−





−−
=+−
++
e
continuar exemplo
Exemplo
segunda-feira, 29 de outubro de 2012
19:47
 Página 12 de Algebra 





=−−
=+−
=++
233
822
542
zyx
zyx
zyx










−−
−
7133
8212
5421 )2(−×
somar










−−−
−−−=−×










−−
−−−=
81390
2650
5421
)3(
7133
2650
5421






−×










−−−
−−−
5
1
81390
2650
5421
( )9
81390
5
2
5
610
5421
×










−−−
=












−−
=
85
18135
5400
5
2
5
610
5421












−−
=5
22
5
1100
5
2
5
610
5421
1
5)2(4)2(2
542
2
5
12
5
2
5
22.
5
6
5
2
5
6
22211
5
22
5
11
=
=+−+
=++
−=−+=⇒=+⇒=+
=⇒=⇒−=−
x
x
zyx
yyzy
zzz
multipl
Resolver Exercício:





=−+
=−+
=++
0563
1342
92
zyx
zyx
zyx





−=+−
=+−
=++
322
1423
12
cba
cba
cba










−−
−−=−×










−
−−=−×










−
−
271130
17720
9211
)3(
0563
17720
9211
)2(
0563
1342
9211
( )












−−
−−=












−−
−−=−×










−−
−−=





×










−−
−−
2
3
2
100
2
17
2
710
9211
272
51112
2100
2
17
2
710
9211
3
271130
2
17
2
710
9211
2
1
271130
17720
9211
12699)3(2)2(
2
2
4
2
21
2
17
2
17)3(
2
7
3
2
6
2
3
2
1
=−−=⇒=++
==+−=⇒−=−
==⇒−=−
xx
yy
zz
∃≠










=×










−−−
=





−×










−−−
−−−










−−−
−−−=−×










−−
−−−=−×










−−
−
80
8000
4
35
4
110
12111
4
27140
4
35
4
110
12111
4
1
27140
35140
12111
27140
35140
12111
)2(
3122
35140
12111
)3(
3122
1213
12111










−
−−−
5000
22140
12111
certo
S = { }
S = 0
Continuação Exercício
segunda-feira, 12 de novembro de 2012
19:00
 Página 13 de Algebra 





=+−
−=++
=+−
2325
143
334
zyx
zyx
zyx










−−
−
0000
1011
3134










−−
−
0000
1110
3431
Resp 1 Resp 2
x y z z y x
sistema indeterminado
0x + 0y + 0z = 0
0 = 0
Na 2a linha temos:
-x + y = -1
y = x - 1
Na 1a linha temos:
4x - 3y +z = 3
z = -4x + 3y +3
z = -4x + 3(x-1) +3
z = -4x + 3x -3 +3 = -x
S = {(x, x-1, -x)}
Discussão de um sistema.
OBS: D ≠ 0 → SPD
D = 0 → SPI ou SI.
Considere o seguinte sistema:



=+
=+
22
3
myx
yx
Calcule o determinante:
2
2
11
−=





m
m
Se m-2 ≠0 :. m ≠ 2 ou D ≠ 0, temos SPD
Se m - 2 = 0 :. m = 2 ou D = 0, temos SPI ou SI
Se m = 2
Trata-se de um sistema impossível.
Portanto 
Se m ≠ 2 o sistema é possível e determinado.
Se m = 0 o sistema é impossível



=+
=+
⇔



=+
=+
1
3
2)2(2
3
yx
yx
yx
yx
Exercício:
1) Discutir, em função de m, o sistema:





=++
=++
=−−
135
632
1
zymx
zyx
zyx
102
103
33235
1
12
11
51
312
111
51
312
111
+−
−+−
+−=−−
−









 −−
=⇒









 −−
m
m
mm
mm
D
m
Se 2m + 10 ≠ 0 ou D ≠ 0
-2m ≠ -10 (-1)
2m ≠ 10
m ≠ 5
Sist. possível e Determ (SPD)
Se 2m + 10 = 0 ou D = 0
m = 5
Sist. possível e Indeterm (SPI ou SI)
Exercício cont.
segunda-feira, 19 de novembro de 2012
19:15
 Página 14 de Algebra 
Se m = 5
( ) ( ) ( )









 −−
=−×









 −−
=−×









 −−
=−×









 −−





=++
=++
=−−
0000
4530
1111
2
81060
4530
1111
5
13515
4530
1111
2
13515
6312
1111
1355
632
1
zyx
zyx
zyx
Portanto:
Se m ≠ 5 → SPD
Se m = 5 → SPI
Cont
segunda-feira, 19 de novembro de 2012
20:25
 Página 15 de Algebra 
1) O sistema linear a seguir admite pelo menos duas soluções (distintas). Indique o valor de m:





=++−
=−+
−=+−−
32
532
945
zyx
zyx
mzyx
11
21
45
211
321
45
−
−−










−
−
−− m
mP
m
+−=
+−−
32
1220
72
8152
+−=
−+−
mS
m
3
39
393
0339
339
)72(32
≠
≠
≠+−
+−=
+−−+−=−=
m
m
m
mDet
mmSPDet
13≠m
Para admitir soluções distintas, Det ≠ 0
2) Resolva o sistema abaixo:







=
=−
=+−
=−+−
82
37
135
92532
t
tz
tzy
tzyx
4
2
8
==t
1
7
34
3)4(7
=
+
=
=−
z
z
2
5
10
5
1121
1)4(3)1(5
−=
−
=
+−
=
=+−
y
y
3
2
8569
9)4(2)1(5)2(32
=
+−−
=
=−+−−
x
x
3) Resolva a equação matricial:
a) Ax = B
b) A x B-1 = D
BAX
BAXI
BAXAA
.
..
...
1
1
11
−
−
−−
=
=
=
Toda matriz multiplicada pela 
identidade é igual a ela mesma.
I
BDAX
BDAIX
BDABBX
DABXI
DABXAA
..
...
....
...
....
1
1
11
11
111
−
−
−−
−−
−−−
=
=
=
=
=
Importante: A5x4 B4x2X
Multiplicação não possível
Rev. AV2
segunda-feira, 26 de novembro de 2012
19:10
 Página 16 de Algebra