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1 Prova #1.C Engenharia Econômica Professor Thiago Fonseca Morello Gabarito Questão Resposta Q.1 B Q.2 NA Q.3 B Q.4 C (Q.1) Um investidor deseja identificar uma oportunidade de investimento que ofereça um rendimento real anual equivalente ao proporcionado pela SELIC durante os anos de 2012-2016. O período de aplicação-alvo é de 12 meses, iniciando em Janeiro de 2017. Considerando a tabela abaixo, marque a alternativa que especifica a fórmula correta para o cálculo da taxa de juro nominal anual à qual o capital deve ser aplicado. Atenção: a taxa de inflação referente ao ano de 2017 (π2017) deve ser considerada como sendo aquela que será enfrentada durante o período de aplicação. Ano IPCA (% a.a) SELIC (% a.a) 2012 π2012 i2012 2013 π2013 i2013 2014 π2014 i2014 2015 π2015 i2015 2016 π2016 i2016 2017 (previsto) π2017 NA (A)⎕݅ = ቌ൝ቈ (1 + ݅ଶଵଶ)(1 + ݅ଶଵଷ)(1 + ݅ଶଵସ)(1 + ݅ଶଵହ)(1 + ݅ଶଵ)(1 + ߨଶଵଶ)(1 + ߨଶଵଷ)(1 + ߨଶଵସ)(1 + ߨଶଵହ)(1 + ߨଶଵ)ଵ/ହൡ (1 + ߨଶଵ)ቍଵ/ଵଶ − 1 (B)⎕݅ = ൝ቈ (1 + ݅ଶଵଶ)(1 + ݅ଶଵଷ)(1 + ݅ଶଵସ)(1 + ݅ଶଵହ)(1 + ݅ଶଵ)(1 + ߨଶଵଶ)(1 + ߨଶଵଷ)(1 + ߨଶଵସ)(1 + ߨଶଵହ)(1 + ߨଶଵ)ଵ/ହൡ (1 + ߨଶଵ) − 1 (C)⎕݅ = ൝ቈ (1 + ݅ଶଵଶ)(1 + ݅ଶଵଷ)(1 + ݅ଶଵସ)(1 + ݅ଶଵହ)(1 + ݅ଶଵ)(1 + ߨଶଵଶ)(1 + ߨଶଵଷ)(1 + ߨଶଵସ)(1 + ߨଶଵହ)(1 + ߨଶଵ)ଵ/ସൡ − 1 (D) NDA, R: ___________________________________________________________________________ R: (B) Em resumo, o objetivo é encontrar uma taxa nominal a ser recebida em 2017 que proporcione, considerando a inflação deste ano, um rendimento real mensal equivalente ao proporcionado pela SELIC no passado (2012-2016). Como primeiro passo, é calculada a taxa-alvo, eliminando o efeito da inflação. No segundo passo, calcula-se a taxa mensal nominal que, dada a inflação mensal prevista, atinja a meta. 2 Passo 1, taxa de juro real com capitalização mensal A taxa de juro real referente a um período de 5 anos, calculada a partir de taxas anuais variáveis de inflação e juro de 2012-2016 é dada por: ݎହ = (1 + ݅ଶଵଶ)(1 + ݅ଶଵଷ)(1 + ݅ଶଵସ)(1 + ݅ଶଵହ)(1 + ݅ଶଵ)(1 + ߨଶଵଶ)(1 + ߨଶଵଷ)(1 + ߨଶଵସ)(1 + ߨଶଵହ)(1 + ߨଶଵ) − 1 A taxa de juro real equivalente com capitalização anual é ra = (1+r5a)1/5 – 1, i.e.: ݎ = ቈ (1 + ݅ଶଵଶ)(1 + ݅ଶଵଷ)(1 + ݅ଶଵସ)(1 + ݅ଶଵହ)(1 + ݅ଶଵ)(1 + ߨଶଵଶ)(1 + ߨଶଵଷ)(1 + ߨଶଵସ)(1 + ߨଶଵହ)(1 + ߨଶଵ)ଵ/ହ − 1 Passo 2, taxa nominal-alvo A taxa nominal-anual-alvo, ia, tem de ser tal que o rendimento real por ela proporcionado em 2017 seja igual ao proporcionado pela taxa SELIC real anual média de 2012-2016. ܥ 1 + ݅ ܲ(1 + ߨଶଵ) − ܥ ܲൗ ܥ ܲ ൗ = ݎ ↔ 1 + ݅(1 + ߨଶଵ) − 1 = ݎ ݅ = (1 + ݎ)(1 + ߨଶଵ) − 1 Incorporando os resultados das seções anteriores: ݅ = ൝ቈ (1 + ݅ଶଵଶ)(1 + ݅ଶଵଷ)(1 + ݅ଶଵସ)(1 + ݅ଶଵହ)(1 + ݅ଶଵ)(1 + ߨଶଵଶ)(1 + ߨଶଵଷ)(1 + ߨଶଵସ)(1 + ߨଶଵହ)(1 + ߨଶଵ)ଵ/ହൡ (1 + ߨଶଵ) − 1 (notar que não se trata mais do que um conjunto de médias geométricas de taxas de juro e inflação) (Q.2) Utilize os dados na coluna B da tabela abaixo para calcular os fatores de correção monetária referentes a cada um dos três anos relacionados. Isso deve ser feito passo a passo, (i) escrevendo, em termos algébricos (genéricos), as fórmulas correspondentes nas primeiras linhas das colunas “E” e “F”, (ii) escrevendo os resultados gerados pela aplicação das fórmulas nas linhas referentes a cada um do ano nas duas colunas, “E” e “F”. Atenção: as fórmulas referidas em (i) devem ser válidas para todos os anos (eis o que se entende por “algébrico/genérico”). Considerar 2010 como sendo o ano-base (referência monetária). Preencha a tabela abaixo com as respostas. Atenção: a recíproca do deflator é o fator que, sendo multiplicado por um fluxo monetário nominal, converte-o em um fluxo monetário real. Por recíproca se entende a operação em que o numerador e o denominador de uma fração são trocados um pelo outro (i.e., a recíproca de x é 1/x). 3 A B C D E F Ano Variação anual do IPCA (% a.a) [πIPCA] Fórmula → Multiplicador = 1+ πIPCA/100 Deflator = Recíproca do deflator = 2011 6,5 Valores numéricos → 2012 5,8 2013 6 R: a tabela abaixo apresenta as fórmulas e os resultados. A B C D E F Ano Variação anual do IPCA (% a.a) [πIPCA] Fórmula → Multiplicador = 1+ πIPCA/100 Deflator = (1+ πIPCA_11/100)(1+ πIPCA_12/100)(1+ πIPCA_13/100) OU Recíproca do deflator = 1/[(1+ πIPCA_11/100)(1+ πIPCA_12/100)...(1+ πIPCA_13/100)] OU 2011 6,5 Valores numéricos → 1,065 1,07 0,94 2012 5,8 1,058 1,13 0,89 2013 6 1,06 1,19 0,84 (Q.3) Um investidor aplica R$10.000,00 à taxa de juro (efetiva) de 9,5% ao ano. Considerando que este montante fica aplicado por um prazo de cinco anos e que a capitalização é contínua, calcule o valor aproximado do montante final. Atenção: a taxa de juro informada corresponde à taxa contínua acumulada durante um ano. a) ⎕ R$15.742 b) ⎕ R$16.080 c) ⎕ R$10.997 d) ⎕ NDA, R: __________________________________________________________________________ R: (B) Aplicando a fórmula do montante de uma capitalização contínua, tem-se que o valor resgatado é de Ct = C0etr, C0 =10.000, r = 9,5%, t = 5 Ct = 10.000e5(0,095) = 16.080,14197. A resposta correta é o item b. ෑ ቀ1 + ߨூ,100 ቁଶଵଷ ୀଶଵଵ 1 ∏ ቀ1 + ߨூ,100 ቁଶଵଷୀଶଵଵ 4 (Q.4) Considere uma empresa que deseja tomar um empréstimo por 12 meses e encontra diversas alternativas: (i) 11% ao ano de taxa de juro efetiva; (ii) 11% ao ano de taxa de juro nominal com capitalização semestral; e (iii) 10% ao ano de taxa de juro nominal com capitalização mensal. Considerar que o termo “nominal” é utilizado aqui com referência ao tempo e não à inflação. Classifique as alternativas da melhor para a pior: a) (i); (ii) e (iii) b) (iii); (ii) e (i) c) (iii); (i) e (ii) d) NDA: ________________ R: (C) a taxa (ii) corresponde à taxa efetiva anual de (1+0,11/2)2 - 1= 0,113, já a taxa (iii) corresponde à taxa efetiva anual de (1+0,10/12)12-1 = 0,1047. Logo a ordem é (iii), (i), (ii), pois quanto menor a taxa de juro, menor é a dívida a ser contraída pela empresa.
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