prova 1 A gabarito

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Prova #1.A Engenharia Econômica Professor Thiago Fonseca Morello 
Gabarito 
Questão Resposta 
Q.1 C 
Q.2 NA 
Q.3 A 
Q.4 C 
 
(Q.1) Um investidor deseja identificar uma oportunidade de investimento que ofereça um rendimento real 
anual equivalente ao proporcionado pela SELIC durante os anos de 2013-2016. O período de aplicação-alvo 
é de 12 meses, iniciando em Janeiro de 2017. Considerando a tabela abaixo, marque a alternativa que 
especifica a fórmula correta para o cálculo da taxa de juro nominal mensal à qual o capital deve ser 
aplicado. Atenção: a taxa de inflação referente ao ano de 2017 (π2017) deve ser considerada como sendo 
aquela que será enfrentada durante o período de aplicação. 
Ano IPCA (% a.a) 
SELIC (% 
a.a) 
2013 π2013 i2013 
2014 π2014 i2014 
2015 π2015 i2015 
2016 π2016 i2016 
2017 
(previsto) π2017 NA (A)⎕݅௔ = ൝ቈ (1 + ݅ଶ଴ଵଷ)(1 + ݅ଶ଴ଵସ)(1 + ݅ଶ଴ଵହ)(1 + ݅ଶ଴ଵ଺)(1 + ߨଶ଴ଵଷ)(1 + ߨଶ଴ଵସ)(1 + ߨଶ଴ଵହ)(1 + ߨଶ଴ଵ଺)቉ଵଶ/ସൡ (1 + ߨଶ଴ଵ଻)ଵଶ − 1 
(B)⎕݅௔ = ൝ቈ (1 + ݅ଶ଴ଵଷ)(1 + ݅ଶ଴ଵସ)(1 + ݅ଶ଴ଵହ)(1 + ݅ଶ଴ଵ଺)(1 + ߨଶ଴ଵଷ)(1 + ߨଶ଴ଵସ)(1 + ߨଶ଴ଵହ)(1 + ߨଶ଴ଵ଺)቉ଵ/ସൡ (1 + ߨଶ଴ଵ଻) − 1 
(C)⎕݅௔ = ቌ൝ቈ (1 + ݅ଶ଴ଵଷ)(1 + ݅ଶ଴ଵସ)(1 + ݅ଶ଴ଵହ)(1 + ݅ଶ଴ଵ଺)(1 + ߨଶ଴ଵଷ)(1 + ߨଶ଴ଵସ)(1 + ߨଶ଴ଵହ)(1 + ߨଶ଴ଵ଺)቉ଵ/ସൡ (1 + ߨଶ଴ଵ଻)ቍଵ/ଵଶ − 1 
(D) NDA, R: ___________________________________________________________________________ 
R: (C) Em resumo, o objetivo é encontrar uma taxa nominal a ser recebida em 2017 que proporcione, 
considerando a inflação deste ano, um rendimento real anual equivalente ao proporcionado pela SELIC no 
passado (2013-2016). Como primeiro passo, é calculada a taxa-alvo, eliminando o efeito da inflação. No 
segundo passo, calcula-se a taxa mensal nominal que, dada a inflação mensal prevista, atinja a meta. No 
terceiro passo, a taxa nominal mensal equivalente é obtida. 
Passo 1, taxa de juro real-alvo 
A taxa de juro real referente a um período de 4 anos, calculada a partir de taxas anuais variáveis de 
inflação e juro de 2013-2016 é dada por: 
2 
 
ݎସ௔ = (1 + ݅ଶ଴ଵଷ)(1 + ݅ଶ଴ଵସ)(1 + ݅ଶ଴ଵହ)(1 + ݅ଶ଴ଵ଺)(1 + ߨଶ଴ଵଷ)(1 + ߨଶ଴ଵସ)(1 + ߨଶ଴ଵହ)(1 + ߨଶ଴ଵ଺) − 1 
A taxa de juro real equivalente com capitalização anual é ra = (1+r4a)1/4 – 1, i.e.: 
ݎ௔ = ቈ (1 + ݅ଶ଴ଵଷ)(1 + ݅ଶ଴ଵସ)(1 + ݅ଶ଴ଵହ)(1 + ݅ଶ଴ଵ଺)(1 + ߨଶ଴ଵଷ)(1 + ߨଶ଴ଵସ)(1 + ߨଶ଴ଵହ)(1 + ߨଶ଴ଵ଺)቉ଵ/ସ − 1 
Passo 2, taxa nominal-alvo, capitalização anual 
A taxa nominal anual-alvo, ia, tem de ser tal que o rendimento real por ela proporcionado em 2017 seja 
igual ao que se obteria caso fosse possível aplicar o capital à taxa mensal equivalente à SELIC real anual 
de 2013-2016. 
ܥ଴
1 + ݅௔
଴ܲ(1 + ߨଶ଴ଵ଻) − ܥ଴ ଴ܲൗ
ܥ଴
଴ܲ
ൗ
= ݎ௔ ↔	 
1 + ݅௔(1 + ߨଶ଴ଵ଻) − 1 = 	 ݎ௔ 
݅௔ = (1 + ݎ௔)(1 + ߨଶ଴ଵ଻) − 1 
Incorporando os resultados das seções anteriores: 
݅௔ = ൝ቈ (1 + ݅ଶ଴ଵଷ)(1 + ݅ଶ଴ଵସ)(1 + ݅ଶ଴ଵହ)(1 + ݅ଶ଴ଵ଺)(1 + ߨଶ଴ଵଷ)(1 + ߨଶ଴ଵସ)(1 + ߨଶ଴ଵହ)(1 + ߨଶ଴ଵ଺)቉ଵ/ସൡ (1 + ߨଶ଴ଵ଻) − 1 
Passo 3, taxa nominal-alvo, capitalização mensal 
Aplicando a definição de equivalência de taxas de juro, a taxa com capitalização mensal, im, equivalente à 
ia, é im = (1+ia)1/12 – 1; com isso chega-se ao resultado final: 
݅௔ = ቌ൝ቈ (1 + ݅ଶ଴ଵଷ)(1 + ݅ଶ଴ଵସ)(1 + ݅ଶ଴ଵହ)(1 + ݅ଶ଴ଵ଺)(1 + ߨଶ଴ଵଷ)(1 + ߨଶ଴ଵସ)(1 + ߨଶ଴ଵହ)(1 + ߨଶ଴ଵ଺)቉ଵ/ସൡ (1 + ߨଶ଴ଵ଻)ቍ
ଵ/ଵଶ
− 1 
(notar que não se trata mais do que um conjunto de médias geométricas de taxas de juro e inflação) 
 
(Q.2) Utilize os dados na coluna B da tabela abaixo para calcular os fatores de correção monetária referentes 
a cada um dos três anos relacionados. Isso deve ser feito passo a passo, (i) escrevendo, em termos algébricos 
(genéricos), as fórmulas correspondentes nas primeiras linhas das colunas “E” e “F”, (ii) escrevendo os 
resultados gerados pela aplicação das fórmulas nas linhas referentes a cada um do ano nas duas colunas, “E” 
e “F”. Atenção: as fórmulas referidas em (i) devem ser válidas para todos os anos (eis o que se entende por 
“algébrico/genérico”). Considerar 2014 como sendo o ano-base (referência monetária). Preencha a 
tabela abaixo com as respostas. 
3 
 
Atenção: a recíproca do deflator é o fator que, sendo multiplicado por um fluxo monetário nominal, 
converte-o em um fluxo monetário real. Por recíproca se entende a operação em que o numerador e o 
denominador de uma fração são trocados um pelo outro (i.e., a recíproca de x é 1/x). 
A B C D E F 
Ano 
Variação 
anual do 
IPCA (% 
a.a) [πIPCA] 
 Fórmula → 
Multiplicador = 
 
1+ πIPCA/100 
Deflator = Recíproca do deflator = 
2015 11 Valores 
numéricos 
→ 
 
2016 6,3 
2017 4 
 
R: a tabela abaixo apresenta as fórmulas e os resultados. 
A B 
 
C D E F 
Ano 
Variação 
anual do 
IPCA (% 
a.a) 
[πIPCA] 
 Fórmula → 
 
Multiplicador 
= 
 
1+ πIPCA/100 
 
Deflator = 
(1+ πIPCA_15/100)(1+ 
πIPCA_16/100)...(1+ 
πIPCA_17/100) OU 
Recíproca do deflator = 
1/[(1+ πIPCA_15/100)(1+ 
πIPCA_16/100)...(1+ 
πIPCA_17/100)] OU 
2015 11 Valores 
numéricos 
→ 
1,11 1,11 0,90 
2016 6,3 1,063 1,18 0,85 
2017 4 1,04 1,23 0,81 
 
(Q.3) Um investidor aplica R$88.000,00 à taxa de juro (efetiva) de 10,5% ao ano. Considerando que este 
montante fica aplicado por um prazo de seis anos e que a capitalização é contínua, calcule o valor 
aproximado do montante final. Atenção: a taxa de juro informada corresponde à taxa contínua acumulada 
durante um ano. 
a) ⎕ R$165.230 
b) ⎕ R$160.198 
c) ⎕ R$97.743 
d) ⎕ NDA, R: __________________________________________________________________________ 
R: (A) Aplicando a fórmula do montante de uma capitalização contínua, tem-se que o valor resgatado é de 
Ct = C0etr, C0 =88.000, r = 10,5%, t = 6  Ct = 88.000e6(0,105) = 165.229,731. A resposta correta é o item 
a. 
ෑ ቀ1 + ߨூ௉஼஺,௜100 ቁଶ଴ଵ଻
௜ୀଶ଴ଵହ
 
1
∏ ቀ1 + ߨூ௉஼஺,௜100 ቁଶ଴ଵ଻௜ୀଶ଴ଵହ 
4 
 
(Q.4) Uma empresa emitiu, para pagar um de seus fornecedores, uma duplicata de 126 dias com valor de 
face de R$150.000,00. A taxa de desconto aplicada foi de 15% ao ano e a duplicata está definida em função 
de um ano com 252 dias (este o período de capitalização da taxa de desconto). Calcule o valor descontado, 
selecionando a única alternativa correta abaixo. 
a) ⎕R$141.000 
b) ⎕R$14.378 
c) ⎕NDA, R: _________________________________________________________________________ 
R: (C, R: R$138.750) Sabemos que D = VF(1 - Nd/252), em que a referência temporal da duplicata é um 
ano de 252 dias e, por isso, é preciso dividir por 252 dias. Com os dados do problema: D = VF(1 - Nd/252) 
= 150.000(1-126*0,15/252) = 150.000(1-0,075) = R$138.750.