03 Viga Triang&Mom&Mult Parte1

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Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama
r
R = Área ∆, aplicada no centróide.
∑Fx= 0 .: HA = 0
VA =
��
�
x
�
��
�
=
��
�
VB =
��
�
x
��
��
�
=
��
	
DMF (Seção S qualquer)
MfA = MfB = 0 (Rotações livres)
Mf(x)S =
��
�
. x - (
�
�
	. x) /2 .
	
=
��
�
-
�
	
��
Traciona Inferiores => Positivo.
Mmáx =
���
,�����
�
-
��
,�����	
��
= 0,064pl2.
Mmáx (Q=0, em x = 0,577l)
4
Vigas isostáticas: cargas triangulares
Viga biapoiada com carga triangulares:
Considere a viga biapoiada abaixo,
submetida a uma carga triangular “p”:
D
M
F
(Sussekind,1981)
R � 	
pl
2
S
x/3
r � 	
px2
2l
h � 	
px
l
Semelhança ∆
Valor obtido do 
DEC! Próximo slide!
Reações de Apoio
DMf
Resultante
Parábola 3º
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama
r
(Sussekind,1981)
D
Q
5
Vigas isostáticas: cargas triangulares
Viga biapoiada com carga triangulares:
Parábola 3º
h � 	
px
l
Semelhança ∆
R � 	
pl
2
S
x/3
r � 	
px2
2l
A inclinação do DQ aumenta 
conforme aumenta a força 
distribuída transversal à viga! A tg
horizontal em “A” (p=0) define a 
concavidade da parábola! 
tg = 0
θ1 θ2
θ3
Mmáx
½ Parábola 2º
Reações de Apoio
DQ
Resultante
Q(x)S=0 (Mmáx)
DN
R = Área ∆, aplicada no centróide.
∑Fx= 0 .: HA = 0
VA =
��
�
x
�
��
�
=
��
�
VB =
��
�
x
��
��
�
=
��
	
QA = +
��
�
QB = -
��
	
	
Q(x)S = +
��
�
- (
�
�
	. x) /2 = +
��
�
-
�
�
��
Q(x)S = 0 = +
��
�
-
�
�
��
.: x =
� 	
	
= 0,577l
Concavidade (afastando-se do vértice):
θ1 < θ2 < θ3 => aumenta com “p (kN/m)”
∑Fx= 0 => Não há.
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Vigas isostáticas: cargas triangulares
Viga biapoiada com carga triangulares:
Construção gráfica da parábola 3º
1º) Plota-se o MN = pl2/9, na posição de R.
2º) P/ os coefic. angulares abaixo, temos q:
tg α = MN/AM =
���
�
x
	
��
	=
��
�
= QA
tg β = - MN/BM =
���
�
x
	
�
	= -
��
	
= QB
3º) Logo, AN e BN, são tangentes ao DMf
em suas origens;
Obs.: A ½ parábola do DEC pode ser
construída, aproveitando-se a sistemática
apresentada na construção do DMf
referente ao carreg. uniformemente
distribuído.
(Sussekind,1981)
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Vigas isostáticas: cargas triangulares
Exercício 1:
Reações de Apoio
∑Fx= 0 .: HB = 0
∑MB= 0 = - VA x 9 + (
�
	
�
) x 7 + (
�
�
�
) x 2,33 .: VA = (+ 42 + 13,98)/9 = 6,22 kN
∑Fy = 0 = VA - (
�
	
�
) - (
�
�
�
) + VB .: VB = - 6,22 + 6 + 6 = 5,78 kN
A B
C D E
VA VB
HB
0,66m 1,33m
R = 
�	
	�
�
= 6 kN
1m2m
R = 
�	
		
�
= 6 kN
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Vigas isostáticas: cargas triangulares
Exercício 1:
A B
C D E
6,22
5,78
0,66m 1,33m
R = 
�	
	�
�
= 6 kN
1m2m
R = 
�	
		
�
= 6 kN
DMf
MfA= MfB= 0
MfC= 6,22 x 3 - (
�
	
�
) x 1 = 12,7 kNm
MfD= 6,22 x 6 - (
�
	
�
) x 4 = 13,3 kNm
MfE= 6,22 x 8 - (
�
	
�
) x 6 - (
�
�
�
) x 1,33 = 5,8 kNm
MfE= 5,78 x 1 = 5,8 kNm
Vindo esq.
Vindo dir.
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Vigas isostáticas: cargas triangulares
Exercício 1:
DMf
MfA= MfB= 0
MfC= 6,22 x 3 - (
�
	
�
) x 1 = 12,7 kNm
MfD= 6,22 x 6 - (
�
	
�
) x 4 = 13,3 kNm
MfE= 6,22 x 8 - (
�
	
�
) x 6 - (
�
�
�
) x 1,33 = 5,8 kNm
MfE= 5,78 x 1 = 5,8 kNm
Vindo esq.
Vindo dir.
A B
C D
E
DMF
Mmáx
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Vigas isostáticas: cargas triangulares
Exercício 1:
A B
C D E
6,22
5,78
0,66m 1,33m
R = 
�	
	�
�
= 6 kN
1m2m
R = 
�	
		
�
= 6 kN
DQ
QA= 6,22 = 6,2 kN
QC= 6,22 - (
�
	
�
) = + 0,2 kN
QD= + 0,2 kN
QE= + 0,2 - (
�
�
�
) = - 5,8 kN
QB= - 5,8 kN
Vindo esq.
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Vigas isostáticas: cargas triangulares
Exercício 1:
DQ
QA= 6,22 = 6,2 kN
QC= 6,22 - (
�
	
�
) = + 0,2 kN
QD= + 0,2 kN
QE= + 0,2 - (
�
�
�
) = - 5,8 kN
QB= - 5,8 kN
Vindo esq.
A B
C D
E
tg = 0
tg = 0
A inclinação do DQ aumenta 
conforme aumenta a força 
distribuída transversal à viga! A tg
horizontal em “A” (q=0) define a 
concavidade da parábola! 
DQ
1m2m
R = 
�	
		
�
= 6 kN
0,66m 1,33m
R = 
�	
	�
�
= 6 kN
Mmáx
Resultante
Tg = 0
Mmáx
+6
,2
 k
N
-6 kN
-6
 k
N
-5
,8
 k
N
Descont.
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama
DMF
A
C
Mmáx
B
D
q= 6 kN/m
Xmáx (Seção de interesse em: 1m ≤ x ≤ 3m)
hmáx --------- 6 R =
(hmáx . xc)
�
	 =
	
�
xc
2
xc --------- 2 .: hmáx = 3 xc
Mf(x) = VB . xmáx – (
	
�
xc
2 .
�
	
xc) => VB . (xC +1) – (
	
�
xc
2.
�
	
xc) => 5,8 xc +5,8 -(
�
�
xc
3) = -
�
�
xc
3 + 5,8 xc +5,8
dMfx/dx = Q(x) = -
	
�
xc
2 + 5,8; Q(x) = 0 .: xc =
�,�	.	�
	
�
= 1,97m, logo, xmáx = 1,97 +1 = 2,97m
Mmáx: Mf(x) = -
�
�
(1,97)3 + 5,8 x (1,97) +5,8 = 13,4 kNm
12
Vigas isostáticas: cargas distribuídas
xcarreg = xc
xmáx = xc +1
x
06m 3m 1m9m
1m
MfD=13,3
R = 
	
�
	� 2
hmáx = 3	� 
Trago p/ mesma base (xmáx = xc +1)