05 VigasGerber

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Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama 4
Vigas isostáticas: Viga Gerber
Descrição
Vigas Gerber são uma associação de vigas COM estabilidade própria, com
outras SEM estabilidade própria (secundárias) apoiadas sobre as primeiras,
que fornecem estabilidade ao conjunto. São estruturas de eixo reto, contendo
três ou mais apoios, sendo um deles fixo ou engastado e os demais móveis (1º
gênero), com articulações intermediárias (rótulas) em nº suficiente para torná-
las isostáticas.
Composição: Vigas Gerber isostáticas serão constituídas por vigas biapoiadas,
vigas biapoiadas com balanço e/ou vigas engastadas e livres.
Posicionamento das Rótulas
Podem ser posicionadas arbitrariamente, de modo que não se formem trechos
hipostáticos ou hiperestáticos, assim:
� não podem haver mais que duas rótulas no mesmo vão;
� não podem haver dois vãos consecutivos sem rótulas;
� no máximo uma rótula em vãos extremos biapoiados, não engastados;
� não podem haver rótulas em balanços, não engastados;
� as rótulas podem estar situadas sobre os apoios intermediários.
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Vigas isostáticas: Viga Gerber
Vantagens
� Processo construtivo otimizado;
� Não há necessidade de escoramentos no meio do vão, evitando-se
percalços com: regime de escoamento do talvegue, escoramento simultâneo
de todos os trechos. Economiza-se na aquisição e serviços de escoramento;
� Não desenvolvem esforços internos devido à: variações de temperatura
(trabalham como juntas de dilatação) e recalques diferenciais;
� Distribuição favorável de momentos fletores nos vãos e nos apoios;
Escoramentos necessários!
(Sussekind,1981)
(Sussekind,1981)
(2)
(1)
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Vigas isostáticas: Viga Gerber
Vigas Isostáticas (Vigas Gerber)
[1] Silveira, 2008.
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Vigas isostáticas: Viga Gerber
Viga Gerber
� Trecho CD: Não possui estabilidade própria, pois as cargas P1 e P2, para
serem equilibradas necessitariam de reações de apoio em C e D, o que C não
pode fornecer.
� Contudo, o ponto C, é capaz de transmitir estas forças ao trecho ABC;
� Trecho ABC: Face tratar-se de uma viga biapoiada em balanço, é estável,
garantindo-se assim a estabilidade do conjunto ABCD;
� Assim, a estabilidade do trecho CD está condicionada à estabilidade do
trecho ABC.
� O ponto C, é um ponto de transmissão de forças, não transmitindo
momentos (rotação livre), assim pode ser representado por uma rótula!
P1 P2 “Dente” Gerber
Sem estabilidadeTrecho com estabilidade própria
(Sussekind,1981)
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Vigas isostáticas: Viga Gerber
� Assim, o esquema estático da figura anterior, pode ser representado
conforme abaixo:
� Para resolvermos a viga ABCD, para o carregamento indicado, basta
resolvermos primeiramente o trecho CD (sem estabilidade própria),
transmitindo para o trecho ABC (com estabilidade própria) as forças HC e VC
necessárias ao equilíbrio do trecho CD.
“Dente” Gerber
� E, decomposto, conforme abaixo:
(Sussekind,1981)
(Sussekind,1981)
Sinal invertido: 
Reação => Ação (Esforço)
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Vigas isostáticas: Viga Gerber
Características e observações:
� As vigas Gerber isostáticas são caracterizadas pela existência de 1 apoio capaz de
absorver as forças horizontais (2º ou 3º gênero), que irão diretamente para ele através
das rótulas, provocando esforços horizontais ao longo de sua trajetória. Logo, a
componente horizontal de reação, pode ser determinada diretamente pela equação
de equilíbrio correspondente (∑Fx= 0).
� Assim, a rótula funcionará como uma espécie de “coringa”, podendo ser
substituída como um apoio de 1º ou 2º gênero, a depender da necessidade ou não da
transferência de esforço horizontal, não obstante a sua colaboração na composição
das vigas biapoiadas sem estabilidade própria!
� As cargas verticais, só geram momento fletor e esforço cortante na viga, e é para
obtê-los que necessitamos fazer a sua decomposição.
� Desta forma, na decomposição, não nos preocupamos se o apoio é do 1º ou
2º gênero, tendo em vista que para cargas verticais, todos funcionarão como
se fossem do 1º gênero. Podendo, inclusive, na decomposição, representar
todos os apoios somente como “∆” (sem identificar se é 1º ou 2º)!
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Vigas isostáticas: Viga Gerber
Processo de Decomposição (Prático)
1º) Divide-se/decompõe-se a viga original com rótulas, em várias vigas
biapoiadas isostáticas (com ou sem balanço) e/ou engastadas e livres;
2º) Tais divisões são efetuadas sobre as rótulas, de forma que somente um dos
trechos separados receba um apoio (1º/2º gênero), exceto quando a rótula
estiver aplicada diretamente sobre um apoio, situação onde ambos os trechos
receberão um apoio, representando duas parcelas do mesmo apoio, que se
somam;
3º) Aplica-se um desnível (“degrau”) entre as vigas resultantes, objetivando
facilitar a visualização da ordem de cálculo e transmissão dos esforços pelas
rótulas, entre as vigas, projetando um “degrau” acima àquelas que devem ser
calculadas primeiro (sem estabilidade própria), e assim, sucessivamente, até
que toda a ordem de cálculo (ou de transferência de esforços) estejam
corretamente representadas.
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Vigas isostáticas: Viga Gerber
Processo de Cálculo
1º) Efetua-se a decomposição observando as premissas conceituais (vigas
isostáticas, ect);
2º) Calculam-se as vigas sem estabilidade própria (vigas secundárias), em
geral: primeiro àquelas com 2 rótulas, depois com 1 rótula; o trecho que
“ganhou” apoio deve ser sempre calculado primeiro;
3º) Transmitem-se suas reações de apoio sobre as quais as vigas secundárias se
apoiam;
4º) Procede-se desta forma sucessivamente, até que seja concluída a
determinação analítica dos esforços com o cálculo das vigas com estabilidade
própria (vigas primárias).
5º) Calculam-se e plotam-se os Diagramas dos Esforços.
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Vigas isostáticas: Viga Gerber
Exemplos de Decomposição
VC VD1
VC
VD2
VD = VD1 + VD2
Decomposição da Viga Gerber
1º
1º2º
VA VB VE
VE
VC VB
VC
VD
VBVE
Decomposição da Viga Gerber
1º
2º
3º
2º
VG VF
VA
MA
Viga Contínua (Hiperestática)
VD2
VA VB VE
HA
5r - 3eq = 2r 
Hiper: 2°
Viga Gerber (Isostática)
A B C D E
5r - 5eq = 0 => “Iso”!
Viga Contínua (Hiperestática)
VDVG VF
VA
MA
HA
6r - 3eq = 3r 
Hiper: 3°
A
BC
D
E
FG
Viga Gerber (Isostática) 7r - 7eq = 0 => “Iso”!
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(Sussekind,1981)
(Sussekind,1981)
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Vigas isostáticas: Viga Gerber
Exemplos de Decomposição
(Sussekind,1981)
Rótula no apoio: somam-se as contribuições de cada parcela das reações.
(Sussekind,1981)
(Sussekind,1981)
(Sussekind,1981)
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Vigas isostáticas: Viga Gerber
Exercício 1:
A
Decomposição da Viga - Ordem de cálculo:
1º) Trechos, BD e DE, podem ser calculados em qq ordem entre eles, pois são
vigas biapoiadas independentes, como a rótula está sobre apoio, não há
transferência de esforços, pois o apoio os absorve, tendo como uma
particularidade, a necessidade de somar a parcela dos esforços recebidas de
cada uma das vigas contribuintes;
2º) Trecho AB, é calculado por último, pois possui estabilidade própria e recebe
esforços transmitidos pela rótula B.
B D E
Isostática
5 Incógnitas
5 Equações = 3 Estática + 2 Rótulas
VA VD
VE
MA
HA
C
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Reações – Viga DE
VD1 = VE = (2x4)/2 = +4 kN
CarregamentoSimétrico!!!
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Vigas isostáticas: Viga Gerber
Exercício 1: Decomposição
3 kN
D
E
A B C
4m 4m2m 2m
2 kN/m
VD1
VE
1º
2 kN/m
1º
3 kN
VD2VB
2º
VA
MA
HA
VB
Reações – Viga BD
VD2 = VB = 3/2 = 1,5 kN
Carregamento Simétrico!!! VD = VD1 + VD2 = 4 + 1,5 = 5,5 kN
Reações – Viga AB
∑Fx= 0 .: HA = 0
∑Fy= 0 = +VA -1,5 .: VA = +1,5 kN
∑MA= 0 = +MA -1,5 x 4 .:
MA = + 6 kN
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Vigas isostáticas: Viga Gerber
Observações:
1) Uma vez calculadas as reações de apoio, os diagramas de esforços podem
ser calculados e plotados diretamente nas vigas decompostas, unindo-se
depois, todas as vigas constituintes com seus digramas superpostos, obtendo-
se o diagrama de esforços finais da viga original, OU;
2) Plota-se na viga original, os valores e sentidos encontrados para todas as
reações de apoio, e, partir daí (figura acima), calcula-se os diagramas de
esforços pertinentes, conforme conhecimentos já verificados anteriormente na
disciplina.
Após a superposição (“união”) das vigas 
decompostas, VB não mais será representado como 
uma reação, pois não há apoio naquele ponto!
Exercício 1:
+6 kNm
D
E
A B C
4m 4m2m 2m
1,5 kN 4 kN5,5 kN
3 kN
2 kN/m
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A
B
D
E
C
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Vigas isostáticas: biapoiada c/ balanço
Exercício 1:
DMf
MfA = - 6 kNm
MfB = - 6 kNm + 1,5 x 4 = 0
MfC = - 6 kNm + 1,5 x 6 = + 3 kNm
+6 kNm
D
E
A B C
4m 4m2m 2m
1,5 kN 4 kN5,5 kN
3 kN
MfD = - 6 kNm + 1,5 x 8 - 3 x 2 = 0
MfE = 0 (dir.)
Mmáx,DE = ql
2 / 8 = + 4 kNm
DMf
2 kN/m
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Vigas isostáticas: biapoiada c/ balanço
Exercício 1:
A
B
D
E
C
DQ
QA = +1,5 kN = QB = QC;antes
QC;depois = + 1,5 - 3 = -1,5 kN = QD;antes
QD;depois = + 1,5 - 3 + 5,5 = +4 kN
QE = -4 kN (dir.)
+6 kNm
D
E
A B C
4m 4m2m 2m
1,5 kN 4 kN5,5 kN
3 kN
DQ
2 kN/m
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Vigas isostáticas: Viga Gerber Exercício 2:
1m 2m 1m2m 2m 2m 2m 2m1m 2m
3 kN/m4 kN 3 kN
A
B
4 kNm
8 kN2 kN/m2 kN 5 kNm
C
D
E
F
G H
I
J
K
VC
1º
2 kN 4 kNm
VA
4 kN 3 kN/m
2 kN/m
2º
4 kNmVC
VD VF
VG
3 kN3 kN/m
1º
VG VH
8 kN
2º
5 kNmVH
VI VK
Reações – Viga AC
∑Fx= 0 .: HC = 0
∑MA= -2x1 +VCx3 -4
.: VC = + 2 kN
∑Fy= 0 = +VA -2 + 2 .:
VA = 0
Reações – Viga CG => ∑Fx= 0 .: HD = 0
∑MD= +VCx1 +4 -(2x4)x2 -4x2 + VFx4 -
(3x1)x4,5 - VGx5 .: VF = +11,62 kN
∑Fy= -VC +VD -(2x4) -4 +VF -(3x1) -VG.:
VD = +8,38 kN
Reações – Viga GH
∑Fx= 0 .: HH = 0
∑MG= 0 = -(3x2)x1 -3x2 +VHx2.:
VH = +6kN
∑Fy= 0 = +VG -(3x2) - 3 + 6 .:
VG = +3 kN
Reações – Viga HK
∑MK= 0 = +VHx6 -VIx4 +8x2 +5 .:
VI = +57/4 = +14,25 kN
∑Fy= -VH +VI -8 +VK .: VK = -0,25 kN (Invert.)
Momento relativo de 
final de membro!
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A
B
4 kNm
8 kN2 kN/m2 kN 5 kNm
C
D
E
F
G H
I
J
K
20
Vigas isostáticas: Viga Gerber Exercício 2:
A
B C D
E
F G H
I
J
K
DMf
3 kN/m4 kN 3 kN
8,38 kN 11,62 kN 14,25 kN 0,25 kN
Sinal e 
sentido 
invetido!
DMf
MfA = 0 = MfB
MfC,ant = - 2x2 = -4 kNm
MfC = - 2x2 +4 = 0
MfC,dep = - 2x2 +4 -4 = -4 kNm
MfD = -2x3 = -6 kNm
MfE = -2x5 +8,38x2 -(2x2)x1 = +2,76 kNm
MfF = -2x7 +8,38x4 -(2x4)x2 -4x2 = -4,48 kNm
1) Mf na região com momento relativo de final de membro!
2) A partir do ponto “D” não há necessidade de considerar 
no cálculo os momentos relativos, pois eles se anulam!
MfG = -2x8 +8,38x5 -(2x4)x3 -4x3 +11,62x1
-(3x1)x0,5 = 0 = MfH (Como esperado! => Rótula!)
Mmáx,GH = ql
2 / 8 = + 1,5 kNm (Indicado pelo DQ!)
MfI = +5 -0,25x4 -8x2 = -12 kNm
MfJ = +5 -0,25x2 = +4,5 kNm
MfK = +5 kNm
Pela direita!
1m 2m 1m2m 2m 2m 2m 2m1m 2m
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A B
C
D E F
G
H I
J
K
DQ Ponto onde ocorre o Mmáx
da parábola do trecho GH.
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Vigas isostáticas: Viga Gerber Exercício 2:
DQ
QA = 0 = QB,ant
QB,dep = -2 kN = QC = QD,ant
QD,dep = -2 +8,38 = +6,38 kN
QE,ant = -2 +8,38 - (2x2) = +2,38 kN
QE,dep = -2 +8,38 - (2x2) -4 = -1,62 kN
QF,ant = -2 +8,38 - (2x4) -4 -4 = -5,62 kN
QF,dep = -2 +8,38 - (2x4) -4 -4 +11,62 = +6 kN
QG = +6 - (3x1)= +3 kN
QH,ant = +6 - (3x3)= -3 kN
QH,dep = +6 - (3x3) -3 = -6 kN = QI,ant
QI,dep = +6 - (3x3) -3 +14,25 = +8,25 kN = QJ,ant
QJ,dep = +6 - (3x3) -3 +14,25 - 8 = +0,25 kN = QK
1m 2m 1m2m 2m 2m 2m 2m1m 2m
8,38 kN 11,62 kN 14,25 kN 0,25 kN
A
B
4 kNm
8 kN2 kN/m2 kN 5 kNm
C
D
E
F
G H
I
J
K
4 kN 3 kN
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama
DQ
A
B
C
D E F G H
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Vigas isostáticas: Viga Gerber Exercício 3:
Exercício 3: A partir do DQ indicado, referente à uma Viga Gerber, pede-se:
a) Reconstituir o carregamento da viga (Não há carga-momento aplicada!);
b) Determinar o nº de rótula(s) e as suas posições possíveis;
c) DMf;
40 kN
MH
HH
Reações
∑Fx= 0 .: HH = 0
∑MH= 0 = +(10x2)x11 -30x10 -4x7 +26x6 -6x5 +8x3 +(8x1)x2,5 -40x2 +MH .: MH = +18kNm = MR
Ou: ∑ÁreasDEC = MR =
�����
�
+10x3 +14x1 -12x1 -6x2 - 14x1
����
�
+18x2 = +18 kNm = MH
30 kN
A1
A2 A3
A4 A5 A6
A8
A7
Sinal positivo => 
sentido anti-horário.
10 kN/m
4 kN
26 kN
6 kN
8 kN 8 kN/m
18 kN
a)
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
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DQ
A
B
C
D E F G H
23
Vigas isostáticas: Viga Gerber Exercício 3:
40 kN
MH
HH
A1
A2 A3
A4 A5 A6
A8
A7
10 kN/m
4 kN
26 kN
6 kN
8 kN 8 kN/m
18 kN
Posição das rótulas
Como: ∑ÁreasDEC = MR e, Mf,rótula = 0 , o ∑ÁreasDEC nas rótulas é nulo! Contudo, ∑ÁreasDEC = 0, em
uma seção qualquer, não implica, necessariamente, em existência de rótula nessa seção, mas
sim, um ponto possível para a localização da mesma, sem que haja interferência/alteração na
configuração do DMf.
b.1)
Nº de rótula(s)
6 Incógnitas - 3 Equações = 3 incóg., como, 1 eq./rótula => 3 rótulas p/ Viga Gerber Isostática!!!
30 kN
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Posição das rótulas
Devemos, no caso de uma viga engastada, efetuar o ∑ÁreasDEC partindo da esquerda, pois a carga-momento
reativa do apoio, desequilibra as relações
��	
��
��
 � � ;
��
��
��
 �� � ; e, conseq., ∑ÁreasDEC = MfR.
Obs.: Para vigas Gerber simplesmente apoiadas, a análise poderia ser feita partindo-se de qualquer lado!
∑ÁreasDEC,esq,�� = 0 =
�����
�
+10xL1 .: L1 = 2 m .: x1 = 2 + L1 = 4m (1º ponto possível);
∑ÁreasDEC,esq,EF = 0 =
�����
�
+10x3 +14x1 -12x1 -6x L2 .: L2 = 2 m .: x2 = 7 + L2 = 9m (2º ponto possível);
∑ÁreasDEC,esq,GH = 0 =
�����
�
+10x3 +14x1 -12x1 -6x2 - 14x1
����
�
+ 18x L3 .: L3 = 1 m .: x3 = 10 + L3 = 11m (3º).
DQ
A
B
C
D E F G H
24
Vigas isostáticas: Viga Gerber Exercício 3:
A1
A2 A3
A4 A5 A6
A8
A7
b.2)
x3x1 x2 12m10m7mx 0 2m
L1 L2 L3
A identificação prévia dos trechos BC, EF e GH, factíveis
p/ ∑ÁreasDEC = 0 agiliza a determinação dos pontos.
Não pode haver carga-momento aplicada!
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DQ
A
B
C
D E F G H
25
Vigas isostáticas: Viga Gerber Exercício 3:
A1
A2 A3
A4 A5 A6
A8
A7
b.2)
x3x1 x2 12m10m7mx 0 2m
L1 L2 L3
Se só houvesse uma rótula aplicada à viga, a mesma poderia ser
posicionada em qualquer um dos pontos possíveis (x1, x2, x3) sem que
haja interferência/alteração na configuração do DMf.
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Vigas isostáticas: Viga Gerber Exercício 3:
c)
A
B C D E
F = R2
G
HR1 R3
40 kN
18 kNm
30 kN 26 kN
18 kN
DMf
Esq.MfA = 0
MfB = -(10x2)x1 = -20 kNm
MfR1 = -(10x2)x3 +30x2 = 0 (Rótula!)
MfC = -(10x2)x4 +30x3 = +10 kNm
MfD = -(10x2)x5 +30x4 +4x1 = +24 kNm
MfE = -(10x2)x6 +30x5 +4x2 -26x1= +12 kNm
Dir.
MfR2 = +18 -18x3 +40x1 -(8x1)x0,5 = 0 (Rótula!)
MG = +18 -18x2 = -18 kNm
MR3 = +18 -18x1 = 0 (Rótula!)
MfH = +18 kNm
A
B C D E
F = R2
G
HR1 R3
DMf
Bibliografia:
[1] SILVEIRA, Ricardo A. M.; Notas de aula - Teoria das Estruturas I, UFOP, 2008.
[2] SUSSEKIND, J. C.; Curso de Análise Estrutural, vol 1, 6ª ed., Ed. Globo: 1981.
[3] SORIANO, H. L.; Estática das Estruturas, Ed. Ciência Moderna, 2010.