06 Porticos Simples&Compostos

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Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama 7
Quadros isostáticos planos: simples
� Definição
Quadros ou pórticos planos são estruturas reticuladas constituídas por elementos de
barras retas ou curvas, conectados entre si por nós de ligações rígidas. Os elementos
de barras, ações externas, esforços, deslocamentos e deformações atuam sempre no
mesmo plano da estrutura, usualmente vertical.
� Existem 4 tipos fundamentais de quadros isostáticos planos:
(1) Quadros biapoiados;
(2) Quadros engastados e, livres ou não;
(3) Quadro triarticulado (“Tri”:1 rótula + 2 apoios rotação livre);
(4) Quadro biapoiado, com articulação e tirante (ou escora);
VA VB
HB
3 Reações
3 Eq. Equil.
VA
HA
3 Reações
3 Eq. Equil.
MA
MA
VA
HA
VB
4 Reações
3 Eq. Equil.
1 Eq. Rótula
4 Reações
3 Eq. Equil.
1 Eq. Rótula
VB
HB
VA
HA
Legenda:
Incógnita
Equação
3 Reações
1 Barra CD
3 Eq. Equil.
1 Eq. Rótula
VA VB
HB
NCD
(1)
(2.1)
(2.2)
(3)
(4)
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Quadros isostáticos planos: simples
� Quadro Biapoiado
� Para cálculo das reações de
apoio indicadas, dispomos das três
equações universais da Estática no
plano. Trata-se pois de uma estrutura
isostática.
� Conhecidas as reações de apoio,
passemos à obtenção dos esforços
solicitantes, conforme indicado na
próxima figura.
(Sussekind,1981)
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Quadros isostáticos planos: simples
QUADROS ISOSTÁTICOS PLANOS: SIMPLES
Quadro Biapoiado
“Rompendo” o quadro em seus nós intermediários B e C, podemos destacar e
analisar separadamente as barras que o constituem, desde que apliquemos os
esforços correspondentes atuantes em cada barra nesses nós, que assegurarão
o equilíbrio de cada barra (AB, BC e CD).
a) O estudo recaí,
então, na análise
de três vigas
biapoiadas.
b) Tais conclusões
são aplicáveis aos
demais pórticos!
(Sussekind,1981)
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Quadros isostáticos planos: simples
Convenção de sinal adicional
As barras verticais poderiam ser “observadas” como as horizontais, caso
fossem “giradas” no sentido horário, em 90 graus. A partir desta situação
hipotética, a convenção de sinais da vigas são semelhantemente aplicáveis!
Lado inferior de cada barra (tracionada)
Observador
Esq.
Dir.
Observação: Para o caso de pórticos com barras ortogonais, para os nós de
ligação entre as barras, onde não hajam forças concentradas externas
atuantes, o esforço normal em uma barra, é numericamente igual ao esforço
cortante na extremidade da outra barra, e vice-versa.
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Quadros isostáticos planos: biapoiado
Exercício 1: Dado o pórtico biapoiado abaixo, obter os diagramas solicitantes.
Reações de Apoio
∑MA= 0 .: - 4 x 4 + (2 x 2) x 1
- (2 x 8) x 4 + 16 + 2 x 6 + HB x 4
HB = 48/4 = 12 kN
∑Fx= 0 = HA + 4 - 2 - 12 .: HA = 10 kN
∑Fy= 0 = VA - 2 x 10 .: VA = 20 kN
VA
HA
HB
A
B
C
D
E F
G
H
R = 4kN
1m 1m
R = 16kN
4m 4m
Resultantes?
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Quadros isostáticos planos: biapoiado
Exercício 1:
20 kN
10 kN
12 kN
A
B
C
D
E F
G
H
DMfDMf(Esq.) - Barra AE
MfA= 0
MfC = -10x4 = -40 kNm
MfE
EA = -10x8 -4x4 = -96 kNm
(Esq.) - Barra DE
MfD = 0
MfE
ED = -(2x2)x1 = -4 kNm
(Esq.) - Barra EF
MfE
EF = -10x8 -4x4 -(2x2)x1 = -100 kNm
OU, por equilíbrio do nó E
MfF
FE =
-10x8 +20x8 -4x4 -(2x10)x5 = -36 kNm
OU, por equilíbrio do nó F
(Dir.) - Barra GF
MfG = +16 kNm = MfF
FG
(Esq.) - Barra BF
MfB = 0
MfH = +12x2 = +24 kNm
MfF
FB = +12x4 +2x2 = +52 kNm
R = 4kN
1m 1m
R = 16kN
4m 4m
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Quadros isostáticos planos: biapoiado
Equilíbrio do nó E
MfE
ED = -(2 x 2) x 1 = -4 kNm
MfE
EA = -10 x 8 – 4 x 4 = -96 kNm
MfE
EF = -10 x 8 – 4 x 4 - (2 x 2) x 1 = -100 kNm
I) Determina-se o sinal do Mequilíbrio, usando-se a convenção compatível com
o lado que o Mequilíbrio se encontra em relação ao nó: Nó E (dir.); Nó F (esq.)
II) O equilíbrio do nó, NÃO é soma algébrica dos momentos! Vide nó F!
DMf Nó E
Nó F
Equilíbrio do nó F
MfF
FG = +16 kNm = MfG
MfF
FB = +12x4 +2x2 = 48 + 4 = +52 kNm
MfF
FE = -12x4 -2x2 +16 = -36 kNm (dir.)
+
MfE
ED
4
kNm =
MfE
EA
96
kNm
MResultante
100
kNm
Inverso
MEquilíbrio= MfE
EF
FE
100
kNm
MfE
ED
D E
4
kNm
MfE
EA
A
E
96
kNm
MfF
FB
F
B
52
kNm
MfF
FG
G
F
16
kNmMEquilíbrio = MfF
FE
E F
36
kNm
+
MfF
FG
16
kNm =
MfF
FB
52
kNm
MResultante
36
kNm
Voltar!
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Quadros isostáticos planos: biapoiado
A
C
D
E F
G
B
H
DMf
DMf(Esq.) - Barra AE
MfA= 0
MfC = -10x4 = -40 kNm
MfE
EA = -10x8 -4x4 = -96 kNm
(Esq.) - Barra DE
MfD = 0
MfE
ED = -(2x2)x1 = -4 kNm
(Esq.) - Barra EF
MfE
EF = -10x8 -4x4 -(2x2)x1 = -100 kNm
OU, por equilíbrio do nó E
MfF
FE =
-10x8 +20x8 -4x4 -(2x10)x5 = -36 kNm
OU, por equilíbrio do nó F
(Dir.) - Barra GF
MfG = +16 kNm = MfF
FG
(Esq.) - Barra BF
MfB = 0
MfH = +12x2 = +24 kNm
MfF
FB = +12x4 +2x2 = +52 kNm
20 kN
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20 kN
10 kN
12 kN
A
B
C
D E F
G
H
16
Quadros isostáticos planos: biapoiado
Exercício 1:
DQ
(Esq.) - Barra AE
QA= -10 kN = QC;ANT
QC;DEP = -10 - 4 = -14 kN = QE
EC
(Esq.) - Barra DE
QD = 0
QE
ED = -4 kN
(Esq.) - Barra EF
QE
EF = +20 - 4 = +16 kN
QF
EF = +16 - (2x8) = 0
(Dir.) - Barra GF
QG = 0 = QF
FG
(Esq.) - Barra BF
QB = +12 kN = QH;ANT
QH;DEP = +12 +2 = +14 kN = QF
FH
DQ
R = 4kN
1m 1m
R = 16kN
4m 4m
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Quadros isostáticos planos: biapoiado
Exercício 1:
A
C
D
E F
G
B
H
DQ
DQ
(Esq.) - Barra AE
QA= -10 kN = QC;ANT
QC;DEP = -10 - 4 = -14 kN = QE
EC
(Esq.) - Barra DE
QD = 0
QE
ED = -4 kN
(Esq.) - Barra EF
QE
EF = +20 - 4 = +16 kN
QF
EF = +16 - (2x8) = 0
(Dir.) - Barra GF
QG = 0 = QF
FG
(Esq.) - Barra BF
QB = +12 kN = QH;ANT
QH;DEP = +12 +2 = +14 kN = QF
FH
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20 kN
10 kN
12 kN
A
B
C
D
E F
G
H
18
Quadros isostáticos planos: biapoiado
DN
(Esq.) - Barra AE
NA = -20 kN = NC = NE
EA
(Esq.) - Barra DE
ND = 0 = NE
ED
(Esq.) - Barra EF
NE
EF = -10 -4 = -14 kN = NF
FE
(Dir.) - Barra GF
NG = 0 = NF
FG
(Esq.) - Barra BF
NB = 0 = NH = NF
FH
Exercício 1:
DN
R = 4kN
1m 1m
R = 16kN
4m 4m
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Quadros isostáticos planos: biapoiado
A
C
D
E
F
G
B
H
Exercício 1:
DN
DN
(Esq.) - Barra AE
NA = -20 kN = NC = NE
EA
(Esq.) - Barra DE
ND = 0 = NE
ED
(Esq.) - Barra EF
NE
EF = -10 -4 = -14 kN = NF
FE
(Dir.) - Barra GF
NG = 0 = NF
FG
(Esq.) - Barra BF
NB = 0 = NH = NF
FH
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Quadros isostáticos planos: engastado
Exercício 2: Dado o pórtico engastado e livre abaixo, obter os diagramas
solicitantes.
Reações de Apoio
∑MA= 0 =
- 1x1 +1x2 +3x2 -(1x4)x2 +MA .:
MA= +9 -8 = +1kNm
∑Fx= 0 = HA - 1 .: HA = 1 kN
∑Fy= 0 = VA - 1 - 3 -(1x4).: VA = 8 kN
A
C D E
F
B
VA
HA
MA
R = 4kN
2m 2m
Resultantes?
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Quadros isostáticos planos: engastado
Exercício 2:
(Esq.) - Barra AB
MfA = -1 kNm
MfB
BA = -1 - 1x2 = -3 kNm
(Dir.) - BarraFB
MfF = 0
MfB
BF = - 1x1 = -1 kNm
(Esq.) - Barra BD
MfB
BD = -1 -1x2 +1x1= -2 kNm
MfD
DB =
-1 -1x4 +1x1 +1x2= -2 kNm
(Esq.) - Barra CD
MfC = 0
MfD
DC = -3x2 = -6 kNm
(Dir.) - Barra DE
MfE = 0
MfD
DE = -(1x4)x2 = -8 kNm
DMfDMf
A
C D E
F
B
8 kN
1 kN
1 kNm
R = 4kN
2m 2m
Resultantes?
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Quadros isostáticos planos: engastado
Exercício 2
C D E
FB
A
DMf
(Esq.) - Barra AB
MfA = -1 kNm
MfB
BA = -1 - 1x2 = -3 kNm
(Dir.) - Barra FB
MfF = 0
MfB
BF = - 1x1 = -1 kNm
(Esq.) - Barra BD
MfB
BD = -1 -1x2 +1x1= -2 kNm
MfD
DB =
-1 -1x4 +1x1 +1x2= -2 kNm
(Esq.) - Barra CD
MfC = 0
MfD
DC = -3x2 = -6 kNm
(Dir.) - Barra DE
MfE = 0
MfD
DE = -(1x4)x2 = -8 kNm
DMf
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Quadros isostáticos planos: engastado
Exercício 2:
DQ
(Esq.) - Barra AB
QA = HA= -1 kN = QB
BA
(Dir.) - Barra FB
QF = +1 kN = QB
FB
(Esq.) - Barra BD
QB
BD = -1 +1 = 0 = QD
DB
(Esq.) - Barra CD
QC = -3 kN = QD
DC
(Esq.) - Barra DE
QD
DE = +8 -1 -3 = +4 kN
QE = 0
DQ
A
C D E
F
B
8 kN
1 kN
1 kNm
R = 4kN
2m 2m
Resultantes?
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Quadros isostáticos planos: engastado
Exercício 2:
A
C
D E
FB
DQDQ
(Esq.) - Barra AB
QA = HA= -1 kN = QB
BA
(Dir.) - Barra FB
QF = +1 kN = QB
FB
(Esq.) - Barra BD
QB
BD = -1 +1 = 0 = QD
DB
(Esq.) - Barra CD
QC = -3 kN = QD
DC
(Esq.) - Barra DE
QD
DE = +8 -1 -3 = +4 kN
QE = 0
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Quadros isostáticos planos: engastado
Exercício 2:
DN
(Esq.) - Barra AB
NA = -8 kN = NB
BA
(Dir.) - Barra FB
NF = -1 kN = NB
BF
(Esq.) - Barra BD
NB
BD = -8 +1 = -7 kN = ND
DB
(Esq.) - Barra CD
NC = 0 = ND
DC
(Esq.) - Barra DE
ND
DE = -1 +1 = 0
NE = 0
DN
A
C D E
F
B
8 kN
1 kN
1 kNm
R = 4kN
2m 2m
Resultantes?
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Quadros isostáticos planos: engastado
Exercício 2:
A
C
D
E
FB
DN
DN
(Esq.) - Barra AB
NA = -8 kN = NB
BA
(Dir.) - Barra FB
NF = -1 kN = NB
BF
(Esq.) - Barra BD
NB
BD = -8 +1 = -7 kN = ND
DB
(Esq.) - Barra CD
NC = 0 = ND
DC
(Esq.) - Barra DE
ND
DE = -1 +1 = 0
NE = 0
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Quadros isostáticos planos: triarticulado
Observações:
Caso os dois apoios do 2º gênero e a rótula intermediária estejam alinhados, a
estrutura será hipostática. Tendo em vista a simetria do carregamento da
estrutura, as reações de apoio HA e VA em A, e, HB e VB em B, devem ter suas
resultantes RA e RB, p/ que MfG = 0, conforme esquematizado na figura.
Contudo, ao verificarmos a Eq. da Estática (∑Fy = 0), constataremos que:
∑Fy = -Pcosα ≠ 0, logo não há equilíbrio, uma vez que todas as Eq. Da Estática no plano
devem ser válidas. Assim, um quadro triarticulado é isostático, desde que suas 3
rótulas não estejam alinhadas.
Pcosα
α
VA
HB
VB
HA
Psenα
(Sussekind,1981)RA
RB
P
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Quadros isostáticos planos: triarticulado
Exercício 3: Dado o
pórtico triarticulado
abaixo, obter os
diagramas
solicitantes.
Reações de Apoio
∑MB= 0 = -VAx8 +2x6 -6 +6 +(1x8)x4 +4x2 -2x2 = +12 +32 +8 -4 .: VA= +48/8 = +6kN
MfR= 0 = +6x4 -HAx6 -2x2 -(1x4)x2 +6 = +24 -4 -8 +6 .: HA = +18/6 = 3 kN
∑FV= 0 = +6 -2 -(1x8) -4 -2 + VB .: VB = 10 kN
∑FH= 0 = +3 -HB .: HB = 3 kN
2 kN
1,5m
2 kN
4 kN
6 kNm
3m
3m
2m 2m 2m 2m 2m
1 kN/m
VA HA
VBHB
A
D
F
GC
ER
B
H
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Quadros isostáticos planos: triarticulado
DMf
(Esq.) - Barra AC
MfA= 0
MfC
CA = -3x3 = -9 kNm
(Esq.) - Barra CR
MfC
CD = -3x3 = -9 kNm
MfD = +6x2 -3x4,5 -(1x2)x1
= -3,5kNm
MfR,ant = +6x4 -3x6 -2x2
-(1x4)x2 = -6 kNm
MfR = -6 +6 = 0
MfR,dep = 0 -6 = -6kNm
(Esq.) - Barra RE
MfE
ER = +6x8 -3x6 -2x6
-(1x8)x4 +6 -6 = -14 kNm
(Dir.) - Barra EF
MfF = 0
MfE
EF = -2x2 = -4kNm
DMf
(Esq.) - Barra BG
MfB = 0
MfG
GB = +3x3 = +9kNm
(Esq.) - Barra HG
MfH = 0
MfG
GH = -4x2 = -8 kNm
(Esq.) - Barra GE
MfG
GE = +3x3 -4x2 = +1kNm
MfE
EG = +3x6 -4x2 = +10kNm
2 kN
1,5m
2 kN
4 kN
6 kNm
3m
3m
2m 2m 2m 2m 2m
1 kN/m
6 kN
3 kN
10 kN
3 kNA
D
F
GC
ER
B
H
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Quadros isostáticos planos: triarticulado
DMf
-
-
-
-9 -
-
-4
-14
-6
-8
+
+10
+1
+9
-
+
0
0
0A
C
D
E
F
R
B
H G
-6
-9
DMf
(Esq.) - Barra AC
MfA= 0
MfC
CA = -3x3 = -9 kNm
(Esq.) - Barra CR
MfC
CD = -3x3 = -9 kNm
MfD = +6x2 -3x4,5 -(1x2)x1
= -3,5kNm
MfR,ant = +6x4 -3x6 -2x2
-(1x4)x2 = -6 kNm
MfR = -6 +6 = 0
MfR,dep = 0 -6 = -6kNm
(Esq.) - Barra RE
MfE
ER = +6x8 -3x6 -2x6
-(1x8)x4 +6 -6 = -14 kNm
(Dir.) - Barra EF
MfF = 0
MfE
EF = -2x2 = -4kNm
(Esq.) - Barra BG
MfB = 0
MfG
GB = +3x3 = +9kNm
(Esq.) - Barra HG
MfH = 0
MfG
GH = -4x2 = -8 kNm
(Esq.) - Barra GE
MfG
GE = +3x3 -4x2 = +1kNm
MfE
EG = +3x6 -4x2 = +10kNm
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama
2 kN
1,5m
2 kN
4 kN
6 kNm
3m
3m
2m 2m 2m 2m
1 kN/m
6 kN
3 kN
10 kN
3 kNA
D
F
G
C
ER
B
H
2m
33
Quadros isostáticos planos: triarticulado
DQ
(Esq.) - Barra AC
QA= -3 kN = QC
CA
(Esq.) - Barra CR
QC
CD = +4,8 -1,8 = +3 kN
QD,ant = +3 -1,6= +1,4 kN
QD,dep = +1,4 -1,6 = -0,2 kN
QR
RD = -0,2 -1,6 = -1,8 kN
(Esq.) - Barra RE
QR
RE = +6 -2 -(1x4) = 0
QE
ER = 0 - (1x4) = -4 kN
(Dir.) - Barra EF
QF = +2 kN = QE
EF
(Esq.) - Barra BE
QB =+3kN = QG
GB = QG
GE = QE
EG
(Esq.) - Barra HG
QH = -4 kN = QG
GH
DQ
θ
cosθ = 4/5 = 0,8
senθ = 3/5 = 0,6
Decomp. Reações
6 x cosθ = 4,8 kN
6 x senθ = 3,6 kN
3 x cosθ = 2,4 kN
3 x senθ = 1,8 kN
R = 2kN = 1x2
1,2 kN1,6 kN
Decomp. Carreg.
2 x cosθ = 1,6 kN
2 x senθ = 1,2 kN
4 x cosθ = 3,2 kN
4 x senθ = 2,4 kN
Mostrar Vetores?
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Quadros isostáticos planos: triarticulado
DQ
-
+
-3
-
+2
-4
-
A
C
D
E
F
R
B
H G
DQ
(Esq.) - Barra AC
QA= -3 kN = QC
CA
(Esq.) - Barra CR
QC
CD = +4,8 -1,8 = +3 kN
QD,ant = +3 -1,6= +1,4 kN
QD,dep = -1,4 -1,6 = -0,2 kN
QR
RD = -0,2 -1,6 = -1,8 kN
(Esq.) - Barra RE
QR
RE = +6 -2 -(1x4) = 0
QE
ER = 0 - (1x4) = -4 kN
(Dir.) - Barra EF
QF = +2 kN = QE
EF
(Esq.) - Barra BE
QB =+3kN = QG
GB = QG
GE = QE
EG
(Esq.) - Barra HG
QH = -4 kN = QG
GH
+
-3
+2
-
-4-4
+
+3
+3
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama
2 kN
1,5m
2 kN
4 kN
6 kNm
3m
3m
2m 2m 2m 2m
1 kN/m
6 kN
3 kN
10 kN
3 kNA
D
F
G
C
ER
B
H
2m
35
Quadros isostáticos planos: triarticulado
DN
(Esq.) - Barra AC
NA= -6 kN = NC
CA
(Esq.) - Barra CR
NC
CD = -3,6 -2,4 = -6 kN
ND,ant = -6 +1,2= -4,8 kN
ND,dep = -4,8 +1,2 = -3,6 kN
NR
RD = -3,6 +1,2 = -2,4 kN
(Esq.) - Barra RE
NR
RE = -3 kN = NE
ER
(Dir.) - Barra EF
NF = 0 = NE
EF
(Esq.) - Barra BE
NB =-10kN = NG
GB
NG
GE = -10 +4 = -6kN = NE
EG
(Esq.) - Barra HG
NH = 0 = NG
GH
DN
θ
cosθ = 4/5 = 0,8
senθ = 3/5 = 0,6
Decomp. Reações
6 x cosθ = 4,8 kN
6 x senθ = 3,6 kN
3 x cosθ = 2,4 kN
3 x senθ = 1,8 kN
R = 2kN = 1x2
1,2 kN1,6 kN
Decomp. Carreg.
2 x cosθ = 1,6 kN
2 x senθ = 1,2 kN
4 x cosθ = 3,2 kN
4 x senθ = 2,4 kNMostrar Vetores?
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Quadros isostáticos planos: triarticulado
DN
-
-6
-
-
A
C
D
E
F
R
B
H G
0
-6
-
-3 -3
0
00
-
-10
-10
DN
(Esq.) - Barra AC
NA= -6 kN = NC
CA
(Esq.) - Barra CR
NC
CD = -3,6 -2,4 = -6 kN
ND,ant = -6 +1,2= -4,8 kN
ND,dep = -4,8 +1,2 = -3,6 kN
NR
RD = -3,6 +1,2 = -2,4 kN
(Esq.) - Barra RE
NR
RE = -3 kN = NE
ER
(Dir.) - Barra EF
NF = 0 = NE
EF
(Esq.) - Barra BE
NB =-10kN = NG
GB
NG
GE = -10 +4 = -6kN = NE
EG
(Esq.) - Barra HG
NH = 0 = NG
GH
-6
-6
-
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama 38
Quadros isostáticos planos: tirante/escora
Exercício 4: Dado o pórtico biapoiado com escora/tirante abaixo, obter os
diagramas solicitantes.
Reações de Apoio
∑MB = 0 = -VAx4 -N
CEx2 +NCEx2 +(2x4)x2
-4 +4 .: VA= +16/4 = +4 kN
MfR,DIR= 0 = +N
CEx2 -4.: NCE = +2 kN
∑Fy= 0 = +4 -(2x4) +VB .: VB = +4 kN
∑Fx= 0 = +HA +N
CE -NCE .: HA = 0
A
C E
R
B
D
R = 8kN = 2x4
2m 2m
4 kNm
2 kN/m
2
m
2
m
4m
“Abre-se” o pórtico na barraCE, substituindo-a (incógnita) 
pelos respectivos esforços seccionais (seção S), no 
sentido da tração, pois assim, o sinal obtido para NCE já 
indicará o real esforço atuante: 
(+) tração; (-) compressão.
NCE NCE
S SNCE
VA
HA
VB
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama 39
Quadros isostáticos planos: tirante/escora
Exercício 4: DMf
A
C E
R
B
D
R = 8kN = 2x4
2m 2m
4 kNm
2 kN/m
2
m
2
m
4m
2 kN 2 kN
S S
DMf
(Esq.) - Barra AD
MfA= 0
MfC= 0
MfD
DC = -2x2 = -4 kNm
(Esq.) - Barra DR
MfD
DR = -4 kNm (“rebatido”!)
MfR,ant (MfR
RD) = +4x4 -2x2 -(2x4)x2= -4 kNm
MfR = -4 +4 = 0
DIR (POR CIMA) – Novo Observador!
MfR,dep (MfR
RE) = 0 +4 = +4 kNm
(Esq.) - Barra BR
MfB = 0
MfE
EB = 0 = MfE
ER
MfR
RE (MfR,ant) = +2x2 = +4 kNm
MfR
RE (MfR,dep) = +4 -4 = 0
4 kN 4 kN
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama 40
Quadros isostáticos planos: tirante/escora
Exercício 4: DMf
A
C E
R
B
DDMf
(Esq.) - Barra AD
MfA= 0
MfC= 0
MfD
DC = -2x2 = -4 kNm
(Esq.) - Barra DR
MfD
DR = -4 kNm (“rebatido”!)
MfR,ant (MfR
RD) = +4x4 -2x2 -(2x4)x2= -4 kNm
MfR = -4 +4 = 0
DIR (POR CIMA) – Novo Observador!
MfR,dep (MfR
RE) = 0 +4 = +4 kNm
(Esq.) - Barra BR
MfB = 0
MfE
EB = 0 = MfE
ER
MfR
RE (MfR,ant) = +2x2 = +4 kNm
MfR
RE (MfR,dep) = +4 -4 = 0
0
Minflexão
8 - 4
4 - x .: x = 2m (vide DQ)
Mfx = +4x2 -2x2 -(2x2)x1 = 0
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama 41
Quadros isostáticos planos: tirante/escora
Exercício 4: DQ
A
C E
R
B
D
R = 8kN = 2x4
2m 2m
4 kNm
2 kN/m
2
m
2
m
4m
2 kN 2 kN
S S
DQ
(Esq.) - Barra AD
QA= 0 = QC
CA
QC
CD = -2 kN = QD
DC
(Esq.) - Barra DR
QD
DR = +4 kN
QR
RD = +4 -(2x4) = -4kN
(Esq.) - Barra BR
QB = 0 = QE
EB
QE
ER = +2 kN = QR
RE
4 kN 4 kN
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama 42
Quadros isostáticos planos: tirante/escora
Exercício 4: DQ
A
C E
R
B
DDQ
(Esq.) - Barra AD
QA= 0 = QC
CA
QC
CD = -2 kN = QD
DC
(Esq.) - Barra DR
QD
DR = +4 kN
QR
RD = +4 -(2x4) = -4kN
(Esq.) - Barra BR
QB = 0 = QE
EB
QE
ER = +2 kN = QR
RE
Minflexão
8 - 4
4 - x .: x = 2m (vide DQ)
Mfx = +4x2 -2x2 -(2x2)x1 = 0
0
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama 43
Quadros isostáticos planos: tirante/escora
Exercício 4: DN
A
C E
R
B
D
R = 8kN = 2x4
2m 2m
4 kNm
2 kN/m
2
m
2
m
4m
2 kN 2 kN
S S
DN
(Esq.) - Barra AD
NA= -4 kN = NC
CA = NC
CD = ND
DC
(Esq.) - Barra DR
ND
DR = -2 kN = NR
RD
(Esq.) - Barra BR
NB = -4 kN = NE
EB = NE
ER
Barra CE
NCE = +2 kN
4 kN 4 kN
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama 44
Quadros isostáticos planos: tirante/escora
Exercício 4:
A
C
E
R
B
D
DN
DN
(Esq.) - Barra AD
NA= -4 kN = NC
CA = NC
CD = ND
DC
(Esq.) - Barra DR
ND
DR = -2 kN = NR
RD
(Esq.) - Barra BR
NB = -4 kN = NE
EB = NE
ER
Barra CE
NCE = +2 kN
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama 46
Quadros isostáticos planos: compostos
� Quadros compostos
� Conforme veremos a seguir, um quadro composto isostático, nada mais é do que
uma associação de quadros simples isostáticos, já estudados no tópico anterior
isoladamente, e que estão reproduzidos novamente abaixo:
� Existem 4 tipos fundamentais de quadros isostáticos planos:
(1) Quadros biapoiados;
(2) Quadros engastados e, livres ou não;
(3) Quadro triarticulado (“Tri”:1 rótula + 2 apoios rotação livre);
(4) Quadro biapoiado, com articulação e tirante (ou escora);
VA VB
HB
3 Reações
3 Eq. Equil.
VA
HA
3 Reações
3 Eq. Equil.
MA
MA
VA
HA
VB
4 Reações
3 Eq. Equil.
1 Eq. Rótula
4 Reações
3 Eq. Equil.
1 Eq. Rótula
VB
HB
VA
HA
Legenda:
Incógnita
Equação
3 Reações
1 Barra CD
3 Eq. Equil.
1 Eq. Rótula
VA VB
HB
NCD
(1)
(2.1)
(2.2)
(3)
(4)
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama 47
Quadros isostáticos planos: compostos
� Detalhamento das ligações rotuladas
As rotações estão livres entre as 
barras EC, BC e DC, concorrentes na 
rótula C.
As rotações estão livres entre os 
quadros DEF e ACDB, concorrentes na 
rótula D.
Observação: Quando temos n barras rotuladas num único nó, a estrutura se 
comporta, como tendo neste nó, (n-1) rótulas distintas.
O quadro 
ACDB, 
“conta” 
como se 
fosse uma 
única barra!
C
A B
D
E F
C
A B
D
E F
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama 48
Quadros isostáticos planos: compostos
� Quadro Composto
� Para o quadro composto abaixo, analisemos somente o trecho DEFGH:
trata-se de um quadro triarticulado, SEM estabilidade própria, pois depende da
capacidade que os quadros biapoiados, dotados de estabilidade própria, ACDB
e JHIK têm de absorver os esforços transmitidos pelas rótulas D e H.
� Ao conjunto destes quadros simples isostáticos, associados, dá-se o nome
de quadro composto.
� Por analogia, 
verificamos que o 
quadro composto está 
para o quadro simples, 
da mesma forma que a 
viga Gerber está para a 
viga simples.
(Sussekind,1981)
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama 49
Quadros isostáticos planos: compostos
�Resolvemos assim, os
quadros simples isostáticos
isoladamente, conforme já
estudados anteriormente, e
por superposição dos
efeitos, obtemos os
diagramas finais do quadro
composto!
� Para resolvermos um quadro composto, devemos decompô-lo nos quadros
simples que o constituem, resolvendo, primeiramente, aqueles sem
estabilidade própria (quadro DEFGH), depois aqueles com estabilidade (ACDB e
JHIK), considerando o carregamento atuante sobre eles, acrescidos, das cargas
transmitidas pelas rótulas.
(Sussekind,1981)
Transferência 
dos esforços:
Verticais
Horizontais
Observações: Em pórticos, usualmente, um 
apoio do 2º gênero será requerido p/ 
transferência dos esforços, em virtude da 
ocorrência comum de carregamento externo 
em ambas direções (vertical e horizontal).
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama
Processo de Decomposição (Prático)
1º) Divide-se/decompõe-se, nas rótulas, o quadro composto, em quadros
simples isostáticos que o constituem, procurando primeiramente, aqueles
COM estabilidade própria, para então apoiar sobre estes, os quadros simples
SEM estabilidade própria.
2º) Tais divisões são efetuadas sobre as rótulas, de forma que somente um dos
quadros separados não receba apoio (1º/2º gênero), assim, quando temos nbarras rotuladas num único nó, a estrutura se comporta, como tendo neste nó,
(n-1) rótulas distintas.
50
Quadros isostáticos planos: compostos
Observação: Não há obrigatoriedade de segregar todas as barras concorrentes
no nó, sendo possível “extrair” algumas barras do nó, mantendo outras ainda
rotuladas no nó!
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama
Processo de Cálculo
1º) Efetua-se a decomposição observando as premissas conceituais (quadros
isostáticos, ect);
2º) Calculam-se os quadros sem estabilidade própria, em geral: primeiro àqueles com
2 rótulas de transmissão de carga entre pórticos, depois com 1 rótula; o quadro que
“ganhou” apoio deve ser sempre calculado primeiro;
3º) Transmitem-se as reações de apoio desses quadros para àqueles que os suportam;
4º) Procede-se desta forma sucessivamente, até que seja concluída a determinação
analítica dos esforços transmitidos pelas rótulas, bem como todas as reações de apoio
da estrutura, com o consequente cálculo dos quadros com estabilidade própria.
5º) Calculam-se e plotam-se os diagramas dos esforços do quadro composto
integralizado, ou, dos quadros simples separadamente, depois unindo-os
considerando para tanto o princípio da superposição dos efeitos.
51
Quadros isostáticos planos: compostos
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama
Exemplos de Decomposição
Os números indicam a ordem de resolução e as setas a transmissão de carga.
52
Quadros isostáticos planos: compostos
� Quadro composto original
� Decomposição em seus
quadros simples isostáticos
constituintes!
� Quadros:
COM estabilidade: AB; EFGH
SEM estabilidade: BCD; IJK
Engastado e livre
Triarticulado
Biapoiado
Triarticulado
(Sussekind,1981)
(Sussekind,1981)
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama
Exemplos de Decomposição
Os números indicam a ordem de resolução e as setas a transmissão de carga.
53
Quadros isostáticos planos: compostos
� Quadro composto original
� Decomposição em seus
quadros simples isostáticos
constituintes!
� Quadros:
COM estabilidade: AGFE
SEM estabilidade: ABCDE
Triarticulado
Biapoiado
(Sussekind,1981)
(Sussekind,1981)
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama
Exemplos de Decomposição
Os números indicam a ordem de resolução e as setas a transmissão de carga.
54
Quadros isostáticos planos: compostos
QUADROS ISOSTÁTICOS PLANOS: COMPOSTOS
� Quadro composto original
Triarticulado
Engastado
Triarticulado
EngastadoTriarticulado
� Decomposição em seus quadros
simples isostáticos constituintes!
� Quadros:
COM estabilidade: AB; GDH; IF
SEM estabilidade: BCD; DEF
Observação: Quando temos 
n barras rotuladas num 
único nó, a estrutura se 
comporta, como tendo 
neste nó, (n-1) rótulas 
distintas.
(Sussekind,1981)
(Sussekind,1981)
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama
Exercício 1: Decomponha o quadro composto abaixo, indicando a transmissão
das cargas, a ordem de resolução dos quadros simples e sua classificação.
55
Quadros isostáticos planos: compostos
(Sussekind,1981) (Sussekind,1981)
(Sussekind,1981)
a) b)
c)
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama
Exercício 1: Decomponha o quadro composto abaixo, indicando a transmissão
das cargas, a ordem de resolução dos quadros simples e sua classificação.
56
Quadros isostáticos planos: compostos
Quadros:
COM estabilidade: ABCD
SEM estabilidade: BEC; CFGH
Triarticulado
Triarticulado
Triarticulado
Resposta (a):
(Sussekind,1981) (Sussekind,1981)
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama
Exercício 1: Decomponha o quadro composto abaixo, indicando a transmissão
das cargas, a ordem de resolução dos quadros simples e sua classificação.
57
Quadros isostáticos planos: compostos
Quadros:
COM estabilidade: DCEF
SEM estabilidade: ABC; HGE
Resposta (b):
Biapoiado
Triarticulado
Triarticulado
(Sussekind,1981)
(Sussekind,1981)
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama
Exercício 1: Decomponha o quadro composto abaixo, indicando a transmissão
das cargas, a ordem de resolução dos quadros simples e sua classificação.
QUADROS ISOSTÁTICOS PLANOS: COMPOSTOS
Biapoiado
B
ia
p
o
ia
d
o
Triarticulado
Engastado
58
Quadros isostáticos planos: compostos
Quadros:
COM estabilidade: ID
SEM estabilidade: AB;HBFD; FGD; DE
Resposta (c):
(Sussekind,1981)
(Sussekind,1981)
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama
Exercício 2: Decomponha o quadro composto abaixo, e determine: os esforços
transferidos pela rótula; as reações de apoio; os diagramas de esforços
aplicáveis ao quadro composto integralizado.
59
Quadros isostáticos planos: compostos
A
D
B C
E
F
G H
J I
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama
Exercício 2: Decomposição:
60
Quadros isostáticos planos: compostos
Reações: Q1
∑MF = 0 = - VAx8 + 3x2 + (1x8)x4 .: VA = 38/8 = +4,75 kN
∑Fy= 0 = + 4,75 – (1x8) + VF .: VF = +3,25 kN
∑Fx= 0 = 3 - HF .: HF = +3 kN
Reações: Q2
∑MC = 0 = - VBx8 - 3x4 + 3,25x8 + (1x8)x4 + 2x3 .: 8VB = -12 + 26 +32 +6 .: VB = +6,5 kN
MfF = 0 = + HBx4 .: HB = 0
∑Fy= 0 = +6,5 -3,25 –(1x8) -2 +VC .: VC = +6,75 kN ∑Fx= 0 = +3 - HC .: HC = +3 kN
VF
HF
VA
VF
HF
VB VC
HB
HC
Q1
(1º)
Q2
(2º)
D
E
G H
J I
A
B
F
C
F
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama 61
Quadros isostáticos planos: compostos
A
D
B C
E F
G H
J I
4,75 kN 6,5 kN
6,75kN
3 kN
Exercício 2:DMf
Mfinfl.
EF (x1 = 4,7m => DQ) = 4,7x4,7 -3x2 -(1x4,7)x4,7/2 = +5,28 kNm
Mfinfl.
GH (x2 = 4,8m => DQ) = -3x8 +6,75x4,8 -2x(x3) -(1x4,8)x4,8/2 = -6,72 kNm
(Esq.) - Barra AE
MfA= 0 = MfD
MfE
ED = -3x2 = - 6 kNm => “rebate” =>
(Esq.) - Barra EF
MfE
EF = -6 kNm
MfF
FE= +4,75x8 -3x2 -(1x8)x4 = 0 (rót.)
(Esq.) - Barra BF
MfB= 0 = MfF
FB (rót.)
(Esq.) - Barra FG
MfF
FG = 0 (rót.)
MfG
GF = +4,75x8 -3x6 -(1x8)x4 =
-12 kNm => “rebate” => MfG
GH
(Esq.) - Barra GH
MfG
GH = -12 kNm
MfH
HG = -18 kNm (“rebatido” MfH
HI)
(Esq.) - Barra CI
MfC= 0
MfI
IC = +3x4 = +12 kNm
(Esq.) - Barra JI
MfJ = 0
MfI
IJ = -2x3 = -6 kNm
(Esq.) - Barra IH
MfI
IH = +3x4 -2x3 = +6 kNm
MfH
HI = +3x8 -2x3 = +18 kNm => Rebate => MfH
GH
x2
x1
x3 = 4,8 -3 = 1,8m
x3
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama 62
Quadros isostáticos planos: compostos
A
D
B
C
E
F
G H
J I
(Esq.) - Barra AE
MfA= 0 = MfD
MfE
ED = -3x2 = - 6 kNm => “rebate” =>
(Esq.) - Barra EF
MfE
EF = -6 kNm
MfF
FE= +4,75x8 -3x2 -(1x8)x4 = 0 (rót.)
(Esq.) - Barra BF
MfB= 0 = MfF
FB (rót.)
(Esq.) - Barra FG
MfF
FG = 0 (rót.)
MfG
GF = +4,75x8 -3x6 -(1x8)x4 =
-12 kNm => “rebate” => MfG
GH
(Esq.) - Barra GH
MfG
GH = -12 kNm
MfH
HG = -18 kNm (“rebatido” MfH
HI)
(Esq.) - Barra CI
MfC= 0
MfI
IC = +3x4 = +12 kNm
(Esq.) - Barra JI
MfJ = 0
MfI
IJ = -2x3 = -6 kNm
(Esq.) - Barra IH
MfI
IH = +3x4 -2x3 = +6 kNm
MfH
HI = +3x8 -2x3 = +18 kNm => Rebate => MfH
GH
Exercício 2: DMf
x1
x2
Mfinfl.
EF (x1 = 4,7m => DQ) = 4,7x4,7 -3x2 -(1x4,7)x4,7/2 = +5,28 kNm
Mfinfl.
GH (x2 = 4,8m => DQ) = -3x8 +6,75x4,8 -2x(x3) -(1x4,8)x4,8/2 = -6,72 kNm
x3 = 4,8 -3 = 1,8m
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama
(Esq.) - Barra AE
QA= 0 = QD
DA
QD
DE = -3 = -3 kN = QE
EA
(Esq.) - Barra EF
QE
EF = +4,75 kN
QF
FE = +4,75 -(1x8) = -3,25 kN
(Esq.) - Barra BF
QB = 0 = QF
FB
(Esq.) - Barra FG
QF
FG = -3 kN = QG
GF
(Esq.) - Barra GH
QG
GH = +4,75 -(1x8) +6,5 = +3,25 kN
QH
HG = +3,25 - (1x8) = -4,75 kN
(Esq.) - Barra CI
QC = +3 kN = QI
IC
(Esq.) - Barra JI
QJ = -2 kN = QI
IJ
(Esq.) -Barra IH
QI
IH = +3 kN = QH
HI
63
Quadros isostáticos planos: compostos
A
D
B C
E F
G H
J I
4,75 kN 6,5 kN
6,75kN
3 kN
Exercício 2:DQ
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama
(Esq.) - Barra AE
QA= 0 = QD
DA
QD
DE = -3 = -3 kN = QE
EA
(Esq.) - Barra EF
QE
EF = +4,75 kN
QF
FE = +4,75 -(1x8) = -3,25 kN
(Esq.) - Barra BF
QB = 0 = QF
FB
(Esq.) - Barra FG
QF
FG = -3 kN = QG
GF
(Esq.) - Barra GH
QG
GH = +4,75 -(1x8) +6,5 = +3,25 kN
QH
HG = +3,25 - (1x8) = -4,75 kN
(Esq.) - Barra CI
QC = +3 kN = QI
IC
(Esq.) - Barra JI
QJ = -2 kN = QI
IJ
(Esq.) - Barra IH
QI
IH = +3 kN = QH
HI
64
Quadros isostáticos planos: compostos
Exercício 2: DQ x2
x1
(4,7+3,3) ----- 4,7
8 ----- x1
x1 = (8x4,7) / (4,7+3,3) = 4,7m
(3,2+4,8) ----- 4,8
8 ----- x2
x2 = (8x4,8) / (3,2+4,8) = 4,8m
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama 65
Quadros isostáticos planos: compostos
A
D
B C
E F
G H
J I
4,75 kN 6,5 kN
6,75kN
3 kN
Exercício 2:DN(Esq.) - Barra AE
NA= -4,75 = ND = NE
ED
(Esq.) - Barra EF
NE
EF = -3 kN = NF
FE
(Esq.) - Barra BF
NB = -6,5 = NF
FB
(Esq.) - Barra FG
NF
FG = -4,75 +(1x8) -6,5 = -3,25kN=>
NG
GF
(Esq.) - Barra GH
NG
GH = -3 kN = NH
HG
(Esq.) - Barra CI
NC = -6,75 kN = NI
IC
(Esq.) - Barra JI
NJ = 0 = NI
IJ
(Esq.) - Barra IH
NI
IH = -6,75 +2 = -4,75 kN = NH
HI
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama 66
Quadros isostáticos planos: compostos
Exercício 2: DN
(Esq.) - Barra AE
NA= -4,75 = ND = NE
ED
(Esq.) - Barra EF
NE
EF = -3 kN = NF
FE
(Esq.) - Barra BF
NB = -6,5 = NF
FB
(Esq.) - Barra FG
NF
FG = -4,75 +(1x8) -6,5 =
-3,25kN=> NG
GF
(Esq.) - Barra GH
NG
GH = -3 kN = NH
HG
(Esq.) - Barra CI
NC = -6,75 kN = NI
IC
(Esq.) - Barra JI
NJ = 0 = NI
IJ
(Esq.) - Barra IH
NI
IH = -6,75 +2 = -4,75 kN = NH
HI
A
D
B
C
E
F
G H
J I
Bibliografia:
� SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural, vol 1, 6ª ed., Ed. Globo:
1981.
� SORIANO, H. L.; Estática das Estruturas, Ed. Ciência Moderna, 2010.