07 Trelicas Parte1

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Treliças isostáticas planas
Treliças
Treliças são estruturas formadas por elementos de barra
retilíneo ligados entre si por nós com articulação perfeita, ou seja, SEM
qualquer consideração de atrito ou outras forças que impeçam a livre
rotação das barras em relação aos nós. As treliças são constituídas sob
forma geométrica triangular, e têm como concepção estrutural resistir à
esforços normais.
As treliças surgiram como um sistema estrutural mais econômico
(*) do que as vigas, para vencer vãos maiores e/ou suportar maiores
carregamentos. (*) = quando considerando a estrutura como um todo.
São predominantemente, construídas em aço ou madeira.
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Treliças isostáticas: exemplos práticos
Ponte “Golden Gate Brigde” – Treliça em Aço
Treliça em Madeira
(Tesoura)
Viaduto RJ (Linha Vermelha sobre Av. Brasil) – Treliça em Aço
Torre Eiffel -
Treliça em Aço
Esquemática
Esquemática
Treliça Espacial 
em Aço
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Treliças isostáticas planas: ideais
Treliças ideais
Para que uma treliça seja considerada ideal, é necessário:
� Sistema estrutural indeslocável e indeformável;
� Todas as barras tenham suas extremidades rotuladas;
� Carregamento externo esteja aplicado somente nos nós. Não
podendo haver cargas aplicadas diretamente sobre as barras. Peso
próprio é desprezado, face irrelevância perante demais solicitações.
Observações
� Na prática, ocorrem pequenas deformações elásticas, devido aos
esforços normais nela atuantes, contudo, na abrangência do nosso
curso, podem ser desprezadas!
� Para que um sistema reticulado como as treliças isostáticas seja
indeformável, e consequentemente, estável, é necessário que todos os
nós estejam ligados à dois outros pontos/nós indeslocáveis. O único
polígono fechado, rotulado em seus vértices, que atende tal requisito é
o triângulo.
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Treliças isostáticas planas: rótulas
Ligações rotuladas das barras
� Ligação supostamente ideal, onde o pino não deve gerar atrito com as
barras, o que na prática, é difícil. Pouco utilizada atualmente.
� Ligação usual, com o auxílio de chapas auxiliares, soldadas
ou aparafusadas, às barras concorrentes no nó. Geram
pequenas restrições à livre rotação (momento), contudo, de
efeito reduzido, podendo ser desprezados.
Rotulação: pinos sem atrito
(Sussekind,1981)
(Sussekind,1981)
Planar
Rotulação: 
chapa auxiliar
Espacial
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Treliças isostáticas planas: classificação
Classificação: As treliças são classificadas quanto à sua:
1) Lei de Formação;
2) Estaticidade.
1) Lei de Formação
Quanto à Lei de Formação podem ser classificadas em:
� Simples (constituídas conforme a Lei de Formação);
� Compostas (associação de treliças simples, por meio de um sistema de
ligação, que não atende à Lei de Formação, assim como a estrutura já
conjugada);
� Complexas (não atende à Lei de Formação, e, não se enquadra em
nenhuma das anteriores).
2) Estaticidade
� Hipostáticas;
� Isostáticas;
� Hiperestáticas.
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Treliças isostáticas planas: lei de formação
Treliças Simples Isostáticas
� Lei de Formação para Treliças Simples Isostáticas: Se uma treliça elementar,
constituída por três barras (triângulo), biapoiada, é isostática. Então, se a partir
desta configuração básica, a cada passo, acrescentarmos duas novas barras,
concorrentes em um novo nó, mantemos a configuração do sistema estrutural
original (treliça isostática simples), pois a cada passo, acrescenta-se duas novas
incógnitas (barras) e duas novas equações (equilíbrio do nó). E, atendemos
assim, a Lei de Formação para Treliças Simples Isostáticas.
� O exemplos abaixo, ilustram sequencialmente, esta Lei de Formação das
treliças simples isostáticas:
Treliça isostática simples plana Treliça isostática simples espacial
1
3
2
A
B
C
4
5
D
6
7 E
8
9
F
10
11 G
1
3
2
A
B
C
4
5
D
6
7
E
y
z
x
8
9
F
10
11 G
Treliça elementar
Treliça elementar
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Treliças isostáticas planas: lei de formação
Treliças Compostas Isostáticas
� Lei de Formação para Treliças Compostas: São aquelas formadas pela
associação de treliças simples (conforme Lei de Formação de treliças
simples), através de um sistema de ligação isostático, de forma que não
haja deslocamentos e/ou rotações relativas entre as treliças que
compõem o conjunto, e, que não resulte em outra treliça simples.
Sistema de Ligação Isostático
� Em outras palavras, podemos definir as treliças compostas isostáticas
como sendo aquelas obtidas pela ligação de treliças simples por:
1) Duas ou três barras não paralelas, nem concorrentes no mesmo
ponto; ou,
2) Um nó rotulado, e, mais uma barra não concorrente com este nó.
Observação: As treliças simples isostáticas podem ser ligadas por um
maior número de barras, contudo obteríamos treliças compostas
hiperestáticas, que não se constitui objeto desse curso.
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Treliças isostáticas planas: lei de formação
Treliças Compostas Isostáticas
� Exemplos:
Exemplo 1: Três barras não paralelas, nem
concorrentes no mesmo ponto.
Exemplo 2: Um nó rotulado, e, mais uma
barra não concorrente com este nó.
Sist. 
isostático 
de
Ligação
Treliças 
simples
isostáticas
(Sussekind,1981) (Sussekind,1981)
Conforme Lei de Formação 
para Treliças Simples!
O conjunto é isostático, e, 
constituí a Lei de Formação 
para Treliças Compostas!
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� A resolução de treliças complexas é, como assim infere-se do nome,
substancialmente mais trabalhosa, e se dá através de sistemática muito semelhante
àquelas que serão utilizadas para resolução de estruturas hiperestáticas (método das
forças). Um método geral bastante difundido para resolução de treliças complexas é o
MÉTODO DE HENNEBERG.
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Treliças isostáticas planas: lei de formação
Treliças Complexas Isostáticas
Exemplo:
� São todas as treliças que não são simples, nem compostas. Assim, a classificação
de uma treliça como complexa é obtida por exclusão. Não atendem à Lei de Formação
das Treliças Simples, nem das Treliças Compostas!
(Sussekind,1981)
1
2
3 4
5
6
789
10
1312
1411
15
Se substituirmos as barras vermelhas, pelas 
barras verdes, a treliça complexa se torna 
simples! A partir dessa ideia, de alguns 
conceitos utilizados na formulação de 
Henneberg, e da superposição de efeitos, 
conseguimos determinar os esforços de 
todas barras da treliça complexa!
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Treliças isostáticas planas: estaticidade
Estaticidade
� Como qualquer outra estrutura, uma treliça pode ser hipostática, isostática ou
hiperestática. Para tanto, devemos analisar sua estaticidade: interna (Lei de
Formação), externa e global.
Externa
Para a análise da estaticidade externa, utilizamos os mesmos conceitos aplicados aos
demais sistemas estruturais, já estudados anteriormente:
Nº Incógnitas > Nº Equações => Hiperestática
Nº Incógnitas = Nº Equações => Isostática
Nº Incógnitas < Nº Equações => Hipostática
Interna
Referente à Lei de Formação de cada tipo treliça (simples, composta, complexa)! E seu
equilíbrio estático (deslocabilidade e deformabilidade)!
Global
Se a estrutura como um todo está em equilíbrio, qualquer parte dela também está. Tal
princípio é premissa importante no cálculo das treliças isostáticas, pois cada nó, sendo
um ponto material da estrutura, nos fornece duas equações de equilíbrio adicionais(∑Fy=0 e ∑Fx=0) para análise da estaticidade interna da estrutura fechada!
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Treliças isostáticas planas: estaticidade
Global (cont.)
Desta forma, para auferir algebricamente a estaticidade global, teremos:
r = nº de reações de apoio à determinar (incógnitas externas)
b = nº de barras = esforços internos à determinar (incógnitas internas)
n = nº total de nós, incluindo os nós de apoio da estrutura.
x2 => pois cada nó fornece duas equações de equilíbrio da Estática,
correspondente ao equilíbrio de um ponto material => ∑Fy=0 e ∑Fx=0.
Classificação 1ª Condição 2ª Condição 3º Condição
Hipostática Deslocável r + b < 2n Suficiente. -----
Isostática Indeslocável r + b = 2n Necessário, mas não suficiente. Análise da estaticidade 
externa e interna, conjugada e 
isolada de cada trecho.
Hiperestática Indeslocável r + b > 2n Necessário, mas não suficiente.
Nº de Incógnitas = r + b
Nº de Equações = 2n
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Treliças isostáticas planas: estaticidade
Treliça isostática ideal Treliça hipostática: deformável e instável
Estaticidade global:
Nº Eq. = 2n = 2 eq. x 3 nós = 6
Nº Incóg. = r + b = 3 reações + 3 barras = 6
Estaticidade externa
3 Incóg. = (VA, HA, VB)
3 Eq. Estática (∑Fy=0, ∑Fx=0, ∑Mz=0)
Estaticidade global: 
Nº Eq. = 2n = 2 eq. x 4 nós = 8
Nº Incóg. = r + b = 3 reações + 4 barras = 7
(Sussekind,1981)
(Sussekind,1981)
Isostática! Estaticidade externa
3 Incóg. = (VA, HA, VB)
3 Eq. Estática (∑Fy=0, ∑Fx=0, ∑Mz=0)
Isostática!
Isostática!
Prevalece!!! <= Hipoestática!
Hipoestática!
Lei de Formação (interna): 
Atende! Estrutura em 
equilíbrio isostático! Indeslocável!
Lei de Formação (interna): 
Não atende! Estrutura sem 
equilíbrio! Deslocável e deformável!
Isostática!
Isostática!
Hipostática!
Dois nós 
indeslocáveis??? 
Não!
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Treliças isostáticas planas: estaticidade
Exercícios:
Estaticidade global:
Nº Incóg. = 3 (r) + 15 (b) = 18
Nº Eq. = 9 nós x 2 eq. = 18
a) b)
Estaticidade global:
Nº Incóg. = 3 (r) + 15 (b) = 18
Nº Eq. = 9 nós x 2 eq. = 18
(Sussekind,1981)
(Sussekind,1981)
Estaticidade externa:
Nº Incóg. = 3 (r) = 3
Nº Eq. = 3 eq. = 3
Estrutura: Isostática!
Estaticidade externa:
Nº Incóg. = 3 (r) = 3
Nº Eq. = 3 eq. = 3
Hipo
Lei de Formação (Equilíbrio): 
Atende! Estrutura em 
equilíbrio isostático! Indeslocável!
Isostática!
Isostática!
Isostática!
Lei de Formação (Equilíbrio): 
Não atende! Estrutura sem 
equilíbrio! Deslocável e deformável!
Hipostática!
Isostática!
Isostática!
4 3 2
1
5
78
9
11
10
12 14
156
13
1 9
82
3 4
7
5 6
Estrutura: Hipostática!
4 3 2
1
5
8
9
7
11
10
12 14
156
13
1
9
82
3
4
7
5 6
Hiper
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Treliças isostáticas planas: estaticidade
Exercícios Estaticidade global: Hiperestática (2º)
Nº Incóg. = 4 (r) + 14 (b) = 18
Nº Eq. = 8 nós x 2 eq. = 16
c)
d)
Estaticidade externa: Hiperestática (1º)
Nº Incóg. = 4 (r) = 4
Nº Eq. = 3 eq. = 3
Lei de Formação (interna)
treliça simples =>
Hiperestática (1º) (“Sobra” uma barra! Ex: B11)
OU
Estrutura: Hiperestática! (2º)
(Sussekind,1981)
(Sussekind,1981)
1
2
8 7
6
3
4
5
Estaticidade global: Hiperestática (3º)
Nº Incóg. = 4 (r) + 19 (b) = 23
Nº Eq. = 10 nós x 2 eq. = 20
Externa => Apoios 1º gênero em paralelo.
Interna => Painel ABCD é deformável.
Estrutura: Hipostática!
HipoHiper Hiper Hiper
1
2
3 4
5
6
78
13 14
12
9 10
11
1
2 3 6
7
10
4 5
9 8
19 BARRAS
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Treliças isostáticas: métodos de cálculo
Métodos de Cálculo
� Para análise estrutural de treliças, existem três métodos consagrados:
Métodos analíticos
� Método dos Nós: Processo espontâneo de resolução, com base no
estudo do equilíbrio dos nós. Recomendado para o cálculo de treliças
com geometria mais simples.
� Método das Seções ou Método de Ritter: Aplicável às treliças
simples, embora especialmente vantajoso no cálculo de treliças de
altura constante ou compostas, e/ou quando se deseja conhecer o valor
dos esforços em apenas algumas barras específicas de uma treliça.
Método gráfico
� Método de Cremona: Vantajoso para cálculo de treliças de geometria
complexa. Embora de grande importância histórica, caiu em desuso face
o surgimento e evolução tecnológica dos microcomputadores.
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Treliças isostáticas: métodos de cálculo
Método dos Nós
A resolução de treliças planas pelo método dos nós consiste em verificar o
equilíbrio de cada nó (Equilíbrio de Ponto Material) da treliça, seguindo-se os passos
descritos a seguir:
1) Determinam-se as reações de apoio;
2) Identificam-se previamente as solicitações nas barras (tração ou compressão),
quando possível. Senão, arbitra-se que todas as barras estejam tracionadas (equivale
supor que as barras “puxem” os pontos nodais (*)), assim os esforços obtidos com
sinais positivos são de tração, e os negativos de compressão;
Esforços de tração atuantes nas barras
(*) Esforços de tração equivalentes nos nós devido às barras 
(ação e reação)
Reações de apoio
VB
C
A
B
VA
HA
3) Faz-se o equilíbrio em cada nó da treliça (∑Fy=0 e ∑Fx=0) , iniciando-se pelo que
possui o menor número de incógnitas.
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Treliças isostáticas: métodos de cálculo
Exercícios (Método dos Nós)
1) Determine os esforços normais atuantes nas barras da treliça abaixo:
HA
VA VB
A
B
C
D
θ θ
1
42
3 5
y
x
N2
N1cosθ
N1
θ
N1senθ
VA
HA
Nó A
N4
N5cosθ
θ
N5senθ
VB
Nó B
N5
N4
N3
20
N2
Nó D
Reações de Apoio
∑MB= 0 .: - VA x 4 - 6 x 2 + 20 x 2 .:
VA = 28/4 = 7 kN
∑Fy= 0 = VA - 20 + VB .: VB = 13 kN
∑Fx= 0 = - HA + 6 .: HA = 6 kN
Ângulo
tg θ = 2/2 = 1 .: θ = 45º .:
cos 45 = sen 45 = √2/2 = 0,71
Nó A
∑Fy= 0 = VA +N1senθ .: N1 = -7/0,71 = -9,9 kN
∑Fx= 0 = -HA +N1cosθ +N2 .:
N2 = +6 -(-9,9x0,71) = +13 kN
Nó D
∑Fx= 0 = -N2 +N4 .: N4 = +13 kN
∑Fy= 0 = +N3 -20 .: N3 = +20 kN
Nó B
∑Fx= 0 = -N4 -N5cosθ .: N5 = -13/0,71 = -18,4 kN
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Treliças isostáticas: métodos de cálculo
Exercícios (Método dos Nós)
1) Determine os esforços normais atuantes nas barras da treliça abaixo:
DN
N1 = -9,9 kN
N2 = +13 kN
N3 = +20 kN
N4 = +13 kN
N5 = -18,4 kN
C
1
42
3 5
A B
D
+13
+2
0
+13
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Treliças isostáticas: métodos de cálculo
Método das Seções ou Método de Ritter
O método consiste em seccionar (“cortar”) os elementos (barras) que se deseja
analisar na treliça e aplicar as equações de equilíbrio na região seccionada. Assim, para 
determinar as cargas axiais atuantes nas barras de uma treliça, deve-se proceder da 
seguinte forma:
1) Determinam-se as reações de apoio;
2) Seleciona-se uma seção na estrutura para análise do equilíbrio, observando-se que a 
seção escolhida deve interceptar três barras não paralelas, nem concorrentes no mesmo 
ponto, a fim de que possamos determinar suas incógnitas/esforços, com as equações da 
estática (três). Adicionalmente, deve-se assegurar que a seção selecionada “atravesse” 
toda treliça, de forma contínua, muito embora, tal seção não precise ser retilínea. Uma 
seção que atenda todas essas condições é denominada “Seção de Ritter”;
3) Secciona-se a treliça em duas partes, na seção de Ritter, e arbitra-se o sinal do esforço 
nas barras seccionadas. Sugere-se que todassejam arbitradas no sentido da tração, assim, 
os sinais obtidos já representarão os esforços atuantes (tração, se positivo; compressão, se 
negativo);
4) Adota-se uma das partes da treliça (esq/dir) para verificar o equilíbrio de corpo rígido 
(∑Fy=0 ; ∑Fx=0 e ∑M=0) e efetuar os cálculos, ignorando temporariamente a outra parte, 
até a execução do próximo corte. 
5) Repete-se o procedimento até que todas as barras da treliça sejam calculadas.
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Treliças isostáticas: métodos de cálculo
Método das Seções ou Método de Ritter
Observações:
� Pode ocorrer casos em que a seção de Ritter seccione:
� Duas barras somente: Neste caso, como no Método dos Nós, os 
esforços normais podem ser obtidos diretamente por análise do 
equilíbrio nestes nós, geralmente os nós extremos;
� Quatro ou mais barras: Neste caso, ainda sim, poderá ser possível 
obter os esforços normais em algumas das barras;
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Treliças isostáticas: métodos de cálculo
Exercícios (Método de Ritter)
1) Determine os esforços normais atuantes nas barras das treliças abaixo:
2)1)