AG Sol Num de EDOs

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Métodos Numéricos para Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias
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Equações diferenciais de 1a ordem
Métodos numéricos são usados quando não é possível obter uma solução geral, ou a forma dela é tão complicada que seu uso não é prático.
Uma equação diferencial de 1a ordem tem a forma			,
e em geral podemos escrevê-la como:
Problema do valor inicial
- uma equação diferencial
- uma condição que deve ser satisfeita pela solução
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	Os métodos que estudaremos partem da idéia de que o espaço da variável independente (x) pode ser discretizado, formando uma rede
	O valor da função em cada ponto da rede é calculado a partir de expansões em série de Taylor.
Equações diferenciais de 1a ordem
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Método de Euler ou Euler-Cauchy
O valor de y para um passo h é dado
pela expansão:
Como em geral h é pequeno, suprimimos os
termos de ordem O(h2): h2, h3, .....
Resultando na aproximação
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O que resulta no processo iterativo
A omissão dos termos de ordem
superior a 2 causa erros de truncagem
(que podem ocorrer junto a erros de
arredondamento).
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Exemplo:
passo h=0,2
O erro não é (em geral) conhecido, pois na prática a solução exata não é conhecida. Porém, pode-se estimá-lo, utilizando um passo h´=2h (Método de Euler).
Plan1
		n		xn		yn		0,2(xn+yn)		exp(x)-x-1		erro
		0		0.000		0.000		0.000		0.000		0.000
		1		0.200		0.000		0.040		0.021		0.021
		2		0.400		0.040		0.088		0.092		0.052
		3		0.600		0.128		0.146		0.222		0.094
		4		0.800		0.274		0.215		0.426		0.152
		5		1.000		0.488				0.718		0.230
Plan2
		
Plan3
		
Plan1
		n		xn		yn		0,4(xn+yn)		yn para h=0,2		erro = yn(h=0,4) - yn(h=0,2)
		0		0.000		0.000		0.000		0.000		0.000
		2		0.400		0.000		0.160		0.040		0.040
		4		0.800		0.160		0.384		0.274		0.114
Plan2
		
Plan3
		
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Método de Euler melhorado (2a ordem)
Método chamado de preditor-corretor.
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Método de Euler melhorado (2a ordem)
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Exemplo:
o mesmo visto anteriormente
Plan1
		n								Exato		erro
		0		0.000		0.0000		0.0200		0.0000		0.0000
		1		0.200		0.0200		0.0684		0.0214		0.0014
		2		0.400		0.0884		0.1274		0.0918		0.0034
		3		0.600		0.2158		0.1995		0.2221		0.0063
		4		0.800		0.4153		0.2874		0.4255		0.0102
		5		1.000		0.7027		0.3946		0.7183		0.0156
Plan2
		
Plan3
		
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Método de Runge-Kutta (4a ordem)
Se f(x,y) não depender
de y, o método reduz-se
à regra de integração
de Simpson
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Método de Runge-Kutta (4a ordem)
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Comparação entre os métodos
Mais uma vez o mesmo exemplo
Método de Runge-Kutta (4a ordem)
Plan1
		n								Exato		erro
		0		0.000		0.000000		0.021400		0.000000		0.000000
		1		0.200		0.021400		0.070418		0.021403		0.000003
		2		0.400		0.091818		0.130288		0.091825		0.000007
		3		0.600		0.222106		0.203414		0.222119		0.000012
		4		0.800		0.425521		0.292730		0.425541		0.000020
		5		1.000		0.718251		0.401821		0.718282		0.000031
Plan2
		
Plan3
		
Plan1
		n								Exato		erro
		0		0.000		0.000000		0.021400		0.000000		0.000000
		1		0.200		0.021400		0.070418		0.021403		0.000003
		2		0.400		0.091818		0.130288		0.091825		0.000007
		3		0.600		0.222106		0.203414		0.222119		0.000012
		4		0.800		0.425521		0.292730		0.425541		0.000020
		5		1.000		0.718251		0.401821		0.718282		0.000031
		
		
		
		
								Erro
						Euler		Euler melhorado		Runge-Kutta
		0.000		0.000000		0.000		0.0000		0.000000
		0.200		0.021403		0.021		0.0014		0.000003
		0.400		0.091825		0.052		0.0034		0.000007
		0.600		0.222119		0.094		0.0063		0.000012
		0.800		0.425541		0.152		0.0102		0.000020
		1.000		0.718282		0.229		0.0156		0.000031
Plan2
		
Plan3
		
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Qual o valor mais adequado para o passo h?
Se a função f varia muito com y, então h deve ser pequeno, para evitar erros de truncagem. Em geral, adota-se a “proposta” de que
h mantido se 0,05  K  0,01
 h  h/2 se K  0,05
h  2h se 0,01  K 
Estimativa de erro:
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Métodos para eq. dif. de segunda ordem
P.V.I.
Novamente o problema é obter os valores de yn e yn´ para a seqüência x1 = x0 + h; x2 = x0 + 2h; ...
Começamos mais uma vez pelas expansões
em série de Taylor da função e de sua derivada:
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O método mais simples consiste em desprezar
os termos em derivadas de ordem y´´´ ou superiores
1o passo:
2o passo:
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Runge-Kutta-Nyström
Valores iniciais: x0, y0, y0´
		 passo h
Saída
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Runge-Kutta-Nyström