EP9 2017 1 questoes

Prévia do material em texto

Me´todos Determin´ısticos I EP9 1
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP9 – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-1
Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 9 do Caderno Dida´tico.
1 Mo´dulo de um nu´mero real e algumas propriedades
Primeiramente, vamos entender um pouco melhor o que e´ o mo´dulo de um nu´mero real. Geome-
tricamente, para cada nu´mero real x, pensamos em seu mo´dulo, denotado por |x|, como sendo a
distaˆncia de x ao 0. Veja abaixo alguns exemplos:
Vamos analisar juntos os mo´dulos escritos na figura acima, sob o ponto de vista da interpretac¸a˜o
geome´trica do mo´dulo, que faz refereˆncia a` distaˆncia. Mas, antes de mais nada, observe que distaˆncia,
conforme diz nossa intuic¸a˜o, quando na˜o e´ nula, e´ uma quantidade POSITIVA. Ningue´m diz que a
distaˆncia do ponto de oˆnibus a` escola e´ de −500 metros! Diz-se que e´ de 500 metros. Para qual
direc¸a˜o voceˆ vai apontar para a pessoa caminhar sa˜o outros quinhentos e na˜o tem nada a ver com
o conceito de distaˆncia.
• | − 4| = 4, pois, vemos que a distaˆncia do nu´mero −4 a` origem e´ 4.
• |4| = 4, pois, vemos que a distaˆncia do nu´mero −4 a` origem e´ 4.
• | − √2| = √2, pois, vemos que a distaˆncia do nu´mero −√2 a` origem e´ √2.
• |1| = 1, pois, vemos que a distaˆncia do nu´mero 1 a` origem e´ 1.
• Para calcular |2 − √60|, vamos assumir que o nu´mero 2 − √60 ja´ nos foi dado marcado no
eixo real, de modo que sabemos que ele e´ negativo. Portanto, como 2 − √60 e´ um nu´mero
negativo, temos que a distaˆncia do nu´mero negativo 2 − √60 a` origem e´ o nu´mero positivo
−(2−√6) = −2 +√60 = √60− 2.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP9 2
• Novamente aqui, para calcular |√11 − 1|, vamos assumir que o nu´mero √11 − 1 ja´ nos foi
dado marcado no eixo real, de modo que sabemos que ele e´ positivo. Portanto, como
√
11− 1
e´ um nu´mero positivo, temos que a distaˆncia do nu´mero positivo
√
11−1 a` origem e´ o pro´prio
nu´mero positivo
√
11− 1.
Sendo assim, depois destas ana´lises e antes de qualquer definic¸a˜o mais formal, resolva o exerc´ıcio a
seguir. Tente resolver os exerc´ıcios com bastante calma e, somente depois disso, consulte o gabarito.
Pense em desenhar a reta real se achar melhor.
Exerc´ıcio 1 Calcule |x| para os valores de x dados abaixo:
a) x = 1 b) x =
√
2 c) x = 1
2
d) x = −1
e) x = −√2 f) x = 0 g) x = √2− 1 h) x = 1−√2
So´ continue se voceˆ tiver resolvido o exerc´ıcio anterior e verificado no gabarito!
Vamos agora, momentaneamente, parar de pensar em distaˆncia, que seria uma interpretac¸a˜o do
conceito de mo´dulo e apresentar sua definic¸a˜o formal. Em Matema´tica, e´ sensacional quando con-
seguimos trazer o abstrato para o concreto, mas tambe´m e´ fundamental aprendermos a analisar e
raciocinar apenas com o abstrato. Antes de fazerem cara feia a esta afirmac¸a˜o, lembrem-se que o
sentimento que voceˆs esta˜o tendo agora em relac¸a˜o aos seus coordenadores de MDI, e´ abstrato!
Vamos la´. Os itens de (a) a (e) do exerc´ıcio anterior podem ter despertado a intuic¸a˜o de que o
mo´dulo de um nu´mero e´ este nu´mero sem o sinal. Isto na˜o esta´ errado, mas, no caso dos itens (g)
e (h), e´ importante perceber que o nu´mero e´ o resultado de uma operac¸a˜o, portanto na˜o e´ fa´cil
decidir, em princ´ıpio, qual e´ o seu sinal. No caso do 0 (item (f)), o x nem tem um sinal definido...
De maneira um pouco mais formal, mas ainda com o mesmo significado geome´trico acima, podemos
definir
|x| =

x, se x > 0,
−x, se x < 0,
0, se x = 0.
Aqui e´ importante fazermos um comenta´rio... voceˆ pode estar se questionando por que precisa-
mos apresentar a definic¸a˜o formal de mo´dulo acima. Na˜o seria mais fa´cil pensar simplesmente que
o mo´dulo e´ o ”nu´mero sem o sinal”? E sera´ que esta definic¸a˜o condiz mesmo com a anterior?
Vamos experimentar alguns valores e ver se fica claro o motivo da definic¸a˜o, e tambe´m se conse-
guimos acreditar que ela realmente condiz com a noc¸a˜o intuitiva do mo´dulo, explorada no Exerc´ıcio 1.
• Como 2 > 0, fazendo x = 2, calculamos |2| utilizando a primeira condic¸a˜o da definic¸a˜o (x > 0).
Logo |2| = |x| = x = 2.
• Como −1 < 0, fazendo x = −1, calculamos | − 1| utilizando a segunda condic¸a˜o da definic¸a˜o
(x < 0). Logo | − 1| = |x| = −x = −(−1) = 1.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
• Como √2 − 1 > 0 (pois √2 > 1), fazendo x = √2 − 1, calculamos |√2 − 1| utilizando a
primeira condic¸a˜o da definic¸a˜o. Logo |√2− 1| = |x| = x = √2− 1.
• Como 1 − √2 < 0 (pois √2 > 1), fazendo x = 1 − √2, calculamos |1 − √2| utilizando a
segunda condic¸a˜o da definic¸a˜o. Logo |1−√2| = |x| = −x = −(1−√2) = √2− 1.
Repare que, nos dois u´ltimos exemplos, a definic¸a˜o formal torna mais simples o ca´lculo do valor do
mo´dulo, sem precisarmos recorrer a figuras ou aproximac¸o˜es, como fizemos no gabarito dos itens (g)
e (h) do Exerc´ıcio 1.
Vamos voltar ao in´ıcio do EP9 e utilizar a definic¸a˜o formal para descobrir |2 − √60| e |√11 − 1|.
Agora, na˜o poderemos supor que os nu´meros 2 − √60 e √11 − 1 ja´ foram marcados no eixo real,
deixando bem claro quem e´ negativo e quem e´ positivo! Teremos que descobrir isto!
• Para calcular |2−√60| aplicando a definic¸a˜o de mo´dulo dada, precisamos descobrir se 2−√60
e´ um nu´mero negativo ou positivo. Nulo, sabemos que na˜o e´! Observe que 7 =
√
49 <
√
60 <√
64 = 8. Portanto, 2−√60 e´ um nu´mero negativo, pois −8 = −√64 < −√60 < −√49 =
−7, de modo que −6 = 2 − 8 = 2 −√64 < 2 −√60 < 2 −√49 = 2 − 7 = −5. Portanto,
segundo a definic¸a˜o acima, como 2−√60 < 0, temos que |2−√60| = −(2−√6) = −2+√60.
• Da mesma forma, para calcular |√11 − 1| aplicando definic¸a˜o de mo´dulo dada, precisamos
descobrir se
√
11− 1 e´ um nu´mero negativo ou positivo. Nulo, sabemos que na˜o e´!Para isto,
observe que
√
11 >
√
9 = 3. Portanto,
√
11 − 1 e´ um nu´mero positivo, pois √11 − 1 >√
9 − 1 = 3 − 1 = 2. Portanto, segundo a definic¸a˜o acima, como √11 − 1 > 0 temos que
|√11− 1| = −√11− 1.
Ha´ outras razo˜es para trabalharmos a definic¸a˜o mais formal de mo´dulo, e isto sera´ especialmente
percebido quando resolvermos, mais a` frente, equac¸o˜es envolvendo mo´dulos.
Muita calma nessa hora!!!
E´ muito comum surgir uma du´vida. Voceˆ pode pensar algo como ”Ora, se |x| e´ o nu´mero sem sinal,
por que definimos |x| = −x quando x for negativo?”. A resposta tem uma certa sutileza... Se
estamos considerando x < 0 (isto e´, x negativo), enta˜o −x sera´ um nu´mero positivo. Para muitos,
pode parecer estranho pensar que −x seja positivo, por causa do sinal – (o menos), mas entenda
que este sinal esta´ exatamente “cancelando”o sinal menos que ja´ esta´ embutido no x (lembre-se de
que x e´ negativo!). Ainda na˜o entendeu? Veja um exemplo.
• Considerando x = −2, |x| = −x = −(−2) = 2 (como, alia´s, foi feito no exemplo | − 1| no
comec¸o desta pa´gina).
Exerc´ıcio 2 Calcule os mo´dulos abaixo:
a)
∣∣√3−√2∣∣ b) ∣∣√2−√3∣∣ c) |a|, com a > 0
d) |a|, com a < 0 e) | − a|, com a > 0 f) | − a|, com a < 0
g) |a− 1|, com a > 1 h) |a− 1|, com a < 1 i) |2− a|, com a < 2
j) |2− a|, com a > 2
Me´todos Determin´ısticos I EP9 4
Vamos agora explorar algumas propriedades dos mo´dulos. Apo´s enunciar cada propriedade, procu-
raremos demonstra´-la, isto e´, explicar por que ela funciona. Se, em uma primeira leitura, estiver
complicado para entender, procure apenas entender a propriedade (voceˆ tera´ chance de utiliza´-las no
exerc´ıcio que se seguira´); depois, ja´ mais familiarizado, volte e releia as justificativas!
M1: Para todo nu´mero real x, temos |x| > 0.
Isto e´ fa´cil de ser percebido. Se x > 0, pela definic¸a˜o, |x| = x > 0, logo |x| > 0. Se x < 0,
pela definic¸a˜o, |x| = −x e, como x < 0, temos −x > 0,logo |x| = −x > 0. Se, por fim,
x = 0, teremos enta˜o |x| = 0. Assim, em qualquer caso, |x| > 0.
A ana´lise feita acima, inclusive, nos conduz a`s duas pro´ximas propriedades!
M2: |x| = 0 se, e somente se, x = 0.
Ja´ sabemos que, se x = 0, enta˜o |x| = |0| = 0. Se, por outro lado, tivermos |x| = 0, enta˜o
x = 0, pois a ana´lise feita na propriedade acima mostra que |x| > 0 sempre que x > 0 ou
x < 0.
M3: Para todo nu´mero real x, temos |x| > x
Se x > 0, |x| = x. Se x < 0, |x| > 0 > x, logo |x| > x. Se x = 0, temos |x| = |0| = 0 = x.
Assim, qualquer que seja o caso, temos |x| > x.
Intuitivamente, pense da seguinte forma: se x for positivo ou zero, ele e´ o pro´prio mo´dulo, se
x for negativo, como |x| e´ positivo, sera´ maior que o nu´mero negativo x.
M4: Para quaisquer x e y reais, |x · y| = |x| · |y|
Podemos pensar em casos.
– Se x > 0 e y > 0, teremos xy > 0, logo |x · y| = x · y. Por outro lado, |x| = x e |y| = y,
logo |x| · |y| = x · y. Assim, |x · y| = |x| · |y|, pois ambos sa˜o iguais a x · y.
– Se x > 0 e y < 0, teremos xy < 0, logo |x · y| = −(x · y). Por outro lado, |x| = x e
|y| = −y, logo |x| · |y| = x · (−y) = −(x · y). Assim, |x · y| = |x| · |y|, pois ambos sa˜o
iguais a −(x · y).
– Se x < 0 e y > 0, teremos xy < 0, logo |x · y| = −(x · y). Por outro lado, |x| = −x e
|y| = y, logo |x| · |y| = (−x) · y = −(x · y). Assim, |x · y| = |x| · |y|, pois ambos sa˜o
iguais a −(x · y).
– Se x < 0 e y < 0, teremos xy > 0, logo |x · y| = x · y. Por outro lado, |x| = −x e
|y| = −y, logo |x| · |y| = (−x) · (−y) = x · y. Assim, |x · y| = |x| · |y|, pois ambos sa˜o
iguais a x · y.
– Se x = 0 ou y = 0 teremos |x · y| = |0| = 0, e, por outro lado, |x| · |y| = 0, pois |x| = 0
ou |y| = 0.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
M5: Para quaisquer x e y 6= 0 reais,
∣∣∣∣xy
∣∣∣∣ = |x||y|
Como na propriedade acima!
Agora resolva os exerc´ıcios abaixo!
Exerc´ıcio 3 Utilizando as propriedades acima, resolva as equac¸o˜es:
a) |x2 − 3x+ 2| = 0 b) |ax| = |a|, sabendo que a 6= 0 e x > 0
c)
∣∣∣∣x− 2x
∣∣∣∣ = 0 d) ||x|+ 2| = 2x.
Vamos agora lidar com mo´dulos de diferenc¸as entre nu´meros reais. Na˜o muda muita coisa... vamos
ver como voceˆ se sai. Os resultados encontrados sera˜o importantes para a discussa˜o que se seguira´
aos exerc´ıcios.
Exerc´ıcio 4 Calcule |x− y| para os valores de x e y dados abaixo:
a) x = 10 e y = 7 b) x = 7 e y = 10 c) x = 3 e y = −4
d) x = −4 e y = 3 e) x = −5 e y = −7 f) x = −7 e y = −5
Exerc´ıcio 5 Para cada um dos itens da questa˜o anterior, marque na reta orientada os pontos x e y
e conte quantos intervalos unita´rios ha´ entre x e y. Tome como modelo a reta abaixo.
Uma outra importante propriedade envolvendo mo´dulos e´:
M6: Para quaisquer x e y reais, |x− y| = |y − x|.
Do ponto de vista alge´brico, isso acontece porque, como (x− y) = −(y − x), tem-se que
|x− y| = | − (y − x)| = |(−1) · (y − x)| = |(−1)| · |(y − x)| = 1 · |y − x| = |y − x|.
Voceˆ deve ter observado que os valores encontrados para |x − y|, em todos os itens da Questa˜o 4,
coincidiram com os intervalos unita´rios que existiam entre x e y, contados na Questa˜o 5. Isto na˜o foi
um coincideˆncia! De fato, temos que |x− y| fornece, na reta orientada, a distaˆncia entre os pontos
x e y.
Me´todos Determin´ısticos I EP9 6
Esta interpretac¸a˜o geome´trica do mo´dulo de |x−y| auxilia no entendimento de que |x−y| = |y−x|,
uma vez que a distaˆncia que ha´ entre o ponto x e o ponto y e´ a mesma que ha´ entre o ponto y e o
ponto x.
Aqui, precisamos voltar a` discussa˜o do comec¸o deste EP, quando apresentamos o mo´dulo de um
nu´mero x como sua distaˆncia ao 0. Note que |x| = |x− 0|, pois x− 0 = x. Assim, |x| = |x− 0| =
distaˆncia entre os pontos x e 0, pelos para´grafos acima.
A Aula 09 do Caderno Dida´tico explora uma importante consequeˆncia desta visa˜o de mo´dulo de
diferenc¸a como distaˆncia, a chamada desigualdade triangular.
2 Equac¸o˜es envolvendo mo´dulos
Pela definic¸a˜o de mo´dulo de um nu´mero real y, vista na sec¸a˜o anterior, sabemos que, se a < 0, a
equac¸a˜o |y| = a, na˜o possui soluc¸a˜o. Lembre-se de que |y| > 0, qualquer que seja o valor de y, logo
na˜o podemos ter |y| = a < 0.
Ale´m disso, se a > 0, temos que
|y| = a⇔ y = −a ou y = a.
Em particular, se a = 0, temos
|y| = 0⇔ y = 0.
Vamos enunciar estes resultados estudados na Aula 9 no formato de um teorema, visando facilitar a
resoluc¸a˜o de equac¸o˜es modulares.
Teorema 1: Sejam y, a ∈ R. A equac¸a˜o |y| = a so´ possui soluc¸a˜o se a > 0. Neste caso,
considerando a > 0, tem-se que
|y| = a⇔ y = −a ou y = a.
Ale´m disso, |y| = 0⇔ y = 0.
Exerc´ıcio 6 Em cada item a seguir, encontre o conjunto soluc¸a˜o.
a) | − 2x+ 1| = 0 b) | − 2x+ 1| = 3 c) | − 2x+ 1| = −7
d) |3x+ 6| = x
2
e) |1, 5x+ 5| = 1, 5x+ 5 f) |x| = 2x+ 1
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP9 7
Para o Exerc´ıcio 4, a seguir, vamos fornecer um resultado importante sobre mo´dulo em um formato
mais adequado para a resoluc¸a˜o de inequac¸o˜es modulares da forma.
(1) |y| < a
(2) |y| 6 a
(3) |y| > a
(4) |y| > a
Vamos pensar nestas inequac¸o˜es de acordo com o sinal de a.
• Caso a < 0: As inequac¸o˜es (1) e (2) na˜o tera˜o soluc¸a˜o, pois o mo´dulo |y| sera´ sempre maior
ou igual a zero (propriedade M1), na˜o podendo, portanto, ser menor que um nu´mero negativo.
Se na˜o ficou claro, experimente o valor a = −1. Temos enta˜o
(1) |y| < −1
(2) |y| 6 −1
A inequac¸a˜o (1) diz que |y| < −1, o que nunca acontece, pois |y| > 0. Em (2), |y| 6 −1,
temos o mesmo problema.
Resumindo, para a < 0, as inequac¸o˜es |y| < a e |y| 6 a teˆm soluc¸a˜o vazia!
Nas inequac¸o˜es (3) e (4), como |y| e´ sempre maior ou igual a zero (propriedade M1), ele
sera´ maior ou igual a qualquer nu´mero negativo a < 0. Assim, como soluc¸a˜o, temos todo o
conjunto dos reais. Experimente novamente o valor a = −1, por exemplo:
(3) |y| > −1
(4) |y| > −1
As inequac¸o˜es |y| > −1 e |y| > −1 teˆm qualquer valor de y como soluc¸a˜o, pois |y| > 0
(propriedade M1).
Resumindo, para a < 0, as inequac¸o˜es |y| > a e |y| > a teˆm como soluc¸a˜o o conjunto
dos reais!
• Caso a = 0:
A inequac¸a˜o (1) fica sendo
(1) |y| < 0.
Note que |y| < 0 na˜o tem soluc¸a˜o, pois o mo´dulo |y| na˜o pode ser negativo (propriedade M1).
Assim, |y| < 0 tem soluc¸a˜o vazia.
A inequac¸a˜o (2) fica
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP9 8
(2) |y| 6 0.
A u´nica possibilidade de a inequac¸a˜o se verificar e´ sendo y = 0, pois, para qualquer outro valor
de y, teremos |y| > 0 (propriedade M2). Assim, |y| 6 0⇔ y = 0.
Note que |y| < 0 na˜o tem soluc¸a˜o, pois o mo´dulo |y| na˜o pode ser negativo. Assim, |y| < 0
tem soluc¸a˜o vazia.
Na inequac¸a˜o (3), temos
(3) |y| > 0.
Como sempre temos |y| > 0, a inequac¸a˜o tera´ como soluc¸a˜o qualquer valor de y que na˜o seja 0,
pois |y| = 0 se, e somente se y = 0 (propriedade M2). Assim, a soluc¸a˜o de |y| > 0 e´ R−{0}.
Na inequac¸a˜o (4), temos
(4) |y| > 0,
que e´ satisfeita por qualquer nu´mero real y. Assim, a inequac¸a˜o |y| > 0 tem soluc¸a˜o R.
• Caso a > 0:
Visando uma compreensa˜o melhor do resultado, faremos a uma ana´lise dos itens utilizando a
interpretac¸a˜o geome´trica do mo´dulo.
Na inequac¸a˜o (1), temos que |y| < a, significando que a distaˆncia de y a` origem, na reta
orientada, e´ menor do que a. Desta forma, segue naturalmente que −a < y < a, ou, utilizando
a notac¸a˜o de intervalos, que y ∈ (−a, a).
A inequac¸a˜o (2) segue o mesmo racioc´ınio do item (1), apenas com a observac¸a˜o de que,
agora, a distaˆncia de y a` origem, na reta orientada, e´ menor ou igual a a. Desta forma, segue
naturalmente que −a ≤ y ≤ a. Na linguagem de intervalos, y ∈ [−a, a].
No caso da inequac¸a˜o (3), temos que |y| > a significa que a distaˆncia de y a` origem, na reta
orientada, e´ maior do que a. Desta forma,segue naturalmente que y < −a ou y > a. Na
linguagem de intervalos, y ∈ (−∞, a) ∪ (a,+∞).
A inequac¸a˜o (4) segue o mesmo racioc´ınio do item (3), apenas com a observac¸a˜o de que,
agora, a distaˆncia de y a` origem, na reta orientada, e´ maior ou igual a a. Desta forma, segue
naturalmente que y 6 −a ou y 6 a. Como intervalos, temos y ∈ (−∞,−a] ∪ [a,+∞).
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP9 9
Para o caso a > 0, podemos enunciar o teorema abaixo:
Teorema 2: Sejam y, a ∈ R, com a > 0. Enta˜o,
(1) |y| < a ⇔ −a < y < a .
(2) |y| 6 a ⇔ −a 6 y 6 a.
(3) |y| > a ⇔ y < −a ou y > a.
(4) |y| > a ⇔ y 6 −a ou y > a.
Observe que o Teorema foi acima enunciado para a > 0. Para os demais casos, veja
as discusso˜es anteriores.
Agora e´ hora de praticar!!!
Exerc´ıcio 7 Em cada item a seguir, encontre o conjunto soluc¸a˜o. Escreva-o, se poss´ıvel, na forma
de intervalo ou de unio˜es de intervalos.
a) |8x− 12| ≥ 3 b) |3x− 1| ≤ x c)
∣∣∣∣2− x3
∣∣∣∣ < 20− x
d)
∣∣∣∣12 − x
∣∣∣∣ ≤ 0 e) ∣∣∣∣3x− 14
∣∣∣∣ ≥ 0 f) |2x− 1| < −3
g) |3, 9x− 1| > 0
Exerc´ıcio 8 Encontre o conjunto soluc¸a˜o dos nu´meros reais que satisfazem ao mesmo tempo a`s
duas inequac¸o˜es a seguir:
|3x+ 5| ≤ 8 e | − 6x+ 3| − 4 < 10
Vamos agora ver uma importante relac¸a˜o entre ca´lculo de ra´ızes quadradas e mo´dulos.
De acordo com a definic¸a˜o de raiz quadrada de um nu´mero real na˜o-negativo, note que
√
x2 = |x|, ∀ x ∈ R,
uma vez que a raiz quadrada de um nu´mero na˜o-negativo P e´ o nu´mero na˜o-negativo p, tal que
p2 = P .
Utilizando este fato, resolva o pro´ximo exerc´ıcio.
Exerc´ıcio 9 Em cada item a seguir, extraia a raiz quadrada.
a)
√
4 b)
√
(2)2 c)
√
(−2)2 d)
√
(1−√2)2
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP9 10
Exerc´ıcio 10 Em cada item a seguir, encontre o conjunto soluc¸a˜o.
a)
√
x2 = 5 b)
√
(x− 3)2 = 1
2
c)
√
(3x− 2)2 − x > 5
Como vimos ao longo deste EP, o mo´dulo da diferenc¸a entre dois nu´meros representa a distaˆncia
entre eles. Isto e´ particularmente relevante na modelagem de situac¸o˜es reais que envolvam distaˆncia
entre grandezas, isto e´, que considerem, de alguma forma, a dispersa˜o entre grandezas. Vemos, nos
exerc´ıcios abaixo, alguns exemplos.
Exerc´ıcio 11 Sabe-se que a distaˆncia entre o triplo de um nu´mero ao nu´mero 0,25 e´ maior do que
1 e menor ou igual a 5. Encontre o conjunto soluc¸a˜o dos nu´meros reais que satisfazem a restric¸a˜o
imposta acima.
Exerc´ıcio 12 Para determinar se uma moeda e´ imparcial (se possui a mesma probabilidade de dar
cara ou coroa), um experimentador joga-a 100 vezes, anotando o nu´mero de caras, x. A teoria
estat´ıstica diz que a moeda e´ tendenciosa se∣∣∣∣x− 505
∣∣∣∣ ≥ 1, 645.
Para que valores de x a moeda e´ declarada tendenciosa?
Exerc´ıcio 13 Em uma refinaria, a produc¸a˜o de petro´leo e´ estimada a partir da desigualdade
|p− 2.250.000| < 125.000,
onde p e´ medido em barris de petro´leo. Sabendo disto, determine os valores de p em que se teˆm os
n´ıveis de alta e baixa produc¸a˜o.
Exerc´ıcio 14 A altura, h de uma selec¸a˜o de membros de uma determinada populac¸a˜o satisfazem a
desigualdade ∣∣∣∣h− 173, 56, 5
∣∣∣∣ ≤ 1,
onde h e´ medido em cent´ımetros. Determine o intervalo da reta real que coincide com o conjuntos
destas alturas.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP9 11
Exerc´ıcio 15 Uma indu´stria de grande porte ira´ se instalar a`s margens de uma rodovia, pro´xima a
uma cidade localizada no quiloˆmetro 60 da rodovia e a um porto, cujo terminal rodovia´rio esta´ no
quiloˆmetro 100.
Segundo a legislac¸a˜o ambiental local, a distaˆncia, medida ao longo da rodovia, entre a cidade e a
indu´stria na˜o deve ser menor do que 40km.
Para facilitar e baratear o escoamento da produc¸a˜o, a indu´stria deve ser instalada a` distaˆncia ma´xima
de 30km do terminal rodovia´rio do porto. Pore´m a indu´stria na˜o pode se instalar a uma distaˆncia
menor do que 20km deste terminal, devido ao prec¸o proibitivo dos terrenos.
Determine o trecho da rodovia no qual a indu´stria pode se instalar, segundo os crite´rios acima.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ