AP2 - Métodos Determinísticos 1 - 2023-1 - Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Métodos Determińısticos I – 1/2023
Código da disciplina EAD06075
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USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 1 E 2.
A companhia de distribuição de águas Tormentas do Rio cobra de seus usuários, no plano padrão de fornecimento, 10
reais por mês por metro cúbico de água consumido em um mês. Porém, independentemente do consumo, é cobrado
no ḿınimo o equivalente a 15 metros cúbicos.
Além do plano padrão de fornecimento, um outro modelo alternativo de cobrança que foi estudado era o valor fixo
de 100 reais mais o valor de 5 reais por metro cúbico consumido.
Questão 1 [1,0 pt] Em um mesmo esboço, construa:
• o gráfico da função P que dá o valor P (v), em reais, a ser pago pelo consumo de v metros cúbicos em um
mês no plano padrão de fornecimento;
• o gráfico da função A que dá o valor A(v), em reais, que seria cobrado pelo consumo de v metros cúbicos,
com v > 0, caso tivesse sido adotado o modelo alternativo.
Métodos Determińısticos I AP2 2
Construa os gráficos representando v no eixo horizontal, com v > 0, e P (v) e A(v) no eixo vertical.
Solução: A função P : [0, +∞)→ R pode ser definida por
P (v) =
{
150, se v < 15
10v, se v > 15
Note que o custo é dado por 10 · 15 = 150 para v < 15.
A função A : [0, +∞)→ R pode ser definida por
A(v) = 100 + 5v.
O gráfico de P é um segmento de reta horizontal com y = 150 para 0 6 v < 15 e, a partir dáı, uma semirreta, com
y = P (15) = 150 quando v = 15 e y = P (20) = 10 · 20 = 200 quando v = 20 (o valor v = 20 foi escolhido ape-
nas para termos outro ponto e esboçarmos o gráfico; poderia ter sido escolhido qualquer outro valor de v maior que 15).
Por outro lado, o gráfico de A é uma semirreta com y = A(0) = 100 + 5 · 0 = 100 quando v = 0, e A(15) =
100 + 5 · 15 = 175 quando v = 175. Escolhemos v = 15 para podermos comparar com o valor de P e dar mais
significado ao esboço.
Esboçando os gráficos, temos:
Repare que A(0) = 100 < 150 = P (0) e que A(15) = 175 > 150 = P (15), com isso, os gráficos das duas funções
se cortam em algum ponto com 0 < v < 15. Para v > 15, o gráfico de A e P são semirretas, sendo o de P mais
inclinado. Por isso, os gráficos se cortarão também em algum v > 15.
Questão 2 [1,0 pt] Determine os valores de v para os quais P (v) = A(v) e, a partir dáı, determine para que volumes
de consumo mensal v o modelo alternativo de cobrança representaria um valor maior a ser pago pelo usuário?
Solução: Como visto na Questão 1, há um v entre 0 e 15 tal que P (v) = A(v). Para v < 15, P (v) = 150, assim
P (v) = A(v)⇔ 150 = 100 + 5v ⇔ 50 = 5v ⇔ v = 10.
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Métodos Determińısticos I AP2 3
Também vimos que há um valor de v > 15 tal que P (v) = A(v). Para v > 15, P (v) = 10v, logo
P (v) = A(v)⇔ 10v = 100 + 5v ⇔ 5v = 100⇔ v = 20.
Assim, os gráficos de P e A se cortam quando v = 10 e quando v = 20. Podemos observar no gráfico, então, que
A(v) > P (v) se, e somente se 10 < v < 20.
Questão 3 [2,0 pt] Represente, como intervalo ou união de intervalos, o conjunto dos números reais que satisfazem
simultaneamente às duas inequações a seguir:
|4x + 1| < 13,
|x− 1|+ 1 > 2.
Solução: Temos
|4x + 1| < 13 ⇔ −13 < 4x + 1 < 13
⇔ −13 < 4x + 1 e 4x + 1 < 13
⇔ −14 < 4x e 4x < 12
⇔ x > −144 e x <
12
4
⇔ x > −72 e x < 3
Temos ainda
|x− 1|+ 1 > 2 ⇔ |x− 1| > 1
⇔ x− 1 > 1 ou x− 1 6 −1
⇔ x > 2 ou x 6 0
Abaixo, representamos o conjunto solução de cada inequação e, em verde, a interseção destas soluções.
Assim, as duas inequações são simultaneamente satisfeitas para x ∈
(
−72 , 0
]
∪ [2, 3).
Questão 4 [1,5 pt] Escreva um sistema formado por uma equação e uma inequação, ambas com variáveis x e y,
que represente o conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano que estão na circunferência de centro (1, 2) e raio 5,
e que tenham coordenada horizontal maior ou igual a 4.
Solução: Os pontos (x, y) do plano cartesiano que estão na circunferência de centro (1, 2) e raio 5 são aqueles que
satisfazem a equação
(x− 1)2 + (y − 2)2 = 52.
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Métodos Determińısticos I AP2 4
Não há necessidade de simplificarmos esta equação, mas podeŕıamos escrever
x2 − 2x + 1 + y2 − 4y + 4 = 25,
ou ainda
x2 + y2 − 2x− 4y = 20.
Os pontos com coordenada horizontal maior ou igual a 4 são os que satisfazem
x > 4.
Assim, o sistema é dado por {
x2 − 2x + 1 + y2 − 4y + 4 = 25
x > 4
ou, com a equação da circunferência na forma original,{
(x− 1)2 + (y − 2)2 = 52
x > 4
Questão 5 [1,0 pt] Esboce, no plano cartesiano, o conjunto descrito na questão anterior, com o máximo de deta-
lhes posśıvel. Não deixe de dar as coordenadas dos pontos que são os extremos do segmento de circunferência que
representa o conjunto.
Solução: Esboçando a circunferência em azul e o conjunto x > 4 em vermelho, temos
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Métodos Determińısticos I AP2 5
O conjunto dos pontos que estão simultaneamente em ambos é o segmento de circunferência representado abaixo:
Os extremos deste segmento de circunferência são os pontos da circunferência de equação (x− 1)2 + (y − 2)2 = 52
que estão sobre a reta x = 4, ou seja, que satisfazem o sistema{
(x− 1)2 + (y − 2)2 = 52
x = 4
Substituindo x = 4 na primeira equação, temos
(4− 1)2 + (y − 2)2 = 25⇔ 9 + (y − 2)2 = 25⇔ (y − 2)2 = 16⇔ y2 − 4y + 4 = 16⇔ y2 − 4y − 12 = 0,
que tem como soluções
y =
4±
√
(−4)2 − 4 · 1 · (−12)
2 =
4±
√
64
2 =
4± 8
2 ,
ou seja, y = 122 = 6 ou y =
−4
2 = −2.
Assim, os extremos do segmento de circunferência são os pontos (4, 6) e (4,−2).
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Métodos Determińısticos I AP2 6
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 6 A 9.
Considere que as funções de demanda e de oferta de um determinado produto são dadas, respectivamente, por
D(P ) = −P 2 + 3P + 4 e Q(P ) = 83P − 4,
onde P é o preço do produto em reais e D e Q são a demanda e a oferta, respectivamente, em milhões de unidades.
Questão 6 [1,0 pt] Quais são os preços máximo do produto (valor acima do qual não há demanda pelo mesmo)? E
qual é o preço ḿınimo (valor abaixo do qual não há oferta)?
Solução: O preço máximo P do produto ocorre quando não há demanda, isto é D(P ) = 0. Assim, temos
D(P ) = 0⇔ −P 2 + 3P + 4 = 0⇔ P =
−3±
√
32 − 4 · (−1) · 4
2(−1) ⇔ P =
−3±
√
25
−2 ⇔
⇔ P = −3± 5
−2 ⇔ P =
−8
−2 = 4 ou P =
2
−2 = −1.
Como não podemos ter preço negativo, o preço máximo é dado por P = 4 reais.
O preço ḿınimo P ocorre quando não há oferta, isto é, Q(P ) = 0. Assim, temos
Q(P ) = 0⇔ 83P − 4 = 0⇔
8
3P = 4⇔ x = 4 ·
3
8 ⇔ P =
3
2 .
Portanto, o preço ḿınimo é de 1,50 real.
Questão 7 [1,0 pt] A partir de uma análise da função quadrática D, que representa a demanda,determine a demanda
máxima do produto e o preço para o qual ela ocorre.
Solução: A demanda máxima é dada por
DM = −
∆
4a = −
32 − 4 · (−1) · 4
4 · (−1) = −
9 + 16
−4 =
25
4 = 6,25.
Assim, a demanda máxima é de 6,25 milhões de unidades.
O preço para o qual a demanda máxima ocorre é dado por
P = − b2a = −
3
2 · (−1) =
3
2 = 1,5,
ou seja, 1,50 real.
Questão 8 [0,5 pt] Explique por que 3 reais é preço de equiĺıbrio deste produto.
Solução: Temos D(3) = −32 + 3 · 3 + 4 = 4 e Q(3) = 83 · 3− 4 = 4. Assim, D(3) = Q(4), mostrando que 3 reais é
preço de equiĺıbrio do produto.
Questão 9 [1,0 pt] Esboce em um mesmo plano cartesiano as curvas de demanda e de oferta deste produto, identi-
ficando cada uma delas. Destaque os pontos onde a oferta ou a demanda são iguais a zero, os pontos de equiĺıbrio e
o ponto de demanda máxima.
Solução: Com o que já descobrimos nas questões anteriores, podemos esboçar a parábola de concavidade para baixo
que contém o gráfico da função demanda D. Seu vértice é o ponto (1.5, 6.25) e D(4) = 0 é uma das ráızes.
Para esboçar a reta que contém o gráfico da função oferta Q, precisamos conhecer dois de seus pontos. Sabemos que
Q(1.5) = 0. Temos ainda que Q(3) = 83 · 3− 4 = 8− 4 = 4. Assim, o ponto (3, 4) está no gráfico de Q.
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Métodos Determińısticos I AP2 7
Na realidade, como o preço de equiĺıbrio é 3 reais, o ponto (3, 4) será o ponto de interseção entre os gráficos de D e
Q.
Temos então o esboço abaixo:
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