AP1 de MÉTODOS DETERMINISTICOS 2023 1

Prévia do material em texto

Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Métodos Determińısticos I – 1/2023
Código da disciplina EAD06075
Nome: Matŕıcula:
Polo: Data:
Atenção!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha (pintando os
respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado acima em
negrito) e o número da folha.
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
• Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!
• Identifique a Prova, colocando Nome e Matŕıcula,
Polo e Data.
• Não é permitido o uso de calculadora.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao apli-
cador.
• Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul
ou preta para registro das resoluções nas Folhas de
Respostas.
• Não amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas,
pois isto pode inviabilizar a digitalização e a correção.
• As Folhas de Respostas serão o único material con-
siderado para correção. Quaisquer anotações feitas
fora deste espaço, mesmo que em folha de rascunho,
serão ignoradas.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 1 A 4.
Uma pesquisa sobre usuários do site de reclamações Queixe Lá que haviam reclamado de companhias aéreas, verificou-
se que:
(i) Todos os usuários pesquisados reclamaram de pelo menos uma das empresas Amarelo, Ponto ou TALAM.
(ii) Todos os usuários que reclamaram da TALAM também reclamaram da Ponto.
(iii) Dois terços dos usuários que reclamaram da TALAM também reclamaram da Amarelo.
(iv) 200 usuários reclamaram apenas da Ponto.
(v) 100 usuários reclamaram apenas da Amarelo.
(vi) 80 usuários reclamaram tanto da Amarelo quanto da Ponto, mas não reclamaram da TALAM.
Questão 1 [0,5 pt] Represente a situação por meio de um diagrama de Venn, denotando por A o conjunto
dos usuários com reclamações sobre a Amarelo, por P o conjunto dos usuários com reclamações sobre a Ponto e
por T o conjunto dos usuários com reclamações da TALAM. Denote também por 2x a quantidade de usuários com
reclamações sobre as três companhias. Justifique.
Métodos Determińısticos I AP1 2
Solução: Pela informação (ii), teremos T ⊂ P . Pela informação (i), todos os usuários estão em pelo menos um
dos conjuntos, assim não representaremos um conjunto universo U contendo A, P e T . Caso prefira, você pode
representá-lo, mas tenha em mente que U − (A ∪ P ∪ T ) = ∅, ou seja, há 0 elementos em U e fora de A, P e T .
Temos então o diagrama
Denotando por 2x a quantidade de usuários que reclamou das três companhias, temos
Questão 2 [1,0 pt] Preencha todas as regiões do diagrama de Venn da questão 1 com todas as quantidades de
usuários, de acordo com as informações dadas. Algumas destas quantidades estarão em função de x. Justifique.
Solução: Pela informação (iii) , dois terços dos usuários que reclamaram da TALAM também reclamaram da Amarelo.
Note que o número de usuários que reclamaram da TALAM e também da Amarelo é 2x. Assim, se t é o número de
elementos do conjunto T , temos que
2x = 23 t ∴ t = 3x.
Portanto, T tem 3x elementos, dois quais 2x já estão na interseção com A. Com isso T −A tem x elementos.
Por (iv) e (v), 200 usuários reclamaram apenas da Ponto e 100 usuários reclamaram apenas da Amarelo. Além
disso, por (vi), 80 usuários reclamaram tanto da Amarelo quanto da Ponto, mas não reclamaram da TALAM. Temos,
portanto, o diagrama abaixo:
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Métodos Determińısticos I AP1 3
Questão 3 [1,0 pt] Com as informações das questões anteriores, e sabendo que metade dos usuários que
reclamaram da Ponto também reclamaram da Amarelo, determine x. Justifique.
Solução: O total de usuários que reclamaram da Ponto é dado por 80 + 2x + 200 + x = 3x + 280. Sabemos que
metade deste número, ou seja,
3x + 280
2 também reclamou da Amarelo. Além disso, de acordo com o diagrama, o
número de usuários que reclamaram da Ponto e da Amarelo é dado por 2x + 80. Assim,
3x + 280
2 = 2x + 80 ∴ 3x + 280 = 2(2x + 80) ∴ 3x + 280 = 4x + 160 ∴ 4x− 3x = 280− 160 ∴ x = 120.
Questão 4 [0,5 pt] Com as informações das questões anteriores, inclusive a informação dada na questão 3,
determine o total de usuários considerados na pesquisa. Justifique.
Solução: Observando o diagrama preenchido na questão 2 e sabendo que x = 120, o número total de usuários
considerados na pesquisa é
100 + 80 + 2x + 200 + x = 380 + 3x = 380 + 3 · 120 = 380 + 360 = 740.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 5 E 6.
O preço de um produto, dado inicialmente em reais por P , sofreu duas reduções consecutivas de 10%, seguidas de um
aumento de 20%. Observe que cada redução/aumento é calculado sobre o preço após a redução/aumento anterior.
Questão 5 [1,0 pt] Determine o valor final do produto (após as reduções e o aumento), em função de P . Justi-
fique.
Solução: Seja P o preço inicial do produto. Após a primeiro redução de 10%, o preço se tornará
P · (1− 10%) = P ·
(
1− 10100
)
= P · 100− 10100 =
90 P
100 =
9 P
10 .
Da mesma forma, após a segunda redução de 10%, o preço se tornará
9 P
10 · (1− 10%) =
9 P
10 ·
9
10 =
81 P
100 .
Após o aumento de 20%, o preço se tornará
81 P
100 · (1 + 20%) =
81 P
100 ·
120
100 =
81 P
100 ·
12
10 =
972 P
1000 .
Questão 6 [1,0 pt] Se, após as duas reduções e o aumento, o preço do produto se tornou R$19,44, qual era o preço
P inicial? Justifique.
Dica para facilitar as contas: 19440 = 24 · 35 · 5.
Solução: Pela questão anterior, temos
972 P
1000 = 19,44
logo
972 P = 19,44 · 1000 = 19440.
Com isso,
P = 19440972 .
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Métodos Determińısticos I AP1 4
Para fazer esta conta de forma simples, note que 972 = 81 · 12 = 9 · 9 · 12 = 32 · 32 · 3 · 22 = 35 · 22 e que
19440 = 24 · 35 · 5, logo
P = 2
4 ·��35 · 5
��35 · 22
= 2
���
2
4 · 5
��22
= 22 · 5 = 20.
Assim, o preço inicial do produto era R$20,00.
Questão 7 [1,5 pt] Racionalize e simplifique ao máximo o número A = 2 +
√
3
2−
√
3
. Apresente todos os cálculos
e justificativas necessários.
Solução: Temos
A = 2 +
√
3
2−
√
3
= 2 +
√
3
2−
√
3
· 2 +
√
3
2 +
√
3
=
(
2 +
√
3
)2
22 −
(√
3
)2 = 22 + 2 · 2 ·
√
3 +
(√
3
)2
4− 3 =
4 + 4
√
3 + 3
1 = 7 + 4
√
3.
Questão 8 [1,5 pt] Determine o conjunto de todos os valores de x ∈ R que satisfazem a desigualdade
2(x + 1)2 − 3x < (2x + 1)(x + 1).
Apresente todos os cálculos e justificativas necessários.
Solução: Temos
2(x + 1)2− 3x < (2x + 1)(x + 1)⇔ 2(x2 + 2x + 1)− 3x < 2x2 + 2x + x + 1⇔ 2x2 + 4x + 2− 3x < 2x2 + 3x + 1⇔
⇔��2x2 + x + 2 <��2x2 + 3x + 1⇔ x + 2 < 3x + 1⇔ x− 3x < 1− 2⇔ −2x < −1⇔ x > −1
−2 =
1
2 .
Note que, na última equivalência, o sinal da desigualdade foi invertido pois dividimos por −2, que é negativo. Assim,
temos x >
1
2 .
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 9 A 11.
Sobre três proposições p, q e r, sabe-se que:
(i) Se p então q.
(ii) Se r então não q.
(iii) Se não p então q e r
Questão 9 [0,5 pt] Se p for verdadeiro, o que pode ser conclúıdo sobre q e r? Justifique.
Solução: Se p for verdadeiro, por (i), temos q verdadeiro. Note que r não pode ser verdadeiro, pois, neste caso, (ii)
implicaria que q é falso, mas já vimos que q é verdadeiro. Assim, se p for verdadeiro, temos q verdadeiro e r falso.
Note que esses valores são compat́ıveis com as informações, pois teremos
(i) V → V.
(ii) F →∼V, que equivale a F → F.
(iii) ∼V → V ∧ F, que equivale a F → F.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Métodos Determińısticos I AP1 5
Lembre-se de que V → V e F → F são verdadeiras.
Questão 10 [1,0 pt] É posśıvel que p seja falso? Justifique.
Solução: Se p for falso, por (iii), teremos q verdadeiro e r verdadeiro.Mas se r for verdadeiro, teremos q falso,
por (ii). Como q não pode ser verdadeiro e falso ao mesmo tempo, vemos que p falso nos leva a uma contradição,
portanto p não pode ser falso.
Questão 11 [0,5 pt] O que pode ser conclúıdo sobre p, q e r serem verdadeiros ou falsos? Justifique.
Solução: Pela questão anterior, vimos que p não pode ser falso, portanto, p é verdadeiro. Pela questão 9, temos
então q é verdadeiro e r é falso. Já vimos na questão 9 que estes valores são compat́ıveis com todas as informações
dadas.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ