Teoria das Estruturas volume 3 Exercicios parte 01

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Conteúdo
Volume l/Teoria
1 Introdução, 1
Sistemas Equivalentes de Esforços, 1
Condição de Equilíbrio, 2
Vínculos, 3
Classificação das Estruturas, 5
Estruturas Isostáticas, 11
Determinação das Reações de Apoio, 11
Determinação de Esforços Solicitantes, 22
3 Cálculo de Deformações, 61
Esforços e Deslocamentos Correspondentes, 61
Aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais para
o Cálculo de Deformações de Estruturas (Método
da Carga Unitária), 64
Estruturas Espaciais, 71
Casos Especiais de Carregamento, 71
Casos Úteis na Resolução de Estruturas Hiperes-
. táticas (Casos Lineares), 76
Superposição de Efeitos, 81
4 Estruturas Hiperestáticas - Resolução pelo Processo
dos Esforços, 86
Estudo Geral, 86
Classificação das Estruturas Hiperestáticas, 87
Processo dos Esforços, 89
5 Estruturas Hiperestáticas - Processo dos Desloca-
mentos,244
Preliminares, 244
Sistemas de Referência, 249
Transformação de Coordenadas, 250
. Estudo de Matriz de Rigidez para Barras, 258
.Resolução de Estruturas, 283
Modelos Aplicáveis a Infra-estrutura de Pontes e
Outros Casos, 302
Flambagem-Determinação da Carga de Flamba-
gem de Estruturas, 418
Bibliografia, I
Índice Alfabético, II a IV
Volume 2/Teoria
Processo de Cross, 433
Coeficiente de Propagação, 433
Coeficiente de Rigidez, 434
Coeficiente de Distribuição, 436
Convenção de Sinais para os Momentos Fletores,
438
Estruturas Indeslocáveis e Deslocáveis, 439
Resolução de Vigas Contínuas e Pórticos Indeslo-
cáveis, 441
Pórticos Deslocáveis, 459
7 Linhas de Influência, 508
Classificação dos Carregamentos, 508
Diagramas de Linhas de Influência, 521
Utilização das Linhas de Influência, 522
Determinação de Linhas de Influência para Estru-
turas Isostáticas, 527
Determinação de Linhas de Influência para Estru-
turas Hiperestáticas, 568
Arcos, 576
Estruturas Constituídas de Barras de Altura Variá-
vel,579
Linhas de Influência de Deformações (Desloca-
mentos e Rotações), 585
8 Energia de Deformação, 592
Conceitos Gerais, 592
Teoremas de Energia, 598
Estudos da Energia de Deformação Relativa aos
Esforços Solicitantes Típicos, 604
Superposição de Efeitos, 615
Estudo da Energia Complementar em Função dos
Esforços Solicitantes, 618
Determinação Aproximada de Linha Elástica -
Processo de Rayleigh Ritz, 620
Estudo da Flambagem, 631
Teoremas Relativos à Energia de Deformação, 637
Estudo dos Perfis Fechados de Paredes Delga-
das (Secções Celulares), 706
Torção em Perfis Abertos, 723
10 Fadiga, 750
Teoria de Bauschinger, 751
Resultados Experimentais e Definições, 751
Tensão de Fadiga, 752
Diagrama de Goodman, 754
Estudo da Fadiga no Caso de Estado Duplo de
Tensão, 756
Fatores que Influem no Limite de Resistência à
Fadiga, 758
Estudo Generalizado para Variações de Tensão
com o Tempo e Critério de Minner, 758
Aplicação ao Concreto Armado, 761
9 Cisalhamento em Perfis Delgados, 683
Considerações Gerais, 683 Bibliografia, 783
Tensões de Cisalhamento em Perfis Delgados
Abertos, 688 Índice Alfabético, I a III
Volume 3/Exercícios
1 Estruturas Isostáticas, 787 2 Estruturas Hiperestáticas - Processo dos Esforços, 898
Introdução, 787
Resolução de Estruturas: Determinação de
Esforços Solicitantes, 787
Parte 1 Vigas e Pórticos, 797
Parte 2 Treliças, 848
Parte 3 Cálculo de Deformações, 871
Esforços e Deslocamentos Correspondentes, 871
Resolução de Estruturas pelo Processo Geral dos
Esforços,898 .
Vigas Contínuas, 1027
Cálculo de Deformações, 1074
3 Processo dos Deslocamentos, 1090
Aplicação a Estruturas Constituídas Somente de
Elementos Deformáveis, 1090
Aplicação a Estruturas Constituídas de Elementos
Deformáveis Associados a Elementos Rígidos, 1173
Volume 4/Exercícios
4 Processo de Cross, 1277
Formulário, 1277
Exercícios, 1292
5 Linhas de Influência, 1531
Formulário, 1531
Estruturas Isostáticas, 1533
6 Energia de Deformação, 1749
Aplicação de Teoria, /749
7 Cisalhamento em Perfis Delgados, 1793
Formulário, 1793
Perfis Abertos, 1800
Perfis Fechados, 1816
8 Fadiga, 1841
Aplicação de Teoria, 1841
$
1
Estruturas Isostáticas
Introdução
-.esolução de estruturas:
urlrerminação de esforços
_lCi-tantes
".ç-io de teoria
~o
A
~ estudo das estruturas devemos conhecer os vínculos
_-=':lICS- e o sistema de esforços (forças ou momentos aplica- ENGASTAMENTO
~ as mesmas). Devemos considerar o seguinte:,
LTURAS PLANAS
de vínculos externos e esforços que introduzem
) e quilograma (kg) se referem a unidades de força. corres-
~1IZ::D:la tf e kgf. FAZ
APOIO
SIMPLES
ARTICULAÇÃO
0
LYSISTEMA
DE
REFERÊNCIA
o x
F
F..... A
Se não há carregamento externo aplicado ao longo da
barra FI, é válida a relação:
b. Equações de equilíbrio da estática.
Estas equações impõem a condição de equilíbrio quanto
a efeitos de forças e de momentos que podem agir sobre a
estrutura.
De acordo com as equações de equilíbrio da estática,
para que uma estrutura esteja em equilíbrio é necessário que:
- Seja nula a somatória das projeções em uma determi-
nada direção de todas as forças externas atuantes sobre a
estrutura e das forças introduzidas pelos vínculos.
Como podemos sempre decompor as forças segundo
duas direções perpendiculares x e y, desta condição resultam
duas equações:
IFxi=O,O
I Fyi = 0,0
- Seja nula a somatória dos momentos dos esforços
externos que agem sobre a estrutura e dos esforços introduzi-
dos pelos vínculos, em relação a um ponto qualquer do plano.
I M(p) = 0,0
:. I M(p) = I Fi di + I M, = 0,0
sendo Fi uma força genérica e M, um momento genérico que
agem sobre a estrutura.
y
P
o x
ponto P = ponto genérico do plano
Fi = força genérica que age sobre a estrutura
M, = momento genérico que age sobre a estrutura
I Fxi = 0,0
I Fyi = 0,0
I M(p) = 0,0
P = ponto genérico do plano.
2. ESTRUTURAS ESPACIAIS
a. Tipos de vínculos
786
'\
Ilz
ENGASTAMENTO
r z ~ ESPACIAL
~ Y "
x
SISTEMA DE
REFERÊNCIA Ilx
,
RÓTULA
AO PLANO DE APOIO DA ESFERA
Se não há carregamento externo aplicado ao longo da
barra CD, temos a relação:
Para a força F B no fio, temos sempre a relação:
Ilz
, /
I
I
I
Ily
. Ilx
I
I
'.J
. Equações de Equilíbrio da Estática
.Analogamente ao caso de estruturas planas, para que
trutura espacial esteja em equilíbrio, de acordo com as
_õe da estática, é necessário que:
- Seja nula a somatória das projeções em uma deterrni-
. ção de todas as forças externas atuantes sobre a
srz:::::a e das forças introduzidas pelos vínculos.
o podemos sempre decompor as forças segundo três
_~)êS .r, y, z. perpendiculares entre si, desta condição
:-=1iiU;a:~:n três equações:
_ - = 0.0
.0
.0
Ily
,--- - ----- --'1
/ ;' I \
/ Fvl / I
r- --------1 I
I F; I I
: F,; I : I Ix
I I I
I Fzi I /
I ~
Ilz
- = - RÇA GENÉRICA QUE AGE
BRE A ESTRUTURA
- - 'a nula a somatória dos momentos dos esforços
CllII::::r.::s aplicados sobre a estrutura e dos esforços introduzi-
_I(:IIe:.,s=.in ulos, em relação a um eixo qualquer do espaço.
Podemos sempre considerar o vetor que representa um
*RI:::ce:ido momento, decomposto em três direções x, y, z.
f1111p1:uéti:r.IlaJresentre si. Desta condição resultam três equa-
= 0.0
= 0.0
.: = 0.0
M, = momento genérico que
age sobre a estrutura
1.4;fi ao plano •.
PLANO tr ~ P O O DE AGE
O MO ENTOM,
O SENTIDO DO VETOR
MOMENTO É DADO PELA
REGRA DA MÃO DIREITA
Decomposição de Mi:
O momento M, provoca rotação em torno de um eixo
perpendicular ao plano 7T •
f-'
z
M/x ~ PROVOCA ROTAÇÃO EM I
TORNO DA DIREÇÃO x. I
Mlx ~ PROVOCA ROTAÇÃO EM :
TORNO DA DIREÇÃO y.
I
M/x ~ PROVOCA ROTAÇ~O EM I
TORNO DA DIREÇAO z.
Ily
-----------.
/ Mil' /1
/ / I
I / I
I
I
Mix :~=-------::.....J:.._;/ Ilx
I
• I I
_M!,:. /
/lzv:
Momento de uma força Fi em torno de um eixo genérico
PLANO .k.
AO EIXO v
EIXOv
P
PLANO!}
di
força Fi: tem uma direção qualquer no espaço
F' i = projeção de Fi no plano fi
O plano fi é perpendicular ao eixo v
di = distância do ponto P à linha de ação de Fi
P = ponto de encontro do eixo v com o plano fi
O momento de Fi em relação ao eixo v é dado por:
Mv(FJ = Fi . di
Devemos notar que se a força é paralela ao eixo. não
provoca momento em relação a este eixo, pois a projeção
787
desta força sobre o plano perpendicular ao eixo se reduz a um
ponto, tendo portanto valor nulo. (
P
F; Ii veixov
: F'j = 0,0
PLANO
n
PLANonk
AO EIXOv
3. CÁLCULO DE REAÇÕES DE APOIO EM
ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
Para calcular os esforços que os vínculos externos intro-
duzem na estrutura, procedemos do modo seguinte:
a. Aplicamos sobre a estrutura o sistema de esforços
externos, que poderá ser constituído de forças e momentos, e
retiramos os vínculos externos, substituindo-os pelos esfor-
ços que introduzem na estrutura.
Estes esforços poderão ser forças ou momentos, con-
forme o tipo de vínculo.
b. Quanto ao sentido dos esforços que os vínculos intro-
duzem, inicialmente será adotado arbitrariamente.
c. Aplicamos a todo o conjunto as equações de equilíbrio
da estática, obtendo um sistema de equações que, resolvido,
nos fornece o valor dos esforços introduzidos pelos vínculos.
Os valores destes esforços poderão resultar positivos ou
negativos, sendo a seguinte a interpretação de sinais:
O esforço que resulta positivo tem seu sentido verda-
deiro coincidente com o adotado.
O esforço que resulta negativo tem seu sentido verda-
deiro contrário ao adotado.
d. Observação:
Se ao invés de um sistema de esforços externos temos
aplicado à estrutura uma variação de temperatura, e
procedendo conforme foi exposto, resultará valor
nulo para as reações de apoio.
Por exemplo:
I Fxi = 0,0 :. HA = 0,0
I FYi = 0,0 :. VA + VD = 0,0 :. VA = - VD
I MA = 0,0:. HA (0,0) + VA (0,0) + VD' e = 0,0
:. VD = 0,0
:. VA =·0,0
Diagrama de estado, relativo a um determinado esforço
solicitante Fjo é o gráfico que representa a variação deste
esforço solicitante ao longo da estrutura.
A
DIAGRAMA DE Fj
A ordenada 'Y/s representa o valor de F, que age na secção
S.
4. DETERMINAÇÃO DE DIAGRAMAS DE ESTADO
Para determinar os diagramas de esforços solicitantes
para uma estrutura devemos conhecer o sistema de esforços
externos aplicados (forças e momentos) e os esforços intro-
duzidos pelos vínculos.
Como os esforços solicitantes são esforços internos, so-
mente podem ser evidenciados através de cortes teóricos na
estrutura.
Para determinar os esforços solicitantes em uma secção
genérica S, em uma estrutura procedemos como segue:
a. Cortamos teoricamente a estrutura nesta secção. Re-
sulta então que a estrutura será separada em duas partes.
b. Retiramos uma das partes e transportamos para a
B dt, C B dt, C
h, }_/ ~D Lv
L HA LAe ® y
~,
788
- o de corte (secção S) todos os esforços que agem sobre a
e retirada.
Transportamos assim todos os esforços externos (forças
omentos) e esforços dos vínculos, resultando então na
S, onde foi efetuado o corte, o efeito da parte da
.:~ que foi retirada.
z: Os esforços que resultam na secção S, pelo transporte
- - "'" forços do item anterior, representam os esforços solici-
- - na secção S.
Pelo transporte dos esforços que agem na parte retirada,
os como conseqüência forças e momentos na secção S
foi efetuado o corte teórico.
d. Para obter os esforços solicitantes, considerando um
geral, devemos proceder como segue:
- Determinamos para a secção transversal da barra,
_ rrespondente à secção S, o centro de gravidade e as dire-
_ y e i dos eixos principais centrais de inércia.
CG ~ CENTRO DE GRAVIDADE
x ~ EIXO
LONGITUDINAL
- Considerando uma força genérica F que tenha sido
rransportada, esta deverá ser decomposta nas três direções x,s .:,fornecendo:
I
F I
I
I
I
I
I
I
I
I
- I /---..1/
Fs = força normal = N (tem direção perpendicular ao
plano da secção transversal) .
Fy = força cortante na direção y = Qy (age no plano da
secção transversal)
Fi = força cortante na direção i = Qi (age no plano da
secção transversal)
- Considerando um momento genérico M que resulta
transporte dos esforços, este deverá ser representado por
etor M e ser decomposto nas direçõesx, y, i, resultando:
- -_/
-;1
I
I
I
I
I
I
Ms = momento de torção (age no plano da secção trans-
versal)
Mt = momento fletor (age no plano perpendicular à sec-
ção transversal e cujo traço é y)
My= momento fletor (age no plano perpendicular à sec-
ção transversal e cujo traço é i)
Estes momentos terão os sentidos seguintes:
Convenção de sinais: Como convenção clássica de sinais
para os esforços solicitantes, devemos adotar:
Para a força normal: N
N = (+) : quando é de tração
N = (-) : quando é de compressão
Para a força cortante: Q
Q (+ ) quando tende a girar a secção no enrido
horário
Q (- ) quando tende a girar a secção no enrido
anti-horário
Para o momento fletor: M
M = (+) : quando traciona as fibras inferiore da o
transversal
M = (- ) :quando traciona as fibras superiore da se
transversal
No caso em que esta convenção não se aplica, pode ser
adotada uma convenção particular para cada caso.
O diagrama de momento fletor deverá ser desenhado
com as ordenadas colocadas no lado em que o momento
traciona.
Para o momento de torção MT' não há convenção clás-
sica, devendo ser adotada em cada caso uma convenção par-
ticular.
Observações
a. Quando aplicamos a uma estrutura isostática somente
uma variação de temperatura, como as reações de
apoio resultam nulas e não há esforços externos apli-
cados, todos os diagramas de esforços solicitantes
resultam nulos.
b. Para determinar esforços solicitantes nas estruturas
hiperestáticas, adotamos o mesmo procedimento in-
dicado para o caso das estruturas isostáticas.
Porém, nas estruturas hiperestáticas, somente a
aplicação das equações da estática não é suficiente
para resolver a estrutura, devendo ser completadas
por equações de compatibilidade de deformações.
c. Ainda no caso das estruturas hiperestáticas devemos
ter em mente que, quando aplicamos à estrutura so-
mente uma variação de temperatura, os esforços soli-
citantes poderão ser diferentes de zero, o que geral-
mente ocorre, devido à interferência dos vínculos hi-
perestáticos (externos ou internos) com as deforma-
ções devido à temperatura.
d. Para determinar o valor do momento fletor máximo,
devemos levar em conta que no estudo do equilíbrio
de um trecho de comprimento infinitésimo, perten-
cente à estrutura, temos:
q
1 1 1 1 1 1
M ( ) "+d.
a f a + dadx,r
Examinando o equilíbrio deste elemento, temos:
Q - q . dx - (Q + dQ) = 0,0:. dQ = - q
dx
(M + dM) - M + q . dx ( d
2
X ) - Q . dx = 0,0
Desprezando os infinitésimos de ordem superior,
resulta:
dM = Q
dx
Conseqüentemente, quando temos somente carrega-
mento distribuído sobre a barra, o momento máximo se dá
onde a força cortante se anula.
Analisando a estrutura dada a seguir para a qual temos no
trecho AB também uma força concentrada, com um esquema
de carregamento do tipo:
790
P, P,
~8
j
C
Na pesquisa do momento máximo no trechoAB, depen-
dendo do problema, poderemos ter as três situações:
l.ocaso:
a
M
2.0 caso:
3.0 caso:
a
"
M
--------~------------- --- -- --- --
Solicitantes
~
~47 eI fr b k
a:
Me I
(
II
t ~~~!p
I p. a
Mt-e ® e
P·a
e
M
"'\
A~F====e=====Z4
I
Pab
e
~
2
® Me
+
791
2 - Viga em balanço
A~~======:l[
-f e ~
p.( !p
{FI ======I.
Jf
++
o-----
®
x,
+
Q. = ~b (c ++); Q. = _ ~b (a ++)
Me = q~a (c ++); MD = q~C (a ++)Q ( Xo -, a v
Xo = a ++:. Mo = Q•. Xo - q J
M
~
~ l: r-+ e t- A!
M
4
~
i • r~! 1 ~ •
® Me
®
'=====~B
~------~(---------'~
792
p
p
p.(
~B
_ I e I
Q"'
ijF======;\
-I e ~
fVlr: M
t;=1 =====~0,0
® ZERO
@qe
@ M
@ qt'
2
~
B~
1
A
~ e ~
M( M
~1
i®
@ ZERO
794
D1IImJ. - B~~A l I a I~ baI b
qb (a ++)-
q : a (b ++)
D1IImJ
~
r.
lq. bta
®
q·b+
+
.o------
tU
q. a'
-2-
~
2
®
\
•
Parte 1
Vigas e Pórticos
1. Determinar os diagramas de esforços solici tantes para b.
vigas seguintes:
a.
A~
z
x
2t 2x\12t
I o,~ 0,0
A c::=3- (t1Ie::::::============~B
~2t
~
A x B
v.
2x
I
2,0 tlmA§X ~~;2t::::=='=='=~
x 0,0 B
2 x . x/2 /,
2x
2,0 tlm
- = 0,0
= -2,0 t (gira no sentido anti-horário)
- f = -2x (traciona a fibra superior)
Q =-2x
M = - (2x) . ..:....= - x2
2
M
B
= _ pf2
2
QB = -pf
N = 0,0
A
M(tm) Q(t)~
~6,0
Diagramas:
6,0
,.;;;;;J,-L....I....J.-L....I....J.-l...J.......j....L....J.......j....L....J.......j..",J B
J,
3,0
MB = -2,0 . 3,0 = -6 tm
~9.0
M(tm)~
A • B
o diagrama é construído por pontos. Trecho AC: (0,0 ~ x ~ 1,0 m)
c.
iP=2t ~
'" =: :=11]1====« =====2=m==1 B
Q = 0,0
M =0,0
N = 0,0
Trecho CB: (1,0 ~ x ~ 3,0 m)
Q = -2,0 (x - 1)ou Q = -2x' sendo x ' = x - 1,0
(x-1) x 'M = - 2,0(x-1) --ou M = - (2x') _ = - (X')2
2 2
N = 0,0
Trecho AC: 0,0 ~ x ~ 1,0m
Q(t)
~
BA _
4,0
~,
A
Q = 0,0
M = 0,0
N = 0,0
M(tm)
Trecho CB: (1,0 ~ x ~ 3,0 m)
b2
MB = - ~ sendo b = 2,0 m
2
e.rt
2(x-1) (i:::::::! ========1,
31m (~=~=,=3=m ==1,
x
I,Q = ~2,0 tM=-2,0(x-1)ouM=-2,Ox' sendox'=x-1,0N = 0,0
QW A B--cIIilEJIIJ 2,0
Q = 0,0
M = -3,0 tm
N = 0,0----n1Tl4,0
M(lm)~
d. M(tm)DJII.rn.ITIJ 3,0
lmc~'
~x~
f.
A ! FI 2tm I·pA : 2m 1m
121 2tm I·A : x i GJ
x'
A !
796
recho AC: (0,0 "" x "" 2,0 m)
= -_ t
- = 0,0
= -2x
x = O,Op MA- = 0,0-
-- x = 2,0 I? Me = -4,0 trn
recho CB: 2,0 "" x "" 3,0 m
- = 0,0
= -2 t
x' = 0,0 .'. M = -2,0 tm
= -4,q +,2,0 - 2X' =
= -2,0 '- 2X' x' = 1,0 .'. M = -4,0 tm
o x' = x - 2,0
A B
Q(t) 0IIIIII:'§JI[]]2.0
~
.O
4.0
M(tm)
A C 2.0 B
= _O
= - qz'x
Como
~= 2,0
x 3,0
1 2x x2
=--"'--'x=--
233
<k ' x
2
1 2x
2 3 3
x
3
.::=I:5.::oerll-se os diagramas por pontos
9
A~=r-'-'-...,.....,-r-r-r-"-'-T-r-rT-r-1B
Q(t)
3.0
M('~6.0
A B
h,
~
q = 2 11m
x 3 m li!,
"
N = 0,0
Q=-(Q+2Qx)x
Como 2.. =~_
3 3 - x
2
, Q =-(3-x).. x 3
z
q illJIIDIIillIIT q,
x
M=_Q+qx 'x'z
2
2X2 x2
M = - - - - (3 - x)
3 9
A B
Q(t)
3.0
M(tm)
3.0
i. Observação:
O problema pode ser resolvido por superposição.
ft 1
3t
A+-: -"--"C1m'----,,-S_=2 m_lc
Trecho AB: 0,0,,;;; x ,,;;;1,0 m
N = 0,0
Q = -2,0 t
M =-2X
-lo
S
x'>-------.
~
t
2tm C C
S x'
"
Trecho BC: 1,0,,;;; x ,,;;;3,0 m
N = 0,0
Q = -5,0 t
M = ~2 '- 5x' sendo x' = x- 1,0
Na secção B para a força cortante há uma descontinui-
dade
A S C
2,0 ITIIDUIJJllJill- 5 OO(t)
rt I, IA!::===!=S====== "C
j 3t I
CA===S=======" C
O(t)
11 I I I I I I t§i I I I I I I I 12,0
; 0JJJRIIrn3,0
I I I I I hTTTInTTn
~5,0
~6,0
: ----níl16 O
~'
12,0
M(tm) •.•' =-l.....L..I....J..-I...J....L...J.....l..-L...L....I..-l.-I....
S C
2. Determinar os diagramas de esforços solicitantes para
as vigas seguintes:
a .
.....--_l6.0t ' f6,0t~A .. ==========:;t" H~=======2.0 m , =======l'O m íL :1
v.
M(tm) ",,"-.J.....L-l....L..J....L.J....J....L..J.....L...I....J....L..J....I....J
A
,r 2,0 m 1< 4,0 m
798
v.
,
I Fxi = 0,0 . . HA = 0,0
IF)Ii=O,O .. VA+VB-6,0=0,0
I MA= 0,0 .. VB• 6,0 - 6,0 (2,0) = 0,0
VB = 2,0 t {
VA =4,Ot
tzi2'Ot
No trecho AC: 0,0 ~ x ~ 2,0 m
{
N = ° °Q =.4:0 t
M = 4x
na secção C, à esquerda: x = 2,0 m
{ Q = 4,0 tM = 4,2 = 8,0 tm
No trecho CB: ,2,0 ~ x ~ 6,0 m
. - = 0,0 portanto na secção C, à direita: Q = -2,0 t
Q = 4;0 - 6,0 = -2,0 t
.1=4x-6(x-2)
ara x' = 2,0 m . . M = 4 . 2- 0,0 = 8 tm
para x = 6,0 m :. M = 4 ; 6 - 6 (6 - 2)= 0,0 tm
Observação:
Para estudar o trecho CB, podemos começar partindo do
'oB.
'M = 2 x 'IQ = -2,0 t
. = 0,0
x ' = 0,0 m
x ' =4,Om
M = 0,0
M = 8,0 tm
4,0
Q(t)
LL...Ll-L..!-.LJLLLLLJ 2,0
2,0 t/rnAli li 11110 111!1:k
4,0 m '
cálculo das reações de apoio
I Fxi = 0,0
I F)Ii = 0,0
IMA = 0,0
:. HA = 0,0
{ VA + VB - 2,0 (4,0) = 0,0
40:. V B • 4,0 - (2,0)(4,0) . -' '_ = 0,0
2
portanto VA = VB = 4,0 t
~
4,Ot~4,Ot
f----
x
N = 0,0
Q = 4,0 - 2x Ix= 0,0ex = - = 2,0 m2 .x = e = 4,0 m Q = 4,0 tQ = 0,0Q = - 410 t
x2M = 4x - 2 _ = 4x - x2
2
~
= 0,0 m
x = 2,0 m
= 4,0 m
M' = 0,0
M=4 '2-4=4tm
M = 0,0
4t.m
c.
6,0tm (çA==============;lB:L 4,Om ~
cálculo das reações de apoio
6'40tmA B ®~~._~======:=:::::I <±l xHA
VA V.
}; F.•.•= 0,0 :. HA = 0,0
}; FIIÍ = 0,0 :. VA + VB = 0,0
}; MB = 0,0 :. ~ VA (4,0) = 0,0
Vy -VB = 1,5 t
~
6.
0tmt x ~ I
j;:::==1'5t~r5t
N = 0,0
Q = 1,5 t
{
X = 0,0 m M = -6 tm
M = -6,0 + 1,5x x = 4,0 m M = 0,0
Q(t)
_1,5
'~6,0
M(tm)
d.
A
6,Olm
r">. B
3,Om
Cálculo das reações de apoio
y ®
x
6,Otm
H
A
A ,....., B
-!=k==========~3,O~t===:'jL.
}; F,ri = 0,0 ..
}; FIIÍ = 0,0 ,.
I MA = 0,0 ..
HA - 3,0 = 0,0 .. HA = 3,0 t
VA + VB = 0,0
VB (4,0) + 6,0 = 0,0
VB = -1,5 t VA = +1,5 t
3,01 H
11,51
~
x'
6,Olm H'1' B
3,01 11,51
--x--'
800
Trecho AC: 0,0 :s;:x :s;:3,0 m
Q = 1,5 t
M = 1,5 x {
X = 0,0 m M = 0,0
x = 3,0 m M = 4,5 t-rn (secção C à
esquerda)
N = -3,0 t
Trecho CB (partindo do apoio B): 0,0 :s;:x' :s;:1,0 m
Q = 1,5 t
N = 0,0
M = -1,5 x' {
X' = 0,0 m M = 0,0
x' = 1,0 m M = -1,5 t-rn (secção
C à esquerda)
Observação
Podemos determinar os esforços partindo do apoio A
3,0:s;: x:S;:4,0 m
N = -3,0 + 3,0 = 0,0
Q = 1,5 t
M = 4,5 - 6,0 + 1,5 (x - 3) = -1,5 + 1,5 (x - 3)
{
X = 3,0 m M = -1,5 t-rn (secção C à direita)
x = 4,0 m M = 0,0
Q(t) U 111111111111111 ij 11 [J]] 11] 1111 OJ 11,5
C
A~,5M(tm) ~B
4,5
e.
~4.~'(Ot/m
:t~
6,0m
Cálculo das reações de apoio
y +
+
x
3)
1. Fri = 0,0 .. HA = 0,0
1.Flri = 0,0:. VA + VB _ 4,0(6,0)
2
I MA = 0,0 :. VB (6,0) _ (4,0~6,0)
{
VA = 8,0 t
VB = 4,0 t
= 0,0
2- (6,0) = 0,0
3
~
" 4,0 tlm
0,0 A
4,Otl~:Ot
~ = 0,0
q,x :. q,x = ~ . X = 2x
X 6 3
Q = 4 O - ~ = 4 O - 2x . ~ = 4,0 -~
, 2 ' 3 2 3
_1 = 4,0 X - ~ • ~ = 4x _ ~ . X
2 3. 3 2,
X
3
x3=4x --
9
x2para Q = 0,0 :. 4 - - = 0,0
3
_1M (3,46)2
:.X = vI2 = 3,46m:. Mmáx.=4· 3,46 - --9-
= 9,25 tm
)
4'0~
- 8,0
3,46 m 3,46 m
I I I , 9,25
. M(tm~
_. Determinar os diagramas de esforços solici tantes para
c r t 2,0 tlm
~- =====;~
2,5 m f 4.0 m ,~ .
Cálculo das reações de apoio
1 Fri = 0,0 :. HA + 3,0 = 0,0 :. HA = -3,0 t
~ FJIi = 0,0 :. VA + VB - 2,0 - 2,0 (4,0) ~ 0,0
~ IA = 0,0 :. 3,0'(0,0) + 2,0'(2,5) + VB·(4,0) -
- (2,0) '(4,0) . (2,0) = 0,0
VB = 2,75 t
VA = 7,25 t
3,Ot
+--- x ~~x~'--~
Trecho CA: 0,0 :o;; X :o;; 2,5 m
N = -3,Ot
Q = -2,0 t
M = -2x { X = 0,0 m M = 0,0
X = 2,5 m M = -5 trn
Trecho AB (é mais interessante começar pelo apoio B)
0,0 :o;; X I :o;; 4,0 m -
N = 0,0
{
Xi = 0,0 m Q = -2,75 t
Q = -2,75 + 2 X' x' = 4,0 m Q = 5,25 t
M = 2,75 x ' - 2 (X')2 = 2,75 x ' _ (X')2
2
Poderíamos também determinar os esforços solicitan-
tes partindo da extremidade C, e então teríamos: 2,50 :o;; x
:o;; 7,50 m
N = -3,0 + 3,0 = 0,0
Q = -2,0 + 7,25 - 2,0·(x - 2,5) = 5,25 - 2,O'(x - 2,5)
para x = 2,5 m Q = 5,25 t (secção à direita)
M = - 2x + 7,25 (x - 2,5) ~ 2 (x - 2,5)2
• 2
o momento máximo ocorre onde a força cortante se
anula.
N(t)1IElIJ1...3_,0__ --=Z:.:E.:...:.RO::::.-_ B
C A
Q(t)
2,0~LLJL..J - 2,75
4. Determinar os diagramas de esforços solicitantes
a viga:
2,01 ®i:ffi
I 1,Otlm 11'01 ~. AOIIIIIIIIJe @ xC ~l t---i. 4,01
V. Iv.
J 3,0 m 5,0 m , 2,0 m ,
Cálculo das reações de apoio
1,01
12'0 I
4,0 I
Dc
~ 3,0 m 5,0 m I 2,0 m I
I FXi = 0,0 ..
IFyi=O,O ..
HA + 4,0 = 0,0 .. HA = -4,0 t
VA + VB - 2,0 - 1,0 - (1,0)(5;0) = 0,0
IMA = 0,0:. (2,0)(3,0) + VB (5,0) + (4,0)(0,0)
-(1,0)(7,0) -(1,0)(5,0). (5;0) = 0,0
VB=2,7t
VA = 5,3 t
1,0 I2,0 I
4,0 I
e D
2,7 I
r 2,Om f
c
4,0 I
5,3 I
~--<'-
5,0 m
x'~'x
Trecho CA: 0,0 .:; x .:; 3,0 m
N = 0,0
Q = -2,0 t
{
X = 0,0 m M = 0,0
M = -2,0 x x = 3,0 m M = -6,0 tm
Trecho AB: 3,0 .:; x.:; 8,0
N = +4,0 t
Q = -2,0 + 5,3-(x-3,0) { x = 3,0 m
x = 8,0 m
Q = 3,3 t
Q = -1,7 t
(x - 3)
M = - 2,0 (x-3) + 5,3 (x-3) - 1;0 (x-3) -- - 6,0
2
{
X = 3,0 m M = -6t m
x = 8,0 m M = -2t m
Trecho BD: 0,0 .:; x ' .:; 2,Om
N = 4,0 t
Q = 1,Ot,
M = -1,0 x ' {
X' = 0,0 m
x ' = 2,0 m
M = 0,0
M = -2,0 tm
802
Outra maneira de conduzir o problema seria através dos
esquemas:
A B
Separando os trechos
1
2,0 I ~
u"~t:o
~-l
1---+ 2,01
x,
X2
~
• 2,0 trn 11'0 I~({
jl~
1,0 I
N = 0,0
Q = -2,0 t
M = -2,0 x, { x, = 0,0 m M = 0,0x, = 3,0 m M = -6,0 tm
N 7' +4,0 t
Q = +1,0 t
M = -1,0 Xz
. { Xz = 0,0 m M = 0,0X2= 2,0 m M = -2,0 tm
4,0\ 1 1
3,3\ 1,7\
I 5,0 m I
1-----••x,
N = +4,D t
Q=3,3-1,Ox3 {
X3= 0,0 m
X3= 5,0 m
QAdir = 3,3 t
QBeSQ= -1,70 t
M = - 6,0 + 3,3 X3'- 1,0 . X3 . (~3)
para: Q = 0,0 0,0 = 3,3 - 1,0 X3 :. X3== 3,l m
= _ 6 0+ 3 3 (3 3) _ 1,0 (3,3)2 ==
Mmáx. , " 2
- 0,55 tm
Verificação do equilíbrio nos pontos A e B
dos
m
3,3t 1,7t 1,0t
IDj s.o m. ,,"ol,"m
A *\ -4,Ot B"T' 4,Ot
r
2,Otm 12,7t
5,3t
1,0
Q(t) C .---.,....,..-.-+-I •....•...••.. J....I.....J"";;;;...,,.,....,....,....,....,-:::-L-...•... ...I....,j
2,0
M(tm)
N(t)
::, Determinar os diagramas de esforços solicitantes para
dada:
1,0t
tm1
2
,Ot
8,0~ ~\ XOtí ~\2,Otm
I •• 5,Ot
E
~I
C
~ D 1t
l1,0 m ~~ 4-'-,0_m ~~_2'-,0_m__ ~ 2,Om 1
A = Articulação B = Apoio simples
Cálculo das reações de vínculo
3,0 t
l4,0t 112,0t ""'\ 1~8,Otm) ~2,Otm, ' ~ t
~Çl ~~rr=========================================~I~Ot=; 1v.
~~1-'-,0_m~t- ----'4,_0~m ~t-----'2,_0_m__ ~~ 2,0m J ~ ..
I Fxi = 0,0 " HA - 1,0 + 5,0 =
= 0,0 " HA = -4,0 t
I FYi = 0,0 .. VA + VB - 4,0 - 12,0 - 3,0 =
= 0,0 " VA + VB =)9,\0 t
I MA = 0,0 .. 4,Q, 1,0 + 8,Q - p,O ' 4,0 +
+ VB ' 6,0 ...:3,0 ' 8,0 - 2,0 ='0,0
" -62,0 + VB ' 6,0 = 0,0
.. VB = 10,33 t
VA ;", 19,0 - 10,33 = 8,67 t /
803
Trecho C-AeSQUerda:0,0 "" x, "" 1,0 m
N = 1,0 t
Q = -4,0 t
M = -4,0 x,
Na secção A à esquerda: (x, := 1,0 m)
N = +1,0 t
Q = -'4,0 t
M = -4,0 tm
Na secção A à direita: (x, := 1,0 m)
N = + 1,0 + 4,0 = 5,0 t
Q = -4,0 + 8,67 = 4,67 t
M = -4,0 tm
Trecho Adlrelta - DeSQUerda:0,0 "" X2 ::;; 4,0 m
Q = +4,67 t
N = +5,0 t
M = -4,0 + 4,67 X2
Na secção D à esquerda: X2 = 4,0 m .. M = 14,67 tm
Na secção D à direita: Q = +4,67 - 12,0 = -7,33 t
N = +5,0 t
M = 14,67 - 8,0 = 6,67 tm
Trecho Ddlrelta - BeSQUerda:0,0 "" X3 "" 2,0 m
Q = -7,33 t
N = +5,0 t
M = 6,67 - 7,33 X3
Na secção BeSQUerda:X3 = 2,0 m :. M = -8,0 tm
Trecho Bdlrelta - E: 0,0 "" X4 "" 2,0 m
N = +5,0 t
Q = +3,Ot
M = -2,0 - 3,0 X4
Secção Bdlrelta X4 = 2,0 m .. M = -8,0 tm
Secção BesQuerda {M = -8,0 tm ",
N = +5,0 t .
Q = +3,0 - 10,33 = -7,33 t
Confirmando os resultados:
Trecho BeSQUerda- Ddlrelta: 0,0 "" X5 "" 2,0 m
N = +5,0 t
Q = -7,33 t
M = -8,0 + 7,33 X5
Na secção Ddlrelta: X5 = 2,0 m .. M:= 6,67 tm
Na secção DeSQUerda:
N = +5,0 t
Q = -7,33 + 12,0 = 4,67 t
M :d 6,67 + 8,0 = 14,67 tm
804
c li
A
li
B
N(I)
5,0
1'0~~~~~~LL~~~LLLL~~~~LL~~~
4,0
Q(I)
8,0
6. Determinar os diagramas de esforços solicitantes para
a viga dada.
1,0 t/rn 13,0 I 1,0 t/rn
4,0 I mn t nTTl
- i;i/.: =====·~L)r.=B;===;;;C====A:~D ======2E
J 2,0 m J 2,0 m ,I 4,0 m J 2,0 m-t
Ao invés de começar pela determinação das reações de
vínculo neste caso, faremos pelo equilíbrio dos trechos:
Trecho A-BesQUerda
1,0 t/rn
4~ r:::=====:::::j
A 2,0 m
Qaesq.
I Fxi = 0,0 .. 4,0 + NB = 0,0 .. NB = -4,0 t
I FYi = 0,0 .. - (1,0)·(2,0) - QBeSQ=
= 0,0 .. QBeSQ= -2,0 t
(2,0)I MB = 0,0:. (1,0) ·(2,0) -- + MB = 0,0:. MB
2
= -2,Otm
1,01/m
~ 2,01m
4~ t * * * t \ ~O I
AI--- B1 J
x,
2,01
E
3,0
2,0
5,0
"0ir ~tm
~
I FIIi = 0,0:. <bJdir - 3,0 - ~ = 0,0
I MB = 0,0 :. -QDesQ (6,0) - (3,0)(2,0) + (2,0) -
- (2,0) = 0,0
QDesQ = -1,0 t
QBdir - 3,0 - (-1,0) =
= 0,0 :. <bJdir = +2,0 t
M = -2,0 + 2,0 X3 {
X3 = 0,0 :. M = -2,0 tm
X3 = 2,0 m :. M = 2,0 tm
E
3,0
:\' = -4,0 t
Q = -1,0 x,
2,01;r to I ~o tm
2,0 m 4,0 m
-, '-0.0
0,0 18 C Db.Ot
2.0 t ---:--t__ X.
x3
M = - (1,O)(xl)(~l) = - ~~
Trecho Ddireita - E
2,0 rlTTn
:0 1I 2,0 m E1Do". __~_
X2
N = 0,0
Trecho BC
Q = +2,0 t
QOrdir. Trecho CD
para I Fxi = 0,0 :. ND = 0,0
I FYi = 0,0 :. QDdir - (1,0)(2,0) =
= 0,0 :. QDdir = 2,0 t
N = 0,0
Q = -1,0 t
IMD = 0,0 :. - MD - (l,0) . (2,0) ( 2~0) = 0,0
{
X4 = 0,0 .': M = -2,0 tm
M = -2,0 + 1,0 x, X4 = 4,0 m :. M = 2,0 tm
Equilíbrio dos pontos B e D
MD = -2,0 tm
4Jj8~~O
2,Ot ,_
I N. = 4,0 I
V.= 4,0 I
'S de '7nTT1
I E
rOI
'''m(l?y"m 0,0 2,0 t(1)'0 I 2)'0~,O tm
-1oJ_
0,0 ~ 0,0
Lo=3,01N = 0,0
Q = 1,0 X2
M = - (l,OX2).2 = - 1,Oxª
2 2
Q(I) r I I I 'f Ib<:t i X i
Trecho Bdiretta - DeSQUerda
N(t) 0!JJ4,0
2,01m !3,0 t
~tmr 2,Om 4,Om 0,0-, '---..0,0 r c DI
QBesq,
QDesq.
M(t.m) ,« I I-I [ \ 6 I I I I I'>.
(i "
7. Determinar os diagramas de esforços solicitantes para
a estrutura:
1,01
F
1,0 m
A B
E
3,Om
2,01
2,01
D
3,Om 2,0 m
N(I)
1 ,O L-L--L-.l':=L-L-l-li
2,0
0(1)
2,0 L.......I.---'---'--'--'----r'--1----~
3,0
M(lm)
8. Determinar os diagramas de esforços solici tantes para
a estrutura:
D c
4,0 m
O
~/N1>o
5,0
O B
5,01
806
Trecho AC
N = 5,0 sen a
Q = 5,0 cos a
M = 5,0 (R sen a) 15,0 sen a
Trecho CD
N = 0,0 t
Q = 5,0 t
M = -5,0 tm
Diagramas:
0(1)
M(lm)
20,0
N(I) ZERO
A"
1
5,0
5,0
9. Determinar os diagramas de esforços solicitantes para
a estrutura:
2,Otm
~
E
2,Om 2.0 m
para
Cálculo das reações de vínculo
4'O_t_~,======;======~=,o=t=m========:i ~
Iv. Iv.
x
2 Fxi = 0,0 .. 4,0 + HB = 0,0 HB = -4,0 t
2FYi=0,0 .. VA+VB=O,O
2 MB = 0,0 .. -4,0 (1,0) - 2,0 - V A (4,0) = 0,0
.. VA = -1,5 t
V B = 1,5 t
4,Ot
2,Ot.m
~A
!VA=1,5t
E
Forças cortantes
Trecho CD
Qc = 4,0 t
Trecho DA
Q = 0,0
Trecho AB
OAB = -1,5 t
c
o ZERO A
Forças normais
Trecho CD: N = 0,0
Trecho DA: N = -4,0 t
Trecho AB: N = -4,0 t
Momentos fletores
Trecho CD: M = 4 x,
Para x, = 1,0 m :. MD = 4,0 m
Trecho DA: M = 4,0 tm
o ~------~------~
o momento de 4,0 tm funciona como um momento ex-
terno aplicado em A, resultando:
Trecho AB
MA = 4,0 tm
entre A e B:
M = 4,0 - 1,5 X2 entre A e E
B
A
em E à esquerda: MEesQ = 4,0 - 1,5 . 2,0 = 1,0 tm
em E à direita: MEdir = 1,0 + 2,0 = +3,0 tm
secção B: MB = 0,0
1,5t verificação: entre E e B
M :: 4,0 - 1,5 X2 + 2,0 =}
- 6,0 - 1,5 X2 MB = 6,0 - 1,5 . 4 = 0,0
para X2 = 4,0 m
M(tm) c
B
3,0
~ 10. Determinar os diagramas de esforços solicitantes
__ '--L-J'------''------'----'----'-----L----L----L----'-----'-----'-----'------'------'-----'------'------'------'------' ..; viga:
12.0 t
D
sen 37° = 0,6
cos 37° = 0,8
Trecho CD
1./ .
D /1~2t-.>
x, I
I,
I-
L.
x
N = -1,2 t (compressão)
Q = 1,6 t
{
Xl = 0,0:. M = 0,0
M = -1,6 x, x, = 1,25 m :. M = -2,0 tm
ou então podemos fazer:
{
X = 0,0 :. M = 0,0
X = 1,0 m :. M = -2,0 tmM = -2,0 X
Trecho CB
1.0 tlm
-
~
B
N = -2,0 t (compressão)
{
X2 = 0,0 :. Q = 0,0
X2 = 1,0m :. Q = 1,0tQ = I,Ox2
808
X2 x~
M = - 2,0 - 1,0+= - 2,0 - -2-
{
X2 = 0,0 :. M = - 2,0 trn
X2 = 1,0 m :. M = - 2,5 tm
Trecho EB
1
1.2t
1.6 t •• E
B ----l
x,
N = 1,6 t (tração)
Q = 1,2 t
M = -1,2 Xa {
Xa = 0,0 :. M = 0,0
Xa = 1,0 m :. M = -1,2 tm
Trecho AB
j3.2 t~ ~7tm§JI....-- __ +--I ••
â F.. IB 2.6t
A ~
entre B e F
N = 2,6 t
Q = 3,2 t '
M = -3,7 - 3,2 X4 { X4 = 0,0 ..
X4 = 1,0m
M = -3,7 tm
:. M = -6,9 tm
MF à direita = -6,9 tm
MF à esquerda = -6,9 + 5,0 = -1,9 tm
entre F e A
~A
3.2 t I
.~tm-..•••• EI 2.6 t
x,
N = 2,6 t
Q = 3,2 t
M = -1,9 - s.a x, {
Diagramas:
Xs = 0,0 .. M = -1,9 tm
x, = 1,0 m :. M = -5,1 tm
D
2.6::.u.J.J-LJL....t:LLLl..LL~t-7...J..JJ..J.:J.~
A
tm
2,6 I
tm
I tm
1,0
5,1
11. Determinar os diagramas de esforços solicitantes
a estrutura da figura:
5,01m
B
E
F q
1,0 m J.
3~
2,0 m 1,Om ~~
Trecho CD
2,0 I~ \
\
1,61 \
0'/
~
'J{<' 1,21~,?
x,
37°
--- -----c
= -1,2 t
Q = 1,6 t
M = -1,6 x, {Xl = 0,0 :. M = 0,0x, = 1,25 m :. M = -2,0 tm
Trecho CB
1,01/m
N = -2,0 t
M = - 2,0 - 1,0 x~ = - 2,0 - 0,5 xª ••
2
{
Xz = 0,0 :. M = -2,0 tm
X2 = 1,0 m :. M = -2,0 - 0,5 = -2,5 tm
Q 1 ° {X2 = 0,0 :. Q = 0,0= , X2 X2 = 1,0 m :. Q = 1,0 t
Trecho HE
E
~
~O
... a\..-""'"
'" ~
" - ~ 3, O sen '"
, '"
\
3,0 cos '"
N = -3,0 sen a
Q = 3,0 cos a
M = -3,0 R sen a = -1,5 sen a
•
Trecho EB
B
X,
IE.. 3,0 I••
-::»
1,51m
N = 3,0 t
Q = 0,0
M = 1,5 tm
Trecho BA
~ ~
5,01m
12'01
1,0
~A
r=>; ..
B 3,0
j 1,Om L 1,Om l,
I Fxi = 0,0 :. 6 + 6 - HB = 0,0 .. HB = 12,0 t
IFyi=O,O:. VA+VB-10,0=0,0
I M(B) = 0,0 :. VA • 10,0 - 6,0 . 3,0 - 10,0 . 5,0.+ 6,0
. 3,0 = 0,0
VA • 10,0 - 18,0 - 50,0 + 18,0 = 0,0 :. VA = 5,Ot
VB = 10,0 - 5,0 = 5,0 t :. VB = 5,0 t
Trecho IA
N= 3,0 t
Q = 2,0 t
M = 2,0 - 2,0 x, {
x, = 0,0 .. M = 2,0 tm
x, = 2,0 m :. M = 0,0 tm
~~~6~,O~m~_{~ __6~,O_m__ ~
Trecho BI
o
"o
3
N = 3,0 t
Q = 2,0 t
M = -1,0 - 2,OX4 {
X4 = 0,0 ., M = -1,0 tm
X4 = 1,Om :. M = -3,Otm
Diagramas:
D
a. Cálculo das reações de vínculo:
0(1)
~t
Xl
li
L.
CD = v'(10)2 + (6)2 = VI36== 11,66 t
cos a = 10,0 = 0,857
11,65
sen a = ~ = 0,514
11,65 .
3,0
- F
G
b. Determinação dos· esforços solicitantes:
12. Determinar os diagramas de esforços solicitantes
para a estrutura da figura:
A
E-
12,01-
15,0 I
810
Trecho AC
c
1~~
1,0' x .'>-15,01
2y,
f5'O 1
_- = -5,0 t
Q = -1,0 YI = -YI { YI = 0,0 .. Q = 0,0
YI = 6,0 m :. Q = -6,0 t
{
Yl = 0,0 .. M = 0,0
YI = 6,Om :. M = -18,Otm
Trecho CD
18,0
í1.20\>9~
~
\""'''\\
1~'Olm7' 1~'l. 1,201
I '1-' '-.:.,
x,
/ x"-2
7,72 1 \ 1,201
,,",,0=2,571
.-=-7,74t
= 1,20 - XI {
Xl = 0,0 :. Q = 1,20 t
XI = 11,66 m :. Q = -10,46 t
= - 18 0+ 12OX _ (Xl)2
, , I 2
1 = 0,0 .. M = - 18,0 tm
1=11,66m .. M=-72,Otm
Q = 0,0 . . 1,20 - XI = 0,0 . . Xl = 1,20'm
~Imáx = - 18,0 + 1,20 . 1,20 _ (1,20)2
2
= - 17,28 tm
ho BD
eçando pelo apoio B
- = -5,0 t
= 12,0 t
= -12 Y2 {
X2 = 0,0 .. M = 0,0
X2 = 6,0 m :. M = -72,0 tm
y,
72,Otm
~
~\.0
,\f:).
~
\. D.12,OI"
'2,'" ~~
~ a /~,171
4,29
5,01
12,01
••
10,46 7,72
5,0
13. Determinar os diagramas de esforços solicitantes
para a estrutura da figura:
!2'O 1
D
1,0 t
A B
j~_-=2:.!.:,o:..::m,,--_:--_--=2-'-",o_m__ ,f-l
Cálculo das reações de apoio
- como a barra AB é biarticulada e não há carrega-
mento externo aplicado ao longo de seu comprimento, a rea-
ção RA tem a direção da barra.