análisis matricial de estructuras

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H0namsd mGndiHail tu
jara
Nota adhesiva
TÓPICOS DE ANÁLISIS MATRICIAL
,t¡ó¿s3 Mohicio? dé ¡s'¡¿h¡¡os
INTRODUCCIÓN
Método de Rigidez
Mé¡odo de Ri8i¿ez DiEclo
Méiodo de Compaübilidad
BIBLIOGRAFiA
1:l
?2
'118
'ii!,
INDICE
I
1
;1
INTNODUCCION
La ulil¡dad de las ¡natrlces en ¿l análisis de egtncrims se basa en qrle
las mdt.ices p¡oporcionan tr¡ medio matemático mry cómodo p¡ra exp¡essr
la reorfa.:-.
La soluciún q\re €xpresa Ia teoría püede obte@rse más fác¡lmente
nedidte üba secrencia d¿ operaciones mal¡iciales, pit¡ ias que es
lotalrÉnle idón¿o una computado¡a- La fácilidad del estudio de la teoría de
est¡uchu¡r, se8úD uD c@cepto mát.ictál, hace d¿ el alSo müy ¡nporlanre p¡ra
el inSeniem de esr¡uctüi.s! asf mismo éste néto¡io m¡ficial re¡ ce 1os
detalle de las operaclones ¡umóncas ¡úD prc.eso sislenático del n¡nejo de
Las m¡yo¡es dilicultadés que pEse¡la¡ los eltudiantes ie e¡€ucDtrd
e el estudió de la Resistencia de Matenáles sur8en a reslle¡ los probleúas.
Enesiú coDdiciones lesulla cDNeniente disponerde u texto red¡cirlo q¡re
.o¡le¡r8a el balerial ft¡ndame¡tal de la asisnalura.
Esra obra tiene como obietilD aF¡Iar ¡ los edudianl¿s dc esta
¡si8¡rdhu" en IA ¡esolu.ió¡ de los p¡obl€nas qu¿ se presentrn. Esto lp
pe.mitiiá asimila¡ nejor l¡s Uses teóri.¡s comprende¡ el método de
resoluc¡ó¡r de los p¡lblenas del üpo dado )' a¡lqujri¡ c./uoriDú-"¡rcs
suficlentes pdaresolver con.iente e iDdependienleBenie ios problemas que
sepmpoDen.
De otro lado la aúsencia de texto en lascondiclon.s delos probl¿h¡s
pernileD ¡\mentd considerabl€menle el nú¡ero de esqDemas d€ ril¿trlo y
a¡alia un ¡umem s'firieole dp divÉrso. cntdos sin rroem"nid' el
vohrmen ilel lib¡ó.
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ASPECTOS GENEBALES
BásiGm¿¡to los método! ¡rat¡icial$ coúisted 6n Emplezar lá eslrüctm
coDtüru real po¡ u modelo újtemático dé €toMtos 6structu.¿lB, cuyú
propiéilades puedm e¡prcsaBe en fo¡lEa r¡atdcial.
El pu$o de ánátisis se p$odé cGidsrar cmo €l estudio de o.tatro erarEs.
1. Accló¡ soh6la 6st¡uctüra.
2. Acció¡ sobr€ elsr¡e¡tos.
3. Ropuedo de los etener¡tos.
4. Repuesto de laEslrurtura.
Por aLcjoD s€ prEde ente¡d€r nna h'er¿¿ o ü¡ DesplazanieDlo lhpúBros sobre la
estruch¡n. a su vez¡ ésla Esponde cor Desplazan¡te¡tos ó tueras
L¡ Elació¡ o,$terIe cDtE ¡cctóD y resp¡esta s puede Epr€!€nla /
mátrlci¡lmente ¿D le Iom¡:
¡, -lcl'lpl 
->@p = lK l'l l.l- -----+ O
. i_il
C 
-- 
t Marriz de h ndibüdad de la esinrctura
K -- '-+ l,lauiz deRigidezde le ostruct n
¡r 
- 
t Mabiz de Despl@oieÁlo
P _-' Mabiz de carSes enerna¡
L¡ec{.ctón(a)co¡F.po e a la modalidad del héro¡to de ls tuezd
Ls ecuación (b) sirve de ba€e al raéiodo de lo! d6plaz¡irúolrús.
La Mat¡j, de Ftexlbiüdad e3 muy útil s¡ el astu¿io d€ la 
'sspue3la 
dhÁnica de ta
estNctuB, dc áil s impore¡c¡¡. Despeia¡do el vFcto! de tuerzas lpl en la
ecu.ció¡ fa l. eeoblféN:
lpl=lc["]¡.1
Y si se compdu esla ecuación con la ecrEcióD {bj es evtde¡ie qr¡s:
,,¡; lcf= lKl yporrora o lKl'=lcl
Atókris Manickl ú Esb¿ch¡tus
veruo de t¿ Matriz de fldibllidád y a¡eve.sá:
P,l
P,I
Tl
J
O sea
hl
ll
l"l
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kt
i"l
Süponiñdo qm se obliga á la EsurEtür¡ adquirir una pos¡c¡ón .lefomada ral
qüe l11=1 mienr¡as' qDe ¡2 = ¡3. ,,-."'1.¡ á 0, Res lla
A =Kl
Pz =(¡¡
P'=K.
O sea que I P.iine¡a colDrnrE ropresenta Ias fue.za! nec€sadas para Droduc b nr¡\
denexióo u¡irül¡ en el nudo r , sir qne se ñueva¡ los !'tos nr,tos. Sidilddnénl€
l¡ columa 2 Bp¡esenta i¡s nrerz¡s decesar¡as p@ q@ et orJo z ttu,ga ura
dcflenór unitdia y todos los demás pemanezcsn sn su rt¡ol dqt
K¡ (r¿
Kzt Kzz
*' t1
r", r",
Matrtz de RiCidez de elemebto vigs . Cotulfu fzDj de eje Rc¿to de Seocióü
Co¡srdnr€Refúid6 á tGDLJ orien16dos resu¡ ejes locates.
-,=,ua:
&=-T
DE RIGIDEZ
Eiem¡¡Ios
lO g11lt"-* t" t"r¡iz de Risidez del elen@to nosrrado s6ein ejes
1etu. Colutud ¿Ie Ia MotialLBisi¿le
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K¿r= o
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AñI.¡s t¡ot'iidl ¿. Éd .luns
2e-eú¿D\s eJlMtu¡Ldt-Eaidrz
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6E¡-r
eF¡ljdr dc l¡ Ror.ciótr lllj
R-!4
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E (bü@ión Pnciica
Se aplica tlü desplaamidto únitar¡o e¡ el sanlido del 2do GI'L
por ejer¡rplo) enel orlrsmo fAl, se preduce um reacción =1?!!
eD el mi6mOs¿nt¡do. ts
se gráfica s deforn¡do.
" se ad¡c¡ e¡ c¡m d?bido al Désplaartrie¡ro (eD Ere casoj. 8q! an
el 56¡lido ds D$prarmicdro (sier¡r!l
. E¡ el enmo lB) * pmdne ue Leacción - 'jp * '"¡ri,r."-',,nu .l C,\trcmolAl y uo Guo - -9+ (su se¡rlí.lo 6rd €n ñroLióú ,l*l
.dl¡ilo rle l¡ F...ión cn Rl r
3tñ- CoI'r¿¿@ .le lo Mdt¡t' dE 4l'tdé.
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ítur- Cútúna ¡Ie lo Mdri da 
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6b- Cóhtr&a de lo Mor'iz tu At'íd6t
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' Enlo¡c-"s L¡ Man.iz dei Elenento scrá:
(CoDsnle.¡¡do D.t¡úr¡.nr¡es Ali¡lee ¡rlexióD, c.ltantel
Scgir¡ Orie¡lacj(il Mostmda:
@
si ¡nnld¡¡os lr4 cr¡dús {l-" Liberlail (2,3,5,61 o sea Las CútL,onas y F¡las
12,3,5.61 (!e¡ €Fs loc¿le, se tenibá üna Mariz de Rigidez pa¡a
llr1.r!.tqr¡-s$!ne1i.l_ár solo i, E!:lorllleio¡ls¡¡ia¡!é {a ünartn¡arl
l .r r.:c. ¡ .¿A/¿ I !41 I _r I
I l:^/' LA/¿ | rlt tl
Sj ¡nnl¡m.s l¡,s cr¡.los d¿ Libefad I1.2,4,b1 o sea Las Col¡mnas l Fit¡s'4.,' lf' Frp\ r.,,lñr 'p lF1.l ' 'nb M¡rfiz de Riqj¡te-¿-!qr,,4s.bqtruaasóm€tj ds solo a ¡leriórl
I :Erl,
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aü/¿ rEr/,
.Er/t AEv¿ ;l
EDsmbl& la Malriz de Rigidez de eleúentos üBa - Colrm¡a (2Dl de er{
Recto de SeEció; cDnsianre Refe¡ida a (GDL) seSi,o ejes locáles móstra,lo
Ignorá¡doDefotuciones Af, iales.
+- l_--.--'..
1rc. Columno.le lo Matriz de Bigidez
K,,: !+
Krt ='l+
v .t lEi^., 1
K,',:L+
,- 6}]I
2do. CoIütuo de 1o Matriz de B¡eidez
lS¿.nló.¿ seg)ir' 
')*¡lirli dal ¡estlazririsrn,
ó sa4ún D¡lorj¿. jdr I
iqr!
stu. Col un'a: se AnliesrzlcirlzlJLüa!íajn BltCDB
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llB-Calünno: lse Aplica xr Gitu Uritoia eñ eI GDU]
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I.f¿:riz de RiBi¿ez
del oldhé¡r. útu¡derndó
¿drlrnl¿ t ñonulló
llEt i 1:fl I 6EJ i 6E¡ l_iF l-F vivl'i
12Er i rlet I -6El i -6El ll
rj : ¿3 | !2 : t2 l-l
6Eli6E¡l4E1i2¡rll
Aróli'i| üauaot ¿e E4nr\nt
Ensamblü ta Mabiz de RiCidez de elementos viSa Cohrmna {2Dj de ej
Recro de Secció¡ Coútanle Referida a (GDL) segiuejes locales morr¡d.
ISno¡ddoDeformácio¡es Axiales.
AplicaDdo el procedimiento aDte¡ior la M¿üiz lendrá 1a si$,ieDte lordra:
t.,.\
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',
,12E1 i ,6Et
6n I zEt r¡i)
@ Ensanblu la Matriz de Risidez del elenentos se8Írn{cDLlnosra¿os
An(llistt Maúciol d? Esúurúú
Aplicando el p¡ocedimiento aoterior,la Mat¡iz tendrá la fDrma siSnients:
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Y si reemplazamos tC,=1, Cr=01Enla Mabiz de Rigidez GeneEl(1-s1
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(GDL) aiertod* ses¡lh Ejes Lacoles)
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si Ca=o, Cy=l
Sireemplazamos esios valo¡es €n la Mahiz Getre¡al {1'5J se tendrá
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@ Sc delin. ks srdttos de lib¿rtod cle lo Esttuctütu
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lo Mút¡iz ¿e BEiclez tlsl elemento
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GDL: 3,4 -.. 
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(Cono viea simpl€me4t6 apoyadaj
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A¡ákéiÉ Mñticidl da Estuetuoi
OF..¿ñbtat to Müriz de nlcpa de lbdo la E tructutd
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CDL de lo estru.tura
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@Cotcütó de Desptozoñíento de lo EsL\ctura
@Calcúa de Mone'tos,1' Co'tont:es en co¿lo elemento
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Itotñ¿a M6hdi Eodj M.-
(ry=:-I:."
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2i3141
Explicactónr (PorEjenpto)
r 1,1. 13 {Consnlprando los cDL quF co espo¡der^"- a-¡ 1, a la est¡uctural
Krz=4 +4 = I
K¡¡= +
€) Ensanlblanos to Mor¡iz Total de lo Es'júctúro:
tultisir Moddal dé Estúctutos
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TTTTTTTTTTTM
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Ku¿ Kzs
@Matriz de rüe¡zas de las Eleñeatas
@Ensanbto, la Matdz ¿e tueno de 10 Lstnch¡¡a:
/'-L4Dfl"t4.¡E
l-q*nllslT¡
"= -l,o."l=l n ll,l' j ''-o' I'url¡J
@CoIcDto de DesplaÍoñiento ¿¡e la Esttuctüto
1-e
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l" in
i i;-i--;-i
^=i=e
lil, il' rnr re'--.-,..,.
s-Kr''rPr.l1 I ll 'l,l lÉ,iBz-l, - |
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@ca*to a, n' vi-"nto" y ¡n"o,
fA¡ = | P¡! l+ I KA¡ l.l F,4¡ I
Codantes en ca.lo etenento
27
47
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3,r,1
3
.l | ¡ ,*¡'6-'-
:l'l : I :,i2:.i'.'il'"^'""
i jl.l,;
-70.20
12.90
-8,55
-9,45
fBc = lPrc J+lKBc l.l F¡cl
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CoDstNi¡ el DM.n EC, EA pa¡a la EstNctu.a Most¡¡da (Pó¡lico a dos
E=2,70'"thr2
ViSas : (0.20x0.20)
Collm¡as: (0,25x0 251
r
r''s= 
;-= 0000lJh{
@ Se dsfine los GDL de la Estrüctün
@ l:-,'!:!:: ,: Motrl^z-.)e nil)de B"nptu det eteñphto tvpt t-s).uon ñeerencio o (CDLI seeún e¡u Clobotee
' Lasanbtoftas to Ma¡ri¿ de kl)dp¿.te los Elenentos:
Elcol = 6600
Ucol = 1250000
o. En1omblon$ lo MoItiz .le ígídaz dp) elemento U,B)
[D este oaeo o= s0
4 ...+1 tcDL Ésndurj
Reemplazam8 lo, valores €n la Mat.iz de Riside, cenemltl-sl
J co¡siddDdo +=0, se tend¡á la sig{lienle Mal¡iz:
MATRIZ GENERAI DEL ELEMENTO fA¡}
?úántlt Motlicial dR EhctumÉ
'-",= + =seDa=1 
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\ \7 Ive 
F.
I
I
I
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Ht, = ¿eoo
EAu¡ = 69966¡
6
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4
5
6
7 2 3 6
366.7 0 -1100 --366_7 0 -1100
0 20s333,3 0 0 -204333 3 0
-1100 0 440D 1100 0 22llt
-366,7 0 1100 366.7 0
0 -208333,3 0 20a333.3 0
-1100 o 2200 1100 0
b. Si¡..ilañüts Ensanbtomos ld Mdtriz d6 niidcz det EteñentolEDl
f"
'c k-"\o lu
2
E(h--' I
r¡ó¡rr, 
^robtiol 
d¿ ¡dn¡'b¡o¡
,=n@d=asn,o
c¡= 7 .0.94 cora
4.,
Cr=-t¿=03s=send
RcemDlaz"mos lo\ !alo,es en la Vauiz deRi8irlezCpnFtulLl_sr
! coüide¡a¡do o. o, qe tenúá la s:S ieDto Mar¡iz
MATRIZ GENERAL DEL ELNMENTO {BC]
1 2 4 5
4 5
82095.3 30747 -8?095,3
30?6? 200.1 30767 -11587.6 204.1
-r5 200.1 1217.2 75 -200.1
-32095.3 -30767 75 a2095.3 3A767 75
-30761 -1156r.6 200.1 30147 200.1
-75 2l}4.7 608.6 75 - 200.1 7277.2
Eñsonbldmos lo Mottiz de Rieide del el-"me.to (CD¡
MATRIZ GENERAI, DEL ET,EMENTO {ED)
;fl;
1;id
.1.4
K
0 I .s)
4 5 6366.7 0 -1100 -366,7 0 -1100
0 208333,3 0 0 -208333.3 0
-1100 0 4400 1100 0 22AO
-366.7 0 1100 366,7 0 1100
0 -208333.3 0 208333 3 0
-1100 0 22AO 1100 0 4400
a, =:jr.r
i
,= fi n a," = o.se *
",= + = 
"-.1a 
=0.e4 =coso
-Au-3!y= 7- = _=-0.3s=seno
5:."#f f $i ¿"ttli:ii: tili#iii""tf -*"n*,, "".''
MATRIZ OENSML DEL ILEMENTO (CD)
.l 6 I €
{
8¿095.3
-82095.3 30767 75
-30767 11587.6 200,\ -115a7.¿ 2001
75 200.1 1277_2 -75 - 200.1 60a.a
-82095.J 30767 82095,3 -34767
30767 -11587,6 -200,1 -30767 11587.6 -200. t
200,7 608.6 - 200.\ 1277.2
Ensanblanos la Marri, de la esrJtcirrn
Esplicacíón pracüca patu ensam¡Jat la Matriz de Rieitlez de
Ia EsttDctüm (t3
iH
Kr3 = Kr 36r) + Kr3€O + K¡3(crt + K13(ED
K¡3 = 1100+(75F(No extsto)+ (No exisre)
Kr3 = 1100-7s=1025
t¡1
Noto: La Matíz .le la Esb|ucntm se Ensañblo
los GDLEstnct¡tu
Q) MoE¡z de tuerzo tle las Elenentf
lp^"1= le"l = lp"ol= lh"l = o {No eyjsren Momenios de
Emopt¡amiento perfeclo
. en ios elementos)
@ Ensoñblot lo Moniz de Fuena de Ia es¡¡uctüro lPl
P Pn -I.FE
tP=P"l
P=
6
0
0
0
-10
0
0
0
0
6 I82462 3076t 1025
200,1
.ü10s5.3
30767 ¿15920.1
.J4767 .75
0
I
-3¡767 -11587.6 Z'D.1ll 0
1025 200.1rr 5617.2t -200.10 0 0 0
920953 -3A767
0 r50 .82095 7t.34767 11587t .200.1t 23175.20
0
0 34767 11537.6f Z00.7ct-75 200.10 608.60 150 .75 -200.10 603.6
0 -820S5.3 30767
:i;ti; 75 82462 -30767 10250 10767 100.10 -3016? 219920.0 200.1(
0 0 0 75 200.10 608.6 1025 -2u0.1¡\ 617.2t
F = lKl(gl,o) " lPl(,,,) =
@ Cat.ula de ruano en tas Elenentos
0
0
0
0,035713
-0,00002645
-G005697
o,00747
-0,00002156
-0,003244
' 0,021594
-0,03793
0.002235
-0.00002155
-0.003244
0,021594
-0,03793
0.002235
0,035713
-o.oDoii2645
-0.005697
o.a29
4,49
1,08
0.829
-4.49
-6.!6
1
2
3
4
5
6
26,75
6,829
-5,51
14.27A
-6.329 1
2
3
5
6
1
2
3
4
5
-6
!,40hm3d MeÁdi Eó¿i M.
@ Calcula de Desplozonien¡o de Ia Estrüctxm (n, ¡ad) 0,021594
-0.03793
o,002235
0,035713
-0,00002645
0.005697
6,815
-5.505
-9.39
-6,81s
5.504
-74.21A
14
25
3ti
58
1
2
3
4
5
6
71
22
44
55
Nl = 6.89rcr = 6.89.0,94 = 6,48
N2 = 4.513 
rcy 
= 4,513*0,35 r1.58
NBc *f¡i +N, = s.o6 Tn (conprenllón)
f¿u;dlul.lr^"1 "lu^"1 = l<o"l'lu*l
f¡¡ =lr^¡i'
f¡o = lr¡¡1.1r,¡¡l= lrml'
0
0
0
-0.00002155
-0.003244
10
2lt
30
47
52
10
2q
30
58
69
6-8S
4.513
6.06
-6,89
4.513
9.39
fco = lxcol '[,col = lrc¡l '
Podeinos aprcdd qre las Arerzas Co¡tant€s y Axiales de los
Elem€ntos {BC)y (CDl están en Ejes clobales, y hay qre llev¡rlos a
Ejes Locales.
r'll ,
o. DeEc4bJBC)
Aróllttt Moticial d? ntucútos
f¡c = irscl 'l¡scl = lr¡cl '
@ tueras cortanles:
Las hr¿rzas Co¡t!¡tes a€túan pe¡pendicular al E]ém€nto.
Na = 6.89rcx = 6,48
N3 = 4,513 
rcy 
= 1,58
Nc€ = lü-N5=-8.06 Tn (compe¡sión)
Nato: IAs nleaas Axioles octúan a lo loleo d¿t Eteñentó.
Q1 = 6.88*Cy = 6.89'o 35 = 2,{1
Q, = 4.s13'Cx =4.513'0.94= 4.24
Qa=6.89'Cy=2:1 -
Qs = 4.513'c, = 4.2a
QBc = Q, -Ql=_1.8s
QcB = Qa -Qr = -1 s3
Q1=6.315*C, = 2.g9
Q?=5,505*Cr=5,10
Q5 = s.sos'C: =s.18
Q{ = 6,8151Cy =2.39
QcD =Q1-Q, =-2.2e
QDc = Q5 -Q¡ = 2.2e
@ Se defrne tol cDL de ta Estrxctüo
' (Seguinos los nisños pas 
,os de! eJañpto anl€no¡)
' In Maniz de RiCi¿te2 ¿te la Est!üctüm 4la ñisma ¿tet ejemploanteiü.
@ Ahon Detetnínanos la Mottiz tle tuenos de tos Eteñentos:
0
0
0
0
0
0
10
20
r o {No h¡y cargas achr¡¡ies
41 sohe €l elemento AB)
52
63
, ,Aió¡ilii Moúacid d¿ Es,Ju.htús
Elúento ED
P¡¡ =
0
0
0
0
0
0
10
20
3 0 {No bay car8as actuant€s
a Z sob¡e el elemento ED)
5B
69
l.)
Elemento BC
1t
22
44
55
'it=16q
,, = lKl 
-1'lll 
=
1
2
4
5
0
I
@ Colculo de tuetzo en las Etenetros
f* = lt¡íf* F¡ul 'lr,^¡ l = lr¡¡l'[,¡ul
Anólisi. Md etnt dd t€bDc¡n|
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
.6
@ Cotcúla de Dasptazañiento de lo Estrúctüto (tn, md)
Elaterto CD
-o,0419
-0.000:115
o.000794
0
- 0.7\22A
0
0.0419
-0,000115
-0.00Q794
-it = 16 Li
@ E,sanbtú la Motdz de rüe¿a de 10 estuctuú lpl
P /n :FE--:FE
fA¡ = IKA!]'
f- =l&61*lr"ol'l¡-l = lr-l' ipuo
0
'12
16
0
t2
14
25
3tt
58
6S
)i= -ts
i=t2
0
0
0
-0.0419
-0,000115
0.000794
10
20
'¡o
52
63
74,4g
n.d6
-44.34
-14.4S
-23.96
42.60
0
12
16
0
24
0
0
72
-16
I
3
6
0
-12
-16
0
-24
0
0
-72
16
10
20
30
5B
6S
-14.49
23.96
44.34
14.49
-23.96
0
.0
.0
0,041s
-0.000115
-0,ó00794
Anón¿¡t Matnkl d. Ee1tu)ñt
f¡c = l&cl+ l<¡cl-J¡¡cl
@ tua¡tas Axialee:
Nr = 11,13 rC, ¡ 11,13 j 0.94 = 10,46
N2,22.74'q = 22-7 4. O-35 = 7.96
N. .11.1s'Cx =11.13 i 0.94 = 10.46
N5 = r.26"Cr - t.?6'0.3s = 0.4t
NEc 1Nr +Ne = 18-42 {Cotnplesión,
Nc! - Nr -N¡.-10.02 (ConpL€sión)
b. El.neñto taD):
@ ntetzdi Ariotesl
fa. = l4qlr¡1".¡'
¡- = lr"ojr¡r.1,lu*l
-0,0419
-0.000115
0.000794
0
-0.11228
0
0
-o.1 228
0
0,0419
0,000¡15
-0,000794
11
44
55
66
14
t0
47
58
60
11, r3
22.74
42.60
1.26
t0,o?
11,13
1,.26
-10.D7
-11.13
22.?4
- 42.60
!
z
I
ó
I
I
2
3
4
5
6
fco = 116o1 1r*¡"
'Similarmsnie al elemplo alterjor, Dele¡ftin¡mos Las ff¡arrás
Axiales ] Cortdts8 en E és Locslos .
a. Eleñéhb tacl
Anútr¡E Mot)¿io) .]e Edrurtor5
Nl = 11,13 r Cx = 10,46
Nr=1.26rCy=0,44
N{ = 11.13 r Cr = 10,48
N5 = 22,74' Cy = 7.96
NcD = N1-N? = 10 02 (ConPresiónl
NDc = N, -Nr = -18.a2 (Comprestótr]
@ n)eno Conanb lltanento BC):
ElenÉnto BC:
Elementó cp:
CY= o's¡
Cr= 0.94
Q1 = 11.13!Cy =3.90
Q, = 1.2€'Cx =1.16
Qa = 11.13*9, = 3.90
Qs = 22 7 4" Cx = 27,38
QcD = Qt+ Qr = s.oe
QDc = Q5 -Q4 = 17 48
Q1=11.13'Cy =3,90
Q2 = 22,7 4' Cx = 27,3A
Qa = 11.13'Cy =3,90
Q5 = 1.26'c, =1.18
Q¡c = Qr -Q1-17 a0
QcB=Q!+Q4=s.08
Anóltsk nia,i.iol d6 Estu.ñrls
' Se deJine 1os GDLde ta Estrtrctutu:
' Mottiz de Nqídez del Elenento ttpica (e" ejes dobales)
.. EAÁC)= 
L
4
ci C, cr c" c*c"
c,c, Cí -crcn
-c| -C,co ci c"c"
c,c" -c c,cu Cí
@
1:
2
,l
:1.i
@ r"* tu t'r.'"t,"" -osrrada, calcula. tos EsfuePos e¡ cada Elene¡ro.
É=2*7a7 T/m2
l\nidr ó rrr llli*iLridid
(\i,{ d! t$ ¡N (ioDfúd¡
@ Ensa¡¡bla¡,os la Mabi2 d Bjctete de tas Eleñentos
a. Elemento tAa)
b. Mdtti2 dé niertez det Etenerro tcpl
o=0
c,=Coso=r I
lReempt¡zamos en L Mal¡iz Ls
Cr =seFq o )
0
1 2
0
4
10000 0 10000 0 10
0 0 0 0 20
-10000 0 10000 0 3l
0 0 0 0
o=0
c,=cosa=1 l' - 
|n"".prr-.os en lá vaui2 I 8
Cv=Se¡d=o J
,4t ól;Eis Mdtñcb¡ ¿e Ed r¡t¡a.
Se tend¡ál
Ko=
1 2
10000 0 12
0 0
-10000 0 10000 0
0 0 0 0 45
Matiz de Figjdez del Eleñenta tAC):
K¡c =
Mdtriz de Rigidez del Eleneñto tBD)
0
1
2
0 0 0 0
0 10000
o 0 0
0 -10000
l
2 3
0 0 0 1
0 10000 0 -10000 2
0 0 0 0 3
0 10000 4
c El!nÉ!-AJ!D)
Reenllazainos eD {'), se renüá:
K.cD =
i Eleme¡to tCBt:
Reeñpl¡zaDos ¿n ('), se teDd!á:
Arákns Modciol d. Etu¡ct¿ms
.1.9..
?.9.
li
45
6 É#á"-lt"*", t" Marriz .le la Estnrctua:
¡'z" + ¡'?, =s.esogn
C, =::L =A 70?
\' j= o zoz
fsegLrn los CDL de la
I
,= fi *o1 = r osoe-
c,=l=o.toz
Cy =-!=0.7a2
@ calculo de los Esfuepos en ca¿aEleme¡to
o. Fnsanblonos lo Mat¡iz de ñ¡ena de la Es'}úctúro
lo l1
H,,
loln
l0l5
'I 2 3 .t
13535.5 -3535 5 3535.5 0
-3535.S -3535 5 -10000.o
3535.5 ,3535.5 13535.5 0 o 3
o -10000,0 0 13535.5 3535.5
0 0 0 3535,5 13535.5
b. Colcplo dé DeEplozoni"ñt6:
1
2
3
5
0
1 3 4
3535,5 3535.5 -3535.5 1
3535 5 3535.5 3535.5 2
-3s35,5 3535,5 3535.5 3
-3535.5 3535.5 3535.5 4
1 2
I
3
0
4
-3535.1 3535.5
3535 5 3535.5 3535.5
3535,5 3535.s -3535.5 31
3535 s -3535.5 -3535: 3535 5
Kl-E=
¡. =lKf"lPl=
Anól;sis Moticiol .]a E hcb)tut
@ cotcun ae zsJuarzos en caato Eteñento
a. EjpBrÁtaJABI
r^" =lx¡¡l.lrarl
+q_______--]!,
N,r¡ = 10Tn fTracción)
c. Eleñento (AC):
P^c =iK^cl-lÉ^cl
I o l1o I o 11
I n i',, ..n l,
P¡c =lx¡cl'l o.ooo" lrr=l o l,
i o.oot ln, I 'o l.
r¡i
d. Elemeñtó EDI:
pBD = IKED1'lpBDl
NAc =10Tn
[-l--lro f-19]l
*= -"il+*j.,l:l=l;l:
f¡-1no fin
t
b. Eleñektb (CD):
r"o =lr6ol,Jecol
r{
P"o = lKs¡l'
Eléñ¿nto tAD)
r- = J<¡¡l 'llanl
NBD = -10Tn (Compresión)
P¡¡ = lK¡ol'
Análin' Modiriol de Es6üct ñt
I Elementa tCBl:
pc' - iKGl"ll c¡l
lo¡o¡sl r:
,*=r"*r.F.#l;l=
l- o--lqn
10
D
{D.FÁ)
7
?
3
4
Cdhulo de Esfudzos.¡ losEtcnentos tncliDados
a. Elenento IAD:
@ nnsdlii'btar la vat'i" d€ Risidez de la esr ctura, se8ún cDL mDsr.ados:
Viga =0.30 x 0.60m
coluM =0,30 x o,6om
Placa Cicula¡ fD)=2m
c=0.40'Els4oonnT/ñ¿
NAD = (cx -10)Nz
Nar, = 14 14 Tn (rracción)
b. Eleñerto taBl:
NDA = (c,. 1o)"2= 14.l aTn {T¡¿.ciónl
NcB = G! 
, 1o). 2
Ncs =-1414Tn
N¡c =_14.14Tn
(Complesiónl
fComp¡esió¡)
Placa Ci¡c¡la¡:
r=lg =o7rs-a
64
a =f 9l'¡ = z n¡.p
\101
A'ó)ld' Mohc'ol de E tu.tutot
203342.a1 -406685.62 203342.01 -406635.62
-4066a5.62 7225705,2A 406685.62 401037.21
-203342.A7 4066¡5.62 2D3342.47 406685.62
-406635.62 407D37,21 406685.b2 7225705.2a
2
72'El 72'21'16,o.7ss
Reemplazs¡ros d5ros e¡ ]a Mahiz ( ¡ -7), Etinindndo jos (cDL) {2 y 51. Ast:
0
I
yiSa: (consideB¡do bEos rlgidos coD 70% de I¡ Inercja de la Sección b úar
.ip,
L'= L¡a_b
L'= s-0.85,0,1s
a=;_u=1_g!9=o ss-44
22
b = b-¡:lel = 0.30, lIg = o 1s-44
t"" =.rrtt. t,r, = rs.Á,!:!= o. zo, 0.3 0l-0.60' = o oo¡z¿-¡
a',¡ = I "4,,, = !'q.3¡,0.60=o.1im2
^ 12*El 12'2r'ld 'O.OO3?S
840000.0,15,42
=D.52
84oOO0'2,83 r42
É..
Y.
I
I
T
t__,
tr
:D 2
22
Se ts¡d¡á ]a sigüiente Matriz:
Aránsis Motdddt d¿ t'buttuns
Nold: E estar Fúúulas L-L'
. 12'EI
"1 = G+dt3
.-- uEJ , ,a"t ,-" (1- ó)r-'z (1+ i)r,3 -
s^= 6Ei .--.li!L ¡' 0 +dl'z (r + ó)rJ -
- /a+ó)H 6Et 12Er .
" 
=l-Jr.1,*r¡ oa,+ (;ü)F
lz- d) EI 6EI 12Er\ ={ 
r aJt+¡aE'a+ b¡ 0+o)1, 
ab
Ensamblmos la málri¿ d€ la v¡g¡s
Re€nplazando dato¡ se túdú:
r - , o 3'o 6oJ
"12 12
Acol = b'r = O.30"0,60 =0,18m'?
A'= i b" I =:. o.3o' D.6o = o 1sm266
\2F,7ó=-=0,0675
Reempluando en la Mari2 {1-?)
Fi¡álnente e¡smblamos L¡ Malliz de l¡ Esrruc¡um
y Elininando los (CDL) 12 v 5)rend,ál
1991.80 -3983.61 -1991.80 3943.61
3938,61 70402.27 3983.61 5132 21
-1991.80 3983.61 3983,61
-39a3.61 5732.27 10402,21
10
20
3l
43
30
32
10
22
30
43 K=
40{i645.62 3933_61
406685,62 1239233.66 6724.O4
3983.61 6?24.O4 19356.31
1
2
3
-=(iif)+.&€o.ffi0:
Y
5, S, -s1 s3
s¿ 54 -5, s5
51 -s3
s3 Sr _5" S.
q "'*-
7427.22 4050.48 -7421,22 3055,63
4050.48 13528.38 -4050_48 6724.n4
-7427,22 4050.43 7427.22 -3055.63
6724,04 -3055.63 8554.10
xüs =
MúTODO DE RÍGIDEZ DIRECTO
l.a lómula tu¡dsñental para Esolver ¡rna estluctu¡a
A=¡¡=K_1*P
K - Mat¡iz de ri8ldez
u -l!4striz de desplazamieoto
P - Mát¡iz de $rsas externas
P-P!-IF¡
FE - ¡\erzas de empot¡amiento p¿¡fecio
Kr¡
Kzs
Kr¡
K¿n¡ Kzn
a"Áti.k t ladlcld ¿. E bt tutos
lK,,
lx.,
lK¡'
kLl
I
1".
Kr¡
Kzz
K¿c
K,¡ K,n' K.o
'K-,=- El nrime¡ sub indice ieplFsenla el gl¿do de lib€fl"d JonJP e'rd_ "' 
-"á'..""4""r¿*pl¿zamleDloo 
girodebido al desplrz"mje¡ to o gi'u
írii";".pri'.ao.'i as".aode libeddd conespondiente
- El secundo té¡mino represenl¿ ei s¡adu oF liber¿d e¡ cr quP P\l¿
aclúa;doel despla?'óienlooBiro Únitario
EftrMPtOS
O A¡nd la nar¡iz de ¡ieidezde ta visa mostrada
T¡es Brados de libertad
Prúaen coluñna de la nabz de ipidez
4n
.a
,_ 4EI
^1r---
-- 2F,1
K¡¡ =o
Seeunda colutua de lo nati2 de rieidez
-- zltl
__ 4¡I 4FII
.''^""''','""'"'"'"",","''^@
Tercetu colümno de lo ndtriz de eide2
:!!
',t> a--q?/z> l 4 '¿-!
Kr¡ =o
_ 2Er
.- !n
EDlonces la mabiz de $gi¿le? de la vi8a es:
K=
4El
2EI
0
281
4É1 481
t,
0
2Et
4EI
- ivisa contiDua con mome¡to concentadol
- Const. El D.M.E p¡ra la vi8a mostlada:
M=3
c-h
Acot, lo.tc noúi, de ng¡dp¿ tMR)
ii$X'3;'* ""0* 
o",,o".tad te¡este caso son3 Eüos enros apoyos
/L
se coloca la lrinela cotumna de la matriz de ¡jside,
x.. =M=1=3"¿1 63
r,, =!!1*o = 3= 1¿, 6 3
K¡r = o
ris. bl
4Et -1
zFl1
5
3
se colo.a ia {2) colrnDa de t¡ m¿tijz de ¡isiilez
L2EJZI
|. AEl 4E) 2
"2Et2
'a
3!! _o s
\ tcr',)
/l,úrsr's Mo¿i.iol dd ¡úudud5
(cL"l
Fig.(c)
,e colocala (3)columa de la natriz de ri8ide,
&¡ =o
r. = o+?!l = o+3 = o.s- ¿) 4
r¡El 4
- Se dDa la mabiz ¿e ¡i8ide2 totál de la €shr.tr¡h
l2t3 1/3 o)
K=]r/3 s/3 o.5l
lo 0.5 11.,.
@Cacüto det vector de le¿as
,o dónde:
' "' ?' p" rr€rzas ¡odales
IFr: *rnu de l.- fr,e.?$ rl. emporromrp, ro lp 4 r¡¡
(6D m"n ensr riLr
tt
=) P <3T-/ 'nún dL ct (ir.,tt
<lo[r -', " ,. '¡ cr,
@cótcüIa de los desptazoñientos ( F)
11.70 -0.40 o.2o l
¡= ll " r¡=[o ro o.ro -o.o{
I o.:o o.4o 1.20 l*i
3El
Ct cátl1üto de ¡,orcntós frnates IMF)
M!^=o r.
lri l2l3
",-H -[;'
1d.", l.
u, =lü;l-¡r"1'¡ui 
- 
tt 2\
r¡n ñomeDto de empoüarúenlo terf6cto. {MIP¡ e¡ €ads
';'Jr'iiiiJ^ü r* r* iii;ios most.¿das en ra risura ( r'z))'. liJi'i.l'i" 
";;;a"mento 
(€n los puntos mostrados €n rs
^' ;1?l'i,; '.'i'"" 'i-i''i;;a"' " ros s'adns 
ds ribe-tad en
la fiq (4,b, cl
F : malriz de desplazamiento
-
ng ¡-4 4Sr ,,3 c
(i,,tr{lNir €tD.M.f
,¡árrj, lita¡lltrr w 'F"--'
1,. o o. vl.1¡ r,rl.. o
T:il:,'¡il:""s,:"tr;",i*'Hfi
@cdl"ulo de MB) 
ü to -isno sre en 
el e¡ernplo (2)
b/3 1/3 o I
r= [ir slo rlz I
lo rrz t ¡
@CórcIk da 1'ectot 
da lllltzoi \P\
'=/22*
nnalnunte aplicomos la forfnuld (1 21
213
1
0,5
:l
0sl
l-121.lr.nl =
t-ü-,
{ab i,-, , *.,r |ud.'.r
@|,*.,-,*",u
d$ Mon r { .r Puñ r¡!
{si"-',-a*"'n,
7 ,,rnó¡iÉir M'bJ¿in, dc Éshc¡rEs
lel tsg Mmcr.
"' '=l-ul=FeI "'.,,'.l-4 H"*"n
@Cútc a de los detplozoni¿ntot (¡t)
713
213
I
rl2
ir.7o -oao o20l l-q €jE ?\¡,@
r,=14-'"H-f o.ro o.eo -o.r{'l sl=@"-- o
lo20 .o.ao l.rojlal 4----_r-1*"* O
@Cótato de úor¡entos f ttales er los pxntos nostatlos:
coNt¡úr D.M.É
I
. 
il[1flfl[N
r-1sc I o II I l-roC'l 
:1,.,'l'i"l
0
0
I
u" =lv3l.ix,l'1
I ,l l2t3
",=[1 .['
l-4"., I'
mal¡iz de.iEidez e! c¡ü sleme¡lo enlo!
pr¡los l, 2, 3, 4 co¡r€spondiénre! ¡l
g¡ado do libertad
fS -¡
'tl
ta colum¡a de la matriz d€ ¡isidez
Kfl = 1o+ 18 = 34 + It matrlz de ¡i8id6¿ 
iotal d€ la vi8á es:
r =l¡4*,
I
ffiDME
O conltNt €l D M E 
para la visa ñostrada
'' +-' ;
@ Cá)cu)o de (MA)
. Se dofln¿los Srados lib6rtad de la vÍ8a kn Este caso "ult eiro" 
en
¿l aDoYo B)
I =reI
2Étz _s
fi a"t
jara
Nota adhesiva
ϕA
ϕB
ϕC
r' ,ndr'ü Mdr'¡td, d¿ Ásh'bFj
aónshtir el D M f; para ]n ü8a molt¡ada
@Có|cúta de ÍMn)
. !e deftDs los grado! de lib¿rted (so¡ 2 
gi'os -"¡ B C)
@cdXt" aa "eat * ¡""nas
o/
P. P1-tF- = -tF"/ ''
-G
P = -tFE = +.64 -F2.64rx1
@Cólcülo de lÚ¡6 desptozonieñtos (y)
¡'tKl-' 'lpr=lr4'"F?.64-Fo.o?q ¡"- O {S)
@córcülode tMi)
v = luSl+lx"l'h,l
cL, r'L
¿ 1' ',u,*W
K =l+ --
--2¡a=i
I ",1 l,1 r,fl
"=,tt .¡i''*'"|-;TJ
Diag¡ama DM.n
7,37
jara
Nota adhesiva
(-q.l^2)/12=-6.67
A'álÉis Motidal ¿é E*¿eL¿ns
@cóIcüIo de M f¡at:
MF = M3l+ K.l'1,,1
I ss? l1i2 o 111.591
l-,."" l, nl 0",. l-n..JM=L +l l" l= |
L 0 l4l3 zlJl -r2.4\ 4.841
I o lzrt erd, -10 I
O co¡slruir el D.M.¡. Pua la u8d nori.da
D.M.N
2do colútuo de ld natrlz de eiclez:
-22
"33
l:2r ':
- l¡ matriz de ri8j¿lez iotal dé la viSa:
l?t3 2l3l
213 414
@cátcüto del wcto¡ de laDos lPl
""j=ML rar- v!^ v|q o r'¡9. =o ..e 6-- 
--) 
M o- 5'(r
lA ' . - 'c
-14.67 +A=.14.67
\'l! 
"n 
u',='n u' n" "''
.0
"r=rr 
-Y,
Pz= -10+0=-10 16¡ d clr)
P='gsP'''
L--10, 'r ¿
@cúlcúla de (tt)
,=4'.rq=1_.,:.¡
T ¡'átis lotr¿h¡ ¿t ¡itf'¿luús
@cútc,tn de (MR)
t € madz de tisidáz totá! de ia 
arsa:
F,q-=l::l
@cóbü|o de! wctot 
(P)'
,y'0-2r,=-2r"
'19'" 
"r8o 
=o B"= o
)-/D
r¡¡@¡¡¡D!a
&¡=u
2&-4!bl¡!B
lol ld
= " 1J-iX,,,
@ CLtculo de 
(v)
L 6/2d
u.l4-; '¡4-l'urr"l
Fei2q
@cacl,Io de MF
M, =Ml.lK"l'lFl
@4
fu ed¡¡Dla
¡'óllrE Voür.!) ri¿ Á{¡r¡udr
- 56 defin6 los Srador ds llle¡tad (2 Eiros €n A; Bi
,ll
lol
l"l
12Jüt)
' 
u,rn l-tnt'4I I I 3.41371'llii','l=l-*.'l
' I 0.s3r ll"l
0
4
2
4
2
0
D_1,ú.F
1i tg
(cr,)
(cr.)
^ zqt
1.a dlr!:!n
2da.ólun¡¡
lD *o U *,",,o.* .ostrada comrui¡ D.M.n
@Cólcú\o de la mabíz dc ñstdet (MtI
zEl -
EI=const=1
n= ,,
:) lá Dál¡tz lotal de rlStdez €tl
"=l: tr
_ñ_
@ cúlcula det yacrü d¿ Jüe¡zas
,./-2", - _2,,
z l&=o
^ l+ ) "4^ - #i .l IJJ)--- --7 116=0
#-o=-+
- ,=-',,',,,1-lr)il
@cótcürode (,,)
! =lKi .Jq - lo olTsld'-'" @ n,l
F0.02qp6o @ (tr)
@Cótcuto de MF
M' =lM:l-tK,1,l¡4
111/12l
*- -'l'114,' 8l o 
I4l 0 I
I o 11
l- 
o.o{ z
| 
0.07 jl
10.6361{
1|tr¿)fal
alfl{l.p.o'o¡_
lllll$ r"*r
Rra lá esuuctün molt¡ada constn¡i¡ D.M.E
ar' ¡rd¡tsrt Mo!¡l.lol 
de ¡¡tn¡'l¡¡e3
2¡t. 6lúm ¿é l. Ñt¡z
lqr=4+4+4+4=16
3i¡61trñ do I¿ makiz
d¡dCds
Oaitcuto de MEI
c¡ado de übrdad: (3 siroe ú B, E Y D)
lb.oltu d. l.
¡¡¡ldztcldd!¡
-/'t¿¡* 
ltaa¿ at ttw'-*r
t
z
3
4
5
o
0t
0
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o
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0
1.5 I
3l
3l
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-15.7r1
e.751
2 0l
I 0l
¿ oll
: :il
. 0l'
"" 'r,..".
@cá|cüIo da (Pl
Y-¡f2r"- -Zr"
0
0
ó
3.32q
0.75 | r
0.8751Ma= 12
-72
T,lr
M;€=ii = 12 Mhrr2
tW---)-t-
?
I
@,
ivt
ML
e
6
,
I -Jki
.ul"-o
Blqurn. pú! rd o'¡EPJ rú' 
r" t"tr" lvSl
+ Pr =M3¡ =12 {EnelGLJ
P¡ =:f¡ = -12+0+5+0 - -7
P¡ = -5 (en €l GLr)
llzl l-td
- P-l-1 =l ? |
Fq,^, I 5 I
@cacül" dc (N)
l-3 37C
, =lr¿' .lg=l o zs I
10.8251
@cücntodeMfn
v,.lu:J.t*J'¡4
(en el cl,l)
D.M.É
t3^'o
jara
Nota adhesiva
-5
@ e"r" t" ".t..,"to." .cstra.ta const.ui¡ e¡ D.M.¡
ACúLIto de to notr¡2 dc r¡Bilez tMn)
- Se defi¡e los grados de ¡iberta.t (z glros + I despta?anionlo)
Andiéit Mdbicial dé E tú¿ton€
12Él
ri
ri;
1n colpmno ale Io ñoüz .le iei.Iez
-"= 
3-#=:-.= T-'(rceciónlmducirta 
porerdeepra?ani¿nro)
-,,= 
+ = ; -- 
---------) lsi¡o p¡odncido poi el de,pla¿anisnto en GIrl
*"= 
? =, 
.+ (siD !¡oducido lor €l desplazamie¡to en GL,)
zdo ñtuñnó .le lo mottiz de rig|lez
aEl2
v=1
Atáttlc Madc¡dl rlo Ehcús
K,,- 
3 =; 
-------"-------- {desprazdnle¡ro producido por el si¡o en
-. 4El 4F1ñ2¡=-+ 
¿¡ - 4+ 4 = 8+ (8io)
r,.=f =,.----*r¡¡"'r
3 ¿EI
Tr f¡
@Cótcülo del vectot de co,sos lPl
P-P¡-¡FE
P1= P¡ = 4 (en el GL¡)
. P,=-(4+o)=4
Pj=-(r+o)=+a l----------
@
¡lEI
ira ú1ünaajle ld mo¡¡iz ¿ta iei.tez:
Kzs=z
-)
L
'l
t
| 4l
> P =l-a I
i,'l
2Et
7:
il
I
6EI
2Ét
6EI
e.,= ;a
@cacülode lll
I 1.1?641
u=l rl-'' lrl=l-o.zer I
lo.zsrsl
@cót""t' d" F,! A
.- 4EI 4F1\r=4+ 4 =4+4=8
lrs ¡ -t17;'l
+ K=l Isrlt2 Il¡ " *ltt
Mr=
0
0
4
-4
0
0
3/2 2 o
3/2 4 o
042
024
304
302
.l-o.t"o l=
I o.rrnn J
0.196
^7,371
1.377
"4,549
4.549
4.039
M=5
¡¡ól¡ds M¡r¡i.rol d¿ ¡shdum¡
@Cútcdo de la naüz de isídez (MR)
- Se define los g¡ado6 de übe ad {2 8i¡oe + 1 desplazamientol
D,M,E
Co$truir €l D.M.E para ta eslNctüra moslrárla
¡l
NATA E.la no¡¡z kakp,onsidcro tó5 moñenla\ prcdujdo" pat el
EúosatMenle.
12EI
l:
i'1
M=
i
,-|
I
" 
_9!l
¿i
1to colvmno de 1o ñottiz tle üdez
., r2E) 12H -- ^ --"li ti
6EI
Kr=-=45
Análi.tt M.ú¡ddl de Est¡ctffit
4E¡
,= !-Ü
zdo colüñna d6lo mdbiz.te noidez:
.- 6EtArz. 
al = 3 
--) rdesp tazá mrenro prcdu(idopor FtBho en ct,/
,, 4El 4Et
^¿¿=-+ -=4+4= I
x-= 4 =z
3tu coltttuo dc lo mafiz de ígi¿lez:
(." - g=a s (despla,amie¡to)
2Elk,- 
-é¿
,<^^ - 14* lEl = ar e = ro-" lz lt
| '.' r "..1r'= r=l g ¿ zl
1,, , ,oltt,,,
@üucülo det wctot de cargos l:Pl
P=P¡-¿FE
P¡ = o (¡o hsY tuorzas enel
P, = 5-r(3+O)=-8
P3 = s-t(-3+0)=s
(mb \{EP in cl'l
= P+d N¡ePen cr'r{:¡l*,Iure" "n ,t ',,2E¡ 4EI tlEI
;.=6t
A¡óltttt Mdniciit 14 
ErilctúÑ
@cdt@to de tttt
I-0.103
F=l r ['x IPI=l.r.zos
11.12e
@c¿tcut ) de lM Fl
"t. 
=lr:l-l""tl,,l
0
0
3
-3
0
0
l
o:::'i;#T"[r":::ifiiiTij,-" .' u*0"^-""'
320
340
042
024
4.5 0 6
4.5 o 3
.0.s13 
|
.1.20s 
l=
1.129 |
-3
-5.42
o.4z
-0.s0
É.90
ó-ñ
Mahaned 
^tehdi 
Hdtli M.
1rc colpüno de lo natriz de ioidez
",,= " 
.; =i;
Kzr= t
"-=:
2do colünna de 10 mdtriz da rioidez
zEt
4EI
K2z= 4+4* 8
Ktz=2
.iii'
2Et
L
4El
6¡1 3
@
?tL .
,.4¡ó]]t,t ntdltdlol de trh,crurds
3¡a colrma de la mtriz de rigidezl
. ! rDes¡laz¡m¡enlol.¡r - 2
Iq3-4+a=8
Itttt,
,,. 
- *= l';'
7
I
2
tuz 
l2l
Bl
tPt@CóIcülo .1e1 vec¡ot de tursas
Pr = X-¡FE = o. (-RBl
Pr=o_CR¡l
P1=o-tel=e (enGL,l
Pr= o ' {18-9)=-9(en GL"l
P3=o-(-18)=18 {e¡GL)
I cl
+ p =l-s I
l'. I
Halld ¡eacciones:
qÍ
12
e
':q{= ,"
^ 
.-RB= I
.n=!L'l
I
n4=rJ,'
12 
I
t7t)m+R^=e
I
qi3
tMA= 0
n"'o-Ed=o
R¡ =g
R^= s
@cata,u ae nt
@cótc\to dc lM ,l
¡rÍ¡rdr ¡rorrt ld,d, ¡'J¡rurúDs
@ DB.mblar la Ma[iz dé Rigidez pa¡¡ la 6tn¡¿1ura mostrada:
,.=l tf¡x lpl-l ,f'
2o
4o
42
24
a4
02
D.M.N
r'a"-f.asl.Hbt
M¡.
-9
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-ta
0
I
7
0
0
3/2
3h
s
-¿,ss
\.zo
lol-l"."I=
I r.zo I
12.9
-r0.2
10,2
-18.3
,3
15,9
1. Se Wne )L.t Stotlos d¿ übenod
1o¡a. Colvñno dé la Motriz ¿e Rtat.lez
x,, -$*!3El=s.2,,¿i a;
rz.=f -o.ws
xn,=-f =-o.oor
2do. CóluñJ1a ¿é Ia Matti, de Rio¡doz
6¡l
- 6Ei
.., AEI 4El
"" = a*Z-=0.2rr3
,, 2E1
4
A¡lilt ¡. Mdbnial .L Eñtutus
@ r"""-Ut* t" Urr"r' de Ristdez paE ta estlüctut! moslEda:
@Se ae¡"" t* s,aaos ae ülena¡l (4 giñ + z deqrlozúlientos)
""=f=-oonn
*u=3=o.uu,
K =*+g!=r.sa3
lem. Cdwo da la Mati2 de Rigldez
J&tl
!E!
tl
r2El
=tr
/ o.2 0.J75 -0.094* =lo.¡zs :.¡gg o ou,I
¡o.osr o.ooz r esr I
1?!¡
¿t,
0!!
cl
1zf,I,I
v 12EI r2Et 12EI rzEI- ¿f'¿l-ff-lj-
r, . g.l1l rDerpl¿zdrie¡,o Fr cL, debido ¿lDFsp,"zd'' (1 ¿r miento eD GLri
" - ygl t¿El _ 24Er Deqnl¡z¿ri"n,ú e¡ LL7 deb.do ¿.'''' - 
"; 
-.1 =- ¿l- Desplazan:'nro ¡¡ 6¡'
* . :i :? rc,,o pn GL debÍro J d"sprdamie,o eq cr 1
,, 6El 6Er
^ai 
= ;-- ;t
,, 6r,I
ti
.- 6EI
¿i
Arólisis tú.tidal de 4st¿dü¡ds
l2El 12Cl 2aEl lOesnlazami6nlo en CLr debi'lo
K¡, - :- -;3 - -;- al lle.ol¿?dTrenLo en cl :J
,, l2ql L/81 ¿4El fD.5nldz¿miento Fn G " debilló^"'-tr- { - {l arDespl-zamiFnro en Gr l
6EiK3, ;t tCiro €n CLr debirto al de.plazsmienro pn CL¡
3i
(Güo eo cla debido al derplazandento €D Gl1)
(Gi¡o ea cl, debido al desptaz¿njenro en ctll
(Giro en c16 d€bi.lo al desplaza¡ enro en cl1)
K"r=+t;
6Ei*.r=Z
6EI
ti
3en. Colvmno de lo Mottiz dÉ Bieide2
(GÍo e¡ GLa debido al desplazaniento en GL,
(Giro eD GL5 debldo al desplazamiento en GLt
{Giro en GL6 debjdo ál desplazamiento e¡ GL,
2da Calttnso de ta Md¡riz ¿t¿ Bigidcz
J
¡núrJtis ¡lrohdd' di Efrddms
6EI 6F¡K1r' -7- - -i
6EI
4EI 4EI 4EI
Kú '-+-+-
-- zEl
-- 287
(m'o
(Giro en GLj debido al siro en GL3J
lcim en GL¡ debido al siro eD GL¡)
(Gi¡o en GIa debldo al si¡o eD cL,,
(GiF m GL. debido al siú en GLJ
(Gi.ro e¡ GLs debtdo al si¡o en GL3J
(Giro en GL6 debtdo al girc etr GIa]
6E'!K*- z
6EIK^=Z
2E1
"""=T
K*= o
.- 4El ¡ 4l;l
2E\
K$= t
4td. Cpluñro .le ló Mdrriz de Ri"idaz
-- BEI 6EI\=-f--t
6EIru= 
4
2ElK',.=I
4EI 4EI 4E1u' 4. h' t"
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4ET 4EIzÉI
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D¡ms 1álo16:
af l2= r
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E¡tonces la mat¡lz d€ rigidaz serál
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A¡ólkisttlottid.l da E ! t tn^t.
' .- i ¡jr-*
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I- -'- -l'- --'-r'- -'-
- iu,*iFr*i-.1"I I lüJ "I I I st\
ts].{} úl *
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Rls
i r8l1!
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7.74 -0.89 0 0 -0.67 -0.67 7
.0.8s 0.ae 0,67 4.67 2
0 0.67 3.33 0.33 067 0 3
0 0,67 0.33 3,33 0 o.67
-0.67 0.67 0.67 0 2 0,33 5
.0-67 0.67 0 0.61 0.33 2 6
l
Ahtithk Maúcid da Eúuctu)as
METODO DE COMPATIBILTDAD
l,h compalibilidad aplicada e¡ el método de los desllazamienlos es la que la
$'o,netrla de la defo¡mación deb€ se¡ lal $e los elenentos de la esbuctlDá se
rr nlengantuidos enlos puntos nodales.
' Se llana la mtriz de rigidez por compatjbilidad de .lefo¡úacioDes a la
relación existe¡ie e¡he los desplazani€nios global€s de la €sl¡uctrua r las
defornacio¡esiocales delos elenentos.
r=l,i ,r", .a", Mat¡iz de Rigide¿
K., : rigide, del elenento
á. : mal¡iz equivalente d€ compatibiilidad
a; : matriz traropuesta de compalibilida.l
EIEMPLOS
@ ru" l" uig" -orruaa construi¡ D.M.F por el método de compatjbilidad.
@Defrniendo los GDL
GI, I,I CL,W* O (Qts-B@ (Ír
sisn€n.o
@
N'p,
€:)
M=3
Análisir Moúicidt de L.Úüdrra
3rd coltrmtu de Ia ño1ri2 de caüootibilidod
¿. Colocanos los e¡ados d6Ubéfad(3süos)
b. Nuneranosldélen¿niñ.
C lndicand cq¡ tldchas el inicio v tinat dé
elená¡i.
Ac¿htna de to üabiz de cóüpaübilídad
1 ' *ine g¡b en el nudo
0 - no úis1e girc en el n do
ltu cdLlmna de lo mottiz de coñpatibilí¿tod
Í'l
o = lol' l0l
t'l
2da cohtnna de la ñot iz de Mboübili¿loa!
fo)
t,l
^,= Irl
t'l
a"rr" -"=?l;
o
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flfl'+tr I r: rli | +t;
@ calcuto del veclot dB Júerzas
@Cólc¿lo de lo ñotriz de igidez tÓlol de Io ¿struch'n¡
:e K =ta],'K"i a",
l101
,l' o o
P =P"-yE =P"
+ p=g l"
* 
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@có|cúIa de desplozoñiento 
( v )
11.,
¡ =¡(''le¡=l z.a I
l-'4
,3 lJ Al
9 =ltl. u, t ,J' lo,,z r
@C,ttcDtodcMfnole,
l¡¿?h¡ M¿¡rtiol do tj¡n¡.htros
La mat¡iz Ares lo misúo que eD €l djerpló (1)
I lo]dl",lJ"'A-=l + l, o 1 qa,,
00ll
@I' MR) es k üisrno qúe en et ejenpto (1)
213 !13 o I
r =]l113 5t3 1t2l
la 712 7
@Cótcüto de vectat de fÍetzas lPl
v =¡{22r" = .2r"
"=l11 
ver Fjemplo t3J Lnero.ó Jp igi'r",
l"l
@Cátcülo..le desplazanientas (t\l
- 16.5
u=lrl "4=l o ]l.l
Esquena para amar la Mat.iz M3]
ffi,7ft1 l:9
@cótcüto de nanentos Jinales
1l l?13
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l,oq.l0rq
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'1.^,
@ con.t.'y" o.tu.n ¡aia la visa mosrrado porel mélodD.ie comDatibilidá¡l
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]M3 =ver 
ejer¡tlo (3J nétodo de dsid€z)
0
0
\!)' | úó | FF 1 . Srottúi de I tbpttld te n c.la I ora 1 gtu ó t t pl 
'povo 
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-
Irou
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O Co¡srrnil elD M n pa.a la visa ñor¡ada po¡ et mórodo de
@
(9
/rod
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4'l : l=0 0 rl '
@
@ Cóhrt n .le lo tiatriz de coljpotibildod
t"l
^,=lll
lo
1
712
Anólisis MDuldal de Estuehnos
1.1"",
+ ¡' =hl
I !.r.,
101
@ Cólc¿lo de la notriz de ísídez tótol de lo vjso
x = al 'r", 'a",
zEr 2 rl
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2'2412
^*= o ir
2'ta 2K"= 4 l'
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K=19 4
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,.1=1, 
'ul
rl iB s]
,l- , ,.J
Bd
',1" 
|'l.1' ,lT ü.1:l
@ cálcuto ()e lP I
P=F2.64. (vq ejenplo (a) método.le risiLlczl
@ cólcülo de desptozaniento (p)
l =14-'.lP =l o.o7q
/
@CótcLrtad¿ MónentE Íihates I
ffi
*quena pda a¡m la n¿r,iz 
lM:l
M=lMgl'lK.,l.tArt.tFl
AnóliEh Matiridl d6 tiltuetuns
Construye €l D.M.E h¡a ]a viga
desplazdni€nto (compatibilidadl
most.ada po¡ el rétótlo de
@ so define los sftdos de libettad
@ Mott¡z de canpaübilidod
1;
1i
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^aúnsit 
Mdtiddt da &buctun,
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". #É x lix
loí- .-i; 
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' 'p14
@Cótúto de )o ¡¡¡ar.rz de íeide2 de la esrrü.¡ü¡ IKI
x= ta; ,K" . a",
-''"fi: 
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l+lo 1l 'l- '1 ' l'qbdl¿4lo rjifi; I
@ c6ta'to de lr1
ld
p=l.l fver ajeñplo 16l ,nétodo de ris,dez,
td
@ caeuo a. ¡p¡
l-6/zsl
¡=14 ''lq=h¡rzsl
lstzl
@ cótcüo d¿ 
',óment!,6 fuote,
#_- 7,',_t.: "*,h,@ ,t> O h
o,que¡¡,a para anm¡ ra ¡nar.iz de 
lMgl
""= l"sl-l*.,1'h,t'ht
f-'--5t.--o'-a,nn, /ú*
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@ se dsln¿Jf sados de libenad
@ Mofuz de únpatibilidod
,.4ró,ti; Mal¡,:ool de trrrrcbtus
r.l;r 
l*¡0000
:
0
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'. =11,1
rl0
ri0
Para ]¿ esl¡Lrclura moslrada constn¡ir ¿1 D.M.E por el método de
"ll
|l
^'ld
@ cohmna d6 la no|l/z de rrsrdez de 10 e6ú)ctün l.l
(-¡aJ.r., .a.,
..=?i, I
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. 2'tl2 tl la 2l. tlt4124
=.-l: f.É lt l.l; f-l;l.l; fE 1
,¡tólítt Mat'ic¡at d. E¡¡tcttE
kla la mBtn¡cción moshad¡ coüt¡ui¡ D.M.E hr él ,n¡;todo de
¿l€splazamlento (compstlbilida¿lj.
@ c6tct',o de lpl
D ltttzl'-ltrl
@cát.uto de (y)
"=/4".H-P;";fl
@Cótcuto de ¡¡¡onentos finoje|
(ee¡ rl¿rDplo (z) mérodo de ¡tsidez)
Aaálins M¿bt¿lDl ¿¿ Ehctus
@
@ Cdcalo de Io nat¡¡z de ng¡alez de Io esrtuctura
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K = Ia; ,K., 'ao,
A¡óltsts Md¡lktá| f|é Ettuctúras
K- =4ll' ,l', ¿¡11 4
K 2'612 1l la ,l\ 611,4124
K^ = ?j!P ,i=1, ,l', 611 4124
-- 2.a12 7l la 2la 4Í4124
k 2'alz 1l _)a 2lelt\lz\
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l-3.3751
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Cdlcüla de Manentot lnolas
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(vet ejenplo (e) nétodo de ñeidez)@ cókuto de lpl
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@cd lo,te Í')
D.M.É
l- 3-3751
r, 'lr¡ "¡q=l o.zs I
I o.ezs I
1ñ d,lwo d¿ lo npt¡iz dé ¿oñtrntibili.ldd
¡2, ("", )r
a/f1 (a!,)'
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^/tz 1"")l
2.1ó 6lU,mo da tó mo,¡iz.h ñ-Votibiltttod
¡¡r!id. ¡e¿¡.¡o, ¿ Ársheü
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@cótalo delMll sesún esq'eno mostrado
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Anólit¡. Moticio¡ ds Estrctuú'
I r.r?6e I
'l-o.rrn l=
I o zsosl
0,196
-7,3r1
1.377
-4.549
¿,549
4.039
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I
D.M.¡ po¡ el mélodo de
Pa¡a lá estrtrcrur¿ mosbed¿ co¡er¡uir El
conpdtibilidad
@Sa deline los ¡tridos de libei¿a¡t.
A¡ólins Md'lcia¡ de AtFúctums
@
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@. Colú ña d. fapl D(ó.n. 1 l
D¡¿f.D
0.01
6.8t
Po¡€lMátodo de Comp€trbi)tdád con¡t. El D.M.E IcoD Io! cii roaic"aos¡l
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115 2/
2/5 2/
t llz
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@ C(ttdúo de voctor de cagos I Pl
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@ CálcDto de la ñdt¡iz de ¡isidez de Ia esrrüctu? lKl
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".,=Tl1')=+¡i;¡1r, Pj = o-:F <=,(-BB)= -(-12)= 12
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I o.ut o.t ,.r, r, =ltl "H=l ¡.gs
l-s.rs
Aaálhk 
^lo$idal 
ú tlh"dú
(D Ensambla¡ la Matriz de RiBldezpam la estruchuá hoslra.lr
8) ss define los smdas de tibertod
@ Mot¡iz de Conpaübili(lod
1¡o. Colil!¡na de lo Mot¡iz de Cotuoaübit¡dod
2¿!o- Cóluñno ile to Mótriz ¿l¿ Oonúo¡rbiü¿loal
3tu. Calpñnd de lo Mattiz dé Cottóanbílíddr|
¡\{ATR]Z DE COMIATIBIUDAD
K = ¡¡I 'K.r.a.
212 t) l7 rt2\'=th ,l=lv, ,
,- 2 l2 1) l4l3 zlj
"" =ilr zl=lz,r nn
@ Cólcüta de la nat¡z da neids2 da la eat¡ücrü¡o lKl
-. z12 tl l1t2 1t4
^u=rh ,l=lv. 
'r,
A"6tcx Nabiciol tL Fst!1tctü^
"=l í 
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.1.*'11.f n t'"l.l-1ts ' 'l=l .',';J :i1: :::'
li ; ¡t'n u2l l1/8 0 0l l.o.orn o.uu, ,u..
(D Ensonbtot ta Motiz de Risde2 de ld Estntctxt¿ Mortto¿d?
@ S. delrp I$ sodos de l¡bedad.
p:Fl'^
t"l
l;"i*|.t4
l-st411ol
An.¡lisx M"tDnt ¿e Eirnh¡r
o
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@
3m. Coltmra.le Motriz ¿e Canóaübilidod
4to. Colpmno de Mobiz de Cómnóübilidad
Anólisis Mohdial de Edtú)tüt,
'rtl
2l1sl,)rlr2 t/s a o
+¡s l¡z r¡s r o
tlt2 1/r2l
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K=l ol."l11 ol ,r[1r,;,
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0.033
0.044
0.133
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Po¡ ei Método de Compátibjlidad Ensambiar la
pa¡a la Est:Most.
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Itl" ,ts) l-rta ,ls o o ol
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o,o3g 0.032 0.033 -O.l
joou o.orn 0.044 -o.o7s
K=1003J 0.044 t.267 0.50
-0,10 0.075 0.50 1.40
jo.or: o.on+ o.ras o
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Calüñno de Matiz de Canlpotibili.tad
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@ Calcüt. detú Mat¡iz de
K ¡al "K".a"
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- 2 2 tl )2/s 1/il''", ;h ,l = l'¡' I'l
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l614)/ I
/10 |
84
63
Aaátsis 
^tdtrieial 
¿¿ EÉt ói,ns
@ Sa defne tos emdos de líbertad
@ Mabiz de Conpaübilidad
1m. Cdún\o al Ptimer GpL
Esqüema pda tletemúdsig os
sesnD Ejes Locales: ¿2, c" ) '*;iiliiiiti;ix::iil;ii
a//_ /a- riNTr r fFr F \,¡i
^r' G"J H** ::.1;txU!;iii
^i/, e"),i:r*:,::t;:it"r: t:11
G!.)N.*eto*"r
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-0.8€ 0.89 0.67 Q,67
0 0.67 o.a7 0
0 0 0.67
0.67 o,67 0 2 0.33
- 0.47 o,67 0 0,67 2
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-A¡ó¡lsJs Ma¿rtrdl de ¡sbL.AD'¡
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aia-lelaatlpdíJstrlaaane
3n. Cohlntú de lo Mati2.le Cótnboübilidad
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AróltEt' Mat¡lcla¡ ds Erülch¡ftt
7ña. Columna de ]a Maniz .le Comndübiliddd
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@ En3ambld la Matriz de Rigirlez pda ta estncñ¡a mosha¿la:
@ caJc lo de ta Mot íz de Ricidez:
K=¿as,'K.,.a3,
A.oI o dl ejemplo 13.
@ Sa defne lós Grcdas de Lbeñod (CDL)
@ Se calcülo t4 por'neko, na(asor¡ú pog to Mah? ¿e
d) E = 2.10 . 106 T/n, &odulo de Elastlcidad det Maredat]
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Aitilkk Mati.id ttc un n
b) G-o.4oE=B4oooo T/m, (Modulo de co eJ
cJ E1..,-- = É'! l!=u¿ z.P-2sonon12 t2
dt ei-., = ¡,!A = n'o 25'o sot = s¿e¡ zs"É 12 12
. h' hs o ?nro anrej Et.ot:E. = _ .U=3360
Rigidez de los Elenentos
2El. I2+B 1-Bl
"" =T6;dl' p z*p) c-h
"-=4!]"1"t ti Ir 2l
^ 6EI
A'= Area de co e de ]a Sección T¡ansveBal del Elemenlo
A . ! lA) r,ár¡ 
'é.-.ion 
Re.r¿np,,la'
A = Are¿ T¡¿nsvp¡s¿l delDPm.bto
A= {A) Püá seccrob G¡clld {sólid¿l
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@ Mofiz de CoüpoüUlidod
1 ra,co\t4ae &)s-Mgbz dÉ!
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2da. Có1üúno de lo Motiz de Cómnotíbílidod
sftt. Cólpúra de lo Moúz de Cónpatibilidod
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@ Motti2 de Caüpaübilidod
Mot iz de FiSitlez de Estntcrún
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(PIaca)
(Visa)
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