Relatório Difração (corrigido)

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Difrac¸a˜o
Luan Bottin de Toni(246851)
Grupo: Luan, Fabio, Augusto, Ramon
Professora: Cilaine Veronica Teixeira
23 de outubro de 2015
Resumo
Este relato´rio apresenta uma experieˆncia onde observou-se al-
guns fenoˆmenos caracter´ısticos da natureza ondulato´ria da luz, como
a difrac¸a˜o e interfereˆncia. Mostra-se que atrave´s de modelos teo´ricos e´
poss´ıvel calcular a espessura de um fio cabelo e o nu´mero de fendas por
mil´ımetro em uma grade de difrac¸a˜o, assim como em um CD e DVD.
1 Introduc¸a˜o
Difrac¸a˜o e´ o feˆnomeno que acontece quando uma onda encontra um
obsta´culo ou uma fenda. Este efeito e´ observado em todos os tipos de ondas.
Usualmente e´ dif´ıcil observar a difrac¸a˜o da luz, entretanto, a difrac¸a˜o das
ondas sonoras e´ facilmente observada sendo que o som contorna obsta´culos
de tamanhos razoa´veis, como paredes e mob´ılia, diferentemente da luz. Isso
ocorre porque os efeitos de difrac¸a˜o sa˜o observa´veis quando os obsta´culos ou
aberturas sa˜o de dimenso˜es compara´veis ao comprimento de onda; e o som
possui comprimento de onda cerca de oito ordens de grandeza maior que o
da luz.
Esta propriedade dos movimentos ondulato´rios foi estudada no ano de
1803 por Thomas Young, o qual demonstrou que a luz e´ um movimento
ondulato´rio e que tambe´m sofre interfereˆncia e difrac¸a˜o como os outros tipos
de onda. Young fez com que feixes de luz passassem por uma pequena e
estreita abertura e com um ateparo posicionado no outro lado ele viu que
na˜o aparecia somente uma linha reta, mas um conjunto de va´rias faixas com
diferentes intensidades.
Sendo assim, devemos observar o fenoˆmeno da difrac¸a˜o ao passar a luz
de um laser por uma ou va´rias fendas estreitas. Para o caso de um fenda
simples com abertura de tamanho a considere a seguinte figura:
1
No experimento de Young, depois de fazer passar a luz por uma fenda estreita, a luz passou por duas fendas.
Figura 1: Onda atravessando uma fenda simples.
Na figura 1 a fenda foi dividida mentalmente e outras duas de largura
a/2 e considera-se que D >> a. Sendo P um ponto de mı´nimo, temos que
a diferenc¸a de caminho entre os dois raios, sendo eles coerentes, e´ de meio
comprimento de onda (λ/2), se cancelando por interfereˆncia. Por geometria
vemos que essa diferenc¸a de caminho e´ a2sen(θ). Logo, podemos escrever
para o primeiro mı´nimo:
asend(θ) = λ
Da mesma maneira, se dividirmos mentalmente a fenda em quatro partes
iguais teremos para o segundo mı´nimo:
asen(θ) = 2λ
Se continuarmos a dividir a fenda em mais partes, aumentaremos o
aˆngulo onde os raios se interceptam. Assim podemos chegar a` relac¸a˜o para
o mı´nimos de intensidade para uma fenda simples:
asen(θ) = mλ m = 1, 2, 3, ...
E, considerando D >> a, portanto sen(θ) ' tg(θ) = y/D, onde y e´ a
distaˆncia do mı´nimo de ordem m para o ma´ximo central, podemos reescrever
a equac¸a˜o acima como:
a
y
D
= mλ m = 1, 2, 3, ... (1)
Sendo I0 a intensidade da luz que atinge a fenda, sabe-se que a intensi-
dade I que atinge o anteparo e´ dada por:
I = I0
sen2(α)
α2
e α =
piasen(θ)
λ
(2)
Sendo assim, quando α = 0 (ou (θ = 0) temos I = I0, que e´ a condic¸a˜o
para o ma´ximo central. Se α = mpi a intensidade sera´ nula, que e´ a condic¸a˜o
de mı´nimo. A figura 2 mostra como a intensidade decai conforme o aˆngulo
aumenta:
2
Figura 2: Gra´fico da intensidade para uma fenda simples.
No caso de um dispositivo com N fendas, denominado rede de difrac¸a˜o,
considere a seguinte figura onde a e´ a largura das fendas e d e´ a distaˆncia
entre elas:
Figura 3: Luz atravessando mu´ltiplas fendas.
Esse dispositivo produzira´ ma´ximos de intensidade de forma que obedec¸a
a` equac¸a˜o da rede, onde y e´ a distaˆncia entre um ma´ximo de ordem m ate´
o ma´ximo central:
dsen(θ) = mλ m = 0, 1, 2, 3, ... (3)
A intensidade total e´ o produto de um fator devido a` difrac¸a˜o de fenda
simples ( sen
2(α)
α2
) e um fator devido a` interfereˆncia causada pelas mu´ltiplas
fendas ( sen
2(Nβ)
sen2(β)
), onde β = pidsen(θ)λ . Sendo assim, temos a expressa˜o para
3
a intensidade no caso de fendas mu´ltiplas:
I = I0
sen2(α)
α2
sen2(Nβ)
sen2(β)
(4)
O gra´fico da intensidade resultante obtem-se a partir da multiplicac¸a˜o
do fator de difrac¸a˜o pelo fator de interfereˆncia e esta´ representado na figura
a seguir:
Figura 4: Gra´fico da intensidade para mu´ltiplas fendas.
Vemos que entre os ma´ximos de intensidade ha´ uma distribuic¸a˜o de in-
tensidades muito pequena, a luz nesses pontos e´ quase impercept´ıvel na
pra´tica, de modo que podem ser desprezados.
1.1 Princ´ıpio de Babinet
Este teorema, que sera´ usado em um experimento deste relato´rio, afirma
que o padra˜o de difrac¸a˜o causado por um objeto espec´ıfico e´ o mesmo que
o causado por um orif´ıcio de mesmas dimenso˜es. Considere um orif´ıcio de
diaˆmetro x >> λ, em um determinado ponto situado na sombra geome´trica
em um anteparo tem-se que a intensidade e´ nula, ou seja, o campo ele´trico
resultante neste ponto e´ igual a zero. Definindo-se um objeto A e seu com-
plementar B, tem-se que a soma dos campos ele´tricos provenientes dos dois
objetos e´ nula, portanto:
EA + EB = 0
ou seja, o campo ele´trico proveniente de dois objetos difratantes comple-
mentares e´ igual em magnitude.
Este princ´ıpio sera´ usado para a determinac¸a˜o da espessura de um fio de
cabelo, o qual podera´ ser considerado como uma fenda de mesma dimensa˜o.
Ale´m disso, veremos neste relato´rio os padro˜es de difrac¸a˜o citados anteri-
ormente e como podemos aplicar as fo´rmulas deduzidas para, por exemplo,
determinar o nu´mero de ranhuras por mil´ımetro de um CD.
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2 Materiais Utilizados
Foram utilizados os seguintes materiais:
• Laser de HeNe (λ = 632, 8nm);
• Banco o´ptico com cavaleiros;
• Fenda ajusta´vel;
• Slides com mu´ltiplas fendas;
• Anteparo;
• Fio de cabelo;
• CD e DVD;
• Trena (precisa˜o 0,1cm).
• Paqu´ımetro (precisa˜o 0,05mm).
3 Procedimento de coleta de dados
Foram posicionados sobre o banco o´ptico um laser de HeNe, um suporte
com uma fenda ajusta´vel e um anteparo como mostra a figura 5, deste modo
foi poss´ıvel observar qualitativamente o comportamento da luz ao passar pela
fenda, variando sua abertura.
Figura 5: Montagem do experimento.
Apo´s isso, trocou-se a fenda ajusta´vel por slides com 2, 3, 4, 5 e 50 fendas
para, assim, observar a relac¸a˜o da imagem observada no anteparo com o
nu´mero de fendas. Tambe´m observou-se o padra˜o de difrac¸a˜o causado por
um slide com fendas nos dois eixos.
Para determinar a espessura de um fio de cabelo posicionou-se o fio
de modo que o laser incidisse neste para formar o padra˜o de difrac¸a˜o no
anteparo. Mediu-se com uma trena a distaˆncia entre o fio e o anteparo.
5
Para melhor medic¸a˜o das distaˆncias dos mı´nimos foi colocado uma folha em
branco no anteparo para marcar com uma caneta suas posic¸o˜es e posterior-
mente medir a distaˆncia dos mı´nimos de mesma ordem com um paqu´ımetro,
mediu-se a distaˆncia de quatro mı´nimos.
Usou-se tambe´m uma rede de difrac¸a˜o para calucular o nu´mero de fendas
por mil´ımetro e comparar com o valor informado pelo fabricante (50 x mm).
Neste caso mediu-se a distaˆncia entre dois ma´ximos de mesma ordem usando
o mesmo procedimento explicado anteriormente. Procedimento semelhante
foi adotado para calcular o nu´mero de ranhuras por mil´ımetro de um CD e
um DVD, pore´m, estes refletem a luz do laser, logo foi necessa´rio inclinar
a mı´dia utilizada de forma que a luz refletida atingisse o anteparo posicio-
nado em paralelo; como neste u´ltimo experimento os ma´ximos ficavam muito
espac¸ados, mediu-se diretamente a distaˆncia y com uma trena.
4 Dados Experimentais
A tabela abaixo refere-se ao experimento do fio de cabelo e mostra os va-
lores coletados para a distaˆncia entre dois mı´nimos de mesmaordem. Sendo
y a distaˆncia entre um mı´nimo e o ma´ximo central, o valor aqui coletado e´
2y. A distaˆncia do fio de cabelo ao anteparo e´ D = 78, 20(±0, 05)cm. E,
a partir do princ´ıpio de Babinet, utilizando a equac¸a˜o 1 calculou-se o valor
para a espessura do fio de cabelo (a) com sua incerteza propagada.
Tabela 1: Valores medidos e calculados para a espessura do fio de cabelo.
2y(±0, 003)(cm) m a(µm)
1, 265 1 78, 2(±0, 4)
2, 590 2 76, 4(±0, 2)
3, 825 3 77, 6(±0, 1)
5, 270 4 75, 1(±0, 1)
Da mesma forma coletou-se os dados para o experimento com rede de
difrac¸a˜o. Usando um slide com 50 fendas por mil´ımetro (valor informado
pelo fabricante) mediu-se a distaˆncia entre dois ma´ximos de mesma ordem
(2y) e a distaˆncia entre o slide e o anteparo D = 64, 80(±0, 05)cm. Utili-
zando a equac¸a˜o 3 e considerando D >> y calculou-se a distaˆncia d entre as
fendas e propagou-se sua incerteza. Os valores sa˜o encontrados na tabela 2.
A tabela 3 refere-se aos dados coletados para o experimento do CD e
DVD. Onde as distaˆncias d entre as fendas tambe´m foram calculadas pela
equac¸a˜o 3, pore´m nesse caso na˜o se pode fazer a considerac¸a˜o de que D >>
y, por isso, calculou-se o sen(θ).
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Tabela 2: Valores medidos e calculados para a rede de difrac¸a˜o.
2y(±0, 003)(cm) m d(µm)
3, 950 1 20, 76(±0, 04)
8, 040 2 20, 40(±0, 02)
12, 075 3 20, 38(±0, 02)
16, 340 4 20, 08(±0, 02)
Tabela 3: Valores medidos e calculados para as mı´dias de CD e DVD.
Mı´dia y(±0, 05)(cm) D(±0, 05)(cm) sen(θ) d(µm)
CD 5, 90 12, 00 0, 441(±0, 004) 1, 43(±0, 01)
DVD 12, 00 8, 00 0, 832(±0, 006) 0, 761(±0, 006)
5 Ana´lise dos Dados
Ao incidir o laser sobre uma fenda simples ajusta´vel observou-se um
padra˜o de franjas claras e escuras como mostrado na figura 6.
Figura 6: Padra˜o de difrac¸a˜o para uma fenda simples.
Nota-se na fotografia do experimento que as franjas mais afastadas do
ma´ximo central possuem menor intensidade como mostrado no gra´fico da
intensidade para uma fenda simples (figura 2). Quando variamos a abertura
da fenda vimos que a` medida que a espessura da fenda (a) diminuia, a
distaˆncia dos mı´nimos para o ma´ximo central (y) aumentava; vimos tambe´m
que ao aumentar a distaˆncia entre o anteparo e a fenda (D), a distaˆncia entre
as franjas (y) tambe´m aumentava. Tais comportamentos esta˜o de acordo
com a teoria (vide equac¸a˜o 1).
Utilizando os valores calculados para a apresentados na tabela 1, obteu-
se um valor me´dio para a espessura do fio de cabelo, pois esta pode ser
considerada como uma fenda simples de mesmas dimenso˜es como explica
o princ´ıpio de Babinet; sua incerteza foi definida como o desvio padra˜o da
me´dia. Assim, o valor encontrado e´ de:
a = 76, 8(±0, 7)µm
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Ao utilizar slides com fendas mu´ltiplas notou-se que as franjas claras
tornavam-se mais n´ıtidas e espac¸adas. Como explicado anteriormente, para
o caso de fendas mu´ltiplas ocorre o fenoˆmeno da interfereˆncia ale´m da di-
frac¸a˜o. Foi tirada uma fotografia para o caso de 2 e 50 fendas:
Figura 7: Padra˜o observado para 2 e 50 fendas, respectivamente.
Vemos que para o caso de 50 fendas os ma´ximos esta˜o muito mais n´ıtidos
e espac¸ados. Como mostrado no gra´fico da intensidade para mu´ltiplas fendas
(figura 4) os ma´ximos de menor intensidade situados entre esses de maior
intensidade sa˜o impercept´ıveis. Tambe´m vemos que a intensidade diminui
conforme os pontos se afastam do ma´ximo central, fato tambe´m previsto
pela figura 4.
Os dados apresentados anteriormente na tabela 2 referem-se a um slide
no qual e´ informado pelo fabricante que possui 50 fendas por mil´ımetro.
Para verificar tal informac¸a˜o, calculou-se o valor me´dio para a distaˆncia d
entre as fendas e seu desvio padra˜o da me´dia; e, apo´s isso, calculou-se o
nu´mero de fendas N existentes em um mil´ımetro:
d = 20, 4(±0, 1)µm
N =
1mm
d
= 49, 0(±0, 2)
Logo, obtemos um erro percentual de apenas 2%, mostrando que o
me´todo e´ eficaz para tais medidas. Sendo assim, podemos fazer os mes-
mos ca´lculos para a obtenc¸a˜o do nu´mero de fendas por mil´ımetro de um
CD (NCD) e de um DVD (NDVD) a partir dos dados medidos e calculados
apresentados na tabela 3.
NCD = 699(±5)
NDVD = 1314(±10)
Apesar de na˜o saber o valor informado pelo fabricante para poder compa-
rar os resultados, os valores obtidos parecem plaus´ıveis sendo que o me´todo
mostrou-se eficaz ao chegar perto do valor real para o slide de 50 fendas por
mil´ımetro. Tambe´m observamos que a mı´dida de DVD possui cerca de treˆs
vezes mais ranhuras que o CD, o que teoricamente era esperado ja´ que o
DVD possui capacidade de armazenamento muito maior.
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As posições dos mínimos se mantém, desde que a distância d entre as fendas se mantenha. O efeito mais visível e importante é que com o aumento do números de fendas os picos ficam mais estreitos, por isso mais intensos, e os pontos escuros mais largos. Porém, se a distância entre fendas é a mesma, e D também, a distância centro a centro entre linhas é a mesma.
6 Conclusa˜o
Foi poss´ıvel observar diversos fenoˆmenos relacionados a` natureza ondu-
lato´ria da luz; e a partir de modelos matema´ticos mostrou-se que e´ poss´ıvel
calcular a espessura de um fio de cabelo atrave´s do princ´ıpio de Babinet,
assim como calcular o nu´mero de ranhuras presentes em um mil´ımetro de
um CD ou DVD. Algumas fontes de erros podem ter alterado os resultados
finais, tais como falta de cuidado e precisa˜o na hora das medidas.
Refereˆncias
[1] EUGENE HECHT Optics, Addison Wesley Longman Inc., 4a ed., San
Francisco, 2002.
[2] WIKIPEDIA, Babinet’s Principle. Dispon´ıvel em: https:
//en.wikipedia.org/wiki/Babinet%27s_principle. Acessado
em 20/10/2015.
[3] D. HALLYDAY, R. RESNICK & J. WALKER, Fundamentos de F´ısica
vol.4 - O´ptica e F´ısica Moderna, editora LTC, 8a edic¸a˜o, 2010.
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9,9/10
	Introdução
	Princípio de Babinet
	Materiais Utilizados
	Procedimento de coleta de dados
	Dados Experimentais
	Análise dos Dados
	Conclusão