Equação de Schroedinger em 3 dimensões e Quantização do Momento Angular

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A equação de Schroedinger em três 
dimensões 
Aula 14 
Equação de Schroedinger em 3 
dimensões 
Em três dimensões, a equação de Schroedinger independente do tempo tem a forma 
 
 
 
 
 
Poço Quadrado Infinito 
 
 
A função de onda é nula nas paredes de uma caixa e é senoidal no interior dela. 
 
 
 
 
 
Equação de Schroedinger em 3 
dimensões 
A energia é dada por 
 
 
 
Para que a função de onda seja nula nas paredes . 
 
Neste caso, a energia total fica 
 
 
 
A energia e a função de onda são caracterizadas por 3 números quânticos, resultantes de 
3 condições de contorno, uma para cada coordenada. 
Neste caso os números quânticos são independentes, mas em alguns casos, eles podem 
afetar uns aos outros. 
 
 
Equação de Schroedinger em 3 
dimensões 
O estado fundamental corresponde a 
 
 
 
Mas o primeiro estado excitado, corresponde a 3 combinações diferentes: 
 
 
 
 
Cada conjunto corresponde uma função de onda diferente, mas com mesma energia. 
Um nível de energia ao qual está associadas duas ou mais funções de onda é chamado 
degenerado. 
Neste caso a degeneração é tripla, pois existem 3 funções de onda com a mesma 
energia. 
 
 
Equação de Schroedinger em 3 
dimensões 
São degenerados Não são degenerados 
Equação de Schroedinger em 
coordenadas esféricas 
Vamos supor o próton em repouso no átomo, vamos tratar o átomo de hidrogênio como 
uma partícula isolada, o elétron se movendo com certa energia cinética, no campo 
elétrico do núcleo, com energia potencial 
 
 
 
Dependente da distância radial 
 
Vamos substituir a massa do elétron pela massa reduzida . 
 
A eq. De Schroedinger fica 
 
 
 
 
Equação de Schroedinger em 
coordenadas esféricas 
Quantização do Momento Angular 
Para resolver a eq. de Schroedinger precisamos separar as variáveis 
 
 
O resultado é 
 
 
 
 
 
 
Os dois lados devem ser iguais a uma constante, que chamaremos . 
Quantização do Momento Angular 
Resolvendo cada parte, encontramos que 
 
 
 
 
Onde . 
As funções são chamadas funções de Legendre associadas. Elas são chamadas 
Polinômios de Legendre quando m = 0. 
 
O produto 
 
 
Constitui uma família de funções chamados harmônicos esféricos. 
Quantização do Momento Angular 
Quantização do Momento Angular 
Da mesma forma que fizemos na eq. de Schroedinger em 1 dimensão, vamos definir os 
operadores 
 
 
 
 
 
Mas 
 
 
 
 
 
Assim, 
 
 
Quantização do Momento Angular 
Escrevendo 
 
 
Temos que 
 
 
 
Para qualquer potencial da forma V=V(r), o momento angular é quantizado e os valores 
permitidos (autovalores) do módulo do momento angular são 
 
 
 
Onde é chamado de número quântico orbital. 
Podemos escrever também 
 
 
Onde m é chamado número quântico magnético. 
Quantização do Momento Angular 
A funções de onda são escritas então como 
 
 
 
 
Onde é uma constante de normalização. 
E os números quânticos que caracterizam as funções de onda são 
 
 
 
 
 
E são consequência da eq. de Schroedinger independente do tempo conter 3 variáveis.