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1 Critério do VPL (definição e exercícios), projetos com durações distintas Thiago Fonseca Morello fonseca.morello@ufabc.edu.br sala 301, Bloco Delta, SBC 1 Análise de projetos 2, critério do VPL para projetos com durações distintas 1.1 Teoria No tópico anterior, o critério do VPL foi aplicado como base para decidir entre projetos com horizontes ou durações de tempo equivalentes. Porém, o problema de comparar, por exemplo, o investimento em duas máquinas que realizam a mesma função produtiva, mas, porém, possuem vidas úteis distintas, também se coloca na prática. Esta sutileza requer a incorporação de um passo adicional ao procedimento de aplicação do critério do VPL. Trata-se de especificar um horizonte de tempo comum a todos os projetos avaliados. E então aplica-se o critério do VPL para as séries de fluxos monetários de cada projeto tomando-se como referência o horizonte comum. Para definir o horizonte de tempo comum, há dois critérios possíveis, como segue: 1. Mínimo múltiplo comum: o horizonte comum é definido como o mínimo múltiplo comum (MMC) das durações dos projetos. Por exemplo, assumamos que estão sendo comparados três projetos, com durações de dois, quatro e seis anos. O MMC das durações é de 12 anos e esta é a duração comum segundo o presente critério; 2. Período de estudo (ou horizonte de planejamento, Blank e Tarquin, seção 5.3): define-se o horizonte comum de acordo com uma referência de tempo que se mostra adequada para o investidor, desconsiderando a vida útil (duração) dos projetos; O primeiro critério exige que os projetos com duração inferior ao horizonte comum tenham seus fluxos de caixa replicados no tempo um número de vezes necessário para preencher completamente o horizonte comum. O exemplo fornecido ao tratar do critério daria origem aos três fluxos de caixa no diagrama da próxima página. Nele, a escala de tempo comum aos projetos está acima dos três projetos com número em vermelho. Abaixo dela tem-se os três projetos, replicados sequencialmente para preencher 12 períodos. Os fluxos de caixa líquidos originais dos projetos estão destacados por retângulos pontilhados. 2 Diagrama: projetos com duração de 2, 3 e 4 anos replicados em um horizonte de tempo comum definido pelo MMC das durações Escala comum 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Projeto 1 RL RL RL RL RL RL RL RL RL RL RL RL VPL? ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ P P P P P P Projeto 2 RL RL RL RL RL RL RL RL RL RL RL RL VPL? ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 ↓ ↓ ↓ ↓ P P P P Projeto 3 RL RL RL RL RL RL RL RL RL RL RL RL VPL? ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 ↓ ↓ P P 3 A análise financeira de projetos com durações distintas apenas é válida caso seja observado o princípio a seguir, conforme exposto por Blank e Tarquin (p.134): “O valor presente das alternativas deve ser comparado ao longo do mesmo número de anos e [tal número de anos] deve terminar no mesmo instante (...)”. Isso significa que a aplicação do critério de período de estudo ao caso dos três projetos com durações de 2, 3 e 4 anos não pode se dar com base em um período superior a 2 anos. Outro detalhe sobre o critério do período de estudo está em que todos os fluxos monetários que ocorrem fora do período são ignorados. 2.2 Exercícios 1 (Blank e Tarquin, 2011, ex. 5.24) Uma empresa do setor químico deve decidir entre três métodos de deposição de resíduos químicos não-perigosos. São eles: (1) aplicação na terra, (2) incineração em reatores de leito fluidizado e (3) deposição em uma área privada mediante pagamento do serviço. As estimativas de custo para cada método estão na tabela. Determine qual é o método de menor custo considerando para isso uma taxa de juro de 10%. Método 1 Método 2 Método 3 Taxa de juro a.a [comum] 0,10 0,10 0,10 Custo inicial 130.000,00 900.000,00 - Custo operacional anual 95.000,00 60.000,00 120.000,00 Receita anual Não se aplica Não se aplica Não se aplica Valor residual 25.000,00 300.000,00 - Vida útil (anos) 3 6 2 R: O passo zero não é necessário pois o enunciado provê a tabela de dados. Passo 1, definição do horizonte comum Optando-se pelo critério do MMC, o horizonte comum é de seis anos. Passo 2, elaboração dos fluxos de caixa líquidos ao longo do horizonte comum Os métodos 1 e 3 terão de ter seus fluxos de caixa replicados um número de vezes equivalente à divisão da duração comum pela duração de cada um. É recomendável a elaboração dos diagramas de fluxo de caixa para a comparação de projetos com durações distintas. 4 Há alguns detalhes que requerem cautela. 1. O custo inicial dos métodos 1 ocorre mais de uma veze sempre ao final do período anterior àquele em que se inicia uma nova replicação. O custo inicial é pago não apenas em t = 0, mas também ao final do terceiro período ou, o que é equivalente, no início do quarto período. Neste último período, o custo inicial deve ser somado às despesas que ocorrem ao final do terceiro período; 2. Deve-se proceder analogamente para o caso dos valores residuais; 3. O valor residual do método 2 é superior à despesa operacional, e, portanto, no último período deste projeto deve ocorrer um fluxo líquido positivo; 4. Já, para o método 1, o valor residual é inferior à despesa operacional e, portanto, haverá um fluxo negativo no último período. Assim fazendo, acaba-se com os fluxos de caixa líquidos a seguir. Ano Método 1 Método 2 Método 3 0 - 130.000,00 - 900.000,00 0 1 - 95.000,00 - 60.000,00 - 120.000,00 2 - 95.000,00 - 60.000,00 - 120.000,00 3 - 200.000,00 - 60.000,00 - 120.000,00 4 - 95.000,00 - 60.000,00 - 120.000,00 5 - 95.000,00 - 60.000,00 - 120.000,00 6 - 70.000,00 240.000,00 - 120.000,00 Passo 3, cálculo dos VPLs VPL(método 1) = 5 −130.000− ଽହ. ଵା −⋯− ଽହ.(ଵା)ల − ଵଷ.(ଵା)య + ଶହ.(ଵା)య + ଶହ.(ଵା)ల = −130.000 −95.000 ቀ(ଵା,ଵ)లିଵ ୧(ଵା,ଵ)ల ቁ+ ଶହ.(ଵା)య + ଶହ.(ଵା)ల = −ܴ$ 608.525,97. VPL(método 2) = −900.000− . ଵା −⋯− .(ଵା)ల + ଷ.(ଵା)ల = −900.000 − 60.000 ቀ(ଵା,ଵ)లିଵ୧(ଵା,ଵ)ల ቁ + ଷ.(ଵା)ల = −ܴ$ 991.973,46 VPL(método 3) = − 120.0001 + ݅ − ⋯− 120.000(1 + ݅) = −120.000ቆ(1 + 0,05) − 1i(1 + 0,05) ቇ = ܴ$ 522.631,28. 2 Análise de projetos 3, taxa interna de retorno 2.1 Teoria básica 2.1.1 Definição Um critério de escolha dentre projetos de investimento alternativos é o da taxa interna de retorno (TIR). Trata-se da taxa de juro que faz com que o valor presente da série de fluxos de receitas se iguale ao valor presente da série de fluxos de despesas. De maneira equivalente, a taxa interna de retorno é a taxa de juro que torna nulo o valor presente líquido do fluxo de caixa. Formalmente, a TIR é dada por i* tal que: ܸܲܮ(݅∗) = 0 ⟷ ܴܮ௧(1 + ݅∗)௧ே ୀଵ − ܲ = 0 Uma interpretação mais intuitiva da TIR é proposta por Newnan et al (2004, cap.7). Trata-se da taxa de retorno que torna o valor presente dos benefícios proporcionado pelo investimento igual ao valor presente dos custos. É claro que os benefícios correspondem às receitas, {ܴ௧}௧ୀଵ் e os custos às despesas, {ܦ௧}௧ୀ், com D0 representando o investimento inicial (D0 = P). Deste modo: ܸ ܲí௦(݅∗) = ܴଵ(1 + ݅∗)ଵ + ܴଶ(1 + ݅∗)ଶ + ⋯+ ்ܴ(1 + ݅∗)் ܸ ܲ௨௦௧௦(݅∗) = ܦ + ܦଵ(1 + ݅∗)ଵ + ܦଶ(1 + ݅∗)ଶ + ⋯+ ܦ்(1 + ݅∗)் ܸ ܲí௦(݅∗) = ܸ ܲ௨௦௧௦(݅∗) ⟷ ܴ௧(1 + ݅∗)௧ே ୀଵ = ܦ௧(1 + ݅∗)௧ே ୀ 6 2.1.2 Critério de decisão da TIR Uma vez definida a TIR, cabe apresentar o critério de decisão de investimento nela embasado. Para isso, é esclarecedor considerar a relação existente entre os valores da TIR, da TMAR e o VPL, ilustrada na figura 1. Como se vê na figura 1, o VPL decai com a taxa de juro “i”, atingindo seu maior valor para i = 0 e deixa de ser positivo para “i” grande. O que quer dizer que existe um valor de “i” para o qual VPL = 0, tal valor sendo exatamente a TIR. Ou seja, a TIR é a taxa de juro que separa o conjunto de taxas de juro possíveis em dois subconjuntos, um primeiro subconjunto associado a um VPL positivo e um segundo subconjunto associado a um VPL negativo. Isso quer dizer que, para valores da TMAR pertencentes ao primeiro subconjunto, i.e., se TMAR < TIR, o VPL calculado com base na TMAR é positivo. Já, para valores da TMAR > TIR, o VPL é negativo. Para fechar o raciocínio basta recordar que VPL > 0 significa que o investimento produtivo é financeiramente recompensador, o contrário valendo para VPL < 0. Em suma... Critério da TIR para decidir se um investimento produtivo vale a pena: Se TIR > TMAR, o investimento produtivo vale a pena [rendimento financeiro < rendimento produtivo] Se TIR < TMAR, o investimento produtivo não vale a pena [rendimento financeiro > rendimento produtivo] Se TIR = TMAR, o investimento produtivo é financeiramente equivalente ao investimento financeiro comparável [rendimento financeiro = rendimento produtivo]. Figura 1 VPL em função da taxa de juro (função VPL(i)) (curva sólida) Nota: VPL para o fluxo de caixa {-100(t=0),50,50,...,50(t=10)} Atenção: caso haja mais de um projeto sob consideração, não se deve utilizar a TIR para decidir, pois ela pode levar a um ranqueamento equivocado das alternativas. Neste caso, a análise de VPL se mostra mais adequada. 7 2.1.3 Dificuldades práticas na aplicação do critério da TIR e a TIR modificada (TIRM) Apesar de ser intuitiva a definição da TIR, ela impõe algumas dificuldades operacionais. Tais dificuldades decorrem da impossibilidade de utilizar a fórmula que define a TIR para calcula-la. É impossível isolar i* na primeira definição apresentada na seção anterior. A razão disso está em que i* é a raiz de um polinômio cuja ordem é equivalente à duração total do projeto, T. Para compreender, pode-se considerar a maneira mais geral de definir a TIR, como segue. ݅∗: ܴܮଵ(1 + ݅∗)ଵ + ܴܮଶ(1 + ݅∗)ଶ + ⋯+ ܴܮ்(1 + ݅∗)் − ܲ = 0 ⟷ ݅∗:ܴܮଵ ൬ 11 + ݅∗൰ଵ + ܴܮଶ ൬ 11 + ݅∗൰ଶ + ⋯+ ܴܮ் ൬ 11 + ݅∗൰் − ܲ = 0 ⟷ ݅∗:ܴܮଵݍଵ + ܴܮଶݍଶ + ⋯+ ܴܮ்ݍ் − ܲ = 0,ݍ = ൬ 11 + ݅∗൰ Fica claro, pois, que a TIR é a raiz de um polinômio de grau T. Disso decorrem duas dificuldades operacionais. A primeira está em que, para T > 3, este geralmente o caso, não há uma fórmula sintética que permita obter i*, sendo necessário recorrer a métodos numéricos, i.e., a algoritmos computacionais que permitam calcular o valor aproximado de i*. Um dos métodos mais eficientes (rápido) é o método de Newton-Raphson (vide Bueno et al., 2011, seção 6.2.4). A segunda dificuldade operacional se desdobra em três. Não há, a priori, razões pelas quais exista apenas um valor para a TIR e nem mesmo é possível eliminar as possibilidades de que a TIR seja negativa ou seja um número complexo (i.e., seja um número não-real). De fato, o número de valores para a TIR é equivalente ao número de vezes em que o sinal do fluxo de caixa líquido muda ao longo da duração do projeto. Este princípio foi pioneiramente demonstrado por Descartes e é referido como “regra dos sinais” (Blank e Tarquin, 2005, p.181)1. É possível redefinir a TIR de modo a evitar todas as espécies de resultados indesejáveis. Para isso, é preciso repensar a maneira como o fluxo de caixa de um projeto de investimento é retratado pela TIR. Seja considerado o fluxo de caixa genérico a seguir, em que há uma série de receitas de valor R e uma série de despesas de valor D. 1 Se, pois, há apenas uma mudança de sinal, então há apenas uma raiz e a segunda dificuldade operacional é parcialmente eliminada. Parcialmente pois não necessariamente a raiz será real e positiva. 8 É rigoroso com o princípio de custo de oportunidade do dinheiro assumir que as receitas, assim que recebidas pelo investidor, são aplicadas à taxa de juro de mercado. Com isso seria possível gerar, em t = T, um montante total equivalente ao valor futuro das receitas, VF(R,i,T), em que i é a taxa de juro de mercado2. O mesmo raciocínio não pode ser feito quanto às despesas, pois estas são efluxos monetários, i.e., desembolsos que o investidor deve honrar e não influxos ou recebimentos como as receitas. Uma vez que o investidor não recebe a série de valores D, não há sentido em assumir que ele possa aplicar D. Neste caso, a coerência com o princípio de custo de oportunidade do dinheiro se expressa em assumir que o investidor pode aplicar o capital possuído em t = 0 de maneira a gerar uma série de fluxos compatível com as obrigações de pagamento que enfrenta em cada um dos períodos de t = 1,..., t = T. Trata-se, pois, de calcular o valor presente do fluxo de despesas. Mas há mais uma diferença em relação à série de receitas. Assume-se que a taxa utilizada para calcular o valor presente da série de despesas é diferente daquela utilizada para calcular o valor futuro da série de receitas. A primeira, pois, não é a taxa de mercado, mas sim a taxa à qual é possível tomar crédito, ic. Na prática, é comum que esta última taxa corresponda à média ponderada do custo de capital, weigthed average cost of capital (WACC) em inglês. (notar que o cálculo do VF das receitas e do VP das despesas funciona de maneira a simplificar o projeto à ideia básica de montante de uma aplicação a juro, com o capital inicial sendo representado pelo VP e o montante pelo VF). Uma vez calculados o VF da série de receitas e o VP da série de despesas, pode-se calcular a taxa de retorno gerada ao longo de toda a duração do projeto, a qual é equivalente a VF/VP – 1. Trata-se da taxa de retorno referente a toda a duração do projeto. Porém, é mais comum que se tenha interesse em conhecer a taxa equivalente com capitalização periódica. Basta, portanto, calcular TIRM = [(VF/VP – 1)+1]1/T – 1 ou, de maneira mais sintética, TIRM = (VF/VP)1/T – 1, em que “TIRM” representa a TIR modificada. 2 Este raciocínio assume que os recursos gerados pelo projeto não são utilizados em outros projetos paralelamente em execução, algo que não necessariamente é correto para alguns casos práticos (p.ex., o de uma empresa que desenvolve múltiplos projetos produtivos). Mas, de qualquer maneira, trata-se apenas de um raciocínio abstrato que procura estabelecer um critério para o cálculo da rentabilidade de um projeto de investimento. R R R R R ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ... 0 1 2 3 4 T ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ D D D D D D 9 Para o fluxo de caixa genérico anterior, composto por séries uniformes de receita e de despesa, a TIRM pode ser calculada como: ݅∗ᇱ:ܶܫܴܯ = ቆ ܸܨ(ܴ, ݅, ܶ) ܸܲ(ܦ, ݅, ܶ)ቇଵ/் − 1 ⟷ ݅∗ᇱ:ܶܫܴܯ = ൦ ܴ (1 + ݅)் − 1݅ ܦ + ܦ (1 + ݅)் − 1݅(1 + ݅)் ൪ ଵ/் − 1 Há uma maneira de definir a TIRM que se aplica a um maior número de possibilidades de fluxos de caixa. Tal maneira toma por base (i) o valor presente de fluxos negativos {ܨ௧ି}௧ୀ் , calculado a partir de ic, e (ii) o valorfuturo de fluxos positivos, {ܨ௧ା}௧ୀଵ் , calculado a partir da taxa de mercado, i. I.e.: ݅∗ᇱ:ܶܫܴܯ = ቆ ܸܨ(ܨ௧ା, ݅,ܶ) ܸܲ(ܨ௧ି, ݅ ,ܶ)ቇଵ/் − 1 ⟷ ݅∗ᇱ:ܶܫܴܯ = ൮∑ ܨ௧ା(1 + ݅)்ି௧்௧ୀଵ ∑ ܨ௧ ି(1 + ݅)௧்௧ୀ ൲ ଵ/் − 1 Esta definição, pois, se aplica a qualquer fluxo de caixa líquido. Em alguns livros-texto a TIRM é definida de maneira alternativa, a qual corresponde a uma manipulação algébrica das definições aqui apresentadas, como segue. ݅∗ᇱ:ܶܫܴܯ = ቆ ܸܨ(ܨ௧ା, ݅,ܶ) ܸܲ(ܨ௧ି, ݅ ,ܶ)ቇଵ/் − 1 ⟷ (ܶܫܴܯ + 1)் = ܸܨ(ܨ௧ା , ݅,ܶ)ܸܲ(ܨ௧ି, ݅ , ܶ) ⟷ ܸܲ(ܨ௧ି, ݅ ,ܶ)(ܶܫܴܯ + 1)் = ܸܨ(ܨ௧ା, ݅,ܶ) Esta última fórmula é mais comum nos livros-texto. Deve-se afirmar que a TIRM pode ser calculada mesmo que ic = i, i.e., a hipótese de que a taxa à qual o investidor toma recursos difere da taxa de mercado não é condição necessária para que a TIRM esteja definida (seja calculável). Porém, é uma convenção adotada nos livros-texto a de que ambas as taxas difiram e, mais do que isso, que a taxa pela qual se toma recursos seja inferior à taxa de retorno de aplicações financeiras, ic < i. Esta última convenção pode ser compreendida de maneira mais fácil considerando um investidor específico, um banco, cuja atividade consiste em emprestar recursos. Neste caso, ic representa a taxa paga pelo banco para obter recursos de seus clientes, por exemplo, o rendimento da caderneta de poupança, enquanto i é a taxa a qual o banco repassa tais recursos para tomadores. Então i – ic seria o spread bancário. É esclarecedor 10 recordar do exercício 4 da nota 5 em que foi calculada exatamente a TIRM do empréstimo realizado pelo banco. O essencial é que a TIRM é exatamente a taxa de retorno periódica gerada pelo projeto de investimento. Enquanto a TIR é a taxa de retorno que torna o VPL nulo. Duas definições fundamentalmente distintas. De fato, a TIRM está apoiada em um critério mais intuitivo e me parece que é exatamente por isso que ela está livre de dificuldades operacionais. O critério de decisão acerca de um único projeto com base na TIRM é equivalente ao que prevalece para a TIR ordinária. Um projeto com TIRM superior à taxa de mercado, i, deve ser realizado. Assim como para o caso da TIR, deve-se evitar o uso da TIRM para decidir acerca de dois ou mais projetos. 2.2 Exercícios 1 (Blank e Tarquin, 7.41) A companhia Swagelok de Solon, Ohio (EUA), produz fluxómetros de área variável para medir fluxos líquidos e gasosos. Se os custos de ferramental e início da produção foram de $400.000,00 em t = 0 e de $190.000,00 em t = 3, determine a taxa externa de retorno utilizando a TIRM. Considere que uma receita de 160.000,00 por ano de t=1 a t = 10, uma TMAR de 20% a.a. e uma taxa de tomada de recursos de 9% a.a. R: A tabela com o fluxo de caixa segue abaixo. Ano Fluxo 0 - 400.000,00 1 160.000,00 2 160.000,00 3 - 30.000,00 4 160.000,00 5 160.000,00 6 160.000,00 7 160.000,00 8 160.000,00 9 160.000,00 10 160.000,00 Passo 1, cálculo do VP das despesas ܸܲ(ܦ) = 400.000 + 190.000(1 + 0,09)ଷ = ܴ$ 546.714,86 Passo 2, cálculo do VF das receitas 11 ܸܨ(ܴ) = 160.000(1 + 0,2)ଵି௧ଵ ௧ୀଵ = 160.000 (1 + 0,2)ଶ − 10,2 = 4.153.389,14 Passo 3, cálculo da TIRM TIRM = (VF/VP)1/T – 1 = (4.153.389,14 /546.714,86)1/10 – 1 = 0,22479717. Passo 4, decisão Como a TIRM se mostra superior a TMAR, o investimento deve ser realizado. 2 (Newnan et al, 2004, 7A-2) Um grupo de executivos adquiriu um carro de corrida. O fluxo de caixa gerado por este empreendimento está resumido na tabela abaixo. Considerando uma TMAR de 10% a.a determine, com base na TIRM se o investimento se mostrou economicamente recompensador. Ano Receitas Despesas Receita líquida 0 - 50.000,00 - 50.000,00 1 80.000,00 85.000,00 - 5.000,00 2 80.000,00 70.000,00 10.000,00 3 80.000,00 80.000,00 0 4 160.000,00 80.000,00 80.000,00 Passo 1, cálculo do VP dos fluxos negativos ܸܲ(ܦ) = 50.000 + 5.000(1 + 0,1)ଵ = ܴ$ 55.500,00 Passo 2, cálculo do VF das receitas ܸܲ(ܦ) = 10.000(1 + 0,1)ଶ + 80.000(1 + 0,1)ସ = ܴ$ 129.228,00 Passo 3, cálculo da TIRM TIRM = (VF/VP)1/T – 1 = (129.228,00 /55.500,00)1/4 – 1 = 0,2353. Passo 4, decisão Dado que a TIRM se mostrou superior à TMAR, o investimento no carro de corrida foi financeiramente recompensador.
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