2 Modelo

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1
CONCEITO DE 
MODELO
Luz Amparo Palacio Santos / DOPI
2
Conteúdo
� Conceito de Modelo
� Transformada de Laplace
� Sistemas de primeira ordem
� Funções de transferência
� Diagrama de blocos
� Resposta a diferentes funções perturbadoras
� Sistemas de segunda ordem e superiores
3
O que é Modelo em 
Engenharia Química?
Exemplo:
Comportamento de um 
destilador em batelada 
para uma mistura de 
três componentes que 
vai ser parcialmente 
separada
Controle
pressão
h
T
r
T
V
Q xi
yi
Equações para explicar o 
comportamento
Conjunto de equações que permitem predizer o 
comportamento de processos químicos
4
Modelo do destilador
1A B Cy y y+ + =
i
vi i
i
Blog P A
T C
= −
+
i vi iy P x=
A A B B C CM x M x M x M= + +
i i
i
x M
w
M
=
1
CA B
A B C
ww w
ρ
ρ ρ ρ
=
+ +
2
4t
D h
m
M
pi ρ
=
V
dt
dmt +=0 ( ) AA Vymdt
d
+=0 ( ) BB Vymdt
d
+=0
( )l vdQ H VHdt= +
Conservação de massa:
Conservação de energia:
Equações constitutivas:
AtA xmm =
BtB xmm =
5
Modelo do destilador
2 3
i i i i iCp a bT c T d T= + + +
( )
0
i ci
i
ci i
k T T
T T
λ −=
−
( )( )25vi i i iH y T Cp Tλ= + −
v vA vB vCH H H H= + +
( )( )25li i iH x Cp T= −
l l A lB lCH H H H= + +
( )0 rQ q T T= −
Equações constitutivas:
6
Qual é a diferença entre 
modelagem e simulação?
� Modelagem: 
Desenvolvimento de uma representação 
matemática de uma situação física
� Simulação:
Procedimento de solução das equações que 
resultaram do desenvolvimento do modelo
7
Simulação do destilador
0 5 10 15 20
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tiempo, min
F
r
a
c
c
i
ó
n
 
m
o
l
a
r
 
e
n
 
f
a
s
e
 
l
í
q
u
i
d
a
Hexano R-K
Heptano R-K
Octano R-K 
dt = 15, 100s
Tempo (min)
F
r
a
ç
ã
o
 
m
o
l
a
r
 
n
a
 
f
a
s
e
 
l
í
q
u
i
d
a
8
Modelagem em Engenharia 
Química
� Principais objetos de estudo:
� Pesquisa e desenvolvimento de processos
� Projeto de processos
� Operações de processos
� Áreas envolvidas:
� Fluidodinâmica
� Transferência de massa
� Transferência de calor
� Cinética
� Dinâmica e controle
9
Classificação Modelagem
Estado
Informação conhecida
Número de variáveis 
independentes
Rigorosidade
Estacionário
Transiente
Fundamental ou teórico
Semi-empírico
Empírico
Concentrado
Distribuído
Detalhado
Simplificado
10
Exemplo
Líquido incompressível é alimentado a um tanque 
com uma vazão constante e a descarga é por 
gravidade
F0
F
h
Balanço de massa:
( )
( )
( )
( )3 2
2 
1 0
0
ghv
avF
A
FF
dt
dh
dt
AhdFF
=
=
−
=
=−
ρρρ
Fo, a, A e g são constantes
Estado transiente
Fundamental
Concentrado
Simplificado
11
Construção do modelo e da 
simulação
Definição 
do 
problema
Definição 
do 
problema
TeoriaTeoria EquaçõesEquações
Fluxo de 
informação
Fluxo de 
informação
Técnicas 
analíticas
Técnicas 
analíticas
Técnicas 
numéricas
Técnicas 
numéricas
SoluçãoSoluçãoValidaçãoValidação
12
Leis Fundamentais
� Balanço de massa
Vazão mássica 
entra ao 
sistema
Vazão 
mássica sai 
do sistema
Taxa de mudança da 
massa dentro do 
sistema
- =
� Balanço por componente
Vazão molar 
de j entra 
ao sistema
Vazão molar 
de j sai do 
sistema
Taxa de mudança 
dos mols de j 
dentro do sistema
- =+
taxa de j 
formada da 
reação
E q
u a
ç õ
e s
 d i
f e
r e
n c
i a i
sTeoría - Equações
13
� Balanço energia
Leis Fundamentais
Equações diferenciais
Taxa de energia 
entra ao sistema
Taxa de mudança da 
energia do sistema
-
=
+
Trabalho feito 
pelo sistema
Calor adicionado ao 
sistema
Taxa de energia 
sai do sistema
-
� Balanço energia aplicado a um reator com uma 
reação simples:
( ) ( )
dt
dTCpmWQHVrTTCpm
n
j
jjs
n
j
RXAiijj 







=−+∆+− ∑∑
== 11
�
j : espécie
n : número de espécies
i : entrada do reator
: vazão mássica de j
mj : massa de j no reator (massa)
Cpj: Capacidade calorífica de j (energia/massa.temperatura)
∆HRX: Entalpia de reação (energia/mol)
jm�
14
Equações constitutivas
� Lei dos gases
RTVP =ˆ Gases Ideais
( ) RTbV
V
aP =−





+ ˆ
ˆ
Eq. van der Waals
� Reações químicas
A + 2B � C + 3D
BAAD
BAAC
BAAB
BAA
CkCrr
CkCrr
CkCrr
CkCr
33
22
=−=
=−=
−==
−=
( ) 




 −
=
RT
EATk exp
E q u a
ç õ e s
 a l g é
b r i c
a s
15
� Relações de equilíbrio
iii xKy =
� Transferência de calor
TUAQ ∆=
� Escoamento através de válvulas
hCF v= Bibliografia complementar 
� Luyben
� Baquette
� Snape
Equações constitutivas
E q u a
ç õ e s
 a l g é
b r i c
a s
16
Procedimento para a 
construção de um modelo
1.Desenhe um esquema com as variáveis do processo e 
defina-as.
2.Faça uma lista de todas as suposições a serem usadas
3.Selecione as variáveis dependentes (resposta)
4.Selecione as variáveis independentes cuja mudança afeta 
as dependentes
5.Faça uma lista de parâmetros 
6.Escreva os balanços dinâmicos apropriados ou leis de 
volocidade (balanço global, componente, energia, etc.)
7.Introduza as equações constitutivas 
8.Simplifique as equações do modelo, se possível. 
9.Determine se o número de equações é suficiente, senão, 
tem-se de voltar ao passo 2.
17
Representação
esquemática do sistema
Seleção das
variáveis
Lista de parâmetros
Geração das equações
(fundamentais e constitutivas) 
São suficientes
as equações?
Modelo matemático
completo
simnão
Suposições
Procedimento para a 
construção de um modelo
18
Exemplos de modelos
Propósito:
Comportamento 
dinâmico
19
Considere o processo de mistura no qual uma corrente de 
uma solução contendo sal dissolvido escoa com uma 
vazão volumétrica constante, q, em um tanque com 
volume de líquido V. A concentração de sal na corrente de 
alimentação do tanque, CAi (massa/volume), varia com o 
tempo. A concentração de sal na saída, CA(t), é igual à
concentração de sal no interior do vaso, uma vez que o 
vaso é bem agitado.
Deseja-se determinar a variação da concentração de saída
CA com a variação na concentração de entrada CAi. 
Processo de mistura
20
Modelo do processo de mistura
1. Representação esquemática do sistema:
q
q
CAi(t)
CA(t)V
CA(t)
q
q
CAi(t)
CA(t)V
CA(t)
q : vazão volumétrica 
(volume/tempo)
V : volume de líquido (volume)
CAi : concentração de sal na corrente 
de alimentação do tanque 
(massa/volume)
CA(t) : concentração de sal na saída do 
tanque (massa/volume)
21
M
o
d
e
l
o
 
d
o
 
p
r
o
c
e
s
s
o
 
d
e
 
m
i
s
t
u
r
a
2. Suposições:
� Mistura perfeitamente agitada
3. Variáveis dependentes:
4. Variáveis independentes:
5. Lista de parâmetros:
6. Balanços dinâmicos:
Balanço por componente (sal):
Vazão molar 
de j entra ao 
sistema
Vazão molar 
de j sai do 
sistema
Taxa de mudança 
dos mols de j dentro 
do sistema
- =+
taxa de j 
formada da 
reação
Não há reação química Balanço mássico
CA
CAi
V, q
22
M
o
d
e
l
o
 
d
o
 
p
r
o
c
e
s
s
o
 
d
e
 
m
i
s
t
u
r
a
i o
dm
m m
dt− =� �
Balanço mássico por componente (sal):
Vazão mássica 
de j entra ao 
sistema
Vazão 
mássica de j 
sai do sistema
Taxa de mudança da 
massa de j dentro do 
sistema
- =
( )A
Ai A
d VC
C q C q
dt
− =
7. Equações constitutivas:
8. Simplificações:
9. Suficiência:
( )A
Ai A
d VC
C q C q
dt
= − (1)
Não há
Não há
Sim � Uma equação (1), uma incógnita (CA)
23
A um tanque de seção reta uniforme de área A é
alimentado um líquido puro com uma vazão q. Na 
tubulação de saída é adaptada uma válvula. 
Considere que q0, a vazão volumétrica de saída, se relaciona com a altura do líquido, h, pela 
relação linear:
R
hq =0
Deseja-se desenvolver um modelo matemático que 
explique a variação do nível de líquido no tanque 
com a vazão de entrada.
Tanque de nível
24
Considere o reservatório:
Neste processo supõem-se vazões volumétricas de entrada e saída, 
massas específicas dos líquidos e capacidades caloríficas constantes 
e iguais. Admite-se que o reservatório seja bem isolado e que o líquido 
esteja bem misturado. Considera-se que a entrada de energia pelo 
misturador seja desprezível.
Deseja-se desenvolver o modelo matemático que descreva como a 
temperatura de saída, T(t), corresponde às variações de temperatura 
de entrada, Ti(t).
q
q
Ti(t)
T(t)
V
q
q
Ti(t)
T(t)
V
Processo térmico
25
Considere-se um reator tanque contínuo de mistura com 
volume de líquido V, e vazão volumétrica constante, q. A 
reação que ocorre no reator é: A � B, cuja expressão 
cinética é: rA = -kCA
onde rA são mols de A que reagem/(volume. tempo), k: 
constante de velocidade de reação, tempo-1, CA: 
concentração de A no reator, mols/volume. Deseja-se 
conhecer o comportamento da concentração de saída, CA, 
com a concentração de entrada, CAi. 
Reator químico
26
Considere o processo mostrado na figura:
Desenvolva um modelo que relacione a altura de líquido do 
segundo tanque (h2) com a vazão de entrada (q). 
Considere que o líquido tem massa específica constante, 
as seções retas dos tanques uniformes e as resistências 
ao fluxo, lineares.
Nível de líquido de dois tanques 
em série (com interação)
h1(t)
q
R1 h2(t) R2
q1 q2
A1
A2
h1(t)
q
R1 h2(t) R2
q1 q2
A1
A2
27
Modelo tanques em série (com interação)
1. Representação esquemática do sistema:
q, q1 e q2 : vazões volumétricas dos tanques 1 e 2 (volume/tempo)
A1 e A2 : área da seção reta nos tanques 1 e 2 (área)
h1 e h2 : altura do líquido nos tanques 1 e 2 (comprimento)
R1 e R2 : Resistências hidráulicas das válvulas 1 e 2 (tempo/área)
h1(t)
q
R1 h2(t) R2
q1 q2
A1
A2
h1(t)
q
R1 h2(t) R2
q1 q2
A1
A2
28
M
o
d
e
l
o
 
t
a
n
q
u
e
s
 
e
m
 
s
é
r
i
e
 
(
c
o
m
 
i
n
t
e
r
a
ç
ã
o
)
2. Suposições:
� Massa específica constante
� Seções retas dos tanques uniformes
� Resistência linear ao fluxo
3. Variáveis dependentes:
4. Variáveis independentes:
5. Lista de parâmetros:
6. Balanços dinâmicos:
h1 e h2
q
A1, A2, R1, R2
Balanço de massa global:
Vazão mássica 
entra ao sistema
Vazão mássica 
sai do sistema
Taxa de mudança da 
massa dentro do sistema- =
i o
dm
m m
dt
− =� �
29
7. Equações constitutivas:
Resistência linear ao fluxo:
M
o
d
e
l
o
 
t
a
n
q
u
e
s
 
e
m
 
s
é
r
i
e
 
(
c
o
m
 
i
n
t
e
r
a
ç
ã
o
)
Tanque 1:
( )1 1
1
d A h
q q
dt
ρρ ρ− =
1
1 1
dhq q A
dt
− = (1)
Tanque 2:
( )2 2
1 2
d A h
q q
dt
ρρ ρ− =
2
1 2 2
dhq q A
dt
− = (2)
1 2
1
1
h hq
R
−
= (3) Com interação
30
9. Suficiência:
Sim � duas equações (5) e (6), duas incógnitas (h1 e h2)
M
o
d
e
l
o
 
t
a
n
q
u
e
s
 
e
m
 
s
é
r
i
e
 
(
c
o
m
 
i
n
t
e
r
a
ç
ã
o
)
2
2
2
hq
R
= (4)
8. Simplificações:
(3) em (1):
1 2 1
1
1
h h dhq A
R dt
−
− = (5)
(3) e (4) em (2):
1 2 2 2
2
1 2
h h h dhA
R R dt
−
− = (6)
31
M
o
d
e
l
o
 
t
a
n
q
u
e
s
 
e
m
 
s
é
r
i
e
 
(
c
o
m
 
i
n
t
e
r
a
ç
ã
o
)
8. Simplificações:
1 2 1
1
1
h h dhq A
R dt
−
− = (5)
1 2 2 2
2
1 2
h h h dhA
R R dt
−
− = (6)
Outra abordagem
3. Variáveis dependentes: h2
De (6):
2 2
1 2 2 1 1
2
dh hh h A R R
dt R
= + + (7)
derivando (7):
2
1 2 2 1 2
2 1 2
2
dh dh d h R dhA R
dt dt R dtdt
= + + (8)
32
M
o
d
e
l
o
 
t
a
n
q
u
e
s
 
e
m
 
s
é
r
i
e
 
(
c
o
m
 
i
n
t
e
r
a
ç
ã
o
)
2
2 2 2 2 1 2
2 1 2 1 2
2 2
dh h dh d h R dhq A A A R
dt R dt R dtdt
 
− − == + +  
 
Outra abordagem
(7) e (8) em (5):
Re-organizando:
( )
2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 22
d h dhA A R R A R A R A R h qR
dtdt
+ + + + = (9)
9. Suficiência:
Sim � uma equação (9), uma incógnita (h2)
33
Considere o processo mostrado na figura:
Desenvolva um modelo que relacione a altura de líquido do segundo 
tanque (h2) com a vazão de entrada (q). Considere que o líquido tem 
massa específica constante, as seções retas dos tanques uniformes e 
as resistências ao fluxo, lineares.
Nível de líquido de dois tanques 
em série (sem interação)
h1(t)
q
R1
h2(t) R2
q1
q2
A1
A2
h1(t)
q
R1
h2(t) R2
q1
q2
A1
A2
34
Neste processo supõem-se vazões volumétricas de 
entrada e saída, massas específicas dos líquidos e 
capacidades caloríficas constantes e iguais. Admite-se que 
o líquido esteja bem misturado. Considera-se que a 
entrada de energia pelo misturador seja desprezível. O 
reservatório não está isolado, portanto, as perdas de calor 
para o ambiente não são desprezíveis.
Deseja-se desenvolver o modelo matemático que descreva 
como a temperatura de saída, T(t), corresponde às 
variações de temperatura de entrada, Ti(t) e a temperatura 
nas vizinhanças, Ts(t).
Processo térmico 
(sem isolamento)
35
Considere-se um reator tanque contínuo de mistura com 
volume de líquido V e vazões volumétricas de entrada qi e 
saída q. A reação que ocorre no reator é: A � B, cuja 
expressão cinética é: rA = -kCA
onde rA são mols de A que reagem/(volume. tempo), k: 
constante de velocidade de reação, tempo-1, CA: 
concentração de A no reator, mols/volume. Deseja-se 
conhecer o comportamento da concentração de saída, CA, 
com a concentração de entrada, CAi e a variação do 
volume com as vazões volumétricas de entrada e saída. 
Reator químico
(Vazão variável)
36
Considere-se um reator de tanque contínuo de mistura com 
volume de líquido V e vazões volumétricas constantes. A 
reação que ocorre no reator é: A � B, cuja expressão cinética 
é: rA = -kCA
onde rA são mols de A que reagem/(volume. tempo), k: 
constante de velocidade de reação, tempo-1, CA: concentração 
de A no reator, mols/volume. O reator é resfriado por meio de 
uma camisa em torno ao mesmo. Considere a vazão e 
temperatura de refrigerante constantes.
Deseja-se conhecer o comportamento da concentração de 
saída, CA, com a concentração de entrada, CAi e a variação da 
temperatura de saída com a temperatura de entrada. 
Reator químico
não isotérmico
37
Simulação do modelo?
Modelos para 
Controle Automático
Função de Transferência
Transformada de LaplaceTransformada de Laplace38
Definição – Dependência Linear
Dizemos que um conjunto de funções 
f1(x), f2(x), ..., fn(x) é linearmente 
dependente em um intervalo se 
existem constantes c1, c2, ..., cn não 
todas nulas, tais que:
para todo x no intervalo. 
0)(...)()( 2211 =+++ xfcxfcxfc nn