6 Sistemas de primeira ordem

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1
SISTEMAS DE PRIMEIRA 
ORDEM
Luz A / UERJ
Modelagem e Simulação
2
CONTEÚDO
� Definição
� Função de transferência
� Resposta
� Resposta ao degrau
� Resposta à rampa
� Resposta senoidal
3
Definição
Sistema cuja saída é modelada por uma 
equação diferencial de primeira ordem
( ) ( ) ( ) ctbxtya
dt
tdy
a +=+ 01
y(t): Variável de saída
x(t): Variável de entrada
a1, a0, b e c: constantes
� Muitos processos podem ser representados 
por sistemas de primeira ordem
4
Exemplos de processos
� Tanque de nível:
� Processo de mistura:
� Processo térmico
(adiabático):
dh hA q
dt R
+ =
A
A Ai
dCV C q C q
dt
+ =
i
V dT T T
q dt
+ =
5
Função de transferência
( ) ( ) ( )tKXtY
dt
tdY
=+τ
Forma padrão da equação diferencial de primeira ordem:
Y(t): Variável desvio de saída
X(t): Variável desvio de entrada
τ: constante de tempo
K: Ganho estacionário
0
1
a
a
=τ
0a
bK =
( )
1+
=
s
K
sG
τ
Função de transferência 
do sistema de primeira 
ordem
Forma padrão 
da função de 
transferência
6
Procedimento geral para a F. T.
Modelo dinâmico
Modelo estacionário
Subtrair as eq. estacionárias das dinâmicas
Substituir com variáveis desvio
Aplicar a T.L.
Eliminar todas as variáveis de saída com exceção da desejada
Eliminar todas as variáveis de entrada com exceção da desejada
Encontrar a função de transferência desejada, dividindo a saída pela entrada
Linearizar as 
equações não 
lineares
G(s)
Colocar na forma padrão
7
Exemplo
Encontre a função de transferência para o 
processo térmico com isolamento
q
q
Ti(t)
T(t)
V
q
q
Ti(t)
T(t)
V
8
Resolução
� Modelo dinâmico:
� Modelo em estado estacionário
iqTqTdt
dTV =+ (1)
iTqTqdt
TdV =+ (2)
9
� Subtração dinâmico-estacionario:
(1) – (2):
( ) ( )ii TTqTTqdt
Td
dt
dTV −=−+





−
(3)
R
e
s
o
l
u
ç
ã
o
Define-se: (4)( ) TTt −=θ
( ) iii TTt −=θ (5)
( ) ( ) ( )tqtq
dt
tdV iθθ
θ
=+(4) e (5) em (3): (6)
� Substituir com variáveis desvio
10
R
e
s
o
l
u
ç
ã
o
� Colocar na forma padrão:
(8)Seja: 
q
V
=τ
1=K (9)
Unidades?
( ) ( ) ( )tKt
dt
td
iθθ
θ
τ =+ (10)(8) e (9) em (7):
(7)( ) ( ) ( )tt
dt
td
q
V
iθθ
θ
=+
Divide-se (6) por q:
11
R
e
s
o
l
u
ç
ã
o
� Aplicar a Transormada de Laplace:
T. L. de (10):
( ) ( ) ( )sKsss iθθθτ =+ (11)
� Eliminar as variáveis de saída menos a desejada:
Só temos uma variável de saída: θ(s)
� Eliminar as variáveis de entrada menos a 
desejada:
Só temos uma variável de entrada: θι(s)
� Encontrar a função de transferência:
(12)( ) ( ) ( )sKss iθθτ =+1De (11):
12
R
e
s
o
l
u
ç
ã
o
� Encontrar a função de transferência:
( )
( ) 1+= s
K
s
s
i τθ
θ
(13)
q
V
=τ1=K( ) 1+= s
K
sG
τ
Diagrama de blocos?
13
Exemplo
Dispõe-se de um vaso agitado com aquecimento, no qual entra um 
líquido puro com uma vazão constante w kg/h e a uma temperatura 
Ti ºC. O conteúdo do tanque é bem agitado e é aquecido por meio 
de um aquecedor elétrico que fornece uma taxa de aquecimento Q 
watts. Encontre as funções de transferência que relacionam T com 
Ti e Q.
w
w
Ti
TV
Q
14
Resolução
� Modelo dinâmico:
� Modelo em estado estacionário
QTwCTwC
dt
dTCV ippp +=+ρ (1)
QTwCTwC
dt
TdCV ippp +=+ρ (2)
15
� Subtração dinâmico-estacionario:
(1) – (2):
( ) ( ) ( )QQTTwCTTwC
dt
Td
dt
dTCV iippp −+−=−+





−ρ (3)
R
e
s
o
l
u
ç
ã
o
( ) ( ) ( ) ( )tQtwCtwC
dt
tdCV ippp '+=+ θθ
θρ
(4) - (6) em (3):
(7)
� Substituir com variáveis desvio
Define-se: (4)( ) TTt −=θ
( ) iii TTt −=θ (5)
(6)( ) QQtQ −='
16
R
e
s
o
l
u
ç
ã
o
� Colocar na forma padrão:
Unidades?
( ) ( ) ( ) ( )tQKtKt
dt
td
i '21 +=+ θθ
θ
τ (12)
(9) - (11) em (8):
(9)Seja: 
w
Vρ
τ =
11 =K (10)
pwC
K 12 = (11)
(8)
( ) ( ) ( ) ( )tQ
wC
tt
dt
td
w
V
p
i '
1
+=+ θθθρ
Divide-se (6) por wCp:
17
R
e
s
o
l
u
ç
ã
o
� Aplicar a Transormada de Laplace:
T. L. de (12):
( ) ( ) ( ) ( )sQKsKsss i '21 +=+ θθθτ (13)
� Eliminar as variáveis de saída menos a desejada:
Só temos uma variável de saída: θ(s)
� Eliminar as variáveis de entrada menos a 
desejada:
Eliminando a variável de entrada: Q’(s)
(14)( ) ( ) ( )sKss iθθτ 11 =+De (13):
18
R
e
s
o
l
u
ç
ã
o
� Encontrar a função de transferência:
( )
( ) 1
1
+
=
s
K
s
s
i τθ
θ
(15)
w
Vρ
τ =11 =K( ) 1
1
1 +
=
s
K
sG
τ
Eliminando a variável de entrada: θi(s)
(16)( ) ( ) ( )sQKss '1 2=+ θτDe (13):
19
R
e
s
o
l
u
ç
ã
o
� Encontrar a função de transferência:
( )
( ) 1'
2
+
=
s
K
sQ
s
τ
θ (17)
w
Vρ
τ =
pwC
K 12 =( )
1
2
2 +
=
s
K
sG
τ
Diagrama de blocos?
20
Exercício proposto
Considere o reator mostrado na figura:
q(t)
CAi(t) CA(t)
q(t)q(t)
CAi(t) CA(t)
q(t)
A reação que ocorre no reator é: A � B, cuja expressão de 
taxa é: r = kCA2.
Deseja-se conhecer o comportamento da concentração de 
saída CA com a concentração de entrada CAi quando a vazão 
volumétrica é constante. Supõe-se que a reação ocorra a 
temperatura constante. Supõem-se também as propriedades 
físicas constantes e que o reator é bem misturado. Encontre a 
função de transferência
21
Exercícios propostos
Encontre a função de transferência para:
� Reator químico
� Processo de mistura
� Processo térmico sem isolamento
� Reator químico com vazão variável
22
Tempo morto (t0)
Intervalo de tempo entre a variação da 
variável de entrada e o tempo que a variável 
de saída começa a responder
A função de transferência é a mesma do 
processo sem tempo morto multiplicada por
0t se
−
( )
( )
0
1
t sY s Ke
X s sτ
−
=
+
23
Exemplo
Encontre a função de transferência que 
relacione T1 com Ti (processo térmico com 
isolamento e tempo morto t0)
q
q
Ti(t)
T(t)
V
1
T1(t)
24
Resposta a sistemas de primeira 
ordem
Função de 
transferência
( )
( ) 1+= s
K
sX
sY
τ
Perturbação ( )sX
Combinar ( ) ( )sX
s
K
sY
1+
=
τ
Transformada de 
Laplace inversa ( )tY
Modelagem
Simulação
O algoritmo é o mesmo para qualquer sistema de primeira ordem?
O que caracteriza um processo de outro?
O que diferencia uma resposta de outra, para um mesmo processo?
Y: Variável 
desvio de
saída ou 
resposta
τ: Constante 
tempo
K: Ganho
25
Resposta ao degrau
( )
s
M
sX = (1)
( )
( ) 1+= s
K
sX
sY
τ
(2)
(1) em (2): ( )
s
M
s
K
sY
1+
=
τ
Usando a tabela de T. L. (entrada 13): ( ) 






−=
−
τ
t
eKMtY 1 (3)
Dividindo (3) por KM: ( ) τte
KM
tY −
−=1 Gráfico?
( )



≥
<
=
0
00
tM
t
tX
26
( ) τte
KM
tY −
−=1
� Um processo de primeira ordem não responde 
instantaneamente a uma mudança repentina
� A resposta é apenas completa ao 63% quando t = τ
� Teoricamente, a saída nunca atinge um novo E. E. �
se aproxima com t = 3 ou 5 τ
� τ está relacionada com a velocidade de resposta do 
processo
Resposta ao degrau
27
Exemplo
Um sistema de nível como o esquematizado na figura tem 
uma área de seção reta igual a 0,3 m2. A característica da 
válvula é dada por q = 8h, onde q é a vazão volumétrica 
(m3/min) e h é o nível de líquido sobre a válvula(m).
a) Calcular a constante de tempo e o ganho do sistema
b) Se a vazão de entrada aumenta de 6 para 6,5 m3/min, 
conforme uma função degrau, calcule o nível dois minutos 
após ocorrer a variação da vazão.
c) Qual será o tempo necessário para chegar ao novo 
estado estacionário?
h(t)
q0
q
A
28
Exemplo
Dispõe-se de um vaso agitado com aquecimento para pre-
aquecer um reagente contendo um catalisador sólido 
suspenso, o qual entra a uma vazão constante de 1000 
kg/h. O volume no vaso é 2 m3 e a massa específica e o 
calor específico da mistura são 900 kg/m3 e 1 cal/gºC, 
respectivamente. O processo é inicialmente operado com 
temperaturas de entrada e saída de 100 e 130 ºC, 
respectivamente. 
a) Qual é o calor fornecido no estado estacionário inicial?
b) Se o calor fornecido é incrementado em 30%, quanto 
demorará o processo para atingir a nova temperatura de 
saída (99% do novo estado estacionário)? E qual será
essa temperatura?
c) Se a temperatura de entrada é incrementada 
subitamente de 100 para 120 ºC, quanto tempo passará
antes de que a temperatura de saída mude de 130 para 
135 ºC (sem mudanças no fornecimento de calor)
29
Resolução
w
w
Ti
TV
Q
O modelo dinâmico já tinha sido 
resolvido anteriormente:
QTwCTwC
dt
dTCV ippp +=+ρ
( ) TTt −=θ ( ) iii TTt −=θ ( ) QQtQ −='
As funções de transferência foram obtidas:
( )
( ) 1
1
+
=
s
K
s
s
i τθ
θ
w
Vρ
τ =
11 =K( )
1
1
1
+
=
s
K
sG
τ
( )
( ) 1'
2
+
=
s
K
sQ
s
τ
θ
pwC
K 12 =( )
1
2
2 +
=
s
K
sG
τ
30
( )
( ) 1'
2
+
=
s
K
sQ
s
τ
θ( )
1
2
2 +
=
s
K
sG
τ
R
e
s
o
l
u
ç
ã
o
a) No E. E.:
0=
dt
dT ( )TTwCQ ip −=
( )
h
cal
kg
gC
Cg
cal
h
kgQ 7103
1
100010013011000 ×=×°−
°
×=
b) Tempo para atingir novo estado estacionário e temperatura final (↑Q):
h
calQ 61093,0 ×=
h
calM 6109×=
( )
s
M
sQ ='
( ) ( )sQ
s
K
s '
1
2
+
=
τ
θ
( ) 






−=
−
τθ
t
eMKt 12
Solução para sistema de 
primeira ordem com 
perturbação degrau
31
R
e
s
o
l
u
ç
ã
o
Tempo necessário para atingir o novo estado estacionário é:
( ) MK2=∞θ
τ5≈t h
hkg
mkgm
w
V 8,1
1000
9002 33
=
×
==
ρ
τ
ht 98,15 =×≈
Temperatura final:
h
calM 6109×=
cal
Ch
g
kg
h
kg
Cg
calwC
K
p
°
×=×
×
°
==
−6
2 1011000
1
10001
11
( ) C
h
cal
cal
Ch
°=××
°
×=∞ − 9109101 66θ
( ) TTt −=θ ( )tTT θ+= ( ) ( ) 9130+=∞+=∞ θTT
( ) CT °=∞ 139
32
R
e
s
o
l
u
ç
ã
o
c) Tempo necessário para atingir 135 °C (T i↑):
ht 52,0=
( ) CCM °=°−= 20100120
( ) Ct °=−= 5130135θ( ) TTt −=θ
( )
( ) 1
1
+
=
s
K
s
s
i τθ
θ ( ) ( )s
s
K
s iθτ
θ
1
1
+
= ( )
s
M
si =θ( ) 1
1
1
+
=
s
K
sG
τ
( ) 






−=
−
τθ
t
eMKt 11
Solução para sistema de 
primeira ordem com 
perturbação degrau
h8,1=τ11 =K ( ) 






−=
−
8,1120
t
etθ








−=
−
8,11205
t
e 8,1125,0
t
e
−
−=
( )
8,1
75,0ln t−=
33
( ) 23212 11 ssss
a
s
K
sY αα
τ
α
τ
++
+
=
+
=
( ) 2s
a
sX = (1)
( )
( ) 1+= s
K
sX
sY
τ
(2)
(1) em (2): ( ) 21 s
a
s
K
sY
+
=
τ
A T. L. não se encontra na tabela � expansão de frações parciais
( ) 2
2
2 11 s
Ka
s
Ka
s
Ka
s
a
s
K
sY +−
+
=
+
=
τ
τ
τ
τ
( )



≥
<
=
0
00
tat
t
tXResposta à rampa
34
Dividindo (3) por Ka: ( ) te
Ka
tY t
+







−=
−
1ττ Gráfico?
( ) KateKatY t +






−=
−
1ττ (3)
Usando a tabela de T. L. (entradas 2, 3 e 6): 
Quando t>>τ: ( ) ( )τ−= tKatY
Resposta à rampa
35
� Depois de um período inicial a rampa de entrada produz uma rampa de 
saída com inclinação Ka
� A rampa de saída “fica atrás” da rampa de entrada por uma constante 
de tempo τ � atrasos de primeira ordem
� A duração de uma rampa é normalmente limitada
� As rampas são úteis durante a partida de um processo continuo ou na 
operação de um processo em batelada
( )
te
Ka
tY t
+







−=
−
1ττ
Resposta à rampa
36
Um tanque de nível está operando em condições tais que 
sua função de transferência é:
O ganho tem unidades de m/(m3/s) ou s/m2 e a constante 
de tempo tem unidades de segundos. O sistema está em 
estado estacionário (vazão de 0,4 m3/s e altura do líquido 
de 4 m) quando começa uma perturbação tipo rampa na 
vazão volumétrica de entrada até atingir uma vazão de 
0,8 m3/s em 30 min. Quais são os níveis de líquido após 
5, 15 e 30 minutos do começo da perturbação?
( )
( ) 150
10
+
=
ssQ
sH
i
Exemplo
37
( )
( ) 1+= s
K
sX
sY
τ
(2)
(1) em (2): ( ) ( )( )221 wss
KAw
sY
++
=
τ
(1)( ) 22 ws
Aw
sX
+
=
A T. L. não se encontra na tabela � expansão de frações parciais
( )
iwsiwssws
Aw
s
K
sY
+
+
−
+
+
=
++
=
321
22 11
αα
τ
α
τ
( ) ( )( ) ( ) 



+
+−
+
−
−−
+
+
++
=
iws
iw
iws
iw
w
KA
sw
KAw
sY ττ
τττ
τ
2222
2
1211
Heaviside
Resposta senoidal ( )



≥
<
=
0
00
tAsenwt
t
tX
38
Usando a tabela de T. L. (entradas 5) e a identidade trigonométrica: 2
cos
iwtiwt ee
wt
−+
=
( )
2
iwtiwt eei
senwt
−
=
−
( ) ( ) ( )( )senwtwtww
KA
e
w
KAw
tY
t
+−
+
+
+
=
−
cos
11 2222
τ
ττ
τ τ (3)
Gráfico?
( ) senwtqwtpsenwtrsen φφφ coscos +=+
q
p
qpr
=
+=
φtan
22
Outra identidade trigonométrica:
onde: (4)
Aplicando (4) em (3):
( ) ( ) ( )
( )τφ
φ
ττ
τ τ
w
wtsen
w
KA
e
w
KAw
tY
t
1
2222
tan
11
−
−
−=
+
+
+
+
= (5)
Resposta senoidal
39
� Quando t � ∞ a função Y(t) é puramente periódica
� A saída é uma onda senoidal com uma frequência w igual ao do 
sinal de entrada
� A razão entre o sinal de saída e de entrada é , ela é
sempre menor que 1 � sinal atenuado
� A saída atrasa em relação à entrada por um ângulo φ (sinal de φ
sempre negativo)
221 τw
K
+
( ) ( ) ( )φττ
τ τ +
+
+
+
=
−
wtsen
w
KA
e
w
KAw
tY
t
2222 11
Resposta senoidal
40
� A amplitude da onda senoidal depende da frequência
� w baixo �Amplitude = Ganho x amplitude de entrada
� Quando w aumenta � amplitude diminui
( ) ( ) ( )φττ
τ τ +
+
+
+
=
−
wtsen
w
KA
e
w
KAw
tY
t
2222 11
Resposta senoidal
41
Um tanque de nível está operando em condições tais que 
sua função de transferência é:
O ganho tem unidades de m/(m3/s) ou s/m2 e a constante 
de tempo tem unidades de segundos. O sistema está em 
estado estacionário (vazão de 0,4 m3/s e altura do líquido 
de 4 m) quando começa uma perturbação senoidal na 
vazão volumétrica de entrada (amplitude de 0,1 m3/s e 
frequência de 0,002 ciclos/s). Quais são os níveis de 
líquido máximo e mínimo após 6 ou mais minutos da 
perturbação?
( )
( ) 150
10
+
=
ssQ
sH
i
Exemplo
42
Resolução
Função de transferência:
( )
( ) 150
10
+
=
ssQ
sH
i s 50
// 10 3
=
=
τ
smmK
h(t)
q0
q
A
( )



≥
<
=
0
00
tAsenwt
t
tQi
rad 0125,0
ciclo 1
rad 2
 ciclos/s 002,0
=
×=
w
w
pi
ciclos/s 002,0
/ 1,0 3
=
=
f
smA
43
R
e
s
ol
u
ç
ã
o
Resposta à sistema de primeira ordem com perturbação senoidal:
( ) ( ) ( )φττ
τ τ +
+
+
+
=
−
wtsen
w
KA
e
w
KAw
tH
t
2222 11
2,7=
τ
t
Em t = 6 min
0105,7 4 ≈×= −
−
τ
t
e
Após 6 min:
( ) ( )φ
τ
+
+
= wtsen
w
KA
tH
221
O nivel de líquido no tanque máximo ou mínimo vai se obter
quando sen(wt+φφφφ)=±1
m 1
s
m
 1,0 
s
m
m
 10
3
3 =×=KA
R
e
s
o
l
u
ç
ã
o
Nível máximo:
( )
221 τw
KA
tH
+
=
Nível mínimo:
( )
221 τw
KA
tH
+
−=
628,0s 50 
s
rad
 0125,0 =×=τw
m 85,0
628,01
1
2max
=
+
=H
m 85,4485,0max =+=h m 15,3485,0min =+−=h
m 4=h
hhH −=