MODELAGEM E ANÁLISE DE SISTEMAS DINÂMICOS

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MODELAGEM E ANÁLISE DE 
SISTEMAS DINÂMICOS 
 
 
 
1a Aula 
 
 
1a Questão 
 
 
 
O estudo de sistemas lineares é importante em engenharia pelo fato de que boa parte dos fenômenos 
físicos pode ser aproximadamente descrita por comportamentos lineares, ao menos em torno dos pontos 
de operação. Por outro lado, a teoria de sistemas lineares é muito útil também no estudo do 
comportamento local de sistemas não-lineares. 
É importante salientar que os sistemas físicos podem ser representados por equações algébricas e 
equações diferenciais, lineares e não-lineares, e o estudo de tais sistemas envolve a modelagem e a 
solução dessas equações. 
No caso específico da equação abaixo, para uma entrada x(t), y(t) é a saída de um sistema dada por y(t) 
= (x(t))a + bx(t) + c. 
Para algumas combinações dos valores das constantes a, b e c, o sistema poderá ser linear ou não-
linear. O sistema resultante será linear quando: 
 
 
 
a = 0, b = 1, c = 0. 
 
a = 2, b = 0, c = 1. 
 
a = 2, b = 2, c = 0. 
 
a = 1, b = 0, c = 1. 
 a = 1, b = 1, c = 0. 
Respondido em 17/09/2019 15:50:18 
 
 
 2a Questão 
 
 
 
Seja Y(s) = (s+2)(s+4)s(s+1)(s+3)(s+2)(s+4)s(s+1)(s+3). Encontre sua função inversa y(t). 
 
 
 
y(t)=831(t)−16e−3t1(t)y(t)=831(t)−16e−3t1(t) 
 
y(t)=831(t)−32e−2t1(t)−16e−t1(t)y(t)=831(t)−32e−2t1(t)−16e−t1(t) 
 
y(t)=1(t)−32e−t1(t)−16e−3t1(t)y(t)=1(t)−32e−t1(t)−16e−3t1(t) 
 
y(t)=851(t)−35e−t1(t)−16e−3t1(t)y(t)=851(t)−35e−t1(t)−16e−3t1(t) 
 y(t)=831(t)−32e−t1(t)−16e−3t1(t)y(t)=831(t)−32e−t1(t)−16e−3t1(t) 
Respondido em 17/09/2019 15:50:24 
 
 
 3a Questão 
 
 
 
Encontre f(t) para a qual a Transformada de Laplace é F(s)=(s+3)(s+1)(s+2)2F(s)=(s+3)(s+1)(s+2)2: 
 
 
 
f(t)=(e−t−e−2t−te−2t)1(t)f(t)=(e−t−e−2t−te−2t)1(t) 
 
f(t)=(2e−t−te−2t)1(t)f(t)=(2e−t−te−2t)1(t) 
 
f(t)=(2e−t−e−2t−te−2t)1(t)f(t)=(2e−t−e−2t−te−2t)1(t) 
 f(t)=(2e−t−2e−2t−te−2t)1(t)f(t)=(2e−t−2e−2t−te−2t)1(t) 
 
f(t)=(2e−2t−2e−t−et)1(t)f(t)=(2e−2t−2e−t−et)1(t) 
Respondido em 17/09/2019 15:50:29 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
 
Encontre o valor final do sistema que corresponde a 
função F(s)=3(s+4)s(s2+2s+10)F(s)=3(s+4)s(s2+2s+10): 
 
 
 
1 
 
0 
 
0,5 
 1,2 
 
0,8 
Respondido em 17/09/2019 15:50:59 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 
Encontre a solução da equação diferencial x¨(t)+x(t)=0;x(0)=α,x˙=βẍ(t)+x(t)=0;x(0)=α,ẋ=β: 
 
 
 
 
[αcost]1(t)[αcost]1(t) 
 
[αsent+βcost]1(t)[αsent+βcost]1(t) 
 
[βsent]1(t)[βsent]1(t) 
 [αcost+βsent]1(t)[αcost+βsent]1(t) 
 
[αcos2t+βsent]1(t)[αcos2t+βsent]1(t) 
Respondido em 17/09/2019 15:50:55 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 
Sejam X(s) e Y(s) as transformadas de Laplace dos sinais x(t) e y(t), respectivamente; L{} é o operador de 
transformação e a, b e c são números reais. Desta maneira, omitindo-se os índices (t) e (s), é CORRETO 
afirmar que: 
 
 
 
L{x+y}=X.Y 
 
Nenhuma das alternativas anteriores está correta. 
 
L{x*y}= Y*(-X) 
 L{by.cx}=bc(X*Y) 
 
L{a(x-y)}=aX-Y 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 
Dado um sistema industrial que possui sua função de transferência modelada pela seguinte equação 
diferencial x¨(t)+3x˙(t)+2x(t)=0,ondex(0)=2,x˙(0)=−1.ẍ(t)+3ẋ(t)+2x(t)=0,ondex(0)=2,ẋ(0)=−1.Qual 
a solução x(t) dessa função? 
 
 
 
3e-3t - e-2t, para t ≥≥0 
 
3e-t - e-3t, para t ≥≥0 
 3e-t - e-2t, para t ≥≥0 
 
e-t - e-2t, para t ≥≥0 
 
e-t + et, para t ≥≥0 
Respondido em 17/09/2019 15:50:45 
 
 
 8a Questão 
 
 
 
Para o sistema de G(s)=(s+3)(s(s+1)+5)G(s)=(s+3)(s(s+1)+5) encontre o valor em regime permanente 
para: 
a) uma entrada em degrau unitário; 
b) uma entrada em rampa unitária (1/s2). 
 
 
2a Aula 
 
1a Questão 
 
 
Funções de transferência são amplamente utilizadas para a análise e representação de sistemas de controle. 
Sobre esse assunto, é incorreto afirmar que: 
 
 
 
a aplicabilidade das funções de transferência se dá, principalmente, por sistemas de equações 
diferenciais lineares e invariantes no tempo. 
 uma função de transferência é uma propriedade do sistema e contém as informações necessárias 
para relacionar a entrada à saída, como também permite a definição da estrutura física do sistema. 
 
uma função de transferência é o quociente entre as transformadas de Laplace Y(s), do sinal de saída 
y(t), e a transformada X(s), do sinal de entrada x(t). 
 
como a função de transferência é independente da excitação de entrada, se esta for conhecida, então 
é possível estudar a saída ou resposta do sistema para diferentes tipos de entrada. 
 
∞∞ e 1 
 
0 e 1 
 
0 e ∞∞ 
 
3/8 e 1 
 3/8 e ∞∞ 
 
 
1a Questão 
 
 
 
 
 
 
 
(ω+ss2+ω2)(ω+ss2+ω2) 
 √ 2 2(ss2+ω2)22(ss2+ω2) 
 √ 2 2(ω+ss2+ω2)22(ω+ss2+ω2) 
 
2(ω+ss2+ω2)2(ω+ss2+ω2) 
 √ 2 (ω+ss2+ω2)2(ω+ss2+ω2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
se a função de transferência de um sistema não é conhecida, então é possível determiná-la de forma 
experimental por meio de excitações de entradas conhecidas, como resposta ao impulso ou ao 
degrau. 
Respondido em 17/09/2019 15:56:25 
 
 2a Questão 
 
 
unções de transferência são amplamente utilizadas para a análise e representação de sistemas de controle. 
Sobre esse assunto, é incorreto afirmar 
queC(s)=G1(s)R1(s)+G2(s)R2(s)−G3(s)R3(s)C(s)=G1(s)R1(s)+G2(s)R2(s)−G3(s)R3(s) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respondido em 17/09/2019 15:57:49 
 
 3a Questão 
 
 
Considere o sistema de controle apresentado na figura a seguir 
 
Quais devem ser os valores das constantes "K" e "a" do controlador antes da planta, para que os polos do 
sistema em malha fechada sejam 
-2+2j e -2-2j ? 
 
 
 
K=4, a=2 
 
K=1, a=2 
 
K=2, a=1 
 K=2, a=4 
 
K=1, a=4 
Respondido em 17/09/2019 15:58:40 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Faça em fluxo de sinais a representação gráfica para a seguinte equação: 
C(s)=G1(s)R1(s)+G2(s)R2(s)−G3(s)R3(s)C(s)=G1(s)R1(s)+G2(s)R2(s)−G3(s)R3(s) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respondido em 17/09/2019 15:58:00 
 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Considere um sistema cujo modelo em realimentação unitária possui a seguinte função de transferência de 
malha fechada: Y(s)R(s)=s+2s2+2s+2Y(s)R(s)=s+2s2+2s+2. 
Essa função de transferência em malha aberta corresponde a: 
 
 
 s−4s2−1s−4s2−1 
 s+2s(s+1)s+2s(s+1) 
 ss+2ss+2 
 s+4s2+1s+4s2+1 
 ss+3ss+3 
Respondido em 17/09/2019 15:58:33 
 
 
 6a Questão 
 
 
Considere um sistema cujo modelo em realimentação unitária possui a seguinte função de transferência de 
malha fechada: Y 
 
 
 G1G2G3H2+G1G2G3G1G2G3H2+G1G2G3 
 G11−G1G2H1+G2G3H2G11−G1G2H1+G2G3H2 
 G1G2G31−G1H1+G3H2+G1G2G3G1G2G31−G1H1+G3H2+G1G2G3 
 G1G2G31−G1G2H1+G1G2G3G1G2G31−G1G2H1+G1G2G3 
 G1G2G31−G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3G1G2G31−G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3 
Respondido em 17/09/2019 15:58:29 
 
 7a Questão 
 
 
Considere um sistema de controle do nível de líquido de um reservatório em que o reservatório recebe uma 
vazão de líquido através de uma tubulação que possui uma válvula. Essa válvula é controlada por um operador 
que usa seus olhos para observar o nível de líquido através de uma janela na parede lateral do reservatório e 
deixa passar mais ou menos líquido de modo que o nível desejado do sistema seja atingido. O reservatório é 
aberto, sujeito à chuva e à temperatura ambiente. O líquido pode expandir ou contrair de acordo com a 
temperatura. Nesse sistema, a variável controlada e a variável manipulada são, respectivamente: 
 
 
 variável controlada: nível do líquido variável manipulada: vazão do líquido. 
 
variável controlada: válvula; variável manipulada: vazão do líquido. 
 
variável controlada: reservatório; variável manipulada: vazão do líquido. 
 
variável controlada: vazão do líquido; variável manipulada: nível do líquido. 
 
variável controlada: nível do líquido; variável manipulada: válvula. 
Respondido em 17/09/2019 15:58:24 
 
 
 8a Questão 
 
 
Para o sistema a seguir, encontre os valores dos zeros e polos da FT s(s+2)(s−4)(s+1)s(s+2)(s−4)(s+1): 
 
 
 
zero = 1; Polos em -2, 4 e 0. 
 zero = 0; Polos em -2, 4 e -1. 
 
zero = -2, 4 e -1; Polo em 0. 
 
zero = -2 e 4; Polos em -2, 4 e -1 
 
zero = 0; Polos em -1 e 4. 
 
 
1a Questão 
 
 
Seja, em um processo, a função de uma planta G(s) = (s+1)s(s+2)(s+1)s(s+2) , e do sensor na 
realimentação H(s) = ss+4ss+4. Como fica a FT em malha fechada; e o valor em regime permanente para 
esse sistema? 
 
 
 
(s+1)(s+4)s[(s+2)(s+4)+(s+1)];4(s+1)(s+4)s[(s+2)(s+4)+(s+1)];4 
 
(s+1)(s+4)s[(s+2)(s+4)+(s+2)];4/9(s+1)(s+4)s[(s+2)(s+4)+(s+2)];4/9 
 
(s+1)(s+4)s[(s+4)(s+1)+(s+1)];4/9(s+1)(s+4)s[(s+4)(s+1)+(s+1)];4/9 
 (s+1)(s+4)s[(s+2)(s+4)+(s+1)];4/9(s+1)(s+4)s[(s+2)(s+4)+(s+1)];4/9 
 
(s+1)(s+4)s[(s+2)(s+4)+(s+1)];9(s+1)(s+4)s[(s+2)(s+4)+(s+1)];9 
 
 
 2a Questão 
 
 
Um sistema dinâmico é descrito pela seguinte 
equação d2ydt2−dydt+0,09y(t)=u(t)d2ydt2−dydt+0,09y(t)=u(t), com condições iniciais nulas. Se u(t) for 
um degrau unitário, qual das opções a seguir representa a Transformada de Laplace de y(t) ? 
 
 
 s−0,09s2−s+1s−0,09s2−s+1 
 1s2−s+0,091s2−s+0,09 
 s2s2−s+0,09s2s2−s+0,09 
 ss2−s+0,09ss2−s+0,09 
 1s3−s2+0,09s1s3−s2+0,09s 
Respondido em 17/09/2019 15:59:10 
 
 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
 
 
 
 
 
0,5 
 
-1 
 1 
 
∞∞ 
 
0 
Respondido em 17/09/2019 15:59:18 
 
 4a Questão 
 
 
Vamos supor que um processo seja representado pela função de transferência G(s) = 15s²15s²e o 
controlador GC(s) = s+14s−7s+14s−7, visto na figura a 
seguir: 
(a) Calcule a função do ramo direto. 
(b) Calcule a FT Y(s)/R(s), caso houvesse uma realimentação simples. Assinale a alternativa correta abaixo 
que corresponda ao pedido: 
 
 
 
a)15s2.(s+14)(s−7);b)(s+14)5s2(s−7)+sa)15s2.(s+14)(s−7);b)(s+14)5s2(s−7)+s 
 
a)15s2.(s+14)(s−7)+s+14;b)(s+14)5s2(s−7)+s+14a)15s2.(s+14)(s−7)+s+14;b)(s+14)5s2(s−7)+s+14 
 
a)15s2.(s−7)(s+14);b)(s+14)5s2(s−7)+s+14a)15s2.(s−7)(s+14);b)(s+14)5s2(s−7)+s+14 
 a)15s2.(s+14)(s−7);b)(s+14)5s2(s−7)+s+14a)15s2.(s+14)(s−7);b)(s+14)5s2(s−7)+s+14 
 
a)15s2.(s+14)(s−7);b)(s+14)5s(s−7)+s+14a)15s2.(s+14)(s−7);b)(s+14)5s(s−7)+s+14 
Respondido em 17/09/2019 15:59:30 
 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
De acordo com as terminologias de processos e os conceitos de diagrama de blocos com 
realimentação e malha fechada, responda ao que se pede: 
Como ficam os nomes das definições dos números, de 1 a 7 no diagrama de blocos a seguir: 
 
 
 
 
Entrada de referência ou set-point; sinal da variável do processo; controlador; planta ou processo; 
saída; sensor; sinal de erro. 
 
Entrada de referência ou set-point; sinal de erro; planta ou processo; controlador; sensor; saída; 
sinal da variável do processo. 
 
Sinal da variável do processo; Entrada de referência ou set-point; sinal de erro; controlador; planta 
ou processo; saída; sensor. 
 Entrada de referência ou set-point; sinal de erro; controlador; planta ou processo; saída; sensor; 
sinal da variável do processo. 
 
Sinal da variável do processo; Entrada de referência ou set-point; sinal de erro; controlador; planta 
ou processo; sensor; saída. 
Respondido em 17/09/2019 15:59:33 
 
 7a Questão 
 
 
Considere o sistema mostrado na figura a seguir, como ficará a FT desse sistema, utilizando redução de 
diagrama? 
 
 
 
 G11−G1G2H1+G2G3H2G11−G1G2H1+G2G3H2 
 G1G2G31−G1G2H1+G1G2G3G1G2G31−G1G2H1+G1G2G3 
 G1G2G3H2+G1G2G3G1G2G3H2+G1G2G3 
 G1G2G31−G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3G1G2G31−G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3 
 G1G2G31−G1H1+G3H2+G1G2G3G1G2G31−G1H1+G3H2+G1G2G3 
 
 
 
 
 
 
3a Aula 
 
1a Questão 
 
 
Qual será a função de transferência através das equações de espaço de estado a seguir? 
 
 
 
 
G(s)=s2Ms2+Bs+KG(s)=s2Ms2+Bs+K 
 
G(s)=1Ms2+Ks+BG(s)=1Ms2+Ks+B 
 G(s)=1Ms2+Bs+KG(s)=1Ms2+Bs+K 
 
G(s)=sMs2+Bs+KG(s)=sMs2+Bs+K 
 
G(s)=1Bs2+Ms+KG(s)=1Bs2+Ms+K 
Respondido em 17/09/2019 16:00:59 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Para as equações de estado e de saída a seguir, quais são os valores de A, B, C e D da forma padrão? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respondido em 17/09/2019 16:00:56 
 
 3a Questão 
 
 
Considere o diagrama de blocos a 
seguir: 
Se Y(s) é sua saída e R(s) sua entrada de referência, como fica a Função de Transferência desse sistema? 
 
 
 
G(s)=1RCsG(s)=1RCs 
 G(s)=1RCs+1G(s)=1RCs+1 
 
G(s)=RCs+1G(s)=RCs+1 
 
G(s)=1s+1G(s)=1s+1 
 
G(s)=1Cs+1G(s)=1Cs+1 
Respondido em 17/09/2019 16:01:46 
 
 4a Questão 
 
 
Seja a seguinte FT G(s)=Y(s)U(s)=1(s2+3s+2)G(s)=Y(s)U(s)=1(s2+3s+2). Quais são as variáveis de estado se 
um degrau unitário for aplicado à entrada? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respondido em 17/09/2019 16:01:09 
 
 
 5a Questão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respondido em 17/09/2019 16:01:50 
 
 6a Questão 
 
 
 
 
 
 
Y1(s)U2(s)=s2s2+s+6,5Y1(s)U2(s)=s2s2+s+6,5 
 
Y1(s)U2(s)=ss2+2s+6,5Y1(s)U2(s)=ss2+2s+6,5 
 
Y1(s)U2(s)=ss2+s+0,5Y1(s)U2(s)=ss2+s+0,5 
 
Y1(s)U2(s)=s2s2+s+0,5Y1(s)U2(s)=s2s2+s+0,5 
 Y1(s)U2(s)=ss2+s+6,5Y1(s)U2(s)=ss2+s+6,5 
Respondido em 17/09/2019 16:01:41 
 
 7a Questão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respondido em 17/09/2019 16:01:37 
 
 8a Questão 
 
 
Considere um sistema descrito pela seguinte Função de 
Transferência: G(s)=Y(s)U(s)=1s2+3s+2G(s)=Y(s)U(s)=1s2+3s+2. Encontre a matriz de transição para 
esse sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1a Questão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respondido em 17/09/2019 16:40:43 
 
 6a Questão 
 
 
 
 
 
 Y1(s)U2(s)=ss2+s+6,5Y1(s)U2(s)=ss2+s+6,5 
 
Y1(s)U2(s)=ss2+2s+6,5Y1(s)U2(s)=ss2+2s+6,5 
 
Y1(s)U2(s)=ss2+s+0,5Y1(s)U2(s)=ss2+s+0,5 
 
Y1(s)U2(s)=s2s2+s+6,5Y1(s)U2(s)=s2s2+s+6,5 
 
Y1(s)U2(s)=s2s2+s+0,5Y1(s)U2(s)=s2s2+s+0,5 
 
 7a Questão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respondido em 17/09/2019 16:46:29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4a Aula 
 
1a Questão 
 
 
A figura a seguir mostra um amplificador não-inversor e um circuito equivalente: 
 
Como fica a relação entre e0 e ei ? 
 
 
 
ei=(1+R1R2)e0ei=(1+R1R2)e0 
 
e0=(R1+R2R1)eie0=(R1+R2R1)ei 
 e0=(1+R2R1)eie0=(1+R2R1)ei 
 
e0=(1+R1R2)eie0=(1+R1R2)ei 
 
ei=(1+R2R1)e0ei=(1+R2R1)e0 
Respondido em 17/09/2019 17:01:04 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Encontre a equação que relaciona entrada e saída do circuito mostrado na figura a seguir 
 
 
 
 vout=−[RfR1v1+RfR2v2]vout=−[RfR1v1+RfR2v2] 
 
vout=[RfR1v1+RfR2v2]vout=[RfR1v1+RfR2v2] 
 
vout=2[RfR1v1+RfR2v2]vout=2[RfR1v1+RfR2v2] 
 
vout=−[RfR1v1+2RfR2v2]vout=−[RfR1v1+2RfR2v2] 
 
vout=−[RfR2v1+RfR1v2]vout=−[RfR2v1+RfR1v2] 
Respondido em 17/09/2019 17:00:58 
 
 3a Questão 
 
 
Um circuito elétrico com amplificador operacional é mostrado na figura a seguir. Encontre sua função de 
transferência, isto é E0(s)Ei(s)E0(s)Ei(s) 
 
 
 
 E0(s)Ei(s)=−R2R11(R2Cs+1)E0(s)Ei(s)=−R2R11(R2Cs+1) 
 
E0(s)Ei(s)=−R1R21(R1Cs+1)E0(s)Ei(s)=−R1R21(R1Cs+1) 
 
E0(s)Ei(s)=−R2R1C(R2Cs+1)E0(s)Ei(s)=−R2R1C(R2Cs+1) 
 
E0(s)Ei(s)=−R2R11(R1R2Cs+1)E0(s)Ei(s)=−R2R11(R1R2Cs+1) 
 
E0(s)Ei(s)=−R1R21(R2Cs+1)E0(s)Ei(s)=−R1R21(R2Cs+1) 
Respondido em 17/09/2019 17:00:51 
 
 4a Questão 
 
 
Encontre a função de transferência E0(s) / Ei(s) para o sistema do circuito a seguir: 
 
 
 
 
E0(s)E1(s)=1s2C1R2C2+s(R1C2+R1C1+R2C2)+1E0(s)E1(s)=1s2C1R2C2+s(R1C2+R1C1+R2C2)+1 
 
E0(s)E1(s)=ss2R1C1R2C2+s(R1C2+R1C1+R2C2)+1E0(s)E1(s)=ss2R1C1R2C2+s(R1C2+R1C1+R2C2)+1 
 E0(s)E1(s)=1s2R1C1R2C2+s(R1C2+R1C1+R2C2)+1E0(s)E1(s)=1s2R1C1R2C2+s(R1C2+R1C1+R2C2)+1 
 
E0(s)E1(s)=1s2R1C1R2C2+(R1C2+R1C1+R2C2)+1E0(s)E1(s)=1s2R1C1R2C2+(R1C2+R1C1+R2C2)+1 
 
E0(s)E1(s)=1s2R1C1R2C2+s(R1C2+R1C1+R2C2)+sE0(s)E1(s)=1s2R1C1R2C2+s(R1C2+R1C1+R2C2)+s 
Respondido em 17/09/2019 17:00:47 
 
 5a Questão 
 
 
 
 
 
 
E0(s)Ei(s)=C1s2+ss(R1C1C2+R2C2C1)+(C1+C2)E0(s)Ei(s)=C1s2+ss(R
1C1C2+R2C2C1)+(C1+C2) 
 
E0(s)Ei(s)=C1s2+ss(R1C1C2+R2C2C1)E0(s)Ei(s)=C1s2+ss(R1C1C2
+R2C2C1) 
 E0(s)Ei(s)=C1[(R2C2+R1C1)s+1]s(R1C1C2+R2C2C1)+(C1+C2)E0(s)Ei(s)=C1[(R2C2+R1C1)s+1]s(R1C1C2+R2C2C1)+(C1+C2) 
 
E0(s)Ei(s)=C1s(R1C1C2+R2C2C1)+(C1+C2)E0(s)Ei(s)=C1s(R1C1C2+
R2C2C1)+(C1+C2) 
 
E0(s)Ei(s)=C1s+1s(R1C1C2+R2C2C1)+(C1+C2)E0(s)Ei(s)=C1s+1s(R1
C1C2+R2C2C1)+(C1+C2) 
Respondido em 17/09/2019 17:00:40 
 
 
 6a Questão 
 
 
Considere o circuito do amplificador operacional mostrado a seguir 
 
Onde e0 é a tensão de saída e ei a de entrada. Como fica a relação entre e0 e ei ? 
 
 
 
e0=−R1R2eie0=−R1R2ei 
 
ei=−R2R1e0ei=−R2R1e0 
 e0=−R2R1eie0=−R2R1ei 
 
e0=R1R2eie0=R1R2ei 
 
e0=R2R1eie0=R2R1ei 
 
 
 
Respondido em 17/09/2019 17:00:32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Encontre a FT do circuito mostrado na figura a seguir: 
 
 
 
 
Vout(s)=−1s2Vin(s)RinCVout(s)=−1s2Vin(s)RinC 
 
Vout(s)=−Vin(s)RinCVout(s)=−Vin(s)RinC 
 
Vout(s)=1sVin(s)RinCVout(s)=1sVin(s)RinC 
 
Vout(s)=−1s2Vin(s)RinCVout(s)=−1s2Vin(s)RinC 
 Vout(s)=−1sVin(s)RinCVout(s)=−1sVin(s)RinC 
Respondido em 17/09/2019 17:00:25 
 
 8a Questão 
 
 
Encontre a função de transferência do sistema elétrico mostrado na figura a seguir: 
 
 
 
 
E0(s)Ei(s)=(R1C1s+1)(R2C2s+1)(R2C2s+1)+R2C1sE0(s)Ei(s)=(R1C1s+1)(R2C2s+1)(R2C2s+1)+R2C1s 
 
E0(s)Ei(s)=(R1C1s+1)2(R1C1s+1)(R2C2s+1)+R2C1sE0(s)Ei(s)=(R1C1s+1)2(R1C1s+1)(R2C2s+1)+R2C1s 
 
E0(s)Ei(s)=(R1C1s+1)(R2C2s+1)(R1C1s+1)(R2C1s+1)+R1C1sE0(s)Ei(s)=(R1C1s+1)(R2C2s+1)(R1C1s+1)(R2C
1s+1)+R1C1s 
 E0(s)Ei(s)=(R1C1s+1)(R2C2s+1)(R1C1s+1)(R2C2s+1)+R2C1sE0(s)Ei(s)=(R1C1s+1)(R2C2s+1)(R1C1s+1)(R2C
2s+1)+R2C1s 
 
E0(s)Ei(s)=(R1C1s+1)2(R1C1s+1)(R2C2s+1)+R2C1s2 
 
 
 
1a Questão 
 
 
Seja o circuito elétrico da figura abaixo. Se admitirmos que ei seja a entrada do sistema e que eo seja a saída, 
a função de transferência desse sistema, em ¿s¿, será: (Para isso, utilize R1= 200W, R2 = 300 W , C1= 0,01 F, 
C2= 0,05 F, L= 1000H e condições iniciais nulas) : 
 
 
 
 (0,15s3+0,01s2)(s4+s3+0,06s2)(0,15s3+0,01s2)(s4+s3+0,06s2) 
 (0,15s3+0,01s2)(0,5s4+0,25s3+0,06s2)(0,15s3+0,01s2)(0,5s4+0,25s3+0,06s2) 
 (0,15s2+0,01s)(0,5s4+0,25s3+0,06s2)(0,15s2+0,01s)(0,5s4+0,25s3+0,06s2) 
 (0,15s3+0,01s2)(0,5s4+0,25s3)(0,15s3+0,01s2)(0,5s4+0,25s3) 
 (0,15s3+0,01s2)(0,5s2+0,25s+0,06)(0,15s3+0,01s2)(0,5s2+0,25s+0,06) 
 
 2a Questão 
 
 
Considere o circuito indicado na figura a seguir 
 
Supondo que ei e e0 são a entrada e a saída do sistema, como a função de transferência desse circuito será, 
se Z1(s)=Ls+R;Z2(s)=1/CsZ1(s)=Ls+R;Z2(s)=1/Cs ? 
 
 
 RLCs2+RCs+1RLCs2+RCs+1 
 LLCs2+RCs+1LLCs2+RCs+1 
 1LCs2+RCs+11LCs2+RCs+1 
 CLCs2+RCs+1CLCs2+RCs+1 
 sLCs2+RCs+1sLCs2+RCs+1 
Respondido em 17/09/2019 17:01:44 
 
 3a Questão 
 
 
Na figura a seguir, onde você pode considerar os elementos do circuito em cascata sem carga, isto é, a 
função de transferência pode ser obtida pela eliminação das entradas e saídas intermediárias. Logo, a FT de 
todo sistema é igual ao produto das FT¿s individuais de cada um dos elementos. Encontre a FT para o sistema. 
 
 
 
 
E0(s)Ei(s)=K(R1C1)(R2C2s+1)E0(s)Ei(s)=K(R1C1)(R2C2s+1) 
 
E0(s)Ei(s)=K(R2C1s+1)(R2C2s+1)E0(s)Ei(s)=K(R2C1s+1)(R2C2s+1) 
 E0(s)Ei(s)=K(R1C1s+1)(R2C2s+1)E0(s)Ei(s)=K(R1C1s+1)(R2C2s+1) 
 
E0(s)Ei(s)=K(R1s+1)(R2C2s+1)E0(s)Ei(s)=K(R1s+1)(R2C2s+1) 
 
E0(s)Ei(s)=K(R1C1s+1)(R2C2s)E0(s)Ei(s)=K(R1C1s+1)(R2C2s) 
Respondido em 17/09/2019 17:01:52 
 
 4a Questão 
 
 
Considere o circuito elétrico RLC (resistência em ohm, indutância em henry e capacitância em farad) mostrado 
na figura a seguir. Encontre a função de transferência para esse sistema E0(s) / Ei(s) (supondo e0 igual a saída 
e ei a entrada do circuito): 
 
 
 
 
E0(s)Ei(s)=1Cs2+RCs+1E0(s)Ei(s)=1Cs2+RCs+1 
 
E0(s)Ei(s)=1LCs2+Cs+1E0(s)Ei(s)=1LCs2+Cs+1 
 
E0(s)Ei(s)=1LCs2+Rs+1E0(s)Ei(s)=1LCs2+Rs+1 
 E0(s)Ei(s)=1LCs2+RCs+1E0(s)Ei(s)=1LCs2+RCs+1 
 
E0(s)Ei(s)=LLCs2+RCs+1E0(s)Ei(s)=LLCs2+RCs+1 
Respondido em 17/09/2019 17:01:58 
 
 
 5a Questão 
 
 
Para o circuito com amplificador operacional da figura a seguir, encontre a função de transferência. 
 
 
 
 E0(s)Ei(s)=(R2Cs−1)(R2Cs+1)=−s−1R2Cs+1R2CE0(s)Ei(s)=(R2Cs−1)(R2Cs+1)=−s−1R2Cs+1R2C 
 
Ei(s)E0(s)=(R2Cs−1)(R2Cs+1)=−s−1R2Cs+1R2CEi(s)E0(s)=(R2Cs−1)(R2Cs+1)=−s−1R2Cs+1R2C 
 
E0(s)Ei(s)=(R2C2s−1)(R2C2s+1)=−s−1R2C2s+1R2C2E0(s)Ei(s)=(R2C2s−1)(R2C2s+1)=−s−1R2C2s+1R2C
2 
 
E0(s)Ei(s)=(R2Cs−1)(R2Cs2+1)=−s−1R2Cs+1R2CE0(s)Ei(s)=(R2Cs−1)(R2Cs2+1)=−s−1R2Cs+1R2C 
 
E0(s)Ei(s)=(Cs−1)(Cs+1)=−s−1Cs+1CE0(s)Ei(s)=(Cs−1)(Cs+1)=−s−1Cs+1C 
Respondido em 17/09/2019 17:02:02 
 
 
5a Aula 
 
1a Questão 
 
 
Para o sistema modelado na figura abaixo, responda como fica a equação diferencial em função do 
tempo? E Transformando para Laplace, como fica em função de "s"? 
 
 
 
 
Md2xdt2=f(t)+bdxdt+(k1.k2k1+k2)x(t);X(s)F(s)=1Ms2−bs−(k1.k2k1+k2)Md2xdt2=f(t)+bdxdt+(k1.k2k1+k2)x(t);X
(s)F(s)=1Ms2−bs−(k1.k2k1+k2) 
 
Md2xdt2=f(t)−bdxdt−(k1+k2)x(t);X(s)F(s)=kMs2+bs+(k1+k2)Md2xdt2=f(t)−bdxdt−(k1+k2)x(t);X(s)F(s)=k
Ms2+bs+(k1+k2) 
 
 
Md2xdt2=f(t)−bdxdt−(k1.k2k1+k2)x(t);X(s)F(s)=1Ms2+bs+(k1.k2k1+k2)Md2xdt2=f(t)−bdxdt−(k1.k2k1+k2)x(t);X
(s)F(s)=1Ms2+bs+(k1.k2k1+k2) 
 
Md2xdt2=f(t)−bdxdt−(k1+k2)x(t);X(s)F(s)=bMs2+bs+(k1+k2)Md2xdt2=f(t)−bdxdt−(k1+k2)x(t);X(s)F(s)=b
Ms2+bs+(k1+k2) 
 
Md2xdt2=f(t)−bdxdt−(k1.k2)x(t);X(s)F(s)=MMs2+bs+(k1.k2)Md2xdt2=f(t)−bdxdt−(k1.k2)x(t);X(s)F(s)=MM
s2+bs+(k1.k2) 
Respondido em 17/09/2019 16:59:12 
 
 2a Questão 
 
 
Obtenha a função de transferência X1(s)U(s)X1(s)U(s) do sistema mecânico mostrado na figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respondido em 17/09/2019 16:59:06 
 
 
 3a Questão 
 
 
Encontre a função de transferência X2(s)U(s)X2(s)U(s) do sistema mecânico mostrado a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respondido em 17/09/2019 16:59:01 
 
 4a Questão 
 
 
Como fica a constante elástica equivalente das molas do sistema na figura a seguir? 
 
 
 
 
keq=k1+k2k1k2keq=k1+k2k1k2 
 
keq=2k1+1/2k2k1k2keq=2k1+1/2k2k1k2 
 
keq=k1+k22k1k2keq=k1+k22k1k2 
 
keq=2k1k2k1+k2keq=2k1k2k1+k2 
 keq=k1k2k1+k2keq=k1k2k1+k2 
Respondido em 17/09/2019 16:58:54 
 
 5a Questão 
 
 
Um sistema massa-mola-amortecedor, que representa a posição da massa em função de uma força externa 
aplicada, é análogo ao representado pela função de 
transferência H(s)=1(s2+5s+13)H(s)=1(s2+5s+13) Caso a FT seja construída com valores de massa (m), 
constante elástica (k) e constante de amortecimento (b), esses valores serão iguais a: 
 
 
 
m=13 kg, b=3 N/m.s, k=5 N/m. 
 
m=3 kg, b=5 N/m.s, k=15 N/m. 
 
m=1 kg, b=13 N/m.s, k=5 N/m. 
 
m=1 kg, b=5 N/m.s, k=1 N/m. 
 m=1 kg, b=5 N/m.s, k=13 N/m. 
 
 6a Questão 
 
 
Encontre a constante elástica equivalente das molas do sistema mostrado a seguir: 
 
 
 
 
keqx=2(k1−k2)keqx=2(k1−k2) 
 
keqx=2k1k2keqx=2k1k2 
 
keqx=2(k1+k2)keqx=2(k1+k2) 
 
keqx=k1−k2keqx=k1−k2 
 keqx=k1+k2keqx=k1+k2 
Respondido em 17/09/2019 16:54:22 
 
 7a Questão 
 
 
Considere o sistema de controle de posição de um satélite mostrado na figura a seguir. O diagrama mostra 
apenas o controle do ângulo de desvio (existem controles relativos aos 3 eixos no sistema real). Pequenos 
jatos aplicam forças de reação para girar o corpo do satélite conforme a posição desejada. Os dois jatos 
posicionados de forma antissimétrica, denotados por A e B, operam em pares. Suponha que o empuxo de 
cada jato seja F/2 e o torque T = Fl seja aplicado ao sistema. Os jatos são aplicados por certo tempo e, 
assim, o torque pode ser escrito como T(t). O momento de inércia em relação ao eixo de rotação no centro 
de massa é J . Admitindo que o torque T(t) é a entrada desse sistema e que o deslocamento 
angular θ(t) do satélite é a saída, encontre a função de transferência para o sistema (considere o 
movimento somente no plano da página). 
 
 
 
 1J2s21J2s2 
 1J+s21J+s2 
 1Js21Js2 
 1s21s2 
 
J+sJ2s2 
 
 
6a Aula 
 
1a Questão 
 
 
Considere a figura do alto-falante e o circuito do mesmo,mostrados nas figuras a seguir. Encontre 
as equações diferenciais relacionando a tensão de entrada va com o deslocamento x do cone, e a função de 
transferência. Assuma que a resistência R e a indutância L sejam eficientes. 
 
Fonte: adaptadas de Franklin et al. (2013) 
 
 
 
Ldidt+Ri=va−0,63x˙;X(s)Va(s)=0,63[(Ms+b)(Ls+R)+0,632]Ldidt+Ri=va−0,63ẋ;X(s)Va(s)=0,63[(Ms+b)(Ls
+R)+0,632] 
 Ldidt+Ri=va−0,63x˙;X(s)Va(s)=0,63s[(Ms+b)(Ls+R)+0,632]Ldidt+Ri=va−0,63ẋ;X(s)Va(s)=0,63s[(Ms+b)(L
s+R)+0,632] 
 
Ldidt+Ri=va−0,63x˙;X(s)Va(s)=0,63s[(Ms+b)(L+R)+0,632]Ldidt+Ri=va−0,63ẋ;X(s)Va(s)=0,63s[(Ms+b)(L
+R)+0,632] 
 
Ld2idt2+Ri=va−0,63x˙;X(s)Va(s)=0,63s[(Ms+b)(Ls+R)+0,632]Ld2idt2+Ri=va−0,63ẋ;X(s)Va(s)=0,63s[(Ms+
b)(Ls+R)+0,632] 
 
Ldidt+Ri2=va−0,63x˙;X(s)Va(s)=0,63s[(Ms+b)(Ls+R)+0,632]Ldidt+Ri2=va−0,63ẋ;X(s)Va(s)=0,63s[(Ms+b)
(Ls+R)+0,632] 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Encontre a representação no espaço de estados do sistema mostrado na figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Encontre as equações (no domínio do tempo e a FT em Laplace) de um motor CC com o circuito elétrico 
equivalente mostrado na figura a seguir. Suponha que o rotor tenha momento de inércia Jm e coeficiente de 
atrito viscoso b. 
 
Fonte: adaptada de Franklin et al. (2013) 
 
 
 
Ladiadt+Raia=va−Keθ′m;Θm(s)Va(s)=Kts[(Jms+b)(La+Ra)+KtKe]Ladiadt+Raia=va−Keθm′;Θm(s)Va(s)=Kts[(J
ms+b)(La+Ra)+KtKe] 
 
Ladiadt+Raia=va−Keθ′m;Θm(s)Va(s)=Kt[(Jms+b)(Las+Ra)+KtKe]Ladiadt+Raia=va−Keθm′;Θm(s)Va(s)=Kt[(J
ms+b)(Las+Ra)+KtKe] 
 Ladiadt+Raia=va−Keθ′m;Θm(s)Va(s)=Kts[(Jms+b)(Las+Ra)+KtKe]Ladiadt+Raia=va−Keθm′;Θm(s)Va(s)=Kts[(
Jms+b)(Las+Ra)+KtKe] 
 
Ladiadt+Raia=va+Keθ′m;Θm(s)Va(s)=Kts[(Jms+b)(Las+Ra)+KtKe]Ladiadt+Raia=va+Keθm′;Θm(s)Va(s)=Kts[(
Jms+b)(Las+Ra)+KtKe] 
 
Ladiadt+Raia=va−Keθ′m;Θm(s)Va(s)=Kts2[(Jms+b)(Las+Ra)+KtKe]Ladiadt+Raia=va−Keθm′;Θm(s)Va(s)=Kts2
[(Jms+b)(Las+Ra)+KtKe] 
Respondido em 17/09/2019 16:53:16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Com base nas 2 equações de fluxo de calor mostradas após a figura, encontre as equações 
diferenciais que determinam a temperatura da sala com todos os lados isolados, exceto dois, 
(1/R = 0) como mostrado na figura a seguir: 
 
(Fonte: adaptada de Franklin et al. (2013)) 
Onde: C1 = capacitância térmica do ar dentro da sala; T0 = temperatura externa; T1 = temperatura 
interna; R2 = resistência térmica do teto da sala; R1 = resistência térmica da parede da sala. 
O fluxo de calor através de substâncias é proporcional à diferença de temperatura na 
substância: q=1R(T1−T2)q=1R(T1−T2). 
Sendo q = fluxo de calor, em J/s ou BTU/s; R = resistência térmica, em ºC/J.s ou ºF/BTU.s; T 
= temperatura, ºC ou ºF. 
O fluxo de calor em uma substância afeta a temperatura dela de acordo com a seguinte 
relação T′=1CqT′=1Cq . Sendo 'C' a capacitância térmica. (OBS: normalmente há vários caminhos 
para a entrada e saída do fluxo de calor em uma substância; então q na última equação é a soma 
dos fluxos de calor obedecendo a penúltima equação). 
 
 
 
T′1=1C1(1R1+1R2)(C0−T1)T1′=1C1(1R1+1R2)(C0−T1) 
 
T′1=(1R1+1R2)(T0−T1)T1′=(1R1+1R2)(T0−T1) 
 
T′1=1R1(1R1+1R2)(T0−T1)T1′=1R1(1R1+1R2)(T0−T1) 
 T′1=1C1(1R1+1R2)(T0−T1)T1′=1C1(1R1+1R2)(T0−T1) 
 
T′1=1C1(1R1+1R2)(T1−T0)T1′=1C1(1R1+1R2)(T1−T0) 
Respondido em 17/09/2019 16:52:57 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Uma representação aceitável de um alto-falante para produzir som é mostrada a seguir. O ímã permanente 
estabelece um campo magnético radial nas lacunas entre os polos do ímã, o entreferro. A corrente elétrica que 
percorre as bobinas do entreferro causará um campo magnético na bobina, que irá interagir com o campo 
magnético do ímã permanente, criando uma reação de atração ou repulsão, produzindo o som. Podemos 
modelar os efeitos do ar como se o cone tivesse massa M e coeficiente de atrito b. Assuma que o ímã crie um 
campo uniforme B de 0,5 tesla e a bobina tenha 20 enrolamentos com diâmetro de 2 cm. Escreva 
as equações de movimento, e a FT (deslocamento x em relação a entrada em corrente i) para este 
dispositivo. 
 
Fonte: adaptada de Franklin et al. (2013) 
 
 
 Mx¨+bx˙=0,63i;X(s)I(s)=(0,63/M)s(s+b/M)Mẍ+bẋ=0,63i;X(s)I(s)=(0,63/M)s(s+b/M) 
 
Mx¨+2bx˙=0,63i;X(s)I(s)=(0,63/M)s(s+b/M)Mẍ+2bẋ=0,63i;X(s)I(s)=(0,63/M)s(s+b/M) 
 
2Mx¨+bx˙=0,63i;X(s)I(s)=(0,63/2M)s(s+b/2M)2Mẍ+bẋ=0,63i;X(s)I(s)=(0,63/2M)s(s+b/2M) 
 
Mx¨+bx˙=0,63i;X(s)I(s)=(0,63/M)(s+b/M)Mẍ+bẋ=0,63i;X(s)I(s)=(0,63/M)(s+b/M) 
 
Mx¨+bx˙=0,63i;X(s)I(s)=(0,63/M)s(s−b/M)Mẍ+bẋ=0,63i;X(s)I(s)=(0,63/M)s(s−b/M) 
Respondido em 17/09/2019 16:52:50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Na figura a seguir tem-se dois amortecedores com coeficientes de atrito viscoso b1 e b2. 
 
Estão ligados em série. Qual das opções abaixo apresenta o coeficiente equivalente da figura: 
 
 
 b1+b22b1b2b1+b22b1b2 
 
1b1+1b21b1+1b2 
 b1b2b1+b2b1b2b1+b2 
 b2b1+b2b2b1+b2 
 
b1 + b2 
 
 
7a Aula 
 
1a Questão 
 
 
Considere o sistema em malha fechada Y(s)R(s)=1(τs+1)Y(s)R(s)=1(τs+1) que representa por exemplo um 
sistema térmico ou um filtro RC (circuito elétrico). Assinale a opção que possui a resposta do sistema a uma 
entrada em degrau unitário, para t ≥ 0 : 
 
 
 y(t)=1−e−t/τy(t)=1−e−t/τ 
 
y(t)=1−e−1y(t)=1−e−1 
 
y(t)=e−1y(t)=e−1 
 
y(t)=1−e−ty(t)=1−e−t 
 
y(t)=e−t−1y(t)=e−t−1 
Respondido em 17/09/2019 16:52:17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
O gráfico abaixo foi gerado por um instrumento eletrônico (osciloscópio digital) para uma saída de um 
equipamento, onde o eixo x é o tempo, e o y(t) é uma magnitude da variável que está sendo 
controlada. Foi aplicado um degrau unitário de tensão nos terminais da entrada u(t) desse 
equipamento, e medida a velocidade de saída y(t). Supondo que o gráfico represente a saída de um 
sistema de primeira ordem, qual o valor do tempo de acomodação, para um critério de 5%? 
 
 
 
 
10 s 
 
8 s 
 
20 s 
 12 s 
 
16 s 
Respondido em 17/09/2019 16:52:14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Em uma análise feita em uma planta química, onde se tem o controle de pH em um reator para mistura de 
ácido-base, o seguinte gráfico a seguir foi encontrado 
 
Sabendo que a referência dada como set-point foi de um pH 8,5; e a saída do sistema tem um tempo morto de 
2 segundos, encontre: 
a. a constante de tempo; 
b. o tempo de acomodação desse sistema (critérios de 2% e 5%); 
c. Qual a provável FT genérica de 1.a ordem? 
d. 
 
 4s; 16 s e 16 s; 8,5.e−2s(4s+1)8,5.e−2s(4s+1) 
 4 s; 16 s e 12 s; 8,5.e−2s(4s+1)8,5.e−2s(4s+1) 
 3 s; 10 s e 12 s; 4.e−2s(8,5s+1)4.e−2s(8,5s+1) 
 3 s; 20 s e 25 s; 4.e−2s(8,5s+1)4.e−2s(8,5s+1) 
 4 s; 10s e 12s; 8,5.e−2s(4s+1)8,5.e−2s(4s+1) 
Respondido em 17/09/2019 16:52:10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
O gráfico abaixo foi gerado por um instrumento eletrônico (osciloscópio digital) para uma saída de um 
equipamento, onde o eixo x é o tempo, e o y(t) é uma magnitude da variável que está sendo controlada. 
Foi aplicado um degrau unitário de tensão nos terminais da entrada u(t) desse equipamento, e medida a 
velocidade de saída y(t). Supondo que o gráfico represente a saída de um sistema de primeira ordem, 
qual o valor do tempo de acomodação, para um critério de 2%? 
 
 
 
 
18 s 
 16 s 
 
10 s 
 
20 s 
 
12 s 
Respondido em 17/09/2019 16:52:05 
 
 5a Questão 
 
 
Um termômetro requer 1 minuto para indicar 98% da resposta a uma entrada em degrau unitário. 
Supondo que o termômetro possa ser modelado por um sistema de 1ª ordem, determine a constante de 
tempo. 
 
 
 
60 s 
 
30 s 
 
20 s 
 
58 s 
 15 s 
Respondido em 17/09/2019 16:51:59 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Considere um termômetro cuja função de transferência seja um sistema linear de 1ª ordem. Sabe-se que 
este termômetro demora2 minutos para indicar 95% da resposta a uma entrada em degrau unitário. 
Sendo assim, é correto afirmar que a constante de tempo, em minutos, será: 
 
 
 
1,4 min 
 
0,8 min 
 
0,05 min 
 0,67 min 
 
0,34 min 
Respondido em 17/09/2019 16:51:56 
 
 7a Questão 
 
 
Dada a curva de reação à entrada degrau de um processo contínuo real, obteve-se, através do método de 
Ziegler-Nichols, o seguinte modelo de 1ª ordem para um sistema a ser 
controlado: G(s)=1(s+3)G(s)=1(s+3). Sobre este modelo, é CORRETO afirmar: 
 
 
 
Somente com um modelo de maior ordem, pode-se avaliar como controlar este processo; 
 O modelo não leva em consideração atraso na resposta do sistema. 
 
O tempo de acomodação do sistema para atingir 95% do seu valor de regime é 
aproximadamente 4 segundos; 
 
O sistema tem dois polos, localizados em 0 e -3; 
 
O sistema não é estável, precisando inserir um controlador para estabilizar o processo; 
 
8a Aula 
 
1a Questão 
 
 
Um engenheiro necessitou encontrar, para fins de controle, a função de transferência para um sistema o qual 
não possui modelagem, em uma parte antiga da indústria onde trabalha. Ele conseguiu inserir na planta uma 
entrada de referência em degrau unitário e analisar a resposta graficamente através de um instrumento 
eletrônico. O engenheiro percebeu algumas coisas com o gráfico: a curva se parece com a resposta de 
sistemas de segunda ordem sob a mesma entrada de referência; conseguiu medir o máximo de sobressinal, e 
encontrou um acréscimo de 17% acima da entrada de referência; e notou que a curva começou a entrar em 
regime permanente, visualmente próximo de 98% do valor final, em 30 segundos. De posse desses dados 
técnicos da planta, qual foi a função de transferência em forma genérica que ele encontrou? 
 
 
 
C(s)R(s)=7s2+0,26s+7C(s)R(s)=7s2+0,26s+7 
 
C(s)R(s)=7s2+s+7C(s)R(s)=7s2+s+7 
 C(s)R(s)=0,07s2+0,26s+0,07C(s)R(s)=0,07s2+0,26s+0,07 
 
C(s)R(s)=0,7s2+0,26s+0,7C(s)R(s)=0,7s2+0,26s+0,7 
 
C(s)R(s)=0,07s2+s+0,07C(s)R(s)=0,07s2+s+0,07 
Respondido em 17/09/2019 16:49:35 
 
 2a Questão 
 
 
Considere o sistema de segunda ordem cuja função de transferência é dada 
por Y(s)U(s)=1s2+0,8s+1Y(s)U(s)=1s2+0,8s+1. Pode-se afirmar que, quanto a resposta do sistema a uma 
entrada de referência em degrau unitário, seu comportamento dinâmico é: 
 
 
 
Indeterminado 
 
Instável 
 
Superamortecido 
 
Criticamente amortecido 
 Subamortecido 
 
 3a Questão 
 
 
Considere que a função de transferência de malha fechada F(s)=9(s2+6s+9)F(s)=9(s2+6s+9) representa 
a resposta a um degrau unitário. Assinale a alternativa INCORRETA: 
 
 
 o sistema é superamortecido; 
 
o coeficiente de amortecimento é igual a 1; 
 
o tempo de acomodação para o critério de 2% é 1,333 s; 
 
os polos do sistema estão localizados no lado esquerdo do plano complexo. 
 
a frequência natural não amortecida é 3 rad/s; 
Respondido em 17/09/2019 16:49:25 
 
 4a Questão 
 
 
 
 
 
 16,3% e 8 s. 
 
13,3% e 11 s. 
 
13,3% e 8 s. 
 
16,3% e 4 s. 
 
11% e 6 s. 
Respondido em 17/09/2019 16:49:22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 
 
 
 
 
 Kh = 0,715 
 
Kh = 1,715 
 
Kh = 3,5 
 Kh = √ 5 5 
 
Kh = 2 
Respondido em 17/09/2019 16:49:44 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
um sistema linear e invariante no tempo de segunda ordem tem a seguinte FT em malha 
fechada G(s)=13s2+5s+13G(s)=13s2+5s+13Para esse sistema, o coeficiente de amortecimento, a frequência 
natural não-amortecida e sua classificação quanto ao amortecimento são, respectivamente: 
 
 
 
0,55; 4; sobre-amortecido 
 
0,69; 3,6; sobre-amortecido 
 
0,55; 4; subamortecido 
 
0,86; 3,6; subamortecido 
 0,69; 3,6; subamortecido 
Respondido em 17/09/2019 16:49:15 
 
 7a Questão 
 
 
Considere um sistema de controle de posição de um satélite mostrado na parte (a) da figura a seguir. A saída 
do sistema apresenta oscilações continuadas não desejáveis. Esse sistema pode ser estabilizado pelo uso de 
realimentação tacométrica, como mostra a parte (b) da figura. Se K / J = 4, que valor de Kh resultará em um 
coeficiente de amortecimento igual a 0,6? 
 
 
 
 0,6 
 
0,2 
 
0,8 
 
0,4 
 
0 
Respondido em 17/09/2019 16:49:08 
 
 8a Questão 
 
 
Para o sistema em malha aberta a seguir G(s)=ω2ns(s+2ζωn)G(s)=ωn2s(s+2ζωn), 
onde ωn=4,5rad/s;ζ=0,4ωn=4,5rad/s;ζ=0,4 ; determine o tempo de subida tr, tempo de pico tp, máximo 
de sobressinal Mp, tempo de acomodação tss (critérios de 2% e 5%), quando o sistema é submetido a uma 
entrada em degrau unitário. 
 
 
 
0,48 s; 0,76 s; 2,4%; 2,22 s; 1 s 
 
0,8 s; 0,7 s; 2,4%; 2,22 s; 1,67 s 
 0,48 s; 0,76 s; 25,4%; 2,22 s; 1,67 s 
 
0,4 s; 0,76 s; 25,4%; 2,4 s; 1,67 s 
 
0,48 s; 0,6 s; 25%; 2,22 s; 1,7 s 
 
1a Questão 
 
 
Avalie as funções de transferência de sistemas a seguir, e assinale a que representa um sistema de 
controle criticamente amortecido: 
 
 
 F(s)=s+5s2+3s+2F(s)=s+5s2+3s+2 
 
F(s)=1s+1F(s)=1s+1 
 F(s)=1s2+2s+1F(s)=1s2+2s+1 
 
F(s)=1s2+s+1F(s)=1s2+s+1 
 
F(s)=s+2s2+3s+1F(s)=s+2s2+3s+1 
Respondido em 17/09/2019 16:50:01 
 
 2a Questão 
 
 
O gráfico a seguir mostra a resposta a uma entrada em degrau unitário para um sistema. Supondo ser este 
um sistema de segunda ordem, como ficará sua função de transferência genérica? 
 
 
 
 0,67s2+0,49s+0,670,67s2+0,49s+
0,67 
 2s2+s+22s2+s+2 
 0,45s2+0,49s+0,450,45s2+0,49s+
0,45 
 0,8s2+0,9s+0,80,8s2+0,9s+0,8 
 1s2+0,49s+11s2+0,49s+1 
Respondido em 17/09/2019 16:50:05 
 
 3a Questão 
 
 
A figura abaixo (adaptada de Ogata (2003)) representa as respostas temporais de vários sistemas de 
segunda ordem, bem como os valores dos seus respectivos coeficientes de amortecimento (ζζ). Baseado na 
figura assinale V para as alternativas verdadeiras e com F as falsas, e marque a alternativa que contém a 
sequência CORRETA, de cima para baixo: 
 
( ) ζ=2ζ=2 : sistemas sobreamortecidos. Podem ser tratados como sistemas de primeira ordem. 
( ) ζ=0,8ζ=0,8 : sistemas subamortecidos. Podem ser tratados como sistemas de primeira ordem. 
( ) ζ=1ζ=1 : sistemas criticamente amortecidos. Podem ser tratados como sistemas de primeira ordem. 
( ) ζ=0ζ=0 : sistemas sem amortecimento. 
( ) ζ=0,1ζ=0,1: sistemas subamortecidos. Alto sobressinal. 
 
 
 
 F, F, F, V, F 
 
F, F, V, V, V 
 
F, F, F, V, V 
 
F, F, F, F, V 
 V, F, V, V, V 
 
 4a Questão 
 
 
A função de transferência C(s)R(s)=3s+22s2+5s+1C(s)R(s)=3s+22s2+5s+1é proveniente de qual equação no 
domínio do tempo? 
 
 
 
d2c(t)dt2+5dc(t)dt=5dr(t)dt+r(t)d2c(t)dt2+5dc(t)dt=5dr(t)dt+r(t) 
 3d2c(t)dt2+dc(t)dt+c(t)=dr(t)dt+2r(t)3d2c(t)dt2+dc(t)dt+c(t)=dr(t)dt+2r(t) 
 
3d2c(t)dt2+3dc(t)dt+c(t)=3dr(t)dt+3r(t)3d2c(t)dt2+3dc(t)dt+c(t)=3dr(t)dt+3r(t) 
 
3d2c(t)dt2+5dc(t)dt=3dr(t)dt+2r(t)3d2c(t)dt2+5dc(t)dt=3dr(t)dt+2r(t) 
 2d2c(t)dt2+5dc(t)dt+c(t)=3dr(t)dt+2r(t)2d2c(t)dt2+5dc(t)dt+c(t)=3dr(t)dt+2r(t) 
Respondido em 17/09/2019 16:50:13 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 
 
 
 
 
 Kh = √ 5 5 
 
Kh = 3,5 
 
Kh = 2 
 
Kh = 1,715 
 Kh = 0,715 
 
9a Aula 
 
1a Questão 
 
 
 
 
 
 
Y2(s)U2(s)=6,5s2+2s+0,5Y2(s)U2(s)=6,5s2+2s+0,5 
 
Y2(s)U2(s)=6,5s2+s+0,5Y2(s)U2(s)=6,5s2+s+0,5 
 
Y2(s)U2(s)=ss2+s+6,5Y2(s)U2(s)=ss2+s+6,5 
 Y2(s)U2(s)=6,5s2+s+6,5Y2(s)U2(s)=6,5s2+s+6,5 
 
Y2(s)U2(s)=s2s2+s+6,5Y2(s)U2(s)=s2s2+s+6,5 
Respondido em 17/09/2019 16:48:47 
 
 2a Questão 
 
 
Obtenha a função de transferência Y(s)/U(s) para o sistema mecânico a seguir: 
 
 
 
 
Y(s)U(s)=k1(bs+k2)(m1m2s4+(m1+m2)bs3+[k1+(m2)k2]s2+k1bs+k1k2))Y(s)U(s)=k1(bs+k2)(m1m2s4+(m1+m2)bs3
+[k1+(m2)k2]s2+k1bs+k1k2)) 
 
Y(s)U(s)=k1bs(m1m2s4+(m1+m2)bs3+[k1m2+(m1+m2)k2]s2+k1bs+k1k2))Y(s)U(s)=k1bs(m1m2s4+(m1+m2)bs3+[k1
m2+(m1+m2)k2]s2+k1bs+k1k2)) 
 
 
Y(s)U(s)=k1(bs+k2)(m1m2s4+(m1+m2)bs3+[k1m2+(m1+m2)k2]s2+k1bs+k1k2))Y(s)U(s)=k1(bs+k2)(m1m2s4+(m1+m2)
bs3+[k1m2+(m1+m2)k2]s2+k1bs+k1k2))Y(s)U(s)=2k1(bs+k2)(m1m2s4+(m1+m2)bs3+[k1m2+(m1+m2)k2]s2+k1bs+k1k2))Y(s)U(s)=2k1(bs+k2)(m1m2s4+(m1+m
2)bs3+[k1m2+(m1+m2)k2]s2+k1bs+k1k2)) 
 
Y(s)U(s)=k1(bs+k2)(m1m2s4+(m1+m2)bs3+[k1m2+(m1+m2)k2]s2+k1bs))Y(s)U(s)=k1(bs+k2)(m1m2s4+(m1+m2)bs3
+[k1m2+(m1+m2)k2]s2+k1bs)) 
Respondido em 17/09/2019 16:48:39 
 
 3a Questão 
 
 
Considere um sistema dado pela equação 
diferencial y¨+3y˙+2y=0;y(0)=0,1;y˙=0,05ÿ+3ẏ+2y=0;y(0)=0,1;ẏ=0,05 . Obtenha a 
resposta y(t), por função de transferência, de acordo com a condição inicial dada. 
 
 
 
y(t) = 0,25.e-t - 0,15.et 
 
y(t) = 0,2.e-t - 0,1.e-2t 
 y(t) = 0,25.e
-t - 0,15.e-2t 
 
y(t) = 0,2.e-2t - 0,1.e-t 
 
y(t) = 0,25.e-t - 0,15.e-t 
Respondido em 17/09/2019 16:48:32 
 
 4a Questão 
 
 
 
 
 
 
Y2(s)U1(s)=s+0,5s2+s+6,5Y2(s)U1(s)=s+0,5s2+s+6,5 
 
Y2(s)U1(s)=s+0,5s2+s+0,5Y2(s)U1(s)=s+0,5s2+s+0,5 
 
Y2(s)U1(s)=ss2+s+6,5Y2(s)U1(s)=ss2+s+6,5 
 
Y2(s)U1(s)=s2s2+s+6,5Y2(s)U1(s)=s2s2+s+6,5 
 Y2(s)U1(s)=s+7,5s2+s+6,5Y2(s)U1(s)=s+7,5s2+s+6,5 
Respondido em 17/09/2019 16:48:19 
 
 5a Questão 
 
 
Em um sistema linear invariante no tempo e causal, a saída c(t) se relaciona com a entrada r(t) através da 
equação dc(t)/dt + 2c(t) = r(t). Nesse caso, a saída c(t) do sistema quando a entrada r(t) for dada por: r(t) = 
e-t.u(t) é: (onde u(t)é um degrau unitário, com condições iniciais nulas) 
 
 
 
e2t+ete2t+et 
 e−2t+e−te−2t+e−t 
 
e−t+2e−t+2 
 
e2t+e−te2t+e−t 
 
2e−2t+2e−t2e−2t+2e−t 
 
 6a Questão 
 
 
Encontre a solução 
de y¨(t)+5y˙(t)+4y(t)=u(t),sendo:y(0)=y˙(0)=0,u(t)=2e−2t1(t)ÿ(t)+5ẏ(t)+4y(t)=u(t),sendo:y(0)=ẏ(0)=0,
u(t)=2e−2t1(t)usando expansão em frações parciais: 
 
 
 y(t)=−1e−t+(2/3)e−t+(1/3)e−4ty(t)=−1e−t+(2/3)e−t+(1/3)e−4t 
 
y(t)=−1e−3t+(2/3)e−t+(1/3)e−2ty(t)=−1e−3t+(2/3)e−t+(1/3)e−2t 
 
y(t)=−1e−2t+(2/3)e−t+(1/3)e−4ty(t)=−1e−2t+(2/3)e−t+(1/3)e−4t 
 
y(t)=−1e−t+(2/3)e−ty(t)=−1e−t+(2/3)e−t 
 
y(t)=(2/3)e−2t+(1/3)e−4ty(t)=(2/3)e−2t+(1/3)e−4t 
Respondido em 17/09/2019 16:48:09 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10a Aula 
 
1a Questão 
 
 
Considere um sistema dinâmico linear cujo comportamento possa ser modelado pela 
seguinte equação diferencial, com condições iniciais nulas. onde u(t) representa a entrada, y(t), a saída e o 
parâmetro t foi omitido na equação por simplicidade de 
notação: 3d2ydt2−2dydt+5y=3dudt−u3d2ydt2−2dydt+5y=3dudt−u 
Qual é a FT desse sistema? 
 
 
 Y(s)U(s)=3s−13s2−2s+5Y(s)U(s)=3s−13s2−2s+5 
 
Y(s)U(s)=3s3s2−2s+5Y(s)U(s)=3s3s2−2s+5 
 
Y(s)U(s)=3s2−2s+53s−1Y(s)U(s)=3s2−2s+53s−1 
 
Y(s)U(s)=3s−13s2−s+5Y(s)U(s)=3s−13s2−s+5 
 
Y(s)U(s)=3s−13s2+2s+5Y(s)U(s)=3s−13s2+2s+5 
Respondido em 17/09/2019 16:46:47 
 
 2a Questão 
 
 
 
 
 
 X(s)U(s)=1ms2+bs+kX(s)U(s)=1
ms2+bs+k 
 
X(s)U(s)=1ms2+ks+bX(s)U(s)=1
ms2+ks+b 
 
X(s)U(s)=2ms2+bs+kX(s)U(s)=2
ms2+bs+k 
 
X(s)U(s)=mms2+bs+kX(s)U(s)=
mms2+bs+k 
 
X(s)U(s)=ms2+bs+kX(s)U(s)=m
s2+bs+k 
Respondido em 17/09/2019 16:46:50 
 
 
 3a Questão 
 
 
Vamos supor que um processo seja representado pela função de transferência G(s) = 15s²15s²e o 
controlador GC(s) = s+14s−7s+14s−7, visto na figura a 
seguir: 
(a) Calcule a função do ramo direto. 
(b) Calcule a FT Y(s)/R(s), caso houvesse uma realimentação simples. 
 
 
 
a)15s2.(s+14)(s−7)+s+14;b)(s+14)5s2(s−7)+s+14a)15s2.(s+14)(s−7)+s+14;b)(s+14)5s2(s−7)+s+14 
 
a)15s2.(s+14)(s−7);b)(s+14)5s2(s−7)+sa)15s2.(s+14)(s−7);b)(s+14)5s2(s−7)+s 
 
a)15s2.(s−7)(s+14);b)(s+14)5s2(s−7)+s+14a)15s2.(s−7)(s+14);b)(s+14)5s2(s−7)+s+14 
 
a)15s2.(s+14)(s−7);b)(s+14)5s(s−7)+s+14a)15s2.(s+14)(s−7);b)(s+14)5s(s−7)+s+14 
 a)15s2.(s+14)(s−7);b)(s+14)5s2(s−7)+s+14a)15s2.(s+14)(s−7);b)(s+14)5s2(s−7)+s+14 
Respondido em 17/09/2019 16:46:57 
 
 4a Questão 
 
 
Os diagramas de Bode são construções gráficas que permitem 
esboçar a resposta de um sistema de controle. Esses diagramas são 
constituídos de duas curvas, uma representando a magnitude e a 
outra a fase da função de transferência em relação à frequência. 
A figura a seguir apresenta os diagramas de Bode de um 
determinado sistema: 
 
Assinale a alternativa que apresenta corretamente a função de 
transferência do sistema descritos pelas curvas da figura acima: 
 
 
 
H(s)=100(s+1)(s+200)H(s)=100(s+1)(s+200) 
 
H(s)=10s(s+1)(s+200)H(s)=10s(s+1)(s+200) 
 H(s)=10s(s+10)(s+100)H(s)=10s(s+10)(s+100) 
 
H(s)=s2(s+10)(s+200)H(s)=s2(s+10)(s+200) 
 
H(s)=100s(s+100)H(s)=100s(s+100) 
Respondido em 17/09/2019 16:47:12 
 
 5a Questão 
 
 
Considere o sistema massa-mola-amortecedor montado em um carro de massa desprezível, como mostrado 
na figura a seguir. Suponha que o carro está parado para t<0. Nesse sistema, u(t) é o deslocamento do carro 
e é a entrada do sistema. O deslocamento y(t) da massa é a saída (o deslocamento é relativo ao solo). 
Suponha que a força de atrito do amortecedor seja proporcional a y' - u' e que a mola seja linear, isto é, a 
força da mola seja proporcional a y - u. Para o sistema modelado na figura, responda como fica a equação 
diferencial em função do tempo? E Transformando para Laplace, como fica a função de transferência? 
 
 
 
 
md2ydt2=−b(dydt)−k(y);G(s)=Y(s)U(s=1ms2+bs+kmd2ydt2=−b(dydt)−k(y);G(s)=Y(s)U(s=1ms2+bs+
k 
 
 
md2ydt2=−b(dydt−dudt)−k(y−u);G(s)=Y(s)U(s=bs+kms2+bs+kmd2ydt2=−b(dydt−dudt)−k(y−u);G(s)=Y(s)
U(s=bs+kms2+bs+k 
 
md2ydt2=−b(dydt)−k(y);G(s)=Y(s)U(s=kms2+bs+kmd2ydt2=−b(dydt)−k(y);G(s)=Y(s)U(s=kms2+bs+k 
 
md2ydt2=−b(dydt−dudt)−k(y);G(s)=Y(s)U(s=kms2+bs+kmd2ydt2=−b(dydt−dudt)−k(y);G(s)=Y(s)U(s=k
ms2+bs+k 
 
md2ydt2=b(dydt)+k(y);G(s)=Y(s)U(s=1ms2−bs−kmd2ydt2=b(dydt)+k(y);G(s)=Y(s)U(s=1ms2−bs−k 
Respondido em 17/09/2019 16:47:38 
 
 6a Questão 
 
 
Seja um circuito RC simples, que pode ter a função de um filtro passa-baixas em processamento de sinais, 
como mostrado na figura a seguir: 
 
Esboce o gráfico da resposta impulsiva (isto é, a resposta ao impulso unitário) para o filtro acima: