Lista 7 Calculo 2

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Universidade Federal de Uberlaˆndia - Lista 4 - FVR II
Profa. Dra. Taciana Oliveira Souza
(1) Calcule as integrais iteradas:
(a)
∫ 1
0
∫ z
0
∫ x+z
0
6xz dydxdz. Resp.: 1.
(b)
∫ 3
0
∫ 1
0
∫ √1−z2
0
zeydxdzdy. Resp.:
1
3
(e3 − 1).
(c)
∫ 2
0
∫ √4−y2
0
∫ y
0
2x dzdxdy. Resp.: 4.
(2) Calcule a integral tripla
(a)
∫∫∫
E
6xy dV , onde E e´ a regia˜o abaixo do plano z = 1+x+y e acima da regia˜o do plano
xy limitada pelas curvas y =
√
x y = 0 e x = 1. Resp.:
65
28
.
(b)
∫∫∫
E
xy dV , onde E e´ o so´lido tetraedro com ve´rtices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 2, 0) e (0, 0, 3).
Resp.:
1
10
.
(c)
∫∫∫
E
x dV , onde E e´ limitado pelo parabolo´ide x = 4y2 + 4z2 e pelo plano x = 4.
Resp.:
16pi
3
.
(3) Use a integral tripla para calcular o volume do so´lido limitado pelos planos x = 0, y = 0,
z = 0, x+ z = 1 e y + 2z = 2. Resp.:
2
3
(u.v).
(4) Use a integral tripla para calcular o volume do tetraedro limitado pelos planos x = 0, y = 0,
z = 0 e 2x+ 3y + 6z = 12. Resp.: 8 (u.v).
(5) Use a integral tripla para calcular o volume do so´lido limitado pela superf´ıcie cil´ındrica
x = y2 e pelos planos z = 0 e x+ z = 1. Resp.:
8
15
(u.v).
(6) Calcule
∫∫∫
E
√
x2 + y2 dV onde E e´ a regia˜o contida dentro do cilindro x2 + y2 = 16 e
entre os planos z = −5 e z = 4. Resp.: 384pi.
(7) Calcule
∫∫∫
E
y dV onde E e´ a regia˜o que esta´ entre os cilindros x2 + y2 = 1 x2 + y2 = 4,
acima do plano xy e abaixo do plano z = x+ 2. Resp.: 0.
(8) Calcule
∫∫∫
E
(x2 + y2 + z2) dV onde E e´ a bola unita´ria x2 + y2 + z2 ≤ 1. Resp.: 4pi
5
.
(9) Calcule
∫∫∫
E
√
x2 + y2 + z2 dV onde E e´ limitado acima pela esfera ρ = 2 e abaixo pelo
cone φ =
pi
6
. Resp.: 4pi(2−
√
3).
(10) Calcule o volume do so´lido que esta´ acima do cone φ =
pi
3
e abaixo da esfera ρ = 4cos(φ).
Resp.: 10pi (u.v).
(11) Calcule o volume do so´lido limitado pelo parabolo´ide z = x2 +y2, pelo cilindro x2 +y2 = 4
e pelo plano x = 0 . Resp.: 4pi (u.v).
(12) Calcule o volume da casca esfe´rica limitada por x2 +y2 +z2 = 9 e x2 +y2 +z2 = 16. Resp.:
148
3
(u.v).
(13) Calcule o volume do so´lido limitado pelo elipso´ide
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1. Resp.:
4pi
3
abc (u.v).