atividades-integralDupla-Tripla

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Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais 
 
Campus Varginha – Graduação em Engenharia Civil 
Disciplina 
Cálculo 2 Exercícios 
Professor: 
 André Monticeli 
 
 
 
1) Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares 
 
a. ∬ xy dA
𝐷
 ; 𝐷 é o disco com centro na origem e raio 3. 
 
b. ∬ x dA
𝐷
 ; D é a região abaixo: 
 
 
c. ∬ (x + y) dA
𝐷
 ; D é a região abaixo: 
 
 
d. ∬ cos (x² + y²) dA
𝑅
 ; R é a região acima do eixo x e dentro da circunferência 𝑥²+𝑦²=9 
 
e. ∬ (x² + y²) dA
𝐷
 ; D é a região abaixo: 
 
 
f. ∬ (e − x2 − y2) dA
𝐷
; D é a região limitada pelo semicírculo 𝑥 = √4 − 𝑦² e o eixo y. 
 
g. ∬ x dA
𝐷
; D é a região do primeiro quadrante compreendida entre os círculos 𝑥2 + 𝑦2 = 4 e 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑥. 
 
 
 
 
 
2) Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares 
 
a. ∫ ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥2 + 𝑦2)
√9−𝑥²
0
3
−3
𝑑𝑦 𝑑𝑥 
 
b. ∫ ∫ 𝑥²𝑦
0
−√4−𝑦²
2
0
 𝑑𝑥 𝑑𝑦 
 
c. ∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦2)
√2−𝑦²
𝑦
1
0
 𝑑𝑥 𝑑𝑦 
 
d. ∫ ∫ 𝑑𝑦 𝑑𝑥
√2𝑥−𝑥²
0
2
0
 
 
 
3) Calcule as integrais iteradas 
 
a. ∫ ∫ ∫ 6𝑥𝑧
𝑥+𝑧
0
𝑧
0
1
0
 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑧 
 
b. ∫ ∫ ∫ 𝑧 𝑒𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑦
√1−𝑧²
0
1
0
3
0
 
 
c. ∫ ∫ ∫ cos(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑥
0
𝑦
0
𝜋
2
0
 
 
d. ∫ ∫ ∫ 𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑦)
𝑥𝑧
0
𝑥
0
√𝜋
0
 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑥 
 
e) ∫ ∫ ∫ 2𝑥𝑦𝑧
𝑦
0
2𝑥
𝑥
1
0
 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
4) Calcule a integral tripla 
 
a. ∭ 2𝑥
𝐸
 𝑑𝑉; onde 𝐸 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3/ 0 ≤ 𝑦 ≤ 2; 0 ≤ 𝑥 ≤ √4 − 𝑦2; 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑦} 
 
b. ∭ 6𝑥𝑦
𝐸
 𝑑𝑉; onde 𝐸 está abaixo do plano 𝑧 = 1 + 𝑥 + 𝑦 e acima da região do plano 𝑥𝑦 limitada pelas curvas 
𝑦 = √𝑥, 𝑦 = 0 e 𝑥 = 1. 
 
c. ∭ 𝑥2𝑒𝑦
𝐸
 𝑑𝑉; onde 𝐸 é delimitado pelo cilindro parabólico 𝑧 = 1 − 𝑦2 e pelos planos 𝑧 = 0, 𝑥 = 1 e 𝑥 = −1. 
 
d. ∭ 𝑥
𝐸
 𝑑𝑉; onde 𝐸 é limitado pelo paraboloide 𝑥 = 4𝑦2 + 4𝑧² e pelo plano 𝑥 = 4. 
 
 
5) Use integral tripla para determinar o volume do sólido dado: 
 
a. O tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4. 
b. O sólido delimitado pelo cilindro 𝑥 = 𝑦² e pelos planos 𝑧 = 0 e 𝑥 + 𝑧 = 1. 
c. O sólido limitado pelas superfícies 𝑧 = −𝑦, 𝑦 = 𝑥2 − 1 e 𝑧 = 0. 
 
 
6) Calcule a integral transformando para coordenadas cilíndricas: 
 
a. ∫ ∫ ∫ 𝑥𝑧
2
√𝑥2+𝑦²
√4−𝑦²
−√4−𝑦²
2
−2
 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 
 
b. ∫ ∫ ∫ √𝑥2 + 𝑦²
9−𝑥2−𝑦²
0
√9−𝑥²
0
3
−3
 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 
 
c. ∭ √𝑥2 + 𝑦²
𝐸
 𝑑𝑉, onde 𝐸 é a região que está dentro do cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 16 e entre os planos 𝑧 = −5, 𝑧 = 4. 
 
d. ∭ 𝑦
𝐸
 𝑑𝑉, onde 𝐸 é o sólido que está entre os cilindros 𝑥2 + 𝑦2 = 1 e 𝑥2 + 𝑦2 = 4, acima do plano 𝑥𝑦 e 
abaixo do plano 𝑧 = 𝑥 + 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Utilize coordenadas esféricas para calcular as integrais: 
 
a. ∭ (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)
𝐵
 𝑑𝑉, onde 𝐵 é a bola com centro na origem e raio 5. 
b. ∭ 𝑧
𝐸
 𝑑𝑉, onde 𝐸 está entre as esferas 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1 e 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 no primeiro octante. 
 
c. ∭ 𝑥²
𝐸
 𝑑𝑉, onde 𝐸 é limitado pelo plano 𝑥𝑦 e pelos hemisférios 𝑦 = √9 − 𝑥2 − 𝑧² e 𝑦 = √16 − 𝑥2 − 𝑧². 
 
 
 
8) Encontre o volume dos sólidos: 
 
a. A parte da bola 𝜌 ≤ 2 que está entre os cones 𝜙 =
𝜋
6
 e 𝜙 =
𝜋
3
. 
 
b. O sólido que está acima do cone 𝜙 =
𝜋
3
 e abaixo da esfera 𝜌 = 4cos (𝜙). 
 
c. O sólido acima do cone 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦² e abaixo da esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1. 
 
d. O sólido que está dentro da esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4, acima do plano 𝑥𝑦 e abaixo do cone 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦². 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
 
1) a) 0 b) −
64
3
 c) 126 d) 
𝜋
2
 𝑠𝑒𝑛(9) e) 
3𝜋
2
 f) 2𝜋𝑒 − 4𝜋 g) 
8
3
−
𝜋
2
 
2) a) 
𝜋
2
(1 − cos(9)) b) 
32
15
 c) 
𝜋
4
 d) 
𝜋
2
 
3) a) 1 b) 
1
3
(𝑒3 − 1) c) −
1
3
 d) 
1
4
(𝜋2 − 4) e) 
5
8
 
4) a) 4 b) 
65
28
 c) 
8
3𝑒
 d) 8𝜋 
5) a) 
16
3
 b) 
8
15
 c) 
8
15
 
6) a) 0 b) 
162𝜋
5
 c) 384𝜋 d) 0 
7) a) 2500𝜋 b) 
15𝜋
16
 c) 
1562𝜋
15
 
8) a) 
8
3
𝜋(√3 − 1) b) 10𝜋 c) (
2𝜋
3
−
𝜋√2
3
) d) (
16𝜋
3
−
8𝜋√2
3
)