Apresentação Sobre o Cáp. de Linhas de Transmissão do livro do Sadiku - Elementos de Eletromagnetismo.

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Linhas de Transmissão
Discentes:
Docente: Anselmo Fortunato Ruiz Rodriguez
Universidade Federal do Acre - UFAC
Lucas Costa Vichinsky
Taynara Bastos Trindade
INTRODUÇÃO
As linhas de
transmissão são geralmente
utilizadas na distribuição de
potência (para baixas
frequências) e em
telecomunicações (para altas
frequências). Vários tipos de
linhas de comunicação, tais
como par trançado e cabos
coaxiais são utilizados em
redes de computadores como
computadores, Ethernet e
Internet.
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Os problemas de
linhas de transmissão são
geralmente resolvidos com
aplicação de teoremas de
eletromagnetismo e a teoria
de circuitos elétricos, bases
fundamentais da Eng.
Elétrica.
O objetivo desta
apresentação é mostrar
como esse processo é dado e
quais as teorias que devem
ser aplicadas.
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TEMPO→FREQUÊNCIA
Em diversos pontos dessa
apresentação serão convertidas
grandezas do domínio do tempo
para o domínio da frequência.
Você deve estar se
perguntando o por que de o autor
faz isso. O motivo é simples,
conveniência. Muitos cálculos se
tornaram muito complexos para
serem feitos no domínio do tempo,
além de que as grandezas
relacionadas as ondas de
propagação geralmente estão
relacionadas com a frequência.
Uma onda eletromagnética
possui a seguinte característica:
𝐕𝐬 𝐭 = 𝑉𝑜
+𝑒−𝛾𝑧 + 𝑉𝑜
−𝑒𝛾𝑧
Sua propagação é dada da 
seguinte forma:
ONDAS ELETROMAGNÉTICAS
CONCEITOS BASE
PARÂMETROS
Nesse tópico serão
definidas algumas grandezas
fundamentais para a análise de
linhas de transmissão, eles
são: a resistência, a
condutância, a capacitância e a
indutância.
Todos esses parâmetros
se diferenciam pela geometria
da linha de transmissão. Logo,
nossa análise do campo
elétrico (𝐄) e da densidade do
campo magnético ( 𝐁 ). Antes
de encontrarmos as equações
que definem nossos
parâmetros, vamos defini-los:
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[I]Todos esse parâmetros não são
discretos. Isso significa dizer que eles
estão distribuídos uniformemente
conforme a linha de transmissão;
[II] A determinação de seus
valores dependerá somente dos tipo
de condutor ou dielétrico homogêneo
adotado. Os mais populares são
divididos em em cinco: linha coaxial,
linha em dois fios, linha planar, fio
sobre um plano condutor e linha de
microfitas. Porém vamos estudar
apenas três deles;
[III] O valor de L que será mostrado
na tabela a seguir é o valor externo,
como em grande parte das linhas de
transmissão a frequência possui altos
valores a indutância interna assume
valores desprezíveis.
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R (Ω/m) 1
2𝜋𝛿𝜎𝑐
1
𝑎
−
1
𝑏
𝛅 ≪ 𝐚, 𝐜 − 𝐛
1
𝜋𝑎𝛿𝜎𝑐
(𝛅 ≪ 𝐚)
2
𝑤𝛿𝜎𝑐
(𝛅 ≪ 𝐭)
L (H/m) 𝜇
2𝜋
ln
𝑏
𝑎
𝜇
𝜋
cosh−1
𝑑
2𝑎
𝜇𝑑
𝑤
G (S/m) 2𝜋𝜎
ln
𝑏
𝑎
𝜋𝜎
cosh−1
𝑑
2𝑎
𝜎𝑤
𝑑
C (F/m) 2𝜋𝜀
ln
𝑏
𝑎
𝜋𝜀
cosh−1
𝑑
2𝑎
𝜀𝑤
𝑑
(𝐰 ≫ 𝐝)
Parâmetros
Cabo Coaxial Linha Bifilar Linha Planar
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De acordo com a lei de
Ámpere, o campo auxiliar ( 𝐇 )
circunda o condutor que conduz
corrente como mostra a figura ao
lado. O vetor de Poynting (𝐄 × 𝐇 )
aponta ao longo da linha de
transmissão. Portanto, o
fechamento do interruptor
estabelece um campo
eletromagnético, que aparece em
forma de uma onda transversal
eletromagnética (TEM) que se
propaga ao longo da linha. Essa
onda é plana e não uniforme e
através dela é transmitida energia
na linha.
Parâmetros distribuídos em linhas de
transmissão entre dois condutores.
Campos 𝐄 e 𝐇 em
um cabo coaxial.
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Para definir algumas
equações básicas das
linhas de transmissão,
devemos nos focar em três
parâmetros básicos da
teoria de análise dos
circuitos: a tensão (V), a
corrente (I) e a resistência
(R). Todos esses
parâmetros serão
expressados em função
das grandezas
eletromagnéticas, nossa
resistência e suas
características já foram
expressadas, para o
seguinte passo:
Vamos tomar duas três
equações como base para
nossa análise:
[I]𝐕 = 𝐸 ∙ 𝜕 𝑙;
[II]𝐈 = 𝐻 ∙ 𝜕 𝑙;
[III] 𝛄 = 𝛼 + 𝑗𝛽 ou
𝛄 = 𝑅 + 𝑗𝜔𝐿 𝐺 + 𝑗𝜔𝐶
Utilizar a teoria de
Maxwell (eletromagnetismo)
tornaria nosso problema
severamente mais difícil. Então
o que o problema será
abordado da seguinte forma:
utilizaremos alguns princípios
de eletromagnetismo,
misturados com a teoria de
análise de circuitos elétricos.
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𝐼(𝑧, 𝑡) 𝑅∆𝑧 𝐿∆𝑧
𝐺∆𝑧 𝐺∆𝑧
𝑉(𝑧, 𝑡)
+
−
𝑧 𝑧 + ∆𝑧
Definido o circuito ao
lado adotando algumas
técnicas de análise de
circuitos e depois de algumas
organizações obtemos a
seguinte equação:
𝜕2𝐕𝐬
𝜕𝑡²
− 𝛾2𝐕𝐬 = 0
Em termos de
corrente:
𝜕2𝐈𝐬
𝜕𝑡²
− 𝛾2𝐈𝐬 = 0
Tomando toda uma
análise através das definições
que já conhecemos obtemos
os seguintes parâmetros:
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𝛌 : Também conhecido
como comprimento de
onda. Como nossos
parâmetros se
propagam através de
ondas, definimos seu
comprimento de onda
através da relação:
𝛌 =
2𝜋
𝛽
𝐮 : Esse parâmetro é
definido como a
velocidade da onda e
pode ser calculado
através da equação:
𝐮 =
𝜔
𝛽
= 𝑓𝜆
𝐙𝐨 : chamada de impedância característica pode ser definida
como a razão da onda de tensão e a onda de corrente, que se
propagam no sentido positivo em qualquer ponto da linha.
Caso Constante de 
propagação (𝛄)
𝜸 = 𝜶 + 𝒋𝜷
Impedância
Característica (𝒁𝒐)
𝒁𝒐 = 𝑹𝒐 + 𝒋𝑿𝒐
Geral 𝑹 + 𝒋𝝎𝑳 𝑮 + 𝒋𝝎𝑪 𝑅 + 𝑗𝜔𝐿
𝐺 + 𝑗𝜔𝐶
Sem Perdas 0 + 𝑗𝜔 𝐿𝐶 𝐿
𝐶
+ 𝑗0
Sem Distorção 𝑅𝐺 + 𝑗𝜔 𝐿𝐶 𝐿
𝐶
+ 𝑗0
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EXEMPLO 1
Uma linha de transmissão no ar possui impedância característica de 70 Ω e
constante de fase de 3 rad/m a 100 MHz. Calcule a indutância por metro e a
capacitância por metro da linha.
Foram nos dados os seguintes
parâmetros:
𝛃: 3 rad/m
𝐟:100MHz
𝐑𝐨: 70 Ω
Sabemos também que uma linha no
ar pode ser considerada uma linha sem
perdas, daí:
SOLUÇÃO:
𝐂 =
𝛽
2𝜋𝑓𝑅𝑜
=
3
2𝜋 100 106 (70)
= 68.2 pF/m
𝐋 = 𝑅𝑜
2𝐶 = 70 2 68.2 10−12 = 334.2 nH/m
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𝐙𝐞𝐧𝐭 : Definida como a
impedância de entrada é
um parâmetro
importante para a
definição de um circuito
de duas portas. Ela é
definida pela seguinte
equação:
𝐙𝐞𝐧𝐭 =
𝑉𝑠
𝐼𝑠
O seu valor vai
depender muito do tipo
de linha que estamos
analisando, no próximo
slide será mostrado isso.
𝚪𝐜 : A letra gama é
definida como o
coeficiente de reflexão
de tensão. Ele é definido
como a razão entre as
amplitudes de onda
refletidas e incidentes e
é dado pela seguinte
equação:
𝚪𝒄 =
𝑍𝑐 − 𝑍𝑜
𝑍𝑐 + 𝑍𝑜
A mesma
equação pode ser
reescrita como:
𝚪 𝐳 =
𝑉𝑜
−
𝑉𝑜
+ 𝑒
2𝛾𝑧
𝐬 (𝐑𝐎𝐄) : Esse nosso
último parâmetro é
denominado como razão
da onda estacionária.
Ela é a relação entre a
amplitude de uma onda
estacionária em um
ponto de máxima e seu
ponto seguinte de
mínima, considerando
uma linha de
transmissão, sua
equação é:
𝐬 =
𝑉𝑚𝑎𝑥
𝑉𝑚𝑖𝑛
=
𝐼𝑚𝑎𝑥
𝐼𝑚𝑖𝑛
=
1 + Γ𝑐
1 − |Γ𝑐|
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CASOS RELACIONAIS
Linha em curto (𝐙𝐜 = 𝟎)
𝐙𝐞𝐧𝐭 = 𝑗𝑍𝑜𝑡𝑔𝛽𝑙
𝚪𝐜 = −1, 𝐬 = ∞
Linha em aberto(𝐙𝐜 = ∞)
𝐙𝐞𝐧𝐭 = −𝑗𝑍𝑜𝑐𝑜𝑡𝑔𝛽𝑙
𝚪𝐜 = 1, 𝐬 = ∞
Linha casada(𝐙𝐜 = 𝒁𝒐)
𝐙𝐞𝐧𝐭 = 𝑍𝑜
𝚪𝐜 = 0, 𝐬 = 1
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CARTA DE SMITH
Antes do advento
dos métodos
computacionais, existia
uma ferramenta muito
poderosa para a análise
das linhas de
transmissão: a carta de
Smith. Assumindo que as
linhasnão possuam
perdas podemos criar um
diagrama que represente
todas essas linhas de
transmissão em um único
desenho.
Considere a seguinte
equação:
𝚪 = Γ𝑟 + 𝑗Γ𝑖 =
(𝑧𝑐−1)
𝑧𝑐
ou:
𝐳𝐜 = 𝑟 + 𝑗𝑥 =
1+Γ𝑟 +𝑗Γ𝑖
1−Γ𝑟 −𝑗Γ𝑖
Através da normalização
do termo e algumas
aproximações matemáticas,
obtemos a seguinte equação:
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Γ𝑟 − 1
2 + Γ𝑖 −
1
𝑥
2
=
1
𝑥
2
Note que essa
equação é muito
semelhante a equação da
esfera que já nos foi
apresentada a algum tempo
atrás.
Isso significa que
podemos escrever qualquer
sistema e encontrar suas
incógnitas através dessa
metodologia. Apesar de não
ser uma ferramenta
moderna, ainda assim é
muito utilizada por
engenheiros.
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APLICAÇÕES
TRANSFOMADOR DE ONDA 
(CASAMENTO)
Para altas frequências o
transformador possui uma onda
refletida e é justamente nesse caso
que existe um interesse que as
impedâncias de carga e de entrada
sejam iguais. Nesse caso, podemos
aplicar o conceito que foi nos
mostrado no começo da apresentação
de casar impedâncias.
𝐙𝐞𝐧𝐭 = 𝑍𝑜 𝑍𝑐 +
𝑗𝑍𝑜 tan
𝜋
2
𝑍0 + 𝑗𝑍𝑐 tan
𝜋
2
=
𝑍𝑜
2
𝑍𝑐
𝑍𝑒𝑛𝑡
𝑍𝑜
=
𝑍𝑜
𝑍𝑐
𝑧𝑒𝑛𝑡 =
1
𝑧𝑐
= 𝑦𝑒𝑛𝑡 = 𝑧𝑙
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Toda a teoria de
linhas de transmissão
também possui
aplicações em áreas
como sintonizador em
toco simples, linha
fendida, transientes e
em sistemas de linhas
de transmissão em
microfitas.
Devido a falta de
algumas imagens e
precariedade de
tempo não tocaremos
em todas as
aplicações mas só
explicitaremos uma:
as linhas de
transmissão de
microfitas.
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Toda a teoria de
linhas de transmissão
também possui
aplicações em áreas
como sintonizador em
toco simples, linha
fendida, transientes e
em sistemas de linhas
de transmissão em
microfitas.
Devido a falta de
algumas imagens e
precariedade de
tempo não tocaremos
em todas as
aplicações mas só
explicitaremos uma:
as linhas de
transmissão de
microfitas.
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LINHAS DE MICROFITA
Consistem em
uma linha de
transmissão composta
por um plano de terra
e um substrato
dielétrico. Devido a
estrutura aberta da
linha, o campo
eletromagnético não
está confinado no
dielétrico.
Para aplicações
de curta distância, o
sistema se torna
extremamente viável
devido ao seu preço e
fácil implementação.
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EXEMPLO 2
Uma determinada linha de microfita tem quartzo fundido (𝜀𝑟 = 3,8)
como substrato. Se a razão entre a largura da linha e o subsolo é w/h=4.5.
Calcule a permissividade relativa do substrato, a impedância característica
da linha e o comprimento de onda na linha em 10 GHz.
SOLUÇÃO:
Foram nos dados os seguintes
parâmetros:
𝛆𝐫: 3,8
𝐟:10GHz
𝒘/𝒉: 4.5
𝛆𝐫 =
4.8
2
+
2.8
2
1 +
12
4.5
−
1
2
= 3.131
𝐙𝐨 = 130,08 Ω
𝛌 =
𝑢
𝑓
=
𝑐
𝑓 𝜀𝑒𝑓
= 16,9 mm