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Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Resolução de equações lineares
Patrick Terrematte
patrick.terrematte@ufersa.edu.br
PEX0103− Cálculo Numérico
C&T− Bacharelado em Ciência e Tecnologia
UFERSA− Pau dos Ferros
-
1 / 3
Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Sumário
1 Introdução
Objetivos
Aplicações
Sistemas Lineares
2 Método de Gauss
3 Método de Jordan
4 Método LU
2 / 3
Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Objetivos
Objetivos gerais
Definic¸a˜o dos conceitos de equac¸a˜o linear e sistema linear
Apresentac¸a˜o dos me´todos nume´ricos para resoluc¸a˜o de
sistemas lineares:
Me´todos exatos ou diretos: Gauss, Jordan, Decomposic¸a˜o
LU
Me´todos iterativos: Gauss-Seidel, Jacobi
Aplicac¸o˜es dos me´todos descritos na engenharia
Descric¸a˜o de algoritmos para implementac¸a˜o em software
Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos
Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Aplicac¸o˜es
Aplicac¸o˜es de sistemas lineares
Ana´lise do estado estaciona´rio de um sistema de reatores
(Engenharia Quı´mica/Bioengenharia)
Ana´lise de uma trelic¸a estaticamente determinada
(Engenharia Civil/Ambiental)
Correntes e Voltagens em Circuitos de Resistores
(Engenharia Ele´trica)
Sistemas Massa-Mola (Engenharia
Mecaˆnica/Aeroespacial)
Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos
Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Aplicac¸o˜es
Correntes e voltagens em circuitos de resistores
Segunda Lei de Kirchhoff (Lei das Tenso˜es ou Lei das Malhas)
A soma alge´brica da d.d.p (Diferenc¸a de Potencial Ele´trico) em um
percurso fechado e´ nula.

2i1 + 4(i1 − i2) + 2(i1 − i3)− 10 = 0
2i2 − 2i2 + 2(i2 − i3) + 4(i2 − i1) = 0
6i3 + 2(i3 − i1) + 2(i3 − i2)− 4 = 0
Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos
Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Sistemas Lineares
O que e´ uma equac¸a˜o linear?
Uma equac¸a˜o e´ linear se:
Cada termo conte´m na˜o mais do que uma varia´vel
Cada varia´vel aparece na primeira poteˆncia
Exemplos
3x + 4y − 10z = 50 Linear
2xy + 6y = −1 Na˜o Linear
x4 − 6y + z = 0 Na˜o Linear
Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos
Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Sistemas Lineares
O que e´ uma equac¸a˜o linear?
Uma equac¸a˜o e´ linear se:
Cada termo conte´m na˜o mais do que uma varia´vel
Cada varia´vel aparece na primeira poteˆncia
Exemplos
3x + 4y − 10z = 50 Linear
2xy + 6y = −1 Na˜o Linear
x4 − 6y + z = 0 Na˜o Linear
Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos
Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Sistemas Lineares
O que e´ uma equac¸a˜o linear?
Uma equac¸a˜o e´ linear se:
Cada termo conte´m na˜o mais do que uma varia´vel
Cada varia´vel aparece na primeira poteˆncia
Exemplos
3x + 4y − 10z = 50 Linear
2xy + 6y = −1 Na˜o Linear
x4 − 6y + z = 0 Na˜o Linear
Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos
Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Sistemas Lineares
O que e´ uma equac¸a˜o linear?
Uma equac¸a˜o e´ linear se:
Cada termo conte´m na˜o mais do que uma varia´vel
Cada varia´vel aparece na primeira poteˆncia
Exemplos
3x + 4y − 10z = 50 Linear
2xy + 6y = −1 Na˜o Linear
x4 − 6y + z = 0 Na˜o Linear
Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos
Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Sistemas Lineares
O que e´ uma equac¸a˜o linear?
Uma equac¸a˜o e´ linear se:
Cada termo conte´m na˜o mais do que uma varia´vel
Cada varia´vel aparece na primeira poteˆncia
Exemplos
3x + 4y − 10z = 50 Linear
2xy + 6y = −1 Na˜o Linear
x4 − 6y + z = 0 Na˜o Linear
Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos
Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Sistemas Lineares
O que e´ uma equac¸a˜o linear?
Uma equac¸a˜o e´ linear se:
Cada termo conte´m na˜o mais do que uma varia´vel
Cada varia´vel aparece na primeira poteˆncia
Exemplos
3x + 4y − 10z = 50 Linear
2xy + 6y = −1 Na˜o Linear
x4 − 6y + z = 0 Na˜o Linear
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Sistemas Lineares
O que e´ uma equac¸a˜o linear?
Uma equac¸a˜o e´ linear se:
Cada termo conte´m na˜o mais do que uma varia´vel
Cada varia´vel aparece na primeira poteˆncia
Exemplos
3x + 4y − 10z = 50 Linear
2xy + 6y = −1 Na˜o Linear
x4 − 6y + z = 0 Na˜o Linear
Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos
Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Sistemas Lineares
O que e´ uma equac¸a˜o linear?
Uma equac¸a˜o e´ linear se:
Cada termo conte´m na˜o mais do que uma varia´vel
Cada varia´vel aparece na primeira poteˆncia
Exemplos
3x + 4y − 10z = 50 Linear
2xy + 6y = −1 Na˜o Linear
x4 − 6y + z = 0 Na˜o Linear
Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos
Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Sistemas Lineares
O que sa˜o sistemas lineares?
Um conjunto de n equac¸o˜es lineares com n varia´veis
(inco´gnitas) e´ denominado de:
Sistemas de n equac¸o˜es lineares ou
Sistema Linear de Ordem n
Uma soluc¸a˜o para um sistema linear consiste de
determinar valores para as n varia´veis que satisfac¸am
todas as equac¸o˜es simultaneamente.

x + y + z = 1
x − y − z = 1
2x + 3y − 4z = 9
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Sistemas Lineares
O que sa˜o sistemas lineares?
Um conjunto de n equac¸o˜es lineares com n varia´veis
(inco´gnitas) e´ denominado de:
Sistemas de n equac¸o˜es lineares ou
Sistema Linear de Ordem n
Uma soluc¸a˜o para um sistema linear consiste de
determinar valores para as n varia´veis que satisfac¸am
todas as equac¸o˜es simultaneamente.

x + y + z = 1
x − y − z = 1
2x + 3y − 4z = 9
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Sistemas Lineares
O que sa˜o sistemas lineares?
Um conjunto de n equac¸o˜es lineares com n varia´veis
(inco´gnitas) e´ denominado de:
Sistemas de n equac¸o˜es lineares ou
Sistema Linear de Ordem n
Uma soluc¸a˜o para um sistema linear consiste de
determinar valores para as n varia´veis que satisfac¸am
todas as equac¸o˜es simultaneamente.

x + y + z = 1
x − y − z = 1
2x + 3y − 4z = 9
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Sistemas Lineares
Representac¸a˜o

a11x1 + a12x2 + a13x3 . . .+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 . . .+ a2nxn = b2
a31x1 + a32x3 + a33x3 . . .+ a3nxn = b3
. . . . . .
an1x1 + an2x2 + an3x3 . . .+ annxn = bn

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
an1 an2 . . . ann
×

x1
x2
...
xn
 =

b1
b2
...
bn
⇒ Ax = b
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Sistemas Lineares
Representac¸a˜o

a11x1 + a12x2 + a13x3 . . .+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 . . .+ a2nxn = b2
a31x1 + a32x3 + a33x3 . . .+ a3nxn = b3
. . . . . .
an1x1 + an2x2 + an3x3 . . .+ annxn = bn

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
an1 an2 . . . ann
×

x1
x2
...
xn
 =

b1
b2
...
bn
⇒ Ax = b
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Sistemas Lineares
Classificac¸a˜o dos Sistemas Lineares
Possı´vel ou consistente: pelo menos uma soluc¸a˜o
Determinado: apenas uma soluc¸a˜o.
Indeterminado:mais de uma soluc¸a˜o.
Impossı´vel ou inconsistente: nenhuma soluc¸a˜o
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Sistemas Lineares
Classificac¸a˜o dos Sistemas Lineares
Sistema Possı´vel e Determinado
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Sistemas Lineares
Classificac¸a˜o dos Sistemas Lineares
Sistema Possı´vel e Indeterminado
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Sistemas Lineares
Classificac¸a˜o dos Sistemas Lineares
Sistema Impossı´vel
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Sistemas Lineares
Peculiaridades dos Sistemas Lineares
Transformac¸o˜es ba´sicas
Sa˜o operac¸o˜es efetuadas sobre um sistema linear com o
intuito de obter um outro sistema linear equivalente.
Objetivo e´ transformar esse outro sistema linear numa
versa˜o mais fa´cil de resolver.
1 Trocar a ordem de duas equac¸o˜es do sistema.
2 Multiplicar uma equac¸a˜o do sistema por uma constante
na˜o nula.
3 Adicionar duas equac¸o˜es.
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Sistemas Lineares
Peculiaridades dos Sistemas Lineares
Transformac¸o˜es ba´sicas
Sa˜o operac¸o˜es efetuadas sobre um sistema linear com o
intuito de obter um outro sistema linear equivalente.
Objetivo e´ transformar esse outro sistema linear numa
versa˜o mais fa´cil de resolver.
1 Trocar a ordem de duas equac¸o˜es do sistema.
2 Multiplicar uma equac¸a˜o do sistema por uma constante
na˜o nula.
3 Adicionar duas equac¸o˜es.
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Sistemas Lineares
Peculiaridades dos Sistemas Lineares
Transformac¸o˜es ba´sicas - Trocar a ordem de duas equac¸o˜es do sistema
{
x + y = 1
2x + y = 5
 1 1
2 1
×
 x
y
 =
 1
5
 ⇒ x = 4, y = −3
 2 1
1 1
 y
x
 =
 5
1
 ⇒ x = 4, y = −3
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Sistemas Lineares
Peculiaridades dos Sistemas Lineares
Transformac¸o˜es ba´sicas - Multiplicar uma equac¸a˜o do sistema por uma constante na˜o
nula
{
x + y = 1
2x + y = 5
 1 1
2 1
×
 x
y
 =
 1
5
 ⇒ x = 4, y = −3
 2 2
2 1
×
 x
y
 =
 2
5
 ⇒ x = 4, y = −3
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Sistemas Lineares
Peculiaridades dos Sistemas Lineares
Transformac¸o˜es ba´sicas - Adicionar duas equac¸o˜es
{
x + y = 1
2x + y = 5
 1 1
2 1
×
 x
y
 =
 1
5
 ⇒ x = 4, y = −3
L2 = L2− L1
 1 1
1 0
×
 x
y
 =
 2
4
 ⇒ x = 4, y = −3
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Sistemas Lineares
Observac¸o˜es gerais
Os me´todos nume´ricos para resoluc¸a˜o de sistemas
lineares que sera˜o discutidos sa˜o usados para sistemas
lineares de ordem n que tenham soluc¸a˜o u´nica.
Esses sistemas sa˜o aqueles em que a matriz dos
coeficientes e´ na˜o singular.
det (A) 6= 0
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Sistemas Lineares
Resoluc¸a˜o nume´rica de sistemas lineares
Me´todos exatos ou diretos
Sa˜o aqueles que forneceriam a soluc¸a˜o exata, na˜o fossem
os erros de arredondamento, com um nu´mero finito de
operac¸o˜es
Me´todos iterativos
Sa˜o aqueles que permitem obter a soluc¸a˜o de um sistema
com uma dada precisa˜o atrave´s de um processo infinito
convergente
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o
Objetivos
Aplicac¸o˜es
Sistemas Lineares
2 Me´todo de Gauss
3 Me´todo de Jordan
4 Me´todo LU
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo da Eliminac¸a˜o de Gauss
Visa˜o geral
O me´todo de Gauss consiste em transformar o sistema
original num sistema triangular superior (eliminac¸a˜o
progressiva) e em seguida resolver o sistema atrave´s de
uma substituic¸a˜o regressiva
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo da Eliminac¸a˜o de Gauss
Visa˜o geral
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Eliminac¸a˜o progressiva das varia´veis - Passo 1
Formando a matriz aumentada

a11 a12 a13 . . . a1n
... b1
a21 a22 a23 . . . a2n
... b2
...
...
...
. . .
...
...
an1 an2 an3 . . . ann
... bn

Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos
Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Eliminac¸a˜o progressiva das varia´veis - Passo 2
Normalizac¸a˜o

a11 a12 a13 . . . a1n
... b1
a21 a22 a23 . . . a2n
... b2
...
...
...
. . .
...
...
an1 an2 an3 . . . ann
... bn

L2 = L2 − L1 × a21a11
L3 = L3 − L1 × a31a11
Ln = Ln − L1 × an1a11
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Eliminac¸a˜o progressiva das varia´veis- Passo 2
Normalizac¸a˜o

a11 a12 a13 . . . a1n
... b1
0 a′22 a
′
23 . . . a
′
2n
... b′2
...
...
...
. . .
...
...
0 a′n2 a
′
n3 . . . a
′
nn
... b′n

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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Eliminac¸a˜o progressiva das varia´veis- Passo 3
Normalizando o pro´ximo elemento da diagonal principal
a11 a12 a13 . . . a1n
... b1
0 a′22 a
′
23 . . . a
′
2n
... b′2
...
...
...
. . .
...
...
0 a′n2 a
′
n3 . . . a
′
nn
... b′n

L3 = L3 − L2 × a
′
31
a′22
L4 = L4 − L2 × a
′
41
a′22
Ln = Ln − L2 × a
′
n1
a′22
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Eliminac¸a˜o progressiva das varia´veis - Passo 3
Normalizando o pro´ximo elemento da diagonal principal

a11 a12 a13 . . . a1n
... b1
0 a′22 a
′
23 . . . a
′
2n
... b′2
...
...
...
. . .
...
...
0 0 a′′n3 . . . a
′′
nn
... b′′n

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Eliminac¸a˜o progressiva das varia´veis - Passo 4
Normalizando ate´ o (n-1)e´simo elemento da diagonal principal

a11 a12 a13 . . . a1n
... b1
0 a′22 a
′
23 . . . a
′
2n
... b′2
...
...
...
. . .
...
...
0 0 0 . . . an−1nn
... bn−1n

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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Eliminac¸a˜o progressiva das varia´veis
Exemplo

7 −3 3 ... −49
1 −2 −5 ... 5
3 −6 10 ... −84

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������������������������
������������������������
������������������������
Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Eliminac¸a˜o Progressiva das varia´veis
Algoritmo
Entrada: a matriz de coeficientes A(n,n) e o vetor dos termos independentes B(n,1) .
Saı´da : a matriz aumentada triangular superior.
// Percorre os n-1 elementos da diagonal principal
1 Para i ← 1 ate´ n − 1
// Percorre os elementosabaixo do pivoˆ na mesma coluna
2 Para j ← i + 1 ate´ n
3 fator← ajiaii ;
// Zera os elementos
4 aji ← 0;
// Normaliza os elementos de uma linha
5 Para k ← i + 1 ate´ n
6 ajk ← ajk - fator× aik ;
7 bj ← bj - fator× bi ;
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Substituic¸a˜o regressiva - Ideia ba´sica

a11 a12 a13 . . . a1n
... b1
0 a′22 a
′
23 . . . a
′
2n
... b′2
...
...
...
. . .
...
...
0 0 0 . . . an−1nn
... bn−1n

xn = bn−1n /an−1nn
xn−1 = (bn−2n−1 − an−2n−1,nxn)/an−2n−1,n−1
x1 = (b1 − a12x2 − . . .− a1nxn)/a11
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Substituic¸a˜o regressiva
Algoritmo
Entrada: a matriz aumentada triangular superior (A(n,n)
.
.
.B(n,1)).
Saı´da : o vetor soluc¸a˜o X(n,1).
1 xn ← bnann
// Percorre as n-1 linhas da matriz aumentada
2 Para i ← n − 1 ate´ 1
3 soma← bi ;
// Somatorio das outra inco´gnitas que xi depende
4 Para j ← i + 1 ate´ n
5 soma← soma- xj × aij ;
6 xi ← somaaii ;
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Exemplo - Me´todo de Gauss

6 2 −1 ... 7
2 4 1
... 7
3 2 8
... 13

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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Exemplo - Me´todo de Gauss
Eliminac¸a˜o progressiva

6 2 −1 ... 7
2 4 1
... 7
3 2 8
... 13

L2 = L2 − L1 ×
2
6
L3 = L3 − L1 ×
3
6
L2,1 = 2− 2 = 0 L3,1 = 3− 3 = 0
L2,2 = 4−
2
3
=
10
3
L3,2 = 2− 1 = 1
L2,3 = 1 +
1
3
=
4
3
L3,3 = 8 +
1
2
=
17
2
L2,4 = 7−
7
3
=
14
3
L3,4 = 13−
7
2
=
19
2
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Exemplo - Me´todo de Gauss
Eliminac¸a˜o progressiva

6 2 −1 ... 7
0 103
4
3
... 143
0 1 172
... 192

L3 = L3 − L2 × 110
3
L3,2 = 1− 1 = 0
L3,3 = 172 − 410 = 8110
L3,4 = 192 − 1410 = 8110
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Exemplo - Me´todo de Gauss
Substituic¸a˜o regressiva

6 2 −1 ... 7
0 103
4
3
... 143
0 0 8110
... 8110

x3 =
81
10
81
10
= 1
x2 =
14
3 − 43
10
3
= 1
x1 = 7+1−26 = 1
Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos
Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Alguns problemas
Divisa˜o por zero
Durante a normalizac¸a˜o, se o pivoˆ usado para normalizar
as outras equac¸o˜es for igual a zero, um erro ocorrera´.
Erros de arredondamentos
Um erro de arredondamento pode torna-se particularmente
importante quando se resolve um nu´mero grande de
equac¸o˜es, por causa do fato de que cada resultado
depende dos resultados anteriores.
Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos
Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Alguns problemas
Divisa˜o por zero

0 2 3
... 8
4 6 7
... −3
2 1 6
... 5

L2 = L2 − L1 × 40
Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos
Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Alguns problemas
Erro de arredondamento
 0.0003 3.0000 ... 2.0001
1.0000 1.0000
... 1.0000

Algarismos significativos x2 x1 Erro relativo (x1)
3 0.667 -3.000 1099
4 0.6667 0.0000 100
5 0.66667 0.30000 10
6 0.666667 0.330000 1
7 0.6666667 0.3330000 0.1
Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos
Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo do pivoteamento parcial
Antes que cada linha seja normalizada, e´ vantajoso
determinar o maior coeficiente disponı´vel na coluna do
elemento pivoˆ.
As linhas podem ser trocadas de modo que o maior
coeficiente seja o elemento pivoˆ.
Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos
Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo do pivoteamento parcial

0 2 3
... 8
4 6 7
... −3
2 1 6
... 5

⇓
4 6 7
... −3
0 2 3
... 8
2 1 6
... 5

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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo do pivoteamento parcial
Onde posicionar o algoritmo?
Eliminac¸a˜o progressiva
Entrada: a matriz de coeficientes A(n,n) e o vetor dos termos independentes B(n,1) .
Saı´da : a matriz aumentada triangular superior.
// Percorre os n-1 elementos da diagonal principal
1 Para i ← 1 ate´ n − 1
2 pivoteamentoParcial(A,B,i)
// Percorre os elementos abaixo do pivoˆ na mesma coluna
3 Para j ← i + 1 ate´ n
4 fator← ajiaii ;
// Zera os elementos
5 aji ← 0;
// Normaliza os elementos de uma linha
6 Para k ← i + 1 ate´ n
7 ajk ← ajk - fator× aik ;
8 bj ← bj - fator× bi ;
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo do pivoteamento parcial
Algoritmo
Entrada: A′(n,n), B
′
(n,1) e a posic¸a˜o j do elemento pivoˆ.
Saı´da : a matriz aumentada com o pivoteamento parcial.
1 maxValor← aj,j ; // pivoˆ
2 maxLinha← j; // linha do pivoˆ
// Identificar o maior coeficiente da coluna, a partir da linha do pivoˆ
3 Para i ← j ate´ n − 1
4 Se ABS(maxValor)< ABS(ai+1,coluna) Entao
5 maxValor← ai+1,coluna ;
6 maxLinha← i+1;
7 Se maxValor 6= aj,j Entao
// Fazendo a troca entre as linhas
8 Para i ← 1 ate´ n
9 aux← aj,i ;
10 aj,i ← amaxLinha,i ;
11 amaxLinha,i ← aux;
12 aux← bj ;
13 bj ← bmaxLinha;
14 bmaxLinha← aux;
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo do pivoteamento parcial
Exemplo  0.0003 3.0000 ... 2.0001
1.0000 1.0000
... 1.0000

Sem pivoteamento
Algarismos significativos x2 x1 Erro relativo (x1)
3 0.667 -3.000 1099
4 0.6667 0.0000 100
5 0.66667 0.30000 10
6 0.666667 0.330000 1
Com pivoteamento
Algarismos significativos x2 x1 Erro relativo (x1)
3 0.667 0.333 0.1
4 0.6667 0.3333 0.01
5 0.66667 0.33333 0.001
6 0.666667 0.333333 0.0001
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o
Objetivos
Aplicac¸o˜es
Sistemas Lineares
2 Me´todo de Gauss
3 Me´todo de Jordan
4 Me´todo LU
Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos
Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo de Jordan
Ideia ba´sica
Consiste em operar transformac¸o˜es elementares sobre as
equac¸o˜es do sistema linear ate´ que seja encontrado um
sistema diagonal equivalente.
A =

a11 0 . . . 0
0 a22 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . ann

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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo de Jordan
Ideia ba´sica

ax + by + cz = d
ex + fy + gz = h
ix + jy + lz = m
a b c d
e f g h
i j l m


a b c d
0 f ′ g′ h′
0 j ′ l ′ m′


a′ 0 c′ d ′
0 f ′ g′ h′
0 0 l ′′ m′′


a′′ 0 0 d ′′
0 f ′′ 0 h′′
0 0 l ′′ m′′

x = d
′′
a′′
y = h
′′
f ′′
z = m
′′
l′′
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo de Jordan
Ideia ba´sica

ax + by + cz = d
ex + fy + gz = h
ix + jy + lz = m
a b c d
e f g h
i j l m


a b c d
0 f ′ g′ h′
0 j ′ l ′ m′


a′ 0 c′ d ′
0 f ′ g′ h′
0 0 l ′′ m′′


a′′ 0 0 d ′′
0 f ′′ 0 h′′
0 0 l ′′ m′′

x = d′′
a′′
y = h
′′
f ′′
z = m
′′
l′′
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo de Jordan
Ideia ba´sica

ax + by + cz = d
ex + fy + gz = h
ix + jy + lz = m
a b c d
e f g h
i j l m


a b c d
0 f ′ g′ h′
0 j ′ l ′ m′


a′ 0 c′ d ′
0 f ′ g′ h′
0 0 l ′′ m′′


a′′ 0 0 d ′′
0 f ′′ 0 h′′
0 0 l ′′ m′′

x = d
′′
a′′
y = h
′′
f ′′
z = m
′′
l′′
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo de Jordan
Ideia ba´sica

ax + by + cz = d
ex + fy + gz = h
ix + jy + lz = m
a b c d
e f g h
i j l m


a b c d
0 f ′ g′ h′
0 j ′ l ′ m′


a′ 0 c′ d ′
0 f ′ g′ h′
0 0 l ′′ m′′


a′′ 0 0 d ′′
0 f ′′ 0 h′′
0 0 l ′′ m′′

x = d
′′
a′′
y = h
′′
f ′′
z = m
′′
l′′
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo de Jordan
Ideia ba´sica

ax + by + cz = d
ex + fy + gz = h
ix + jy + lz = m
a b c d
e f g h
i j l m


a b c d
0 f ′ g′ h′
0 j ′ l ′ m′


a′ 0 c′ d ′
0 f ′ g′ h′
0 0 l ′′ m′′


a′′ 0 0 d ′′
0 f ′′ 0 h′′
0 0 l ′′ m′′

x = d
′′
a′′
y = h
′′
f ′′
z = m
′′
l′′
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo de Jordan
Ideia ba´sica

ax + by + cz = d
ex + fy + gz = h
ix + jy + lz = m
a b c d
e f g h
i j l m


a b c d
0 f ′ g′ h′
0 j ′ l ′ m′


a′ 0 c′ d ′
0 f ′ g′ h′
0 0 l ′′ m′′


a′′ 0 0 d ′′
0 f ′′ 0 h′′
0 0 l ′′ m′′

x = d
′′
a′′
y = h
′′
f ′′
z = m
′′
l′′
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo de Jordan
Ideia ba´sica

ax + by + cz = d
ex + fy + gz = h
ix + jy + lz = m
a b c d
e f g h
i j l m


a b c d
0 f ′ g′ h′
0 j ′ l ′ m′


a′ 0 c′ d ′
0 f ′ g′ h′
0 0 l ′′ m′′


a′′ 0 0 d ′′
0 f ′′ 0 h′′
0 0 l ′′ m′′

x = d
′′
a′′
y = h
′′
f ′′
z = m
′′
l′′
Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos
Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo de Jordan
Ideia ba´sica

ax + by + cz = d
ex + fy + gz = h
ix + jy + lz = m
a b c d
e f g h
i j l m


a b c d
0 f ′ g′ h′
0 j ′ l ′ m′


a′ 0 c′ d ′
0 f ′ g′ h′
0 0 l ′′ m′′


a′′ 0 0 d ′′
0 f ′′ 0 h′′
0 0 l ′′ m′′

x = d
′′
a′′
y = h
′′
f ′′
z = m
′′
l′′
Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos
Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo de Jordan
Exemplo

x + y + 2z = 4
2x − y − z = 0
x − y − z = −1
1 1 2 4
2 −1 −1 0
1 −1 −1 −1

Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos
Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo de Jordan
Exemplo

1 1 2 4
2 −1 −1 0
1 −1 −1 −1

L2 = L2 − L1 ×
2
1
L3 = L3 − L1 ×
1
1
L2,1 = 2− 1x2 = 0 L3,1 = 1− 1x1 = 0
L2,2 = −1− 1x2 = −3 L3,2 = −1− 1x1 = −2
L2,3 = −1− 2x2 = −5 L3,3 = −1− 2x1 = −3
L2,4 = 0− 4x2 = −8 L3,4 = −1− 4x1 = −5
Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos
Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo de Jordan
Exemplo

1 1 2 4
2 −1 −1 0
1 −1 −1 −1

L2 = L2 − L1 ×
2
1
L3 = L3 − L1 ×
1
1
L2,1 = 2− 1x2 = 0 L3,1 = 1− 1x1 = 0
L2,2 = −1− 1x2 = −3 L3,2 = −1− 1x1 = −2
L2,3 = −1− 2x2 = −5 L3,3 = −1− 2x1 = −3
L2,4 = 0− 4x2 = −8 L3,4 = −1− 4x1 = −5
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo de Jordan
Exemplo

1 1 2 4
2 −1 −1 0
1 −1 −1 −1

L2 = L2 − L1 ×
2
1
L3 = L3 − L1 ×
1
1
L2,1 = 2− 1x2 = 0 L3,1 = 1− 1x1 = 0
L2,2 = −1− 1x2 = −3 L3,2 = −1− 1x1 = −2
L2,3 = −1− 2x2 = −5 L3,3 = −1− 2x1 = −3
L2,4 = 0− 4x2 = −8 L3,4 = −1− 4x1 = −5
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo de Jordan
Exemplo

1 1 2 4
2 −1 −1 0
1 −1 −1 −1

L2 = L2 − L1 ×
2
1
L3 = L3 − L1 ×
1
1
L2,1 = 2− 1x2 = 0 L3,1 = 1− 1x1 = 0
L2,2 = −1− 1x2 = −3 L3,2 = −1− 1x1 = −2
L2,3 = −1− 2x2 = −5 L3,3 = −1− 2x1 = −3
L2,4 = 0− 4x2 = −8 L3,4 = −1− 4x1 = −5
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo de Jordan
Exemplo

1 1 2 4
0 − 3 −5 −8
0 −2 −3 −5

L1 = L1 − L2 ×
1
−3 L3 = L3 − L2 ×
−2
−3
L1,1 = 1− 0x
1
−3 = 1 L3,1 = 0
L1,2 = 1− (−3)x
1
−3 = 0 L3,2 = −2− (−3)x
−2
−3 = 0
L1,3 = 2− (−5)x
1
−3 =
1
3
L3,3 = −3− (−5)x
−2
−3 =
1
3
L1,4 = 4− (−8)x
1
−3 =
4
3
L3,4 = −5− (−8)x
−2
−3 =
1
3
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo de Jordan
Exemplo

1 1 2 4
0 − 3 −5 −8
0 −2 −3 −5

L1 = L1 − L2 ×
1
−3 L3 = L3 − L2 ×
−2
−3
L1,1 = 1− 0x
1
−3 = 1 L3,1 = 0
L1,2 = 1− (−3)x
1
−3 = 0 L3,2 = −2− (−3)x
−2
−3 = 0
L1,3 = 2− (−5)x
1
−3 =
1
3
L3,3 = −3− (−5)x
−2
−3 =
1
3
L1,4 = 4− (−8)x
1
−3 =
4
3
L3,4 = −5− (−8)x
−2
−3 =
1
3
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo de Jordan
Exemplo

1 1 2 4
0 − 3 −5 −8
0 −2 −3 −5

L1 = L1 − L2 ×
1
−3 L3 = L3 − L2 ×
−2
−3
L1,1 = 1− 0x
1
−3 = 1 L3,1 = 0
L1,2 = 1− (−3)x
1
−3 = 0 L3,2 = −2− (−3)x
−2
−3 = 0
L1,3 = 2− (−5)x
1
−3 =
1
3
L3,3 = −3− (−5)x
−2
−3 =
1
3
L1,4 = 4− (−8)x
1
−3 =
4
3
L3,4 = −5− (−8)x
−2
−3 =
1
3
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo de Jordan
Exemplo

1 1 2 4
0 − 3 −5 −8
0 −2 −3 −5

L1 = L1 − L2 ×
1
−3 L3 = L3 − L2 ×
−2
−3
L1,1 = 1− 0x
1
−3 = 1 L3,1 = 0
L1,2 = 1− (−3)x
1
−3 = 0 L3,2 = −2− (−3)x
−2
−3 = 0
L1,3 = 2− (−5)x
1
−3 =
1
3
L3,3 = −3− (−5)x
−2
−3 =
1
3
L1,4 = 4− (−8)x
1
−3 =
4
3
L3,4 = −5− (−8)x
−2
−3 =
1
3
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo de Jordan
Exemplo

1 0 13
4
3
0 −3 −5 −8
0 0 13
1
3

L1 = L1 − L3 ×
1/3
1/3
L2 = L2 − L3 ×−15
L1,1 = 1− 0x(1) = 1 L2,1 = 0
L1,2 = 0− 0x(1) = 0 L2,2 = −3
L1,3 =
1
3
− 1
3
x(1) = 0 L2,3 = −5−
1
3
x(−15) = 0
L1,4 =
4
3
− 1
3
x(1) = 1 L2,4 = −8−
1
3
x(−15) = −3
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo de Jordan
Exemplo

1 0 13
4
3
0 −3 −5 −8
0 0 13
1
3

L1 = L1 − L3 ×
1/3
1/3
L2 = L2 − L3 ×−15
L1,1 = 1− 0x(1) = 1 L2,1 = 0
L1,2 = 0− 0x(1) = 0 L2,2 = −3
L1,3 =
1
3
− 1
3
x(1) = 0 L2,3 = −5−
1
3
x(−15) = 0
L1,4 =
4
3
− 1
3
x(1) = 1 L2,4 = −8−
1
3
x(−15) = −3
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LUMe´todo de Jordan
Exemplo

1 0 13
4
3
0 −3 −5 −8
0 0 13
1
3

L1 = L1 − L3 ×
1/3
1/3
L2 = L2 − L3 ×−15
L1,1 = 1− 0x(1) = 1 L2,1 = 0
L1,2 = 0− 0x(1) = 0 L2,2 = −3
L1,3 =
1
3
− 1
3
x(1) = 0 L2,3 = −5−
1
3
x(−15) = 0
L1,4 =
4
3
− 1
3
x(1) = 1 L2,4 = −8−
1
3
x(−15) = −3
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo de Jordan
Exemplo

1 0 13
4
3
0 −3 −5 −8
0 0 13
1
3

L1 = L1 − L3 ×
1/3
1/3
L2 = L2 − L3 ×−15
L1,1 = 1− 0x(1) = 1 L2,1 = 0
L1,2 = 0− 0x(1) = 0 L2,2 = −3
L1,3 =
1
3
− 1
3
x(1) = 0 L2,3 = −5−
1
3
x(−15) = 0
L1,4 =
4
3
− 1
3
x(1) = 1 L2,4 = −8−
1
3
x(−15) = −3
Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos
Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo de Jordan
Exemplo

1 0 0 1
0 −3 0 −3
0 0 13
1
3

x = 11 = 1
y = −3−3 = 1
z =
1
3
1
3
= 1
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo de Jordan
Algoritmo
Entrada: a matriz de coeficientes A(n,n) e o vetor dos termos independentes B(n,1) .
Saı´da : um sistema diagonal equivalente.
// Percorre os n elementos da diagonal principal
1 Para i ← 1 ate´ n
2 pivoteamentoParcial(A,B,i)
// Percorre os elementos abaixo e acima do pivoˆ na mesma coluna
3 Para j ← 1 ate´ n
4 Se i 6= j Entao
5 fator← ajiaii ;
// Zera os elementos
6 aji ← 0;
// Normaliza os elementos de uma linha
7 Para k ← i + 1 ate´ n
8 ajk ← ajk - fator× aik ;
9 bj ← bj - fator× bi ;
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o
Objetivos
Aplicac¸o˜es
Sistemas Lineares
2 Me´todo de Gauss
3 Me´todo de Jordan
4 Me´todo LU
Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos
Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo LU
Introduc¸a˜o
O me´todo LU e´ conhecido tambe´m como me´todo da
decomposic¸a˜o LU ou me´todo da fatorac¸a˜o LU
O objetivo do me´todo e´ fatorar a matriz dos coeficientes,
A, em um produto entre duas matrizes:
L - matriz triangular inferior, onde todos os elementos da
diagonal sa˜o iguais a 1
U - matriz triangular superior, onde todos os elementos da
diagonal sa˜o diferentes de 0.
A = LU
Ax = b
LUx = b
y = Ux
Ly = b
Ux = y
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo LU
Introduc¸a˜o
O me´todo LU e´ conhecido tambe´m como me´todo da
decomposic¸a˜o LU ou me´todo da fatorac¸a˜o LU
O objetivo do me´todo e´ fatorar a matriz dos coeficientes,
A, em um produto entre duas matrizes:
L - matriz triangular inferior, onde todos os elementos da
diagonal sa˜o iguais a 1
U - matriz triangular superior, onde todos os elementos da
diagonal sa˜o diferentes de 0.
A = LU
Ax = b
LUx = b
y = Ux
Ly = b
Ux = y
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo LU
Introduc¸a˜o
O me´todo LU e´ conhecido tambe´m como me´todo da
decomposic¸a˜o LU ou me´todo da fatorac¸a˜o LU
O objetivo do me´todo e´ fatorar a matriz dos coeficientes,
A, em um produto entre duas matrizes:
L - matriz triangular inferior, onde todos os elementos da
diagonal sa˜o iguais a 1
U - matriz triangular superior, onde todos os elementos da
diagonal sa˜o diferentes de 0.
A = LU
Ax = b
LUx = b
y = Ux
Ly = b
Ux = y
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo LU
Matrizes L e U
L =

1 0 . . . 0
m21 1 . . . 0
...
...
. . .
...
mn1 mn2 . . . 1
 U =

a(0)11 a
(0)
12 . . . a
(0)
1n
0 a(1)22 . . . a
(1)
2n
...
...
. . .
...
0 0 . . . a(n−1)nn

mi,j - sa˜o os multiplicadores (fatores) usados nos me´todos de Gauss ou Jordan
aki,j - sa˜o os elementos de A modificados durante a triangulac¸a˜o
Lembrando que Ux = y
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo LU
Exemplo

4 3 −1 −2
−2 −4 5 20
1 2 6 7
 L =

1 0 0
−0.5 1 0
0.25 0 1

L2 = L2 − L1 ×
−2
4
L3 = L3 − L1 ×
1
4
L2,1 = −2− 4x(−0.5) = 0 L3,1 = 1− 4x0.25 = 0
L2,2 = −4− 3x(−0.5) = −2.5 L3,2 = 2− 3x0.25 = 1.25
L2,3 = 5− (−1)x(−0.5) = 4.5 L3,3 = 6− (−1)x0.25 = 6.25
L2,4 = 20− (−2)x(−0.5) = 19 L3,4 = 7− (−2)x0.25 = 7.50
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo LU
Exemplo

4 3 −1 −2
−2 −4 5 20
1 2 6 7
 L =

1 0 0
−0.5 1 0
0.25 0 1

L2 = L2 − L1 ×
−2
4
L3 = L3 − L1 ×
1
4
L2,1 = −2− 4x(−0.5) = 0 L3,1 = 1− 4x0.25 = 0
L2,2 = −4− 3x(−0.5) = −2.5 L3,2 = 2− 3x0.25 = 1.25
L2,3 = 5− (−1)x(−0.5) = 4.5 L3,3 = 6− (−1)x0.25 = 6.25
L2,4 = 20− (−2)x(−0.5) = 19 L3,4 = 7− (−2)x0.25 = 7.50
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo LU
Exemplo

4 3 −1 −2
−2 −4 5 20
1 2 6 7
 L =

1 0 0
−0.5 1 0
0.25 0 1

L2 = L2 − L1 ×
−2
4
L3 = L3 − L1 ×
1
4
L2,1 = −2− 4x(−0.5) = 0 L3,1 = 1− 4x0.25 = 0
L2,2 = −4− 3x(−0.5) = −2.5 L3,2 = 2− 3x0.25 = 1.25
L2,3 = 5− (−1)x(−0.5) = 4.5 L3,3 = 6− (−1)x0.25 = 6.25
L2,4 = 20− (−2)x(−0.5) = 19 L3,4 = 7− (−2)x0.25 = 7.50
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo LU
Exemplo

4 3 −1 −2
0 − 2.5 4.5 19
0 1.25 6.25 7.5
 L =

1 0 0
−0.5 1 0
0.25 −0.5 1

L3 = L3 − L2 ×
1.25
−2.50
L2,1 = 0− 0x(−0.5) = 0
L2,2 = 1.25− (−2.5)x(−0.5) = 0
L2,3 = 6.25− 4.5x(−0.5) = 8.5
L2,4 = 7.5− 19x(−0.5) = 17
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Me´todo LU
Exemplo

4 3 −1 −2
0 − 2.5 4.5 19
0 1.25 6.25 7.5
 L =

1 0 0
−0.5 1 0
0.25 −0.5 1

L3 = L3 − L2 ×
1.25
−2.50
L2,1 = 0− 0x(−0.5) = 0
L2,2 = 1.25− (−2.5)x(−0.5) = 0
L2,3 = 6.25− 4.5x(−0.5) = 8.5
L2,4 = 7.5− 19x(−0.5) = 17
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Me´todo LU
Exemplo

4 3 −1 −2
0 − 2.5 4.5 19
0 1.25 6.25 7.5
 L =

1 0 0
−0.5 1 0
0.25 −0.5 1

L3 = L3 − L2 ×
1.25
−2.50
L2,1 = 0− 0x(−0.5) = 0
L2,2 = 1.25− (−2.5)x(−0.5) = 0
L2,3 = 6.25− 4.5x(−0.5) = 8.5
L2,4 = 7.5− 19x(−0.5) = 17
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo LU
Exemplo
4 3 −1 −2
0 −2.5 4.5 19
0 0 8.5 17
 L =

1 0 0
−0.5 1 0
0.25 −0.5 1

U =

4 3 −1
0 −2.5 4.5
0 0 8.5
 y =

−2
19
17

x =

3
−4
2

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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo LU
Algoritmo
Entrada: a matriz de coeficientes A(n,n) e o vetor dos termos independentes B(n,1) .
Saı´da : a matriz aumentada triangular superior (U,y) e a matriz L.
// Inicia a matriz L, com 1’s na diagonal principal e os outros elementos tudo em
zero
1 L← ones();
// Percorre os n-1 elementos da diagonal principal
2 Para i ← 1 ate´ n − 1
3 pivoteamentoParcial(A,B,i)
// Percorre os elementos abaixo do pivoˆ na mesma coluna
4 Para j ← i + 1 ate´ n
5 fator← ajiaii ;
// Armazena os fatoresna matriz L
6 lji ← fator;
// Zera os elementos
7 aji ← 0;
// Normaliza os elementos de uma linha
8 Para k ← i + 1 ate´ n
9 ajk ← ajk - fator× aik ;
10 bj ← bj - fator× bi ;
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo LU
Qual a vantagem?
Se o me´todo LU faz os mesmos procedimentos da te´cnica
de eliminac¸a˜o de Gauss, qual a diferenc¸a entre essas
duas te´cnicas?
Imagine um sistema onde desejamos calcular diferentes
situac¸o˜es mudando apenas o vetor b.
Na primeira execuc¸a˜o ja´ encontrarı´amos as matrizes L e U.
Para os outros casos, diferentes b’s, era apenas necessa´rio
realizar substituic¸o˜es diretas (encontrar y) e regressivas
(encontrar x). Nesse exemplo apenas o b muda, L e U
sempre sa˜o os mesmos.
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo LU
Qual a vantagem?
Se o me´todo LU faz os mesmos procedimentos da te´cnica
de eliminac¸a˜o de Gauss, qual a diferenc¸a entre essas
duas te´cnicas?
Imagine um sistema onde desejamos calcular diferentes
situac¸o˜es mudando apenas o vetor b.
Na primeira execuc¸a˜o ja´ encontrarı´amos as matrizes L e U.
Para os outros casos, diferentes b’s, era apenas necessa´rio
realizar substituic¸o˜es diretas (encontrar y) e regressivas
(encontrar x). Nesse exemplo apenas o b muda, L e U
sempre sa˜o os mesmos.
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Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU
Me´todo LU
Qual a vantagem?
Se o me´todo LU faz os mesmos procedimentos da te´cnica
de eliminac¸a˜o de Gauss, qual a diferenc¸a entre essas
duas te´cnicas?
Imagine um sistema onde desejamos calcular diferentes
situac¸o˜es mudando apenas o vetor b.
Na primeira execuc¸a˜o ja´ encontrarı´amos as matrizes L e U.
Para os outros casos, diferentes b’s, era apenas necessa´rio
realizar substituic¸o˜es diretas (encontrar y) e regressivas
(encontrar x). Nesse exemplo apenas o b muda, L e U
sempre sa˜o os mesmos.
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Me´todo LU
Qual a vantagem?
Se o me´todo LU faz os mesmos procedimentos da te´cnica
de eliminac¸a˜o de Gauss, qual a diferenc¸a entre essas
duas te´cnicas?
Imagine um sistema onde desejamos calcular diferentes
situac¸o˜es mudando apenas o vetor b.
Na primeira execuc¸a˜o ja´ encontrarı´amos as matrizes L e U.
Para os outros casos, diferentes b’s, era apenas necessa´rio
realizar substituic¸o˜es diretas (encontrar y) e regressivas
(encontrar x). Nesse exemplo apenas o b muda, L e U
sempre sa˜o os mesmos.
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