MÉTODO DE GAUSS - JORDAN

Prévia do material em texto

MÉTODO DE 
GAUSS - JORDAN
PROF. JESSIVAN BEZERRA
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
25/03/2020
INTRODUÇÃO
A solução dos sistemas de equações encontra uma
ampla aplicação em ciência e tecnologia. Em
particular, pode-se afirmar que em qualquer ramo da
engenharia há pelo menos uma aplicação que requer o
planejamento e a solução de tais sistemas. É por isso
que nesta apresentação, focamos no método que serve
para resolver sistemas de equações expressas em
matrizes, operando com suas linhas e colunas.
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
Quem é Gauss?
Johan Carl Friedrich Gauss, foi um matemático, astrônomo,
geodesta e físico alemão que contribuiu significativamente em
muitos campos, incluindo teoria, análise matemática, geometria
diferencial, estatística, álgebra, lageodesia, magnetismo e óptica.
Considerado o Princeps Mathematicorum, Gauss teve uma
influência significativa em muitos campos da matemática e da
ciência e é considerado um dos matemáticos mais influentes da
história. Ele foi um dos primeiros a estender o conceito de
divisibilidade a outros grupos.
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
Quem é Jordan?
Wilhelm Jordan (1842 - 1899) foi um geodesista alemão que
realizou um trabalho de levantamento na Alemanha e na
África. Ele é lembrado entre os matemáticos por seu algoritmo
Método de eliminação de Gauss-Jordan aplicado para
resolver o problema dos mínimos quadrados. A técnica
algébrica apareceu em seu Handbuchder Vermessungskunde
(1873).
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
A solução de um sistema consiste em encontrar os
valores de todas as incógnitas para as quais todas as
equações que compõem o sistema são severas. Se
alguma das equações não for verificada, não será
uma solução.
O método de eliminação gaussiano é simplesmente
executar operações elementares de linha ou coluna
na matriz expandido do sistema para formar
escalonado ou reduzido escalonado (Gauss-Jordan).
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
Consiste em fazer transformações elementares nas
linhas da matriz para obter a matriz de identidade.
Fazendo essas mesmas transformações com a matriz
de identidade chegamos à matriz A - 1
Objetivo
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
GAUSS x JORDAN
A diferença entre os métodos de Gauss e Gauss-Jordan é que
o primeiro termina obtendo um sistema equivalente em forma
escalonada, enquanto o último termina obtendo um sistema
equivalente em forma escalonada reduzida.
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
GAUSS x JORDAN
METODO DE GAUSS-JORDAN SERVE PARA RESOLVER UM SISTEMA DE M
EQUAÇÕES E N INCÓGNITAS:
Finalidade
Este método é usado para encontrar todas as soluções (se
existirem) de um sistema de equações lineares com n incógnitas.
Ao fazer isso, será visto que, como no caso de 2 x 2, esses sistemas
não têm solução, têm uma solução ou têm um número infinito de
soluções.
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
ELIMINAÇÃO DE GAUSS
A eliminação gaussiana, também conhecida
como escalonamento, é um método para resolver sistemas
lineares.
Este método consiste em manipular o sistema através de
determinadas operações elementares, transformando a matriz
estendida do sistema em uma matriz trapezoidal (chamada
de matriz escalonada do sistema).
Uma vez triangularizado o sistema, a solução pode ser obtida
via substituição regressiva.
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
ELIMINAÇÃO DE GAUSS
Esse método consiste em transformar covenientemente
o sistema linear original para obter sistema linear
equivalente com matriz dos coeficientes triangular
superior.
Para modificar convenientemente o sistema linear dado em
forma a obter um sistema equivalente, faremos uso do teorema
a seguir:
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
ELIMINAÇÃO DE GAUSS
TEOREMA1: uma matriz e estratégias para o pivoteamento.
Seja Ax = b um sistema lienar, aplicado sobre as equações deste sistema
uma sequência de operações elementares escolhidas entre:
a) Trocar duas equações;
b) Multiplicar uma equação por uma constante não nula;
c) Adicionar um múltiplo de uma equação a uma outra equação.
𝑬𝒙. 𝑳𝒊 ⟺ 𝑳𝟑
𝑬𝒙. 𝑳𝟑 ⇐ 𝟖𝑳𝟑
𝑬𝒙. 𝑳𝟐
′ ⇐ 𝑳𝟐 − 𝟓𝒍𝟏
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
ELIMINAÇÃO DE GAUSS
Exemplo 1. Seja o sistema Linear
ቊ
𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟐𝟐
𝟓𝒙 − 𝟏𝟓𝒚 = −𝟐𝟎
𝑳𝟏 =
𝟏
𝟐
ቊ
𝟏𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟏
𝟓𝒙 − 𝟏𝟓𝒚 = −𝟐𝟎
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
ELIMINAÇÃO DE GAUSS
Exemplo 1. Seja o sistema Linear
𝑳𝟐 = 𝑳𝟐 + 𝑳𝟏(−𝟓)
ቊ
𝟏𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟏
𝟓𝒙 − 𝟏𝟓𝒚 = −𝟐𝟎
ቊ
𝟏𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟏
𝟎𝒙 − 𝟐𝟓𝒚 = −𝟕𝟓
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
ELIMINAÇÃO DE GAUSS
Exemplo 1. Seja o sistema Linear
ቊ
𝟏𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟏
𝟎𝒙 − 𝟐𝟓𝒚 = −𝟕𝟓
ቊ
𝟏𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟏
𝟎𝒙 − 𝟏𝒚 = 𝟑
𝑳𝟐 = −
𝟏
𝟐𝟓
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
ELIMINAÇÃO DE GAUSS
Exemplo 1. Seja o sistema Linear
ቊ
𝟏𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟏
𝟎𝒙 − 𝟏𝒚 = 𝟑
𝑳𝟏 = 𝑳𝟏 + 𝑳𝟐(−𝟐)
ቊ
𝟏𝒙 + 𝟎𝒚 = 𝟓
𝟎𝒙 − 𝟏𝒚 = 𝟑
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
ELIMINAÇÃO DE GAUSS
Exemplo 1. Seja o sistema Linear
ቊ
𝟏𝒙 + 𝟎𝒚 = 𝟓
𝟎𝒙 − 𝟏𝒚 = 𝟑
O sistema inicial ficou transformado no sistema equivalente
ቊ
𝟏𝒙 = 𝟓
𝟏𝒚 = 𝟑
Isto é: ቊ
𝒙 = 𝟓
𝒚 = 𝟑
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
Seja a matriz, abaixo:
𝟐 𝟒
𝟓 −𝟏𝟓
𝟐𝟐
−𝟐𝟎
Essa matriz, associada ao sistema dado de equações lineares, é
chamada de matriz ampliada do sistema. Cada linha dessa matriz é uma
representação abreviada da equação correspondentes no sistema. O
traço vertical é dispensável, mas é colocado para facilitar a visualização
da matriz dos coeficientes das varáveis e da matriz-coluna dos termos
independentes.
1) coloca-se ao lado da matriz dos coeficientes das variáveis, separada
por um traço vertical, a matriz-coluna dos termos independentes:
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
3) Transformada a matriz dos coeficientes das variáveis na matriz-
unidade, a matriz dos termos independentes ficará transformada, ao final,
na solução do sistema.
2) transforma-se por meio de operações adequadas, a matriz dos
coeficientes das variáveis na matriz-unidade, aplicando-se
simultaneamente, à matriz-coluna, colocada ao lado da matriz dos
coeficientes das variáveis, as mesmas operações;
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
Exemplo: Resolver o sistema
ቐ
𝟐𝒙𝟏 + 𝟏𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝟑 = 𝟖
𝟒𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 = 𝟒
𝟐𝒙𝟏 + 𝟓𝒙𝟐+ 𝟑𝒙𝟑 = −𝟏𝟐
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
Solução:
ቐ
𝟐𝒙𝟏 + 𝟏𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝟑 = 𝟖
𝟒𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 = 𝟒
𝟐𝒙𝟏 + 𝟓𝒙𝟐+ 𝟑𝒙𝟑 = −𝟏𝟐
𝟐
𝟒
𝟐
𝟏
𝟐
𝟓
𝟑
𝟐
𝟑
𝟖
𝟒
−𝟏𝟐
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
Solução:
𝟐
𝟒
𝟐
𝟏
𝟐
𝟓
𝟑
𝟐
𝟑
𝟖
𝟒
−𝟏𝟐
𝑳𝟏 =
𝟏
𝟐 𝟏
𝟒
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟓
𝟑
𝟐
𝟐
𝟑
𝟒
𝟒
−𝟏𝟐
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
Solução:
𝟏
𝟒
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟓
𝟑
𝟐
𝟐
𝟑
𝟒
𝟒
−𝟏𝟐
𝟏
𝟎
𝟐
𝟏
𝟐
𝟎
𝟓
𝟑
𝟐
−𝟒
𝟑
𝟒
−𝟏𝟐
−𝟏𝟐
𝑳𝟐 = 𝑳𝟐 + 𝑳𝟏(−𝟒)
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
Solução:
𝟏
𝟎
𝟎
𝟏
𝟐
𝟎
𝟒
𝟑
𝟐
−𝟒
𝟎
𝟒
−𝟏𝟐
−𝟐𝟎
𝑳𝟑 = 𝑳𝟑 + 𝑳𝟏(−𝟐)
𝟏
𝟎
𝟐
𝟏
𝟐
𝟎
𝟓
𝟑
𝟐
−𝟒
𝟑
𝟒
−𝟏𝟐
−𝟏𝟐
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
Solução:
𝟏
𝟎
𝟎
𝟏
𝟐
𝟒
𝟎
𝟑
𝟐
𝟎
−𝟒
𝟒
−𝟐𝟎
−𝟏𝟐
𝑳𝟐𝟑
𝟏
𝟎
𝟎
𝟏
𝟐
𝟎
𝟒
𝟑
𝟐
−𝟒
𝟎
𝟒
−𝟏𝟐
−𝟐𝟎
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
Solução:
𝟏
𝟎
𝟎
𝟏
𝟐
𝟏
𝟎
𝟑
𝟐
𝟎
−𝟒
𝟒
−𝟓
−𝟏𝟐
𝑳𝟐
𝟏
𝟒
𝟏
𝟎
𝟎
𝟏
𝟐
𝟒
𝟎
𝟑
𝟐
𝟎
−𝟒
𝟒
−𝟐𝟎
−𝟏𝟐
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
Solução:
𝟏
𝟎
𝟎
𝟏
𝟐
𝟏
𝟎
𝟑
𝟐
𝟎
𝟏
𝟒
−𝟓
𝟑𝑳𝟐 −𝟏𝟒
𝟏
𝟎
𝟎
𝟏
𝟐
𝟏
𝟎
𝟑
𝟐
𝟎
−𝟒
𝟒
−𝟓
−𝟏𝟐
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
Solução:
𝟏
𝟎
𝟎
𝟏
𝟐
𝟏
𝟎
𝟑
𝟐
𝟎
𝟏
𝟒
−𝟓
𝟑
𝑳𝟏 = 𝑳𝟏 + 𝑳𝟐 −
𝟏
𝟐 𝟏
𝟎
𝟎
𝟎
𝟏
𝟎
𝟑
𝟐
𝟎
𝟏
𝟏𝟑
𝟐
−𝟓
𝟑
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
Solução:
𝑳𝟏 − 𝑳𝟏 + 𝑳𝟐 −
𝟑
𝟐
𝟏
𝟎
𝟎
𝟎
𝟏
𝟎
𝟎
𝟎
𝟏
𝟐
−𝟓
𝟑
𝟏
𝟎
𝟎
𝟎
𝟏
𝟎
𝟑
𝟐
𝟎
𝟏
𝟏𝟑
𝟐
−𝟓
𝟑
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
Dessa maneira o sistema inicial de equações lienares
se transformou no sistema equivalente.
ቐ
𝟏𝒙𝟏 + 𝟎𝒙𝟐 + 𝟎𝒙𝟑 = 𝟐
𝟎𝒙𝟏 + 𝟏𝒙𝟐 + 𝟎𝒙𝟑 = −𝟓
𝟎𝒙𝟏 + 𝟎𝒙𝟐+ 𝟏𝒙𝟑 = 𝟑
ቐ
𝒙𝟏 = 𝟐
𝒙𝟐 = −𝟓
𝒙𝟑 = 𝟑