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UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DA BAHIA – UFOB CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DAS TECNOLOGIAS Bruno Eduardo Cardoso Itaylane Malta Santos Leonardo de Matos Araújo Tácio Henrique Santos Nogueira CONSTANTE DE TEMPO EM CIRCUITO RC BARREIRAS-BA 2015 2 Bruno Eduardo Cardoso 210101441 Itaylane Malta Santos 213100312 Leonardo de Matos Araújo 211103941 Tácio Henrique Santos Nogueira 212105958 CONSTANTE DE TEMPO EM CIRCUITO RC BARREIRAS-BA 2015 Relatório referente à atividade de laboratório de Física Experimental III - IAD-223, ministrada pelo professor Edward Ferraz de Almeida Junior 3 SUMÁRIO 1. OBJETIVO ...................................................................................................................................................... 5 2. INTRODUÇÃO .............................................................................................................................................. 5 3. MATERIAIS UTILIZADOS........................................................................................................................... 8 4. PROCEDIMENTOS ....................................................................................................................................... 8 4.1. Procedimento A ..................................................................................................................................... 8 4.2. Procedimento B...................................................................................................................................... 9 5. RESULTADOS ............................................................................................................................................. 11 5.1. Procedimento A ................................................................................................................................... 11 5.1.1. Cálculo da Constante de tempo ....................................................................................................... 13 5.2. Procedimento B.................................................................................................................................... 14 5.2.1. Cálculo da Resistência Interna do Voltímetro ................................................................................. 15 6. DISCUSSÃO ................................................................................................................................................. 17 7. DIFICULDADES INERENTES A REALIZAÇÃO DO EXPERIMENTO ................................................. 19 8. CONCLUSÃO .............................................................................................................................................. 19 9. REFERÊNCIA .............................................................................................................................................. 20 4 ÍNDICE DE FIGURAS FIGURA 1: CIRCUITO RC. DISPONÍVEL EM: <HTTPS://DEF.FE.UP.PT/ELETRICIDADE/SINAIS.HTML> 5 FIGURA 2: ESQUEMA DE CARGA E DESCARGA DE UM CAPACITOR. FONTE: ROTEIRO CIRCUITO RC – UFBA. 6 FIGURA 3: V VERSUS T NAS DUAS SITUAÇÕES DE CARGA E DESCARGA DO CAPACITOR C. FONTE: ROTEIRO CIRCUITO RC – UFBA. 8 FIGURA 4: CARGA DO CAPACITOR – PROCEDIMENTO A. FONTE: ACERVO PESSOAL. 9 FIGURA 5: DESCARGA DO CAPACITOR – PROCEDIMENTO B. FONTE: ACERVO PESSOAL. 10 FIGURA 6: GRÁFICO TENSÃO VERSUS TEMPO. 12 FIGURA 7: GRÁFICO TENSÃO VERSUS TEMPO. 13 FIGURA 8: LINEARIZAÇÃO DO GRÁFICO TENSÃO VERSUS TEMPO. 13 FIGURA 9: GRÁFICO TENSÃO VERSUS TEMPO. 15 FIGURA 10: LINEARIZAÇÃO DO GRÁFICO TENSÃO VERSUS TEMPO 16 5 1. OBJETIVO Verificar a carga e a descarga de um capacitor em um circuito RC para encontrar a constante de tempo e calcular experimentalmente da resistência interna do voltímetro 2. INTRODUÇÃO Quando um circuito apresenta como componentes apenas capacitores e resistências, o mesmo denomina-se de circuito RC (Resistor - Capacitor). A característica principal desse circuito é a corrente elétrica em um único sentido, além de todo circuito de corrente contínua (CC), onde a corrente varia com o tempo. Pode-se verificar uma representação desse circuito na Figura 1. Figura 1: Circuito RC. Disponível em: <https://def.fe.up.pt/eletricidade/sinais.html>. Um capacitor é composto por duas placas metálicas, separadas por um material isolante chamado dielétrico (papel, cerâmica, plástico ou até mesmo o ar). Sua função é armazenar energia elétrica por um período determinado pelas características do circuito, até que este seja interrompido ou a fonte desligada. Capacitância ou capacidade (C), medida em faraday (F), é a propriedade que estes dispositivos têm de armazenar energia elétrica sob a forma de um campo eletrostático e está relacionada com a geometria das placas e a constante dielétrica do meio isolante usado entre as placas. É medida pela seguinte fórmula: V tq C )( (Equação 1) Onde q é a quantidade de carga armazenada em coulombs (C) e V é a diferença de potencial ou tensão que existe entre as placas em volts. Quando ligamos um circuito com uma resistência R, a tensão se eleva instantaneamente ao seu valor máximo. Mas quando inserimos um capacitor neste circuito a 6 tensão demora certo tempo para assumir seu valor máximo V0. O circuito da Figura 2 contém uma fonte de CC (corrente contínua), um resistor e um capacitor C, em série. Figura 2: Esquema de carga e descarga de um capacitor. Fonte: Roteiro Circuito RC – UFBA. Inicialmente, o capacitor está descarregado; ao ligar o circuito no instante t=0, passando a chave S para o ponto ‘a’, a carga q do capacitor não se estabelece de maneira instantânea. A lei das malhas de Kirchoff aplicada ao circuito de carga nos fornece: 0 )( C tq iR (Equação 2) Onde 0V e a corrente no resistor é devida à carga que sai do capacitor, ou seja: dt tdq ti )( )( (Equação 3) Substituindo a equação (3) na equação (2), tem-se: 0 )()( 0 C tq dt tdq RV (Equação 4) Uma solução para esta equação diferencial é do tipo: )1()( /0 RCteCVtq (Equação 5) E para RCt , tem-se: 000 %63%63)/11()( qCVeCVtq (Equação 6) onde q0 é a carga máxima do capacitor. A grandeza RC, que tem a dimensão de tempo, é chamada constante de tempo capacitiva. Ela representa o tempo necessário para que a carga ou a tensão atinja um valor igual a 63% do seu valor máximo. 7 O comportamento da tensão V é obtido a partir do comportamento de q(t). Então: )1( )( )( /0 teV C tq tV (Equação 7) onde t=RC. O que podemos observar é que, no processo de carga de um circuito RC os comportamentos da tensão e corrente se invertem. Ao ligar um circuito RC a tensão demora algum tempo para atingir o seu valor máximo. O circuito RC mais simples é aquele constituído por um capacitor inicialmente carregado com uma tensão V0, descarregando sobre um resistor (chave S no ponto b da Figura 2). Todo o desenvolvimento mostrado para um capacitor se carregando vale também para um capacitor se descarregando. A lei das malhas de Kirchoff aplicada ao circuito de descarga fornece: 0 )( C tq iR (Equação 8) Ou: dt RCtq tdq 1 )( )( (Equação 9) Ou, definindo-se RC (Equação 10) e integrando-se: t q q 0 ln (Equação 11) Reescrevendo, tem-se: / 0)( teqtq , ou (Equação 12) / 0 teVV (Equação 13) Quando descarregamos um capacitor sua carga não cai à zero instantaneamente, mas decai exponencialmente. Neste experimento verificaremos a relação entre os processos de carga e descarga de um capacitor em um circuito RC e sua respectiva constante de tempo t definida acima. Podemos mostrar que o tempo de descarga de um capacitor é igual ao tempo de carga desde que seja feito nas mesmas condições, ou seja, em um circuito com a mesma resistência R. Na Figura 3 são apresentadas as curvas correspondentes às duas situações estudadas. 8 Figura 3: V versus t nas duas situações de carga e descarga do capacitor C. Fonte: Roteiro Circuito RC – UFBA. 3. MATERIAIS UTILIZADOS 1 Fonte de tensão 6V; 1 Placa para ensaios de circuitos elétricos; Fios de conexão; 2 Resistores de 100KΩ (marrom, preto, amarelo); 1 Capacitor de 220 F ; Cronômetro (utilizando o aparelho celular); 2 Multímetros digitais. 4. PROCEDIMENTOS 4.1.Procedimento A Primeiramente foram separados os materiais necessários ao experimento. Em seguida, montou-se o circuito conforme exigido para o procedimento ‘A’ seguindo os seguintes passos: ligar o polo negativo da fonte de tensão (6V) ao ponto 3 da chave; ligar o ponto 2 da chave a ilha de conexão 8; colocar um resistor entre as ilhas de conexão 3 e 4 e o outro 9 resistor entre as ilhas de conexão 2 e 3; colocar o capacitor entre as ilhas de conexão 1 e 2; e liga-se a ilha de conexão 1 ao polo positivo da fonte de tensão. Após montado o circuito, ajustou-se um dos multímetros para medir a tensão no capacitor, dessa forma, o multímetro foi colocado nos extremos do capacitor (em paralelo). Em seguida, o outro multímetro foi ajustado para medir a intensidade de corrente, o mesmo foi inserido entre as ilhas de conexão 8 e 4, para aferir a corrente inicial, ou seja, quando o capacitor esteve na iminência do carregamento e a corrente final, após o carregamento do capacitor. Feito isso, ligou-se a chave e carregou-se o capacitor (Figura 4), a partir desse momento foram anotados os valores de tensão e tempo em uma tabela, de 0V a 5V, tomando os valores de tempo a cada variação de 0,5V. Depois disso, o circuito foi colocado em curto para descarregar o capacitor, a partir desse momento foram anotados os valores referentes à descarga do capacitor, de tensão e tempo em uma tabela, de 5V a 0,5V, tomando os valores de tempo a cada variação de 0,5V. Figura 4: Carga do capacitor – Procedimento A. Fonte: Acervo Pessoal. 4.2.Procedimento B Para o procedimento ‘B’, foi montado um circuito em série utilizando fios condutores e um capacitor de 220 μF, ligado a uma fonte de tensão de 6V, seguindo as seguintes etapas: ligar o polo negativo da fonte de tensão ao ponto 3 da chave; ligar o ponto 2 da chave a ilha de conexão 4; colocar o capacitor entre os pontos 3 e 4; e ligar a ilha de conexão 3 ao polo 10 positivo da fonte de tensão. Feito isso, ligou-se o voltímetro em paralelo com o capacitor. Em seguida, ligou-se a chave para carregar o capacitor e foi anotada a máxima tensão da fonte. Depois disso, desligou-se a chave para descarregar o capacitor (Figura 5) e foram anotados os valores de tensão e tempo, de 6V a 0,5 V, tomando valores de tempo a cada variação de 0,5V, adotando o instante t=0 s para 6V. Figura 5: Descarga do capacitor – Procedimento B. Fonte: Acervo Pessoal. 11 5. RESULTADOS 5.1.Procedimento A Na Tabela 1 são apresentados os valores de tensão e tempo medidos durante o carregamento do capacitor. A partir dessa tabela, construiu-se o gráfico V x t (tensão versus tempo) – Figura 6. PROCEDIMENTO A - DADOS EXPERIMENTAIS TENSÃO (V) TEMPO (s) 0 0 0,5 5,41 1 11,31 1,5 17,61 2 24,96 2,5 34,87 3 47,26 3,5 64,54 4 87,69 4,5 126,88 5 218,61 Tabela 1: Relação de Tensão e Tempo durante o carregamento do capacitor. Corrente Inicial Corrente Final 0,02 A Entre 0,00 e 0,005 A Tabela 2: Corrente no início e final do carregamento. 12 Figura 6: Gráfico Tensão versus Tempo. Na Tabela 2 são apresentados os valores de tensão e tempo medidos durante o descarregamento do capacitor. A partir dessa tabela, construiu-se o gráfico V x t (tensão versus tempo) – Figura 7. PROCEDIMENTO A - DADOS EXPERIMENTAIS TENSÃO (V) TEMPO (s) 5 0 4,5 6,62 4 12,9 3,5 21,23 3 32,88 2,5 46,46 2 64,31 1,5 92,63 1 112,27 0,5 151,31 0,0 682 Tabela 3: Relação de Tensão e Tempo durante o descarregamento do capacitor. 0 1 2 3 4 5 6 0 50 100 150 200 250 Tensão (V) Tempo (s) Tensão x Tempo - Carregamento Tensão x Tempo 13 Figura 7: Gráfico Tensão versus Tempo. 5.1.1. Cálculo da Constante de tempo Para o cálculo da constante de tempo, lineariza-se o gráfico de descarregamento da tensão x tempo. Aplicando-se log para linearizar o gráfico (V x t) da Figura 7, foi construído outro gráfico (logV x t) em mono-log (Figura 8) e obteve-se uma reta. Figura 8: Linearização do gráfico tensão versus tempo. Para obter a equação da reta, aplica-se logaritmo na equação da curva abaixo. Dessa forma, temos: 0 1 2 3 4 5 6 0 200 400 600 800 Te n sã o ( V ) Tempo (s) Tensão x Tempo - Descarregamento 0.001 0.01 0.1 1 10 0 100 200 300 400 500 600 700 800 Lo g[ te n sã o ] (V ) Tempo (s) Linearização Descarregamento 14 RC t c eVtV 0)( (Equação 13) ]log[)](log[ 0 RC t c eVtV ]log[]log[)](log[ 0 e RC t VtVc Fazendo: VtVc )](log[ ; be ]log[ ; e RC e a ]log[ (Equação 14) Tem-se que a equação da reta é: V=b+at. Pelo gráfico da Figura 3 obtém-se o coeficiente angular (a)da reta. Os pontos usados para o cálculo do coeficiente angular são: (92,63; 1,5) e (112,27; 1,0). Assim, temos: 13 12 12 10*965,8 63,9227,112 ]5,1log[]0,1log[]log[]log[ s tt VV a Pela equação 14, tem-se que: RC e a ]log[ . Dessa forma, tem-se: Ra e C ]log[ . Logo, FF e Ra e C 24210*42,2 )10*695,8(*)10*100*2( ]log[]log[ 4 33 Como descrito nos procedimentos (item 4.1), no circuito foram utilizados dois resistores de k100 cada, dessa forma, tem-se uma resistência (R) de k200 . Aplicando-se os valores do coeficiente angular da reta e da resistência na equação acima, encontra-se uma capacitância de FC 242 . 5.2. Procedimento B Na Tabela 3 são apresentados os valores de tensão e tempo medidos durante o descarregamento do capacitor. A partir dessa tabela, construiu-se o gráfico V x t (tensão versus tempo) – Figura 9. 15 PROCEDIMENTO B - DADOS EXPERIMENTAIS TENSÃO (V) TEMPO(s) – DESCARGA 6 0 5,5 123,39 5 292,31 4,5 505,36 4 772,27 3,5 1078,09 3 1446,75 2,5 1900,81 2 2446,9 1,5 3167,23 1 4184,4 0,5 5930,48 Tabela 4: Relação de Tensão e Tempo durante o descarregamento do capacitor. Figura 9: Gráfico Tensão versus Tempo. 5.2.1. Cálculo da Resistência Interna do Voltímetro Para o cálculo da resistência interna do voltímetro, primeiramente, lineariza-se o gráfico de descarregamento da tensão x tempo para se obter o coeficiente angular da reta (parâmetro experimental que auxiliará alcançar o objetivo desse item). Aplicando-se log para 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 Tensão x Tempo - Descarregamento 16 linearizar o gráfico (V x t) da Figura 9, constrói-se outro gráfico (logV x t) em mono-log (Figura 10) e obtém-se uma reta. Figura 10: Linearização do gráfico tensão versus tempo Pelo gráfico da Figura 10 obtém-se o coeficiente angular (a) da reta. Os pontos usados para o cálculo do coeficiente angular são: (3167,23; 1,5) e (4184,4; 1,0). Assim, temos: 14 12 12 10*731,1 23,31674,4184 ]5,1log[]1log[]log[]log[ s tt VV a Pela equação 14, tem-se que: RC e a ]log[ . Dessa forma, tem-se: Ca e R ]log[ . Logo, M e Ca e R 37,1010*37,10 )10*731,1(*)10*42,2( ]log[]log[ 6 44 A partir dos dados do procedimento A, no item 5.1.1. foi calculada a capacitância do capacitor. Como no procedimento B foi utilizado o mesmo capacitor, aplicando-se os valores do coeficiente angular da reta e da capacitância na equação acima, encontra-se a resistência interna do voltímetro de MR 37,10 . 0.1 1 10 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 Linearização - Descarregamento 17 5.2.2 Cálculo da constante de tempo: No item 5.1.1 calculou-se o coeficiente angular da reta e foi obtido 1410*731,1 sa . A partir da equação 14, pode-se obtida a constante de tempo: a e a e RC Ca e R ]log[]log[]log[ min81,4110*509,2 10*731,1 ]log[]log[ 3 4 s e a e 6. DISCUSSÃO No que se refere ao gráfico de Tensão x Tempo para o carregamento (Figura 6) – Procedimento A, é possível destacar que existe uma tendência logarítmica de comportamento da tensão em função do tempo. É notório que nos 50 segundos iniciais concentra-se o maior número de medições feitas, o que sugere uma taxa de carregamento do capacitor que diminui em função do tempo, tendendo a adotar comportamento assintótico em tensões próximas a 6 Volts. Para o gráfico de Tensão x Corrente no descarregamento (Figura 7), ainda se tratando do Procedimento A, observa-se um bom comportamento até valores de tensão de 0,5 Volts. A corrente aumenta a medida que a tensão diminui, no entanto sofre incremento brusco para valores de tensão inferior a 0,5 Volts, tendendo a gerar uma curva suave até obter valor de tensão igual a zero. Deste modo interpreta-se que para valores de voltagem inferiores a esse ponto crítico o capacitor aumenta sua capacidade de deixar a corrente fluir. A linearização deste gráfico (Figura 8) gerou uma reta decrescente, calculou-se o coeficiente angular da reta e a partir deste valor foi possível calcular a capacitância, e foi obtido um valor de F242 . O gráfico de Tensão x Tempo, para o descarregamento, Procedimento B, exibe uma curva perfeita com tendência exponencial. Neste gráfico observa-se o decaimento paulatino da tensão no decorrer do tempo. Destaca-se que este decaimento é assintótico e que o processo envolve uma quantidade de tempo bem maior do que o experimento anterior. A linearização deste gráfico gerou uma reta decrescente, calculou-se o coeficiente angular da reta e com o valor da capacitância calculado no procedimento A, calculou-se a resistência interna do voltímetro. Foi obtido um valor de M37,10 . 18 Quando o tempo tende ao infinito a Tensão tende a atingir seus valores máximos e mínimos, respectivamente para a carga e descarga. Esse resultado mostra-se compatível com a teoria. A resistência no circuito limita a corrente, desse modo quanto maior a resistência mais lenta se torna a carga ou a descarga, por isso a inserção do resistor permite que se faça a medida de tempo. Quando se tem uma mesma resistência e capacitância, pode-se notar que o tempo para se carregar o capacitor de uma quantidade de carga Q1 até uma quantidade Q2 é o mesmo de descarga, o que é mostrado nas equações abaixo: Para a carga: Qc(t) = Qf (1-e -t/RC) Para a descarga: QD(t) = Qfe -t/RC ΔQC = QC2 – QC1 = Qf (1-e-t2/RC) – Qf (1-e-t1/RC) = Qfe-t1/RC – Qfe-t2/RC = QD1 – QD2 = ΔQD A constante do tempo da equação é representada por RC (onde R é a resistência e C a capacitância), e esta tem dimensão de tempo, como demonstrada matematicamente abaixo: =ΩF = (V/A)(C/V) = C/A = C/(C/s) = 1/s-1 = s Portanto como R é usado em Ω(ohm) e C em F(Faraday), a unidade condizente para t é s (segundo). O gráfico de carregamento (Figura 6) tem como constante de tempo 48,44s. Como foi usado dois resistores de K100 , obteve-se uma capacitância de F242 que condiz com o descrito no equipamento, que era F220 . O gráfico de descarregamento do procedimento ‘B’ (Figura 9) tem como constante de tempo min81,4110*51,2 3 s e utilizando a capacitância obtida no procedimento ‘A’ foi obtido o valor de M37,10 para a resistência interna do voltímetro. Os gráficos possuem comportamento exponencial o que implica um comportamento assintótico, no gráfico do carregamento (Figura 6), a medida que o tempo aumenta a inclinação diminui de modo que o 0)(lim CVtQt . Já no gráfico do descarregamento (Figura 9) 0)(lim tQt . 19 7. DIFICULDADES INERENTES A REALIZAÇÃO DO EXPERIMENTO A cerca da realização do procedimento A do experimento, podem ser elencadas algumas atividades que envolvem demasiada dificuldade. A saber, na tomada dos valores de tensão para os distintos instantes de tempo, estavam intrínsecos erros de acurácia, pois a taxa de descarregamento do condutor partindo do instante de tempo zero ocorria de forma rápida (principalmente nas primeiras medidas), tornando impossível cronometrar com extrema precisão os dados de tensão para a os instantes de tempo da descarga. Essa observação também se faz válida para o carregamento do condutor.No procedimento B acrescenta-se que o tempo de descarga foi extremamente alto, tornando o experimento impossível de ser realizado no intervalo de 1 hora e 40 minutos. No entanto é importante ressaltar que o experimento foi realizado, extrapolando esse limite de tempo. 8. CONCLUSÃO Os objetivos do experimento foram alcançados, encontrando-se a constante de tempo tanto para o carregamento como para o descarregamento, a capacitância do capacitor e a resistência interna do multímetro. Observa-se que os erros encontrados são aceitáveis, haja vista, a imprecisão ao cronometrar o tempo de carregamento e descarregamento. Sugere-se para os semestres futuros, que o procedimento A seja realizado mais de uma vez para se obter melhores resultados. 20 9. REFERÊNCIA HALLIDAY, D; RESNICK, R. Fundamentos de Física, Volume 3. Sétima edição. Rio de Janeiro: LTC, 2007. NUSSENZVEIG, H M. Curso de Física Básica: 3 - Eletromagnetismo. São Paulo: Edgard Blücher Ltda., 2009. YOUNG, H. D; FREEDMAN, R. A. Física III: Eletromagnetismo. 12ª ed. Pearson, São Paulo, Brasil, 2009. TIPLER, P A; MOSCA, G. Física: para cientistas e engenheiros, Volume 2. Sexta edição, Rio de Janeiro: LTC, 2009. Só física. Biografia de Gustav Robert Kirchhoff . Disponível em http://www.sofisica.com.br/conteudos/Biografias/gustav_kirchhoff.php SOUZA, Rodrigo & TAVARES, Alvacir. Curso de eletromecânica/IFSUL. Capítulo 6 Leis de Kirchhoff. Disponível em http://professor.ucg.br/SiteDocente/admin/arquivosUpload/1949/material/LEIS%20DE%20KI RCHHOFF-2.pdf
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