[UFBA] Relatório 3 FISD40 - Constante de Tempo em Circuitos RC (versão para atividades não presenciais)

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Relatório Experimento 3 –
Constante de Tempo em Circuitos RC
Engenharia Civil / Engenharia Química 2021.1 Turma P02
Rodrigo Almeida de Carvalho / Vitor Almeida de Novaes Galvão
Entregue a Marcus Vinícius Santos da Silva, professor da disciplina FISD40 (Física Experimental III)
Resumo: Através do atual relatório técnico, conceitos tais como o de capacitor, voltímetro, circuito RC, tempo de carga e tempo de
descarga serão discorridos. Para tanto, será realizado um experimento através de simulação utilizando o site
<http://www.falstad.com/>. Inicialmente, os conceitos serão introduzidos de forma teórica, sendo apresentadas imagens de
alguns equipamentos que seriam utilizados na versão presencial do experimento. Logo após, medições de tempo serão realizadas
com o intuito de se fazer comparações entre as mesmas, compreendendo melhor assim o funcionamento dos dispositivos
utilizados. Serão calculados valores, plotados gráficos e tiradas conclusões com base nos anteriores. O circuito simulado será
exibido através de captura de tela e o código referente ao mesmo estará disponibilizado na última seção deste relatório.
Palavras-chave: circuito; RC; carga; descarga; tempo; capacitor; voltímetro; erro; resistência; gráfico.
I. INTRODUÇÃO
Um capacitor é um sistema formado por duas placas paralelas (armaduras) de área A, de material condutor,
separadas por uma distância d. Quando ligamos suas armaduras a uma fonte de tensão, aparece em suas placas uma carga
+Q e outra -Q. Define-se a capacitância C de um capacitor como a relação entre a carga Q e a diferença de potencial V nos
seus terminais.
Para melhorar as características de um capacitor, coloca-se entre suas armaduras um material dielétrico. Esse
material aumenta a capacitância do capacitor, melhorando sua habilidade de armazenar cargas. O dielétrico pode ser
polarizado (eletrolíticos, tântalo, etc.), ou não-polarizado (ar, óleo, poliéster, mica, etc.).
CIRCUITO RC SÉRIE - Constante de Tempo Capacitiva
Quando se liga um circuito com apenas uma resistência R, a tensão se eleva instantaneamente ao seu valor
máximo. Mas quando se insere um capacitor neste circuito, a tensão (no capacitor) demora um certo tempo para assumir seu
valor máximo Vo. O circuito abaixo, a título de ilustração, contém uma fonte de tensão Vo, um resistor R e um capacitor C,
todos em série.
Figura 1 - Circuito RC
Inicialmente, o capacitor está descarregado. Liga-se o circuito no instante t = 0 com a chave na posição 1. Logo em
seguida, percebe-se que a carga Q do capacitor não se estabelece de maneira instantânea. Sabe-se que:
E que:
http://www.falstad.com/
CARGA DO CAPACITOR
Aplicando a lei das malhas de Kirchhoff ao circuito da Figura 1 com a chave na posição 1, tem-se que:
A solução da EDO acima é da forma:
Na equação acima, τ = RC é a constante de tempo capacitiva. Ela representa o tempo necessário para que a carga
ou a tensão atinja, no capacitor, um valor igual a 63% de seu valor máximo.
Analogamente, para a tensão:
O que se pode observar é que, ao se ligar um circuito RC, a tensão demora um tempo infinito para atingir seu valor
máximo.
DESCARGA DO CAPACITOR
No circuito da Figura 1, caso a chave permaneça na posição 1 por um longo período de tempo de modo que o
capacitor fique completamente carregado, ao se levar a chave para a posição 3 ele começará a ser descarregado pelo resistor
R. Aplicando novamente a equação das malhas de Kirchhoff para esse circuito com a chave em 3, tem-se que:
A solução da EDO acima é da forma:
E a tensão, analogamente, é dada por:
É importante, porém, lembrar que o voltímetro a ser utilizado no site de simulação é ideal. Por isso, um voltímetro
real será simulado através da adição de um resistor Rv de valor elevado em paralelo com o voltímetro ideal. A Figura 2
ilustra um circuito RC com destaque para o voltímetro real.
Figura 2 - Circuito RC com voltímetro real
II. EXPERIMENTO
Material utilizado:
● Voltímetro (ideal)
● Fonte de tensão (dois terminais)
● Resistor de valor conhecido
● Capacitor (1-5 uF)
● Chave liga-desliga SPDT
● Fios
Voltímetro digital. Fonte: <https://medicaonet.com.br/>
Fonte de tensão. Fonte: <https://www.nei.com.br/>
https://www.nei.com.br/
Década de resistores. Fonte: <http://eletronica.datapool.com.br/>
Capacitor (5 uF). Fonte: <https://mercadolivre.com.br/>
III. RESULTADOS
Parte I: Medidas da Constante de Tempo
Antes de se iniciar a simulação, algumas considerações foram necessárias:
TABELA I
CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Resistência
(Ohms)
Resistência interna do
voltímetro (Ohms)
Fonte de tensão
(V)
Desvio avaliado
(V)
5000 200000 10 0,1
Assim, o circuito representado pela Figura 2 foi montado no site de simulação, conforme mostra a captura de tela
abaixo:
Figura 3 - Circuito da Figura 2 simulado conforme considerações da Tabela 1 (vide Apêndice).
http://eletronica.datapool.com.br/
Com a chave em 1 e o voltímetro ligado entre os pontos E e D do circuito RC, o valor máximo da tensão nestes
pontos foi medido. Após a tensão se estabilizar (momento no qual o capacitor está completamente carregado), o voltímetro
acusou 9,756 V.
Depois, foi medido o tempo necessário para que o capacitor descarregue até 37% do seu valor máximo.
0,37 * 9,756 = 3,610 V.
Para tanto, a chave foi conectada em 3 e o tempo foi cronometrado até que o voltímetro acusasse o valor calculado
acima. O tempo cronometrado t3 foi de 0,024 s.
Ao terminar essa medida, o capacitor foi deixado descarregando com a chave em 3 por um tempo maior que 5 t3.
Então, com a chave novamente em 1, foi medida a constante de tempo de carga t1, que é o tempo necessário para a tensão
elevar-se até 63% do seu valor máximo.
0,63 * 9,756 = 6,146 V
O tempo cronometrado t1 foi de 0,025 s.
Percebe-se que t3 é aproximadamente igual a t1. Considerando-se a manutenção do mesmo valor de resistência,
ambos deveriam ser iguais. Essa pequena variação pode ter ocorrido devido a erros do operador do cronômetro, como a falta
de sincronia no momento da ativação/desativação do dispositivo, por exemplo.
Logo após, o capacitor foi carregado totalmente. Para medir o tempo t2, a simulação foi pausada e mudou-se a
chave para a posição 2 (chave aberta). O tempo t2 necessário para que a tensão caísse até 37% do seu valor máximo foi de
0,995 s.
Percebe-se então que que t2 é muito maior que t3. Esse resultado já era previsto, pois na chave 3, o capacitor
descarrega sobre a resistência R, e na chave 2, sobre a resistência do voltímetro (Rv). Sabe-se também que a constante de
tempo é dada por t = RC. Logo, sendo o mesmo capacitor, tem-se que Rv >> R, e assim, t2 >> t3.
As mesmas medidas foram tiradas mais 2 vezes, conforme mostra a tabela a seguir.
TABELA II
TEMPOS DE CARGA E DESCARGA
Medida t1 (s) t2 (s) t3 (s)
1 0,025 0,995 0,024
2 0,024 0,994 0,024
3 0,024 0,995 0,025
Média 0,024 +/- 0,00058 0,995 +/- 0,00058 0,024 +/- 0,00058
O capacitor foi então carregado completamente mais uma vez e, com a chave na posição 2, para que ele se
descarregasse apenas sobre a resistência interna Rv do voltímetro, foi disparado o cronômetro. 20 pontos de medida foram
então tabelados.
TABELAS III E IV
DESCARGA DO CAPACITOR NA CHAVE 2
Tensão
aferida
(V)
9,756 8,877 7,992 6,950 5,740 4,709 4,097 3,614 3,000 2,141
Tempo (s) 0 0,00231 0,00487 0,00828 0,01295 0,01735 0,02117 0,02423 0,02878 0,03699
Tensão
aferida
(V)
1,796 1,405 1,127 0,862 0,741 0,615 0,528 0,419 0,271 0,084
Tempo (s) 0,04128 0,04728 0,05265 0,05918 0,06287 0,06744 0,07114 0,07679 0,08742 0,11591
Com os pontos de medida, plotou-se o gráfico. Percebe-se que a descarga do capacitor possui tendência
exponencial, conforme já era previsto pela equação.
Parte II: Questões levantadas
1. A partir das medidas de tensão entre 1 e D e entre E e D, calcule o valor da resistência interna Rv do
voltímetro, na escala utilizada.
Vo= 10V
Vrv = Ved = (Rv*Vo) / (R + Rv)
Rv = (R * Ved) / (Vo - Ved)
Substituindo os valores:
Rv = (5000*9,756) / (10-9,756) = 199,92k OHms
2. Das medidas das constantes de tempo t2 e t3calcule o valor de Rv, compare com o valor calculado no item
anterior.
t2=R*C e t3=Rth*C
Rth = (R*Rv) / (R+Rv)
Isolando a capacitância C do capacitor e igualando-o numa única expressão, tem-se:
t2/Rv = [t3(R+Rv)] / R*Rv
t2/t3 = 1 + Rv/R
Rv = (t2/t3)R - R
Substituindo os valores:
Rv = (0,995/0,024)*5000 - 5000 = 202,2k Ohms
3. Mostre que o tempo de descarga de um capacitor é igual ao tempo de carga, desde que seja feito nas mesmas
condições ou seja, em um circuito com a mesma resistência R.
A equação de carga é:
Q = Qo(1 - e^-t/RC)
τ=RC, constante de tempo de carga
Já a equação de descarga é:
Q = Qo(e^-t/RC)
Para estabelecer t1 era considerado a resistência interna do voltímetro Rv e a resistência R durante o carregamento.
Através da resistência de Thévenin:
Rth = (R*Rv) / (R+Rv). Logo t1 = τ = C[(R*Rv)/(R+Rv)]
Para estabelecer t3, houve o descarregamento considerando Rv em paralelo com R. Então:
Req = R//Rv = (R*Rv)/(R+Rv). Logo t3 = τ = C[(R*Rv)/(R+Rv)]
Assim podemos perceber a igualdade entre t1 e t3, levando em consideração as mesmas condições.
4. Trace o gráfico de V versus t, em algum programa que constrói gráfico usando a função correta para cada
medida. Construa uma tabela com os resultados encontrados.
Será usada a seguinte equação de descarga do trocador:
Serão mantidos os mesmos valores de tempo usados nas Tabelas III e IV.
Tem-se que R = 5000 Ohms e C = 0,000005 F. Daí:
TABELAS V E VI
DIFERENÇA ENTRE TENSÃO AFERIDA E TENSÃO CALCULADA
Tempo (s) 0 0,00231 0,00487 0,00828 0,01295 0,01735 0,02117 0,02423 0,02878 0,03699
Tensão
aferida (V) 9,756 8,877 7,992 6,950 5,740 4,709 4,097 3,614 3,000 2,141
Tensão
calculada
(V)
9,756 8,89494 8,02918 7,00541 5,81175 4,87384 4,18323 3,70129 3,08541 2,22172
Diferença
(em módulo) 0 0,01794 0,03718 0,05541 0,07175 0,16484 0,08623 0,08729 0,08541 0,08072
Tempo (s) 0,04128 0,04728 0,05265 0,05918 0,06287 0,06744 0,07114 0,07679 0,08742 0,11591
Tensão
aferida (V) 1,796 1,405 1,127 0,862 0,741 0,615 0,528 0,419 0,271 0,084
Tensão
calculada
(V)
1,87139 1,47209 1,18756 0,91456 0,78906 0,65723 0,56682 0,45216 0,29555 0,09456
Diferença
(em módulo) 0,07539 0,06709 0,06054 0,05256 0,04806 0,04223 0,03882 0,03316 0,02455 0,01056
5. Trace o gráfico de V versus t, linearizado. A partir daí, calcule o valor de C.
A regressão linear do gráfico, realizada em Excel, resulta na seguinte equação de reta:
y = -86,096 x + 6,9046
Assim, o coeficiente angular α é -86,096 e o coeficiente linear β é 6,9046. Do método dos mínimos quadrados,
tira-se que:
α = 1/(Rv*C)*log(e), onde C é a capacitância requerida.
C = -log(e)/(α*Rv) = 2,52*10-06 F
O desvio pode ser calculado por:
ΔC = ∂C/∂α*Δα + ∂C/∂Rv*ΔRv
∂C/∂α = -log(e)/(α²*Rv) = 2,93*10-08
∂C/∂Rv = -log(e)/(α*Rv²) = 1,26*10-11
Δα = 0,9996*10-04 (erro associado ao método)
ΔRv = 0,1 Ohms
Assim, ΔC = 3,06*10-11 F
6. Discuta e avalie os erros sobre todas as medidas efetuadas.
O erro sobre as 3 medições feitas de t1, t2 e t3 foi baixo, da ordem de 10-4.
Todos os erros avaliados foram relativamente baixos. Isso se deve principalmente ao fato de que o experimento foi
realizado via simulação, logo, com menores chances de erros.
7. Analise detalhadamente os gráficos obtidos. O que acontece quando 𝑡 → ∞? Está de acordo com a teoria?
Quando o tempo tende ao infinito, o valor da tensão do capacitor diminui infinitamente. Ou seja, quando a chave é
ligada em 2 ou em 3 com o capacitor completamente carregado, o mesmo começa a descarregar com o tempo, até o tempo
infinito, quando descarregará completamente. Isso está de acordo com a teoria, pois a equação de descarga do capacitor
mostra que o valor da tensão decai exponencialmente. Após a linearização, também era esperado o mesmo decaimento, no
entanto, desta feita, de forma linear.
8. Mostre que RC tem dimensão de tempo.
Sabe-se que τ = RC
τ = V/I * Q/V -> τ = Q/I. Em unidade: τ= [C]/[C]/[s] -> τ = [s]
Logo, τ tem uma dimensão de tempo
9. Mostre por substituição direta que a equação 8 é solução da equação 7, como também a 15 é solução da 14.
- Dedução da fórmula 8 através da 7
Vo = R. dQ/dt + Q/C
R.dQ/dt = Vo - Q/C
Multiplicando os dois lados por C:
RC.dQ/dt = CVo - Q
dQ/(CVo - Q) = dt/RC
Integrando os dois lados. O primeiro de Q=0 a Q e o segundo lado de t=0 a t:
∫dQ/Q-CVo = -∫dt/RC
ln(Q - CVo)| = -t/RC|
ln(Q-CVo/-CVo) = -t/RC
Q-CVo/-cVo = e^-t/RC
Q = C. Vo(1 − e ^−t⁄RC) = C. Vo(1 − e^−t⁄τ ) Equação 8
- Dedução da equação 15 através da 14
dQ/dt = −(1/R.C)Q
dQ/Q = -dt/RC
∫dQ/Q = -∫dt/RC
lnQ|= -t/RC|
Q = Q0. e^−t⁄R.C Equação 15
10. Calcule o erro na determinação de C e de Rv.
Rv = (t2/t3)R - R
ΔRv = |∂Rv/∂R|ΔR + |∂Rv/∂t2|Δt2 + |∂Rv/t3|Δt3
|∂Rv/∂R| = (t2/t3)-1 = 40,458
ΔRv = 0,1*5000= 500
Δt2=Δt3=0,00058
|∂Rv/∂t2| = R/t3 = 5000/0,024 = 208,33 k Ohms
|∂Rv/t3| = R.t2/t3² = (5000.0,995)/0,024² = 8637,15 k Ohms
ΔRv = (40,458*500) + (208330*0,00058) + (8637150*0,00058) = 25,36kOhms
11. Compare o valor de Rv encontrado experimentalmente com o valor de Rv escolhido para o voltímetro.
Justifique a diferença.
O valor escolhido para o Rv experimental foi 200kΩ. Com isso, os valores de Rv calculados através de t2 e t3 não
apresentam uma grande diferença para o valor escolhido de 200kΩ. Essa diferença pode se dar porque existe a aproximação
do do valor tempo ao observar o cronômetro.
IV. CONCLUSÃO
A partir de todo o experimento feito, foi possível compreender melhor o comportamento de um capacitor em um
circuito RC. Através das medidas das constantes de tempo de carga e descarga do capacitor, foi possível compreender como
se dá o processo de aumento e decaimento da tensão do componente em função do tempo. Concluiu-se também que as
constantes de tempo de carga e descarga devem ser iguais, desde que sejam mantidos os mesmos valores de resistência
equivalente e de capacitância. Todos os cálculos que se seguiram mostraram-se de acordo com a teoria, o que já era previsto,
uma vez que o experimento estava sendo feito por simulação, logo, menos sujeito a erros experimentais.
Por fim, resta dizer que o experimento atingiu os objetivos pretendidos.
V. REFERÊNCIAS
[1] Paul Falstad. Disponível em: <http://www.falstad.com/>. Acesso em: 26/04/2021.
[2] David, HALLIDAY,, RESNICK, Robert, WALKER, Jearl. Fundamentos de Física - Vol. 3 - Eletromagnetismo, 10ª
edição. Rio de Janeiro. LTC, 2016.
[3] INSTITUTO DE FÍSICA DA UFBA. Experiência 7: Constante de Tempo em Circuitos RC (versão para atividades
não presenciais). Versão similar disponível em: <http://www.fis.ufba.br/sites/fis.ufba.br/files/experiencia07.pdf>. Acesso
em: 26/04/2021.
VI. APÊNDICE
Nesta seção encontram-se os códigos que são capazes de gerar as figuras exibidas ao longo do atual relatório. É necessário
que o respectivo código seja copiado e salvo na extensão *.txt a fim de que o aplicativo de simulação abra o circuito
correspondente.
Figura 3:
$ 1 0.000005 54.00526672067058 50 5 43 5e-11
v 64 384 64 112 0 0 40 10 0 0 0.5
w 64 112 112 112 0
x 9 247 38 250 4 24 V0
x 431 159 448 162 4 24 R
x 484 287 501 290 4 24 C
x 504 118 520 121 4 24 E
x 505 411 522 414 4 24 D
x 259 98 270 101 4 20 1
x 195 138 206 141 4 20 2
x 263 170 274 173 4 20 3
x 562 104 652 107 4 20 Voltímetro
w 112 112 160 112 0
w 160 112 224 112 0
w 224 144 224 384 0
w 240 384 224 384 0
S 352 128 224 128 0 2 false 0 3
c 512 128 512 384 0 0.0000049999999999999996 9.756091058101875 0.001
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w 576 128 640 128 0
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w 352 128 368 128 0
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w 512 128 576 128 0
b 571 114 647 403 0
x 585 232 614 235 4 24 Rv
w 576 384 512 384 0
w 512 384 240 384 0
o 16 64 0 4099 10 0.00009765625 0 2 16 3