Dedução Transferência de Calor e Resistência Térmica para Cilindro e Esfera

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 Dedução Transferência de Calor e Resistência Térmica para Cilindro 
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = −𝑘𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑟
 
𝐴 = 2𝜋𝑟𝐿 (Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑟, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 𝑑𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓. 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟) 
 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 {
𝑟 = 𝑟1 ; 𝑇(𝑟1) = 𝑇1 
𝑟 = 𝑟2 ; 𝑇(𝑟2) = 𝑇2
 
∫
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜
𝐴
𝑟2
𝑟1
𝑑𝑟 = − ∫ 𝑘𝑑𝑇 
𝑇2
𝑇1
→ 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 ∫
1
2𝜋𝑟𝐿
𝑟2
𝑟1
𝑑𝑟 = 𝑘(𝑇1 − 𝑇2) 
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜
2𝜋𝐿
∫
1
𝑟
𝑟2
𝑟1
𝑑𝑟 = 𝑘(𝑇1 − 𝑇2) → 
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜
2𝜋𝐿
. [ln(𝑟2) − ln(𝑟1)] = 𝑘(𝑇1 − 𝑇2) 
𝒒𝒄𝒐𝒏𝒅,𝒄𝒊𝒍𝒊𝒏𝒅𝒓𝒐 =
𝟐𝝅𝑳𝒌(𝑻𝟏 − 𝑻𝟐) 
𝐥 𝐧 (
𝒓𝟐
𝒓𝟏⁄ )
, 𝒏𝒐 𝒒𝒖𝒂𝒍 𝑹𝒄𝒊𝒍𝒊𝒏𝒅𝒓𝒐 =
𝐥𝐧 (
𝒓𝟐
𝒓𝟏⁄ )
𝟐𝝅𝑳𝒌
 
 
 
 Dedução Transferência de Calor e Resistência Térmica para Esfera 
 
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = −𝑘𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑟
 
𝐴 = 4𝜋𝑟2 
 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 {
𝑟 = 𝑟1 ; 𝑇(𝑟1) = 𝑇1 
𝑟 = 𝑟2 ; 𝑇(𝑟2) = 𝑇2
 
∫
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
𝐴
𝑟2
𝑟1
𝑑𝑟 = − ∫ 𝑘𝑑𝑇 
𝑇2
𝑇1
→ 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 ∫
1
4𝜋𝑟2
𝑟2
𝑟1
𝑑𝑟 = 𝑘(𝑇1 − 𝑇2) 
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
4𝜋
∫
1
𝑟2
𝑟2
𝑟1
𝑑𝑟 = 𝑘(𝑇1 − 𝑇2) → 
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
4𝜋
. [−
1
𝑟2
− (
1
𝑟1
)] = 𝑘(𝑇1 − 𝑇2) 
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
4𝜋
. (
−𝑟1 + 𝑟2
𝑟1𝑟2
) = 𝑘(𝑇1 − 𝑇2) 
𝒒𝒄𝒐𝒏𝒅,𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂 = 𝟒𝝅𝒓𝟏𝒓𝟐𝒌 
(𝑻𝟏 − 𝑻𝟐)
(𝒓𝟐 − 𝒓𝟏)
, 𝒏𝒐 𝒒𝒖𝒂𝒍 𝑹𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂 =
(𝒓𝟐 − 𝒓𝟏)
𝟒𝝅𝒓𝟏𝒓𝟐𝒌
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma extensa parede plana de 2L de espessura é submetida a uma 
geração de calor uniforme Determine a expressão para a variação 
de temperatura na parede se (a) T1 > T2 e (b) T1 = T2 
 
𝑑2𝑇
𝑑𝑥2
+
𝑞
𝑘
̇
= 0 
𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑢𝑠ã𝑜 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑚𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢çã𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 
𝑑
𝑑𝑥
(
𝑑𝑇
𝑑𝑥
) = −
𝑞
𝑘
̇
 → ∫ 𝑑 (
𝑑𝑇
𝑑𝑥
) = ∫ −
�̇�
𝑘
𝑑𝑥 
𝑑𝑇
𝑑𝑥
= −
𝑞
𝑘
̇
𝑥 + 𝐶1 (𝐸𝑞. 1) 
 ∫ 𝑑𝑇 = ∫ −
�̇�
𝑘
𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝐶1𝑑𝑥 
𝑇(𝑥) = −
�̇�
𝑘
𝑥2
2
+ 𝐶1𝑥 + 𝐶2 (𝐸𝑞. 2) 
 
a) Assimetria (T1>T2) 
𝑪𝑪𝟏: 𝒙 = −𝑳 → 𝑻(−𝑳) 
 𝑇1 = −
�̇�
2𝑘
𝐿2 + 𝐶1(−𝐿) + 𝐶2 → 𝑇1 = −
�̇�
2𝑘
𝐿2 − 𝐶1𝐿 + 𝐶2 
𝑪𝟐 = 𝑻𝟏 +
�̇�
𝟐𝒌
𝑳𝟐 − 𝑪𝟏𝑳 
 
𝑪𝑪𝟐: 𝒙 = +𝑳 → 𝑻(𝑳) 
 𝑻𝟐 = −
�̇�
𝟐𝒌
𝑳𝟐 + 𝑪𝟏(𝑳) + 𝑪𝟐 (𝑬𝒒. 𝟑) 
 
𝑆𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝐶2 𝑒𝑚 𝐸𝑞. 3: 𝑇2 = −
�̇�
2𝑘
𝐿2 + 𝐶1𝐿 + 𝑇1 +
�̇�
2𝑘
𝐿2 − 𝐶1𝐿 
𝑪𝟏 = 
(𝑻𝟐 − 𝑻𝟏)
𝟐𝑳
 
 
𝑆𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝐶1𝑒 𝐶2 𝑒𝑚 𝐸𝑞. 2 e simplificando: 
𝑻(𝒙) =
�̇�
𝟐𝒌
𝑳𝟐 (𝟏 −
𝒙𝟐
𝑳𝟐
) +
(𝑻𝟐 − 𝑻 )𝟏
(
𝒙
𝑳
) +
(𝑻𝟏 + 𝑻𝟐)
𝟐
 
𝟐
𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖çõ𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠,T1 = T2 
𝑻(𝒙) =
�̇�
𝟐𝒌
𝑳𝟐 (𝟏 −
𝒙𝟐
𝑳𝟐
) + 𝑻𝟏