FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA

Prévia do material em texto

FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Aula 1 - Conceitos Básicos
Conceituação da Estatística
É a ciência que utiliza dados obtidos de população ou amostras, organizando-os e analisando-os, para a tomada de decisões. 
Campos de aplicação
Praticamente em todas as ciências, como as ciências sociais, da saúde e tecnológica.
População
População é um conjunto de elementos com características definidas no tempo de no espaço.
Exemplo: os alunos de Estatística da Universidade Estácio de Sá, neste semestre.
População pode ser finita ou infinita.
Amostras
Amostra é uma parte da população.
A amostra tem de ser representativa da população, não pode ser tendenciosa.
Parâmetros e estimativas (estatísticas)
Parâmetros são valores fixos obtidos de população.
Estimativas (estatísticas) são valores variáveis obtidos de amostras.
Exemplo de parâmetros e estimativas
Tabela 1. Percentuais de intenções de votos em dois candidatos e o resultado da eleição.
	 
	Candidato A
	Candidato B
	Pesquisa 1
	60% (estimativa)
	40% (estimativa)
	Pesquisa 2
	62% (estimativa)
	38% (estimativa)
	Pesquisa 3
	61% (estimativa)
	39% (estimativa)
	Eleição
	60,3% (parâmetro)
	39,7% (parâmetro)
Pesquisa 1 com 2% de erro: implica dizer que se a eleição fosse realizada naquela data, o candidato B teria entre 38% a 42% dos votos e realmente obteve 39,7% dos votos.
Outros exemplos de parâmetros e estimativas
Uma pesquisa realizada em uma amostra, com 2% de erro (para mais ou menos), mostrou que a eficiência de uma droga A foi de 90% (estimativa). Implica dizer que a verdadeira eficiência da droga A (parâmetro) deve estar compreendida entre 88% a 92%.
Pesquisa com amostras, com 3% de erro, determinou eficiência para a droga A de 91,9% e para a droga B de 87,5%. Implica dizer que a verdadeira eficiência da droga A deve estar entre 88,9% a 94,9% e da droga B entre 84,5% a 90,5%. Portanto, as eficiências das drogas não diferem estatisticamente entre si, pois existe um intervalo comum entre as duas drogas, que é de 88,9% a 90,5%, ou seja, neste intervalo tanto pode estar a eficiência da droga A quanto da droga B.
Variáveis qualitativas e quantitativas
Variáveis qualitativas (qualidade) – nominais e ordinais.
Variáveis quantitativas (quantidade) – discretas e continuas.
Exemplos de variáveis qualitativas e quantitativas
Variáveis qualitativas nominais – doenças, cores, times de futebol etc.
Variáveis qualitativas ordinais – classe social (A, B, C etc.), tipos de queimadura (1º. grau, 2º. grau etc.), didática de um professor (péssima,ruim, razoável, boa, excelente).
Variáveis quantitativas discretas – número de alunos, número de gols da seleção brasileira de futebol, batimentos cardíacos, salário etc.
Variáveis quantitativas contínuas – pressão sistólica, taxa de glicose no sangue, velocidade, idade dos alunos, etc.
Resumo
População e amostras
Parâmetros e estimativas
Variáveis qualitativas nominais e ordinais
Variáveis quantitativas discretas e contínuas
Simulados
1. Foi realizada uma pesquisa entre os pesos de Micardis por comprimido e verificou-se que a média era de 78 mg de Micardis/comprimido ± 4 mg de Micardis/comprido. Isto significa que:
( ) a média verdadeira (parâmetro) deve ser inferior a 74 mg de Micardis/comprimido
( ) a média verdadeira (parâmetro) deve ser superior a 82 mg de Micardis/comprimido
( ) a média verdadeira (parâmetro) deve ser inferior a 78 mg de Micardis/comprimido
( ) a média verdadeira (parâmetro) deve ser superior a 78 mg de Micardis/comprimido
( ) a média verdadeira (parâmetro) deve ser entre 74 a 82 mg de Micardis/comprimido
2. As variáveis: (a) tipos de esporte, (b) quantidades de jogadores expulsos, (c) quantidades de produtos farmacêuticos fora da validade são, respectivamente, exemplos de variáveis:
( ) qualitativas, qualitativas, qualitativas
( ) quantitativas, quantitativas, quantitativas
( ) quantitativas, quantitativas, qualitativas
( ) quantitativas, qualitativas, quantitativas
( ) qualitativas, quantitativas, quantitativas
3. A diferença entre população e amostra é que:
( ) a amostra é um todo e a população é uma parte do todo
( ) a população é um subconjunto e a amostra é um conjunto
( ) a população tem variáveis discretas e as amostras têm variáveis contínuas
( ) a população é um todo e a amostra é a parte do todo
( ) a população tem variáveis contínuas e as amostras têm variáveis discretas
4. A amostra, que é uma parte da população, tem de ser representativa da população. Supondo que uma população fosse constituída de 80% do sexo feminino e 20% do sexo masculino, foi retirada uma amostra que acusou para o sexo feminino 45% e para o masculino 55%. Nestas condições:
( ) a amostra é representativa da população pois os percentuais de sexos não influenciam em nenhuma hipótese, qualquer que seja o estudo
( ) a amostra não é representativa da população pois para ser, haveria necessidade de que na amostra exatamente 80% fossem do sexo feminino
( ) a amostra é representativa da população pois expressa os atributos da população
( ) a amostra é representativa da população pois todas as amostras são representativas da população
( ) a amostra não é representativa da população tendo em vista que os percentuais encontrados diferem em muito do valor populacional
5. Em uma pesquisa com erro de 3% para mais ou para menos, verificou-se que o medicamento A teve eficiência de 85% e o medicamento B com 90,6% de eficiência. Desta pesquisa conclui-se que:
( ) os medicamentos são estatisticamente diferentes quanto à eficiência, sendo o B mais eficiente do que o A
( ) os medicamentos são estatisticamente diferentes quanto à eficiência, sendo o B menos eficiente do que o A
( ) os medicamentos não são estatisticamente diferentes quanto à eficiência, pois nos intervalos de confiança dos percentuais dos dois medicamentos existe uma margem de interseção que é de 87,6% a 88%
( ) os medicamentos são estatisticamente diferentes quanto à eficiência, pois nos intervalos de confiança dos percentuais dos dois medicamentos existe uma margem de interseção que é de 87,6% a 88%
( ) os medicamentos são estatisticamente diferentes pois o que importa são os percentuais obtidos e não o erro da pesquisa que foi de 3%
6. Um medicamento somente é liberado para o público se a sua eficiência for igual ou maior do que 90%. Foi realizada uma pesquisa com um medicamento, com margem de erro de 3%. Para que o medicamento seja liberado há necessidade de sua eficiência ser:
( ) 90%
( ) entre 87% a 93%
( ) acima de 93%
( ) acima de 90%
( ) igual ou acima de 87%
Aula 2 - Amostras
POPULAÇÃO E AMOSTRAS
Importância da utilização de amostras ao invés de população
Pesquisa mais econômica
Pesquisa mais rápida
Pesquisa mais confiável
AMOSTRAS PROBABILÍSTICAS EM PESQUISAS DE CAMPO
Casualizada, randômica ou aleatória
Estratificada
Estratificada proporcional
AMOSTRAS CASUALIZADAS, RANDÔMICAS OU ALEATÓRIAS
Todos os elementos da população têm a mesma chance de participarem da amostra.
Exemplo: uma população de 200 elementos, deseja-se obter um amostra de 15 elementos. Assim, serão sorteados 15 elementos ou senão será utilizada uma tabela de números aleatórios.
AMOSTRAS ESTRATIFICADAS E AMOSTRAS ESTRATIFICADAS PROPORCIONAIS
Amostra estratificada – os elementos da população são divididos em estratos, onde todos os elementos de cada estrato têm a mesma característica. De cada estrato é obtida uma certa quantidade de elementos para comporem a amostra.
Amostra estratificada proporcional – é uma amostra estratificada, onde a quantidade de elementos de cada estrato para compor a amostra é proporcional ao tamanho do estrato.
Amostras semi-probabilísticas em pesquisas de campo
Sistemática
Por conglomerados
Por quotas
Amostras não-probabilísticasem pesquisas de campo
Amostras por conveniência – adota-se um processo prático e conveniente para a obtenção dos dados.
RESUMO
Amostras probabilísticas
Amostras semi-probabilísticas
Amostras não-probabilísticas
SIMULADOS
1. O curso de Fundamentos da Estatística é constituído por 30 turmas. Assim, foram sorteadas três turmas e trabalhou-se com os elementos das turmas sorteadas. Neste caso, a amostra é:
( ) casualizada
( ) sistemática
( ) estratificada
( ) por conglomerados
( ) por conveniência
2. O curso de Fundamentos da Estatística é constituído por 30 turmas. Assim, de cada turma foram retiradas uma certa quantidade de elementos. Neste caso, a amostra é:
( ) casualizada
( ) sistemática
( ) estratificada
( ) por conglomerados
( ) por conveniência
3. Uma população é dividida em 4 estratos A, B, C e D, respectivamente, com as seguintes quantidades de elementos: 50, 60, 140 e 150. Assim, retirando-se 10% de cada estrato, obtém-se, respectivamente 5, 6, 14 e 15 elementos para comporem a amostra. A amostra de 40 elementos assim obtida é denominada:
( ) estratificada proporcional
( ) sistemática
( ) estratificada
( ) por conglomerados
( ) por conveniência
4. O curso de Fundamentos da Estatística é constituído por 30 turmas, com um total de 2.000 alunos. Assim, foi realizado um sorteio de 50 elementos para a composição da amostra. Neste caso, a amostra é:
( ) casualizada
( ) sistemática
( ) estratificada
( ) por conglomerados
( ) por conveniência
5. Uma população é constituída de 200 elementos e resolveu-se obter uma amostra de 8 elementos. Desta forma, as fichas dos elementos foram colocadas em ordem, de 1 a 200, após dividiu-se 200 por 8 obtendo-se 25. Então, o primeiro elemento para participar da amostra foi sorteado entre 1 a 25, saindo o 5º. elemento. Desta forma, a amostra ficou constituída dos 5º., 30º., 55º., 80º., 105º., 130º., 155º., 180º. elementos. Esta amostra é:
( ) casualizada
( ) sistemática
( ) estratificada
( ) por conglomerados
( ) por conveniência
6. Um órgão de pesquisa de opinião resolveu pesquisar qual seria o próximo governador de um estado. Assim, por ter uma noção a respeito da população, foram determinadas as características de inclusão e exclusão da pesquisa. Por exemplo, deveriam ser pesquisados diversos eleitores, sendo que alguns grupos com certas características. Por exemplo, na amostra deveria ter 5 eleitores do sexo masculino, com idade entre 40 a 50 anos, renda per-capita de 80 mil dólares por ano, com curso superior. Assim, o pesquisador abordou um eleitor que parecia apresentar estas características. Este tipo de amostra é:
( ) casualizada
( ) sistemática
( ) estratificada
( ) por quotas
( ) por conveniência 
7. Um médico deseja fazer uma pesquisa sobre diabetes e, assim, resolve trabalhar com somente os seus pacientes. Este tipo de amostra é:
( ) casualizada
( ) sistemática
( ) estratificada
( ) por conglomerados
( ) por conveniência
Aula 3 – Séries estatísticas, dados absolutos e dados relativos
Organização e agrupamento dos dados
Importância da organização e do agrupamento dos dados
Tabelas (séries estatísticas)
Tipos de séries estatísticas
Séries históricas, cronológicas, temporais ou marchas – quando há somente variação do tempo.
Tabela 1. Ocorrência de Tuberculose na Clínica A, em função dos anos.
	Anos
	Quantidades de casos
	1990
	200
	1995
	270
	2000
	320
	2005
	410
	2010
	500
Séries geográficas, espaciais, territoriais ou de localização – quando há somente variação do local. 
Tabela 2. Quantidades de doentes com Aids, no ano de 2010, em alguns municípios do estado do Rio de Janeiro.
	Municípios
	Quantidades
	Niterói
	4.500
	Friburgo
	2.500
	Teresópolis
	1.800
	Petrópolis
	1.200
	Duque de Caxias
	3.000
Séries específicas ou categóricas – quando há somente variação da espécie.
Tabela 3. Quantidades de doentes com Aids, Câncer, Sífilis, Silicose e Tuberculose, no ano de 2.010, em Teresópolis.
	Doenças
	Quantidades
	Aids
	1.800
	Câncer
	3.200
	Sífilis
	500
	Silicose
	200
	Tuberculose
	2.300
Séries conjugadas (tabelas de contingência ou tabelas de dupla entrada) – quando há variação de duas variáveis.
Tabela 4. Quantidades de doentes no município de Niterói, em função do tempo e das doenças.
	Doenças
	2000
	2005
	2010
	Aids
	3.000
	3.800
	4.500
	Câncer
	4.000
	3.800
	3.600
	Sífilis
	550
	545
	505
	Tuberculose
	1.000
	1.600
	2.400
Dados brutos (frequências absolutas) e dados relativos (frequências relativas)
Dados brutos – são resultados de contagem
Dados relativos – são resultados de uma relação entre dados brutos
Na Tabela 4, Aids cresceu de 3.000, em 2.000, para 4.500 casos, em 2.010, ou seja, um crescimento absoluto de 1.500 casos e um crescimento relativo de 50%.
Copiar do slide 8 ao 15
Resumo
Tabelas (séries estatísticas)
Tipos de séries estatísticas em função da espécie, local e tempo
Dados absolutos e relativos
Proporção, percentagem (porcentagem)
Índices, coeficientes e taxas
Simulados
Simulados
1. Tabela 1. Tuberculose em função do tempo na cidade A.
	Anos
	Quantidades de doentes
	2.000
	500
	2.005
	650
	2.010
	800
Considerando-se o ano de 2.010 com relação ao 2.000, a opção correta é:
( ) série temporal com aumento percentual de 0,60% 
( ) série categórica com aumento percentual de 60%
( ) série geográfica com aumento de 0,60%
( ) série temporal com aumento percentual de 60%
( ) série categórica com aumento de 0,60%
2. Tabela 2. Quantidades de doentes na cidade A, em 2008.
	Doenças
	Quantidades de doentes
	Tuberculose
	5.000
	Aids
	2.000
	Câncer
	3.000
Considerando-se os valores, a opção correta é:
( ) série temporal com 60% de doentes com Câncer 
( ) série categórica com 40% de doentes com Aids
( ) série geográfica com 40% de doentes com Aids
( ) série temporal com 40% de doentes com Aids
( ) série geográfica com 60% de doentes com Câncer
Aula 4 – Organização de dados: dados isolados e agrupados sem intervalos de classes.
Dados isolados
Dados isolados relativos a número de filhos/família, em 50 famílias pesquisadas.
	3
	2
	0
	3
	1
	4
	0
	1
	2
	2
	2
	2
	4
	0
	2
	3
	1
	3
	2
	1
	3
	1
	2
	3
	1
	3
	2
	3
	0
	2
	2
	3
	1
	2
	3
	2
	3
	2
	3
	2
	2
	3
	2
	3
	0
	4
	1
	2
	1
	1
Dados agrupados em uma tabela de frequências sem intervalos de classes.
Tabela 1. Número de filhos/família, em uma amostra de 50 famílias de Niterói, RJ, em 2010.
	Número de Filhos/família
Classes (Xi)
	Número de famílias
(fi)
	Frequência relativa
(fr)
	Frequência relativa percentual (fr%)
	0
	5
	0,10
	10%
	1
	10
	0,20
	20%
	2
	18
	0,36
	36%
	3
	14
	0,28
	28%
	4
	3
	0,06
	6%
	Total
	50
	1,00
	100%
Gráfico de dados agrupados em uma tabela de frequências sem intervalos de classes.
Gráfico 1. Número de filhos/família, em uma amostra de 50 famílias de Niterói, RJ, em 2010.
	
Resumo
Dados isolados
Organização dos dados em uma tabela de frequências sem intervalos de classes
Frequências absolutas e realtivas
Gráfico dos dados de uma tabela de frequências sem intervalos de classes
Simulados
Simulados
Tabela 2. Número de filhos/família, em uma amostra de 200 famílias de Niterói, RJ, em 2010.
	Número de Filhos/família
Classes (Xi)
	Número de famílias
(fi)
	Frequência relativa
(fr)
	Frequência relativa percentual (fr%)
	0
	10
	0,05
	5%
	1
	50
	0,25
	25%
	2
	70
	0,35
	35%
	3
	40
	0,20
	20%
	4
	30
	0,15
	15%
	Total
	200
	1,00
	100%
	
	
	
	
	
	
	
	
Tabela3. Número de filhos/família, em uma amostra de 500 famílias de Niterói, RJ, em 2010.
	Número de Filhos/família
Classes (Xi)
	Número de famílias
(fi)
	Frequência relativa
(fr)
	Frequência relativa percentual (fr%)
	0
	60
	 
	 
	1
	120
	 
	 
	2
	180
	 
	 
	3
	100
	 
	 
	4
Total
	40 
500
	
	 
Aula 5 – Organização de dados: dados agrupados em intervalos de classes.
Dados isolados
Dados isolados relativos a 80 alturas (m) de alunos de uma classe.
	1,64
	1,64
	1,62
	1,50
	1,63
	1,70
	1,57
	1,65
	1,69
	1,65
	1,62
	1,56
	1,64
	1,64
	1,77
	1,57
	1,66
	1,58
	1,67
	1,58
	1,78
	1,65
	1,63
	1,79
	1,63
	1,75
	1,67
	1,51
	1,68
	1,65
	1,64
	1,71
	1,65
	1,62
	1,67
	1,61
	1,65
	1,76
	1,66
	1,72
	1,56
	1,53
	1,67
	1,73
	1,59
	1,66
	1,60
	1,80
	1,67
	1,60
	1,63
	1,66
	1,71
	1,65
	1,55
	1,63
	1,73
	1,65
	1,69
	1,65
	1,73
	1,59
	1,67
	1,80
	1,70
	1,64
	1,59
	1,65
	1,65
	1,72
	1,67
	1,72
	1,65
	1,71
	1,67
	1,76
	1,66
	1,71
	1,67
	1,71
Copia o slide 4
Dados agrupados em uma tabela de frequências em intervalos de classes.
Tabela 1. Tabela de frequências das alturas de 80 alunos de um classe.
	Classes
	ponto médio de classe
Xi
	Frequência
simples
fi
	Freq. relativa
fr
	Freq. relativa percentual
fr%
	1,50 |----- 1,56
	 
	4
	 
	 
	1,56 |----- 1,62
	 
	12
	 
	 
	1,62 |----- 1,68
	 
	40
	 
	 
	1,68 |----- 1,74
	 
	16
	 
	 
	1,74 |-----|1,80
	 
	8
	 
	 
	Total
	 
	80
	 
	 
Dados agrupados em uma tabela de frequências em intervalos de classes.
Tabela 1. Tabela de frequências das alturas de 80 alunos de um classe.
	Classes
	ponto médio de classe
Xi
	Frequência
simples
fi
	Freq. relativa
fr
	Freq. relativa percentual
fr%
	1,50 |----- 1,56
	1,53
	4
	0,05
	5%
	1,56 |----- 1,62
	1,59
	12
	0,15
	15%
	1,62 |----- 1,68
	1,65
	40
	0,50
	50%
	1,68 |----- 1,74
	1,71
	16
	0,20
	20%
	1,74 |-----|1,80
	1,77
	8
	0,10
	10%
	Total
	 
	80
	1,00
	100%
Resumo
Dados isolados
Confecção de uma tabela de frequências em intervalos de classe
Frequências absolutas, relativas e relativas percentuais
Simulado
Completar e discutir a tabela de frequências.
Tabela 2. Tabela de frequências das alturas de 80 alunos de um classe.
	Classes
	ponto médio de classe
Xi
	Frequência
simples
fi
	Freq. relativa
fr
	Freq. relativa percentual
fr%
	1,50 |----- 1,58
	 
	4
	 
	 
	1,58 |----- 1,66
	 
	12
	 
	 
	1,66 |----- 1,74
	 
	40
	 
	 
	1,74 |----- 1,82
	 
	16
	 
	 
	1,82 |-----|1,90
	 
	8
	 
	 
	Total
	 
	80
	 
	 
Aula 6 – Gráficos
Principais tipos de gráficos
Cartogramas – gráficos que apresentam informações utilizando mapas. Por exemplo, as condições do tempo no Brasil.
Pictogramas – gráficos que utilizam imagens representativas dos temas abordados nas pesquisas efetuadas.
Diagramas – gráficos que utilizam o sistema cartesiano para a sua confecção.
Principais diagramas
Gráficos em barras horizontais
 Gráficos em barras verticais (colunas)
 Gráficos em setores (pizzas)
 Gráficos em linhas 
 Histogramas
 Polígonos de frequências
Gráficos em barras horizontais
Gráfico 1. Doentes em uma determinada cidade, em 2011.
Gráficos em barras horizontais
Gráfico 1. Doentes em uma determinada cidade, em 2011.
Gráficos em barras verticais (colunas)
Gráfico 1. Doentes em uma determinada cidade, em 2011.
Gráficos em barras verticais (colunas)
Gráfico 1. Doentes em uma determinada cidade, em 2011.
Gráficos em setores (pizzas)
Gráfico 1. Doentes em uma determinada cidade, em 2011.
Gráficos em setores (pizzas)
Gráfico 1. Doentes em uma determinada cidade, em 2011.
Gráficos em linhas 
Gráfico 1. Evolução de uma doença na cidade A, segundo os anos.
Gráficos em séries conjugadas 
Gráfico 1. Doentes em uma determinada cidade, em função dos anos.
Gráficos em séries conjugadas 
Gráfico 1. Doentes em uma determinada cidade, em função dos anos.
Gráficos em séries conjugadas 
Gráfico 1. Doentes em uma determinada cidade, em função dos anos.
Gráficos em séries conjugadas 
Gráfico 1. Doentes em uma determinada cidade, em função dos anos.
Histogramas 
Exemplo de um histograma.
�
Polígono de frequências 
Exemplo de um polígono de frequências.
�
Resumo
Formas de apresentação de uma pesquisa
Apresentação oral, escrita, figuras, slides, banner, filmes, figuras, fotografias, multimídia, tabelas e gráficos
Principais tipos de gráficos: cartogramas, pictogramas e diagramas 
Aplicação e interpretação dos gráficos 
Aula 7 – Medidas de tendência central: dados isolados e agrupados sem intervalos de classes.
Média, moda e mediana em dados isolados
Mediana em dados isolados
Mediana é o valor central de uma distribuição de dados ordenados.
Como determinar a mediana – os valores são colocados em ordem crescente ou decrescente e a mediana será exatamente o valor central para número ímpar de elementos.
Para número par de elementos, a mediana será obtida pela soma dos dois elementos centrais dividida por 2.
Mediana em dados isolados
Determinação da mediana para número ímpar de elementos:
Exemplo 1: 2, 3, 5, 6, 8, 8, 9 - a mediana (Md ou Mi) será 6.
Exemplo 2: 1, 3, 3, 4, 7, 8, 8, 9, 9. Md = 7
Exemplo 3: 7, 3, 1, 3, 9, 8, 9, 4, 9. Se não colocássemos os valores em ordem crescente ou decrescente, iríamos errar e determinar a mediana como se fosse o valor 9. Entretanto, devemos colocar os valores em ordem crescente: 1, 3, 3, 4, 7, 8, 8, 9, 9 e, assim, a mediana será determinada corretamente, ou seja, Md = 7.
Moda em dados isolados
Moda é o valor da variável de maior ocorrência.
Se não houver nenhum valor de maior ocorrência, a distribuição é denominada amodal.
Um único valor de maior ocorrência, a distribuição é denominada unimodal. 
Dois valores de maior ocorrência, a distribuição é denominada bimodal.
Três valores de maior ocorrência, a distribuição é denominada trimodal. 
Mais de três valores de maior ocorrência, a distribuição é denominada polimodal.
Distribuição amodal: 8, 5, 2, 4, 7, 3 (não existe valor que ocorre maior quantidade de vezes.
Distribuição unimodal: 2, 4, 5, 3, 2, 1, 3, 2 (Mo = 2)
Distribuição bimodal: 3, 5, 6, 6, 6, 3, 3, 5, 2, 1 (Mo = 3 e 6)
Distribuição trimodal: 1, 4, 4, 4, 1, 1, 5, 6, 7, 7, 5, 5 (Mo = 1, 4, e 5)
Média em dados isolados
A média é denomina µ (mu) se for para a população e para a amostra é 
denominada (xis-barra).
Existem diversos tipos de média, como a aritmética, a geométrica e a harmônica.
No entanto, iremos trabalhar com a média aritmética que doravante a denominaremos de somente “média”
A média da amostra é dada por:
Esta média é denominada “média aritmética simples”, que é para dados apresentados sem frequências, ou seja, dados não agrupados. 
Média em dados isolados e propriedades da média
Sejam as amostras:
A: x1 = 8, x2 = 10 e x3 = 12. A = (8 + 10 + 12)/3 = 30/3 = 10.
B: x1 = 16, x2 = 20 e x3 = 24. A = (16 + 20 + 24)/3 = 60/3 = 20.
C: x1 = 4, x2 = 5 e x3 = 6. A = (4 + 5 + 6)/3 = 15/3 = 5.
D: x1 = 10, x2 = 12 e x3 = 14. A = (10 + 12 + 14)/3 = 36/3 = 12.
E: x1 = 6, x2 = 8 e x3 = 10. A = (6 + 8 + 10)/3 = 24/3 = 8.
A:= (-2) + (0) + (2) = 0
Propriedades da média, da mediana e da moda
A soma dos desvios dos valores em relação à média é nula, isto é,
Somando-se a todos os valores uma constante, a média, a mediana e a moda ficarão somadas desta constante.
Subtraindo-se de todos os valores uma constante, a média, a mediana e a moda ficarão subtraídos deste constante.
Multiplicando-se todos os valores por uma constante, a média, a mediana e a moda ficarão multiplicados pela constante.
Dividindo-se todos os valores por uma constante, a média, a mediana e a moda ficarão divididos pela constante.
Relação entre a média, a mediana e a moda
Média = mediana = moda distribuição simétrica
Média maior do que a moda distribuição assimétrica positiva
Média menor do que a moda distribuição assimétrica negativa
Dados isolados e agrupados
Consumo de latinhas de cerveja em uma amostra de 10 pessoas: 10, 5, 0, 0, 0, 20, 10, 0, 0, 5.
Representação simples: x1 = 10, x2 = 5, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 0, x6 = 20, x7 = 10, x8 = 0, x9 = 0, x10 = 5 
 = (10 + 5 + ...+ 5)/10 = 50/10 = 5 cervejas/pessoa.
Representação por frequências: x1 = 10, f1 = 2, x2 = 5, f2 = 2, x3 = 0, f3 = 5, x4 = 20, f4 = 1
 = = = 5 cervejas/pessoa. Neste caso, com frequências, a 
média é denominada “média aritmética ponderada”.
Dados agrupados em uma tabela de frequências sem intervalos de classes.
Tabela 1. Número de filhos/família, em uma amostra de 50 famílias de Niterói, RJ, em 2010.
	Número de Filhos/família
Classes 
	Número de famílias
	
	Frequências acumuladas
	0
	5
	0
	5
	1
	10
	10
	15
	2
	20
	40
	35
	3
	10
	30
	45
	4
	5
	20
	50
	 
	50
	100
	 
Dados agrupados em uma tabela de frequências sem intervalos de classes.
Média = = = 2 filhos/família.
Moda = 2 filhos/família
Mediana = 2 filhos/família
Resumo
Medidas de tendência central (média, moda e mediana)
Medidas de tendência central em dados isolados
Distribuições simétrica e assimétrica
Propriedades da média, da moda e da mediana 
Medidas de tendência central em dados agrupados
Exercícios
Exercício 1: são dadas as amostras abaixo:
1. Determinar a média, a moda e a mediana dos dados: 5, 3, 3, 7, 7.
2. Determinar a média, a moda e a mediana dos dados:: x1 = 10, f1 = 2, x2 = 5, f2 = 2, x3 = 20, f4 = 1
Exercício 2 – Determinar a média, a moda e a mediana da amostra.
Tabela 3. Número de filhos/família, em uma amostra de 500 famílias de Niterói, RJ, em 2010.
	Número de Filhos/família
Classes 
	Número de famílias
	 
	Frequências acumuladas
	0
	60
	 
	 
	1
	120
	 
	 
	2
	180
	 
	 
	3
	100
	 
	 
	4
	40
	 
	 
	Total
	500
	 
	 
Aula 8 – Medidas de tendência central: dados agrupados em intervalos de classes.
Dados agrupados em uma tabela de frequências em intervalos de classes.
Tabela 1. Tabela de frequências das alturas de 80 alunos de um classe.
�
Dados agrupados em uma tabela de frequências em intervalos de classes.
Tabela 1. Tabela de frequências das alturas de 80 alunos de um classe.
�
Determinação da média aritmética ponderada (Tabela 1)
	
Determinação da moda bruta (Tabela 1)
Moda bruta – a moda bruta é o ponto médio da classe modal.
Ponto médio da classe modal = (LI + LS)/2 = (1,62 + 1,68)/2
Ponto médio da classe modal = 3,30/2 = 1,65 m.
A moda bruta será igual a 1,65 m (Mo = 1,65 m).
Dados agrupados em uma tabela de frequências em intervalos de classes (Tabela 1)
Determinação da moda pela fórmula de Czuber:
Mo = LI + . IC, onde:
 LI é o limite inferior da classe modal, = (fmax. – fant.),
 = (fmax. – fpost) e IC = intervalo de classe. 
 = (40 – 10) = 30 e = (40 – 20) = 20
 LI = 1,62 e IC = 0,06 
 
Determinação da moda pela fórmula de Czuber:
Mo = LI + . IC, onde:
 LI é o limite inferior da classe modal, = (fmax. – fant.),
 = (fmax. – fpost) e IC = intervalo de classe. 
Mo = 1,62 + . 0,06 = 1,62 + .0,06 = 1,62 + 0,036
Mo = 1,656 m.
Determinação da mediana:
Md = LI + ( ). IC, onde:
LI é o limite inferior da classe de referência, é a frequência acumulada anterior à classe de referência, é a frequência simples da classe de referência, IC é o intervalo de classe e a classe de referência é a classe cuja frequência acumulada seja imediatamente superior ao valor 
 
Determinação da mediana:
Md = LI + ( ). IC
Md = 1,62 + ( ) . 0,06 = 1,62 + ( ) . 0,06 
Md = 1,62 + 0,7 . 0,06 = 1,62 + 0,042 = 1,662 m. 
Dados agrupados em uma tabela de frequências em intervalos de classes.
Tabela 2. Tabela de frequências das alturas de 80 alunos de um classe.
�
Determinação da média aritmética ponderada (Tabela 2)
	
A Tabela 2 é uma distribuição de dados simétrica e neste caso a média é exatamente igual ao valor do ponto médio da classe central.
Determinação da moda bruta (Tabela 2)
Moda bruta – a moda bruta é o ponto médio da classe modal.
Ponto médio da classe modal = (LI + LS)/2 = (1,62 + 1,68)/2
Ponto médio da classe modal = 3,30/2 = 1,65 m.
A moda bruta será igual a 1,65 m (Mo = 1,65 m).
Dados agrupados em uma tabela de frequências em intervalos de classes (Tabela 2)
Determinação da moda pela fórmula de Czuber:
Mo = LI + . IC, onde:
 LI é o limite inferior da classe modal, = (fmax. – fant.),
 = (fmax. – fpost) e IC = intervalo de classe. 
 = (50 – 10) = 40 e = (50 – 10) = 40
 LI = 1,62 e IC = 0,06 
Determinação da moda pela fórmula de Czuber:
Mo = LI + . IC, onde:
 LI é o limite inferior da classe modal, = (fmax. – fant.),
 = (fmax. – fpost) e IC = intervalo de classe. 
Mo = 1,62 + . 0,06 = 1,62 + .0,06 = 1,62 + 0,03
Mo = 1,65 m. 
A distribuição é simétrica e, assim, a média = mediana = moda
Determinação da mediana:
Md = LI + ( ). IC, onde:
LI é o limite inferior da classe de referência, é a frequência acumulada anterior à classe de referência, é a frequência simples da classe de referência, IC é o intervalo de classe e a classe de referência é a classe cuja frequência acumulada seja imediatamente superior ao valor 
Determinação da mediana:
Md = LI + ( ). IC
Md = 1,62 + ( ) . 0,06 = 1,62 + ( ) . 0,06 
Md = 1,62 + 0,5 . 0,06 = 1,62 + 0,03 = 1,65 m. 
	
Valores obtidos da média, da mediana e da moda, nas Tabelas 1 e 2.
Tabela 1: média (1,6665) > mediana (1,662) > moda (1,656), portanto a distribuição é assimétrica à direita. 
Tabela 2: média (1,65) = mediana (1,65) = moda (1,65), então a distribuição é simétrica. 
Determinação da moda e da mediana em tabelas especiais
Tabela 3: as frequências anteriores e posteriores à classe modal são iguais. Neste caso, a moda será igual ao ponto médio da classe modal, ou seja, será igual à moda bruta.
Tabela 4: a soma das frequências anteriores à classe de referência é igual à soma das frequências posteriores à classe de referência. Neste caso, a mediana será igual ao ponto médio da classe de referência.
Dados agrupados em uma tabela de frequências em intervalos de classes.
Tabela 3. Tabela de frequências das alturas de 80 alunos de um classe.
�
Determinação da média aritmética ponderada, da mediana e da moda (Tabela 3)
	
Mo = LI + . IC = 1,62 + . 0,06
Mo = 1,62 + 0,5 . 0,06 = 1,62 + 0,03 = 1,650 m
Mi = LI + .IC = 1,62 + . 0,06 = 1,62 + . 0,06
Mi = 1,62 + 0,026 = 1,646 mDados agrupados em uma tabela de frequências em intervalos de classes.
Tabela 4. Tabela de frequências das alturas de 80 alunos de um classe.
�
Determinação da média aritmética ponderada, da mediana e da moda (Tabela 4)
	
Mo = LI + . IC = 1,62 + . 0,06
Mo = 1,62 + 0,027 = 1,647 m
Mi = LI + .IC = 1,62 + . 0,06 = 1,62 + . 0,06
Mi = 1,62 + 0,03 = 1,650 m
Aula 9 – Medidas de dispersão ou de variabilidade
IMPORTÂNCIA DAS MEDIDAS DE DISPERSÃO 
Vamos supor que iremos obter 15 amostras de sangue de Martha e, de modo a verificar a confiabilidade dos laboratórios A, B e C, diremos que são amostras de sangue de 5 pessoas diferentes.
Deste modo, em cada laboratório informaremos que as amostras são de Kellen, Keila, Karla, Maria, Conceição.
Depois de uma semana, obtemos os resultados e dos resultados determinamos a média, haja vista que os valores tratam-se da mesma pessoa, Martha, cujas médias estão contidas na Tabela 1. 
Tabela 1. Resultados das médias de exame de sangue da Martha, relativos a hemácias/mm3, com 5 nomes diferentes.
	Nomes
	Lab. A
	Lab. B
	Lab. C
	Kellen
	-
	-
	-
	Keila
	-
	-
	-
	Karla
	-
	-
	-
	Maria
	-
	-
	-
	Conceição
	-
	-
	-
	Médias
	5,0
	5,0
	5,0
Há evidências para afirmar qual é o melhor laboratório e qual é o pior laboratório, conhecendo-se somente as médias?
Tabela 1. Resultados de exame de sangue da Martha, relativos a hemácias/mm3, com 5 nomes diferentes.
	Nomes
	Lab. A
	Lab. B
	Lab. C
	Kellen
	6,0
	5,1
	9,0
	Keila
	5,0
	4,8
	2,0
	Karla
	5,5
	5,0
	8,0
	Maria
	4,5
	5,2
	5,0
	Conceição
	4,0
	4,9
	1,0
	Médias
	5,0
	5,0
	5,0
Há evidências para se afirmar qual é o melhor e qual é o pior laboratório? 
Da Tabela 1, podem ser tiradas as seguintes conclusões:
Não só a média é suficiente para mostrar a distribuição dos dados;
b) Quanto menor a variação, mais confiáveis são os dados;
Necessitamos de uma medida de variação (dispersão ou de variabilidade) para estudarmos a distribuição dos dados.
Determinação da amplitude
�
Determinação do desvio médio absoluto 
�
Relação entre a variância e o desvio padrão
 
Existe uma relação entre a variância e o desvio padrão:
A variância é o desvio padrão ao quadrado e o desvio padrão é a raiz quadrada positiva da variância.
Se o desvio padrão vale 5, então a variância vale 25; se o desvio padrão vale 10, então a variância vale 100.
Se a variância vale 16, então o desvio padrão vale 4; se a variância vale 9, então o desvio padrão vale 3.
Se a variância vale 25 kg2, então o desvio padrão vale 5 kg; se o desvio padrão vale 10 kg, então a variância vale 100 kg2.
Determinação da variância e do desvio padrão em população POPULAÇÃO 
A variância em população é representada por (2 (sigma-dois) e o desvio padrão por ( (sigma).
 (2 = e o desvio padrão ( é a raiz quadrada positiva da variância.
Seja a população: X1 = 5, X2 = 4, X3 = 8, X4 = 2 e X5 = 6. 
Determine a média, a variância e o desvio padrão.
Determinação da variância e do desvio padrão em amostra AMOSTRA 
A variância em amostra é representada por s2 (esse-dois) e o desvio padrão por s (esse).
 s2 = e o desvio padrão s é a raiz quadrada positiva da variância.
Seja a amostra: X1 = 5, X2 = 2, X3 = 8, X4 = 2 e X5 = 8. 
Determine a média, a variância e o desvio padrão.
Cálculo da média:
 =
Cálculo da variância:
S2 = = [(5-5)2 + (2-5)2 + (8-5)2 + (2-5)2 + (8-5)2]/(5-1)
S2 = [(0)2 + (-3)2 + (3)2 + (-3)2 + (3)2] / 4 = 36/4 = 9.
Cálculo do desvio padrão:
S = = 3.
Propriedades da variância e do desvio padrão AMOSTRAS
Sejam as amostras:
A x1 = 10, x2 = 8 e x3 = 12. Então s2 = 4 e s = 2.
B x1 = 15, x2 = 13 e x3 = 17. Então s2 = 4 e s = 2.
C x1 = 5, x2 = 3 e x3 = 7. Então s2 = 4 e s = 2.
D x1 = 30, x2 = 24 e x3 = 36. Então s2 = 36 e s = 6.
E x1 = 5, x2 = 4 e x3 = 6. Então s2 = 1 e s = 1.
 
Propriedades da variância e do desvio padrão POPULAÇÃO/AMOSTRAS
Propriedades da variância e do desvio padrão:
Somando-se ou subtraindo-se a todos os valores uma constante, a variância e o desvio padrão não se alteram;
Multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores por uma constante, a variância ficará multiplicada ou dividida pelo quadrado da constante enquanto que o desvio padrão ficará multiplicado ou dividido pela constante. 
Variabilidade absoluta (s – desvio padrão) e variabilidade relativa (CV (%) – coeficiente de variação)
Sejam as amostras:
 A B C D E
 s = 2 2 5 10 25
 = 10 20 50 100 500
CV = 20% 10% 10% 10% 5%
CV = CV(E) = 
Determinação da variância em uma Tabela de frequência para dados agrupados sem intervalos de classes.
Tabela 1. Quantidades de filhos por família
	No. filhos/família
Xi
	No. famílias
fi
	
Xi fi
	
(Xi - )2.fi
	0
	10
	0
	(0 - 2)2.10 = 40
	1
	20
	20
	(1 - 2)2.20 = 20
	2
	40
	80
	(2 - 2)2.40 = 0
	3
	20
	60
	(3 - 2)2.20 = 20
	4
	10
	40
	(4 - 2)2.10 = 40
	 
	100
	200
	120
Determinação da variância em uma Tabela de frequência para dados agrupados sem intervalos de classes.
Cálculo da média = 200/100 = 2.
 
Cálculo da variância s2 = 
s2 = 120 / (100 – 1) = 120 / 99 = 1,21. Então, s = (desvio padrão)
Determinação da variância em uma tabela de frequências para dados agrupados com intervalo de classe.
Tabela 1. Tabela de frequências das alturas de 80 alunos de um classe.
	Classes
	Xi
	fi
	Xi fi
	(Xi - )2 fi
	1,50 |--- 1,56
	1,53
	10
	15,30
	(1,53 - 1,65)2 10
	1,56 |--- 1,62
	1,59
	20
	31,80
	(1,59 -1,65)2 20
	1,62 |--- 1,68
	1,65
	40
	66,00
	(1,65 - 1,65)2 40
	1,68 |--- 1,74
	1,71
	20
	34,20
	(1,71 -1,65)2 20
	1,74 |---| 1,80
	1,77
	10
	17,70
	(1,77 -1,65)2 10
	 
	 
	100
	165,00
	0,432
Determinação da variância em uma Tabela de frequência para dados agrupados com intervalos de classes.
AMOSTRA
Cálculo da média = 165/100 = 1,65.
 
Cálculo da variância s2 = 
s2 = 0,432 / (100 – 1) = 0,432 / 99 = 0,0044. 
Então, s = (desvio padrão)
Aula 10 – Noções de correlação
Correlação linear simples e regressão linear simples 
Variável independente (x)
Idade
 Regressão Regressão
 
correlação
 peso altura
Variável dependente (y) Variável dependente (y)
Diagrama de dispersão 
Coeficiente de correlação linear positivo Coeficiente de correlação linear negativo
	
Coeficiente de correlação linear perfeito e negativo Coeficiente de correlação linear perfeito e positivo
 Coeficiente de correlação nulo Coeficiente de correlação nulo ou próximo de zero
Correlação curvilínea Correlação curvilínea
Coeficiente de correlação linear simples - classificação e variação 
R => coeficiente de correlação linear simples de Pearson
Campo de variação: -1 ≤ r ≤ 1. Se r = 0 (correlaçãolinear nula)
r = 1 (correlação linear perfeita positiva)
r = -1 (correlação linear perfeita negativa)
0 < r < 0,3 correlação linear muito fraca e positiva
-0,3 < r < 0 correlação linear muito fraca e negativa
0,3 ≤ r 0,6 correlação linear fraca e positiva
-0,6 < r ≤ -0,3 correlação linear fraca e negativa
0,6 ≤ r < 1 correlação linear forte e positiva
-1 ≤ r ≤ -0,6 correlação linear forte e negativa
r => coeficiente de correlação linear simples de Pearson
Campo de variação: -1 ≤ r ≤ 1. Se r = 0 (correlação linear nula)
Valor de r positivo – ambas as variáveis têm o mesmo sentido:
var. 1 var. 2 var. 1 var. 2
 
 ou
Valor de r negativo – as variáveis têm sentidos contrários.
Var. 1 var. 2 var. 1 var. 2 
 ou 
Coeficiente de correlação linear simples – fórmula para a sua determinação.
	
Sejam os pares de variáveis dependentes. Determine r:
	x
	y
	1
	9
	2
	8
	3
	10
	4
	11
	5
	12
Coeficiente de correlação linear simples – fórmula para a sua determinação.
	
x
	y
	( x - )
	(y - )
	(x - ) (y - )
	(x - )2
	(y - )2
	1
	9
	-2
	-1
	2
	4
	1
	2
	8
	-1
	-2
	2
	1
	4
	3
	10
	0
	0
	0
	0
	0
	4
	11
	1
	1
	1
	1
	1
	5
	12
	2
	2
	4
	4
	4
	soma
	 
	0
	0
	9
	10
	10
Determinação do coeficiente de correlação linear simples de Pearson
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
_1555494594.unknown
_1555689801.unknown
_1555690035.unknown
_1555691671.unknown
_1555691820.unknown
_1555691837.unknown
_1555690066.unknown
_1555690006.unknown
_1555689726.unknown
_1555689779.unknown
_1555689712.unknown
_1555494066.unknown
_1555494436.unknown
_1555494571.unknown
_1555494416.unknown
_1555493734.unknown
_1555494027.unknown
_1555493695.unknown