P1 cálculo 1 2012/1

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MAT09570 – CÁLCULO 1
Turmas da Manhã – Período 2012/1
1ª Prova Parcial
1. (1 ponto) Esboce o gráfico de
f (x)= 1−|x+1|.
Indique no seu esboço os pontos onde o gráfico intercepta os eixos coordenados.
2. (1,5 pontos) Seja
f (x)= 1
1+2x .
Encontre uma fórmula para f −1(x). Qual o domínio e a imagem de f −1 ?
3. Calcule os limites
(a) (1,5 pontos) lim
x→−∞
x+2p
9x2+1
; (b) (1 ponto) lim
x→0 (e
x −1)cos 1
x2
.
4. (2 pontos) Mostre que existe x ∈ (0,6) tal que cos(pix)= 5
x
.
5. Seja f a função dada por
f (x)=

p
1−2x−1
x
se x < 0;
−
p
2x2+1 se 0É x < 2;
3
x
se x Ê 2.
(a) (1,5 pontos) Em que pontos f é contínua?
(b) (1,5 pontos) Calcule f ′(3) diretamente da definição de derivada e determine a equa-
ção da reta tangente ao gráfico de f no ponto (3,1).
Nota: Não é permitido o uso de calculadoras. Todas as questões devem ser justificadas atra-
vés de cálculos ou pela citação de teoremas apropriados. Respostas sem justificativas serão
desconsideradas. A duração da prova é de 2 horas.