Econometria

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIEˆNCIAS SOCIAS APLICADAS
DEPARTAMENTO DE ECONOMIA
Introduc¸a˜o a` Econometria
Professor: Erik Alencar de Figueireˆdo
Aula 1
5 Jan 2008 5:56 p.m.
Ca´lculo Matricial: Revisa˜o
0. INTRODUC¸A˜O
O objetivo desta aula e´ apresentar noc¸o˜es ba´sicas do ca´lculo matricial, dado que tal recurso sera´ amplamente
utilizado na derivac¸a˜o dos modelos de infereˆncia apresentados ao longo da disciplina.
1. VETORES
Um vetor a representa uma lista de nu´meros de dimensa˜o k × 1, tipicamente ordenados em uma coluna1.
Por exemplo:
a =

a1
a2
...
ak
 ,
ou seja, o vetor a possui 1 (uma) coluna e k linhas. Em outras palavras, pode-se dizer que a corresponde
a um elemento do espac¸o Euclidiano de dimensaˆo k, onde a ∈ Rk. Se k = 1, enta˜o a sera´ um escalar. Os
vetores coluna podem ser transformados em vetores linhas e vice-versa a partir da operac¸a˜o de transposic¸a˜o,
representada pelo s´ımbolo “ ′ ”. Neste caso, o transposto do vetor a sera´ a′, que, por sua vez, podera´ ser
representado por:
a′ = ( a1 a2 · · · ak ) .
Isto posto, vejamos algumas operac¸o˜es com vetores.
Multiplicac¸a˜o por um escalar: Neste caso, cada um dos elementos do vetor sera´ multiplicado pelo escalar.
Por exemplo, seja b′ = ( 4 −2 0 ), enta˜o 2b, sera´:
2b =
 2 · 42 · (−2)
2 · 0
 ,
=
 8−4
0
 .
Adic¸a˜o e subtrac¸a˜o: Estas operac¸o˜es so´ podera˜o ser efetuadas caso os vetores envolvidos sejam todos
coluna ou linha e de mesma dimensa˜o. Exemplos: 85
3
+
 12
1
 =
 97
4
 .
1 Ao longo do texto os vetores sera˜o representados por uma letra minu´scula e as matrizes por letras maiu´sculas.
Introduc¸a˜o a` Econometria - Aula 1 pa´gina 2
ou,
( 4 1 0 ) + (−1 5 2 ) = ( 3 6 2 ) .
Combinac¸a˜o linear: Um vetor pode ser resultante de uma combinac¸a˜o linear de outros vetores, para tanto,
basta conjugar as operac¸o˜es de multiplicac¸a˜o por um escalar e da adic¸a˜o e subtrac¸a˜o de vetores. Exemplo:
3
 85
3
+ 2
 12
1
 =
 2619
11
 .
Gene´ricamente,
b = α1a1 + α2a2 + ...+ αkak =
k∑
i=1
αiai.
Ou seja, o vetor b e´ uma combinac¸a˜o linear dos vetores ai onde os escalares αi sa˜o os ponderadores. O
entendimento deste to´pico sera´ de grande importaˆncia para o estudo da multicolinearidade, por exemplo.
Multiplicac¸a˜o: O produto escalar ou interno de dois vetores e´ definido como:
a′b = ( a1 · · · ak )
 b1...
bk
 = a1b1 + ...+ akbk = k∑
i=1
aibi = b′a.
Se o vetor for multiplicado por ele pro´prio, teremos um caso particular desta regra:
a′a =
k∑
i=1
a2i .
E´ fa´cil observar que se a apresentar uma dimensa˜o igual a dois, seu produto interno sera´ (a21+a
2
2) o que,
por sua vez, e´ igual a` norma do vetor (teorema de Pita´goras). A norma de um vetor e´ representada por:
‖a‖ =
√
a′a,
Considerando-se apenas a raiz quadrada positiva.
Ja´ o produto externo de dois vetores de dimensa˜o k, ou seja, ab′, resulta em uma matriz de ordem k×k.
2. MATRIZES
Uma matriz pode ser definida com um vetor retangular de nu´meros. Sua dimensa˜o e´ dada pelo nu´mero
de linhas e colunas. Sendo assim, se A e´ uma matriz k × r, enta˜o:
A =

a11 a12 · · · a1r
a21 a22 · · · a2r
...
...
. . .
...
ak1 ak2 · · · akr
 .
Desta forma, fica claro que os vetores sa˜o casos especiais das matrizes. Assim como nos vetores pode-se
empregar a operac¸a˜o de transposic¸a˜o. Neste caso, A′ sera´:
A′ =

a11 a21 · · · ak1
a12 a22 · · · ak2
...
...
. . .
...
a1r a2r · · · akr
 .
Uma matriz e´ considerada quadrada quando possui dimenso˜es iguais, ou seja, 2 × 2, 4 × 4, k × k etc.
Desta forma, uma matriz quadrada de ordem 2 pode ser representada por:
Introduc¸a˜o a` Econometria - Aula 1 pa´gina 3
(
1 −3
−4 0
)
.
Dentre as matrizes quadradas algumas se destacam, entre elas:
a) Matriz identidade
I4 =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 .
Onde, os elementos da diagonal principal sa˜o todos iguais a 1 (um) e os elementos restantes iguais a
0 (zero). Geralmente, este tipo de matriz e´ representado pela letra I. Note que esta matriz exerce o papel
do elemento neutro no ca´lculo matricial. Ou seja,
IA = AI = A,
respeitando, evidentemente, as dimenso˜es das matrizes envolvidas (os detalhes sobre a multiplicac¸a˜o de
matrizes sera˜o apresentados a` seguir).
b) Matriz diagonal
Λ =

λ1 0 0 0
0 λ2 0 0
0 0 λ3 0
0 0 0 λ4
 .
Note que os elementos da diagonal principal sa˜o escalares, sendo pelo menos um diferente de zero.
Alguns livros-texto representam esta matriz a partir da notac¸a˜o Λ = diag{λ1, λ2, ..., λk}. Exemplo:−4 0 00 1 0
0 0 0
 .
Caso todos os esclares (λk) forem iguais, esta matriz sera´ denominada de matriz escalar.
Λ =

λ 0 0 0
0 λ 0 0
0 0 λ 0
0 0 0 λ
 = λI = Iλ.
Por fim, destaca-se:
c) Matriz idempotente
Ou seja, A = A2 = A3 = ..., neste caso, a multiplicac¸a˜o dela por si pro´pria na˜o altera seus valores
iniciais.
Multiplicac¸a˜o de matrizes: A multiplicac¸a˜o de matrizes so´ sera´ poss´ıvel se o nu´mero de colunas da
primeira matriz for igual ao nu´mero de linhas da segunda. Ou seja, se A tiver dimensa˜o n× k e B dimensa˜o
k× n, enta˜o elas podera˜o ser multiplicadas. Entretanto, caso A possua dimensa˜o n× k e B dimensa˜o n× k,
a multiplicac¸a˜o na˜o sera´ poss´ıvel.
Suponha uma matriz D de dimensa˜o m×n e uma matriz E de dimensa˜o n×p, enta˜o sera´ poss´ıvel obter
uma matriz C = DE que, por sua vez, possuira´ dimensa˜o m × p. Este ca´lculo e´ efetuado de acordo com a
seguinte regra:
cij =
n∑
k=1
aikbkj , i = 1, 2, ...,m, j = 1, 2, ..., p.
Exemplo:
Introduc¸a˜o a` Econometria - Aula 1 pa´gina 4
AB =
(
1 2 3
2 0 4
) 1 60 1
1 1
 = ( 1(1) + 2(0) + 3(1) 1(6) + 2(1) + 3(1)2(1) + 0(0) + 4(1) 2(6) + 0(1) + 4(1)
)
=
(
4 11
6 16
)
.
BA =
 1 60 1
1 1
( 1 2 3
2 0 4
)
=
 1(1) + 6(2) 1(2) + 6(0) 1(3) + 6(4)0(1) + 1(2) 0(2) + 1(0) 0(3) + 1(4)
1(1) + 1(2) 1(2) + 1(0) 1(3) + 1(4)
 =
 13 2 72 0 4
3 2 7
 .
Trac¸o de uma matriz: O trac¸o de uma matriz quadrada e´ igual a` soma dos elementos de sua diagonal
principal.
tr(A) =
k∑
i=1
aii.
Vejamos algumas propriedades do trac¸o:
tr(cA) = ctr(A);
tr(A′) = tr(A);
tr(A+B) = tr(A) + tr(B);
tr(Ik) = k.
Determinate de uma matriz: Considere o sistema ax = b com a 6= 0. A soluc¸a˜o deste sistema sera´
x = b/a. Observe que o denominador esta´ associado a` matriz de coeficientes do sistema (a). Considere agora
um sistema dois por dois: {
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
Onde as soluc¸o˜es sera˜o:
x1 =
b1a22 − b2a12
a11a22 − a12a21 x2 =
b2a11 − b1a21
a11a22 − a12a21
Onde, novamente se observa que os denominadores esta˜o associados a matriz de coeficientes do sistema.
Ou seja: (
a11 a12
a21 a22
)
.
O nu´mero associado ao denominador das soluc¸o˜es apresentadas e´ justamente o determinante. Desta
forma,
det(a) = a
det
(
a11 a12
a21 a22
)
= a11a22 − a12a21.
Entretanto, como obter o determinante para matrizes de ondem superior a dois? Uma das formas e´ o
desenvolvimento de Laplace. Vejamos, em uma matriz 3× 3 seu determinante pode ser calculado por:
|A| =
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31.
Introduc¸a˜o a` Econometria - Aula 1 pa´gina 5
Podemos escrever esta soma como:
a11(a22a33 − a23a32)− a12(a21a33 − a23a31) + a13(a21a32 − a22a31).
Ou ainda,
a11
∣∣∣∣ a22 a23a32 a33
∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣ a21 a23a31 a33
∣∣∣∣+ a13 ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32
∣∣∣∣ .
Ou seja, o determinante da matriz 3 × 3 pode ser expresso a partir dos determinates das submatrizes
2× 2. Assim,
|A| = a11|A11| − a12|A12|+ a13|A13|.
Onde Aij e´ a submatriz de A, de onde ai-e´sima linha e a j-e´sima coluna foram retiradas. Desta forma, se
chamarmos
∆ij = (−1)i+j |Aij |,
teremos a expressa˜o
|A| = a11∆11 − a12∆12 + a13∆13.
O nu´mero ∆ij e´ denominado de cofator. Vale salientar que esta regra e´ va´lida para matrizes de ordem
superior.
Exemplo:
|A| =
∣∣∣∣∣∣
1 −2 3
2 1 −1
−2 −1 2
∣∣∣∣∣∣ = (−2)∆12 + (1)∆22 + (−1)∆32,
onde
∆12 = (−1)1+2
∣∣∣∣ 2 −1−2 2
∣∣∣∣ = − ∣∣∣∣ 2 −1−2 2
∣∣∣∣ = −2,
∆22 = (−1)2+2
∣∣∣∣ 1 3−2 2
∣∣∣∣ = 8,
∆32 = (−1)3+2
∣∣∣∣ 1 32 −1
∣∣∣∣ = 7.
Sendo assim
|A| = −2(−2) + 1(8) + (−1)7| = 5.
Matriz adjunta: Sabendo que o cofator (∆ij) do elemento aij da matriz A e´ determinado por ∆ij =
(−1)i+j |Aij |, enta˜o, pode-se definir uma nova matriz A denominada matriz adjunta. Onde esta matriz sera´
formada por:
A =
∆11 ∆12 ∆13∆21 ∆22 ∆23
∆31 ∆32 ∆33
 .
No caso da matriz
A =
 1 −2 32 1 −1
−2 −1 2
 ,
a qual ja´ foram calculados seus cofatores referentes a` coluna 2 (∆21,∆22,∆23), sua adjunta, mesmo que
incompleta, seria:
Introduc¸a˜o a` Econometria - Aula 1 pa´gina 6
A =
∆11 −2 ∆13∆21 8 ∆23
∆31 7 ∆33
 .
O ca´lculo dos demais valores de ∆ij ficara´ como exerc´ıcio. Isto posto, a matriz inversa pode ser
definida como:
A−1 =
1
|A|A.
Nem todas as matrizes possuem inversa, pois, este ca´lculo so´ sera´ poss´ıvel quando |A| 6= 0. Matrizes
que na˜o possuem inversa sa˜o denominadas de singulares. Aqui se estabele um importante elo com a
Econometria. Situac¸o˜es caracterizadas pela multicoliearidade perfeita, em verdade, esta˜o relacionadas com
a singularidade da matriz de dados.
Autovalores: a equac¸a˜o caracter´ıstica de uma matriz quadrada A e´ determinada por:
det(A− λI) = 0.
Neste caso, o λ corresponde a`s ra´ızes caracter´ısticas da matriz na˜o necessariamente distintas e podendo
ser reais ou complexas. Estes nu´meros tambe´m sa˜o conhecidos como os autovalores da matriz. Suponha
agora que exista um vetor v 6= 0, de modo que,
(A− λI)v = 0.
Neste caso, v corresponde ao autovetor da matriz.
Exemplo:
O ca´lculo dos autovalores e autovetores podem ser efetuados considerando a seguinte relac¸a˜o: Av = λv.
Ou de uma forma equivalente, (A− λI)v = 0. Sendo assim, para a matriz: 4 −2 0−1 1 0
0 1 2
 ,
teremos  4− λ −2 0−1 1− λ 0
0 1 2− λ
xy
z
 =
 00
0
 .
Se o sistema de equac¸o˜es lineares for escrito de uma forma explicita, teremos treˆs equac¸o˜es e treˆs
inco´gnitas. Se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero, saberemos que o sistema possui
uma u´nica soluc¸a˜o, que e´ a soluc¸a˜o nula, ou seja, x = y = z = 0. Entretanto, estamos interessados em calcular
os autovetores de A, de modo que v 6= 0. Neste caso, det(A− λI) = 0. Portanto, −λ3 + 7λ2 − 16λ+ 12 = 0.
Isto nos leva, a (λ−2)2(λ−3) = 0. Logo, λ = 2 e λ = 3 sa˜o os autovalores de A. Conhecendo os autovalores,
podemos encontrar os autovetores. Para tanto, suponha λ = 2: 4 −2 0−1 1 0
0 1 2
xy
z
 = 2
xy
z
→
 4x+ 2y = 2x−x+ y = 2y
y + 2z = 2z
Note que a terceira equac¸a˜o implica que y = 0 e, por conseguinte, x = 0 na segunda equac¸a˜o. Logo,
como nenhuma restric¸a˜o e´ imposta a z, os autovetores associados a λ = 2 sa˜o do tipo (0, 0, z). Os alunos
podem calcular os autovetores para o caso de λ = 3.
Por fim, define-se o rank de uma matriz, como o nu´mero de autovalores diferentes de zero. Esta e´
uma definic¸a˜o importante, pois ela se refere ao nu´mero de vetores linearmente independentes. Logo, se uma
matriz quadrada X de ordem k possui todos os autovalores diferentes de zero, diz-se que ela apresenta rank
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completo, ou seja, todos os seus vetores sa˜o linearmente independentes. Novamente, se estabelece a relac¸a˜o
com a multicolinearidade e com a resoluc¸a˜o do problema de Mı´nimos Quadrados Ordina´rios.
Nota adicional: O presente documento foi preparado a partir do sistema tipogra´fico (Plain) TEX, desenvolvido por
Donald Knuth. Versa˜o preliminar, comenta´rios sa˜o bem-vindos!
REFEREˆNCIAS
[1] Boldrini, J.; Costa, S.; Figueiredo, V.; Wetzler, H. (1980). A´lgebra linear. Sa˜o Paulo: Harper & Row do Brasil.
[2] Johnston, J.; DiNardo, J. (2001). Metodos Econome´tricos. Lisboa: McGraw Hill.
[3] Simon, C.; Blume, L. (1994). Mathematics for economists. New York: Norton & Company.