Aula 14 - Rolamento

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ROLAMENTO
Corpo com seção transversal circular rolando.
Figura 4
Rolamento Puro:
s=Rθ
v cm=
ds
dt
=d
dt
(Rθ)=R d θ
dt
=Rω
{vcm<Rω⇒ rolando e patinhandovcm>Rω⇒ rolando e deslizando
v P=0⇒ atrito estático
K rol=K trans+K rot=
1
2
M vcm
2 +1
2
I cmω
2=1
2
M vcm
2 +1
2
I cm(
vcm
R
)
2
=1
2
Mvcm
2 (1+
I cm
MR2
)=K trans(1+β) ,
onde: β≡
I cm
MR2
Exemplo:
Figura 5
Sólido I β vcm
Aro/casca cilíndrica MR2 1 √ g h
Disco/cilindro 1
2
MR2 1
2 √ 43 gh≃1,15√ gh
Esfera 2
5
MR2 2
5 √ 107 gh≃1,20√gh
Segunda Lei de Newton:
∑ F=M acm⇒+Mg sinθ− f e=Macm⇒ f e=M (g sinθ−acm) (1)
∑ τ= I α⇒ f e R=I (
acm
R
)⇒ f e=
I
R2
acm (2)
(1)=(2)⇒M ( g sinθ−acm)=
I
R2
acm⇒M g sinθ=(M+
I
R2
)acm⇒M g sinθ=M (1+
I
MR2
)acm
⇒acm=
g sinθ
1+β
vcm
2 =vcm ,0
2 +2acmΔ x=2(
g sinθ
1+β
)( h
sinθ
)⇒ vcm=√ 21+β gh
Mg
Mgsinθ
Mgcosθ
fe
N
acmR
vcm
θ
θh
Δx
Conservação da Energia Mecânica:
E i=E f ⇒(K+U )i=(K+U ) f⇒U i=K f⇒Mgh=
1
2
M vcm
2 (1+β)⇒ vcm
2 = 2gh
1+β
⇒ vcm=√ 2 gh1+β
Exemplo: Esfera rolando sem deslizar nem patinhar.
A fim de determinar o sentido da força de atrito, imaginamos, inicialmente, que não existe
atrito entre o corpo e a superfície e comparamos as acelerações tangencial e de translação do ponto
de contato. A força de atrito estático terá sentido contrário ao da maior das duas.
Entretanto, a análise acima não é necessária. Podemos escolher um sentido arbitrariamente
para a força de atrito, aplicar a Segunda Lei de Newton e determinar a aceleração do centro de
massa, que não dependerá do sentido da força de atrito. Ao final, podemos calcular a força de atrito
estático e, se ela resultar negativa, o sentido inicialmente arbitrado estará errado, mas o módulo da
força de atrito estará correto. Vamos aplicar esse procedimento ao exemplo acima. Escolhemos
arbitrariamente que o sentido da força de atrito estático é para a direita (figura abaixo).
cm x 
R
h
F
αR M
ω
acm
α=
∑ τ
I
=
F (h−R)
2
5
MR2
=
5
2
F (h−R)
MR2
α R=5
2
F (h−R)
MR
acm=
∑ F
M
=
F
M
α R>acm⇒força de atrito é para direita
α R<acm⇒força de atrito é para esquerda
α R=acm⇒força de atrito é nula
α R>acm⇒
5
2
F (h−R)
MR
> F
M
⇒ 5
2
h−R
R
>1⇒5(h−R)>2R⇒5h>7 R
Então:
h>7
5
R⇒força de atrito é para a direita
h<7
5
R⇒força de atrito é para a esquerda
h=75 R⇒força de atrito é nula
cm x 
R
h
F
feM
ω
acm
∑ F x=ma x⇒F+ f e=M acm (1)
∑ τ= I α⇒F (h−R)− f eR=(25 MR2)(acmR )⇒F(hR−1)− f e=25 M acm (2)
(1)+(2)⇒F+F(hR −1)=75 M acm⇒Fh /R=75 M acm⇒acm=57 hR FM
(1)⇒ f e=M acm−F=
5
7
h
R
F−F⇒ f e=F(57 hR−1)
f e>0 (para a direita) ⇔
5
7
h
R
−1>0⇔h>7
5
R
f e<0 (para a esquerda) ⇔h<
7
5
R
f e=0⇔h=
7
5 R