Aula 17 - Pêndulos oscilador amortecido e forçado

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PÊNDULO SIMPLES
Fio sem massa, partícula de massa m, não há força de arrasto nem atrito no pivot.
Aproximação de ângulo pequeno:
≪1 (em rad)⇒ sin≃
Por exemplo:
10°=0,1745 rad
sin0,1745=0,1736⇒%=0,5 %
Então:
¨ gl =0
Comparar com:
x¨0
2 x=0 , onde:
0≡gl
 (EDOHS)
Logo:
∑=I ⇒−mg sinl =ml 2 ¨⇒−g sin=l ¨
Logo:
¨ gl sin =0
=maxcos 0 t0 , onde:
T=2
0
=2  lg independente de max , desde que max≪1
PÊNDULO FÍSICO
Aproximação de ângulo pequeno: ≪1 (em rad)⇒ sin≃
Então:
¨MgdI =0
Comparar com:
x¨0
2 x=0 , onde:
0≡MgdI
 (EDOHS)
Logo:
Exemplo: Anel homogêneo
∑=I ⇒−Mg d sin=I ¨
Logo:
¨MgdI sin=0
=maxcos 0 t0 , onde:
T=2
0
=2  IMgd independente de max , desde que max≪1
P
cmx
R
M
I P= I cmM h
2=MR2MR2=2MR2
T=2 I PMgd=2  2MR2MgR =2 2 Rg
PÊNDULO DE TORÇÃO
Torque exercido pelo fio sobre o corpo: τ
Não há aproximação de ângulo pequeno nessa equação.
Comparar com:
x¨0
2 x=0 , onde:
0≡I
 (EDOHS)
Logo:
Lei de Hooke:
∝
=− , onde:
 é a constante de torção
Unidade SI de  : N.m
rad
∑=I ⇒−= I ¨
⇒¨I =0
=maxcos 0 t0 , onde:
T=2
0
=2  I independente de max
OSCILAÇÃO AMORTECIDA
Não são consideradas a força gravitacional e o empuxo (constantes).
∑ F x=max⇒−kx−bv=ma⇒−k x−b x˙=m x¨⇒m x¨b x˙k x=0⇒ x¨bm  x˙km x=0 , onde:
≡ b
2m
 é o coeficiente de amortecimento e 
0≡km é a frequência angular natural de oscilação
⇒ x¨2 x˙0
2 x=0
Solução:
x= xm e
− t cos  t, onde:
≡02−2 é a frequência angular amortecida
∣x ∣=∣xme− t cos  t∣=∣xm∣∣e− t∣∣cos t∣∣xm ∣∣e− t ∣⇒−∣xm∣e− t x∣xm∣e− t
OSCILAÇÃO FORÇADA E AMORTECIDA
Vídeo recomendado: Tacoma Narrows Bridge (1940)
k
m
F0 cos(ωt) - kx
-bv
F 0cos  t −kx−b x˙=m x¨⇒m x¨b x˙k x=F0 cos  t ⇒ x¨ bm  x˙ km x= F0m cos  t 
Logo:
x¨2 x˙0
2 x=F0m cos t , onde:
 e 0 são definidos como antes.
Solução estacionária t≫0:
x= xmaxcos  t, onde:
∣xmax∣=
∣F0∣/m
2−022422
0⇒∣xmax∣
∣F 0∣
m0
2=
∣F0∣
k
∞⇒∣xmax∣0
Se b=0 e 0⇒∣xmax∣∞