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Resumo Cap. 11 Halliday - Fisica 1 - SLF
Fisica 1 (Universidade Federal do Paraná)
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ 
CEM - UFPR 
 
 
 
 
 
 
STHEFANY LAMBARDOZI FERREIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMO DO CAPÍTULO 11 – LIVRO FUNDAMENTOS DE FÍSICA 9ª EDIÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PONTAL DO PARANÁ 
2018 
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STHEFANY LAMBARDOZI FERREIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMO DO CAPÍTULO 11 – LIVRO FUNDAMENTOS DE FÍSICA 9ª EDIÇÃO 
 
 
Trabalho apresentado ao curso de Graduação em 
Engenharia Civil e Costeira, Universidade Federal do 
Paraná, Campus Centro de Estudos do Mar - CEM 
como requisito para obtenção de nota parcial na 
disciplina de Física I. 
 
Professor: Prof. Drº. Virnei S. Moreira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PONTAL DO PARANÁ 
2018 
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 4 
2. ROLAMENTO 
 
Este é o primeiro tópico do capítulo e trata o rolamento como uma 
combinação de translação e rotação. Para compreendê-lo são considerados objetos 
que rolam suavemente, por exemplo, a roda da 
bicicleta, tanto o seu centro de massa quanto um 
ponto P que faz contato com o chão se movem 
para frente a uma velocidade 𝑉𝐶𝑀. Digamos que 
depois de certo tempo 𝑡, esses dois pontos 
percorrem uma distância 𝑆 e que o ciclista vê a 
roda girar de um ângulo θ. 
A equação que relaciona 𝑆 e θ é: 
 𝑺 = 𝜽𝑹 
Onde, 
R = raio 
(1) 
 
Derivando a equação (1) em relação ao tempo, tem-se: 
 𝑽𝑪𝑴 = 𝝎𝑹 
Onde, 𝑉𝐶𝑀 = 𝑑𝑆𝑑𝑡 𝜔 = 𝑑𝜃𝑑𝑡 
(2) 
 
E esta é a equação descreve matematicamente um rolamento suave. 
Portanto o rolamento de uma roda é uma combinação de um movimento puro de 
translação com um movimento puro de rotação. 
O rolamento também pode ser descrito como uma rotação pura, onde o eixo 
sempre passa pelo ponto de contato entre a roda e a superfície. 
 
3. ENERGIA CINÉTICA DO ROLAMENTO 
 
Considerando o rolamento apenas como um movimento puro de rotação, a 
energia cinética será dada por: 
Figura 1. Representação de uma roda de 
bicicleta, o ponto 𝑂 está no centro de massa e o 
ponto 𝑃 faz contato com a superfície. Fonte: [1]. 
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 5 
𝑲 = 𝟏𝟐 𝑰𝑷𝝎𝟐 
Onde, 𝜔 = a velocidade angular da roda 𝐼𝑃 = momento de inércia da roda em relação ao eixo passando pelo ponto P 
(3) 
 
O 𝐼𝑃 pode ser descrito por: 
 𝑰𝑷 = 𝑰𝑪𝑴 + 𝑴𝑹𝟐 
Onde, 𝑅 = raio 𝑀 = massa da roda 𝐼𝐶𝑀 = momento de inércia da roda em relação a um eixo passando pelo centro 
de massa 
(4) 
 
Substituindo a equação (4) na (3): 
 𝑲 = 𝟏𝟐 𝑰𝑪𝑴𝝎𝟐 + 𝟏𝟐𝑴𝑹𝟐𝝎𝟐 (5) 
 
Substituindo a equação (2) na (5): 
 𝑲 = 𝟏𝟐 𝑰𝑪𝑴𝝎𝟐 + 𝟏𝟐𝑴𝑽𝑪𝑴𝟐 (6) 
 
E nessa última equação (6) fica claro que o movimento de rolamento possui 
dois tipos de energia cinética: a de rotação em torno do centro de massa (
12 𝐼𝐶𝑀𝜔2) e 
a de translação do centro de massa (
12 𝑀𝑉𝐶𝑀2). 
 
4. FORÇAS DO ROLAMENTO 
 
O atrito, como já estudamos, é uma força de resistência. Existem dois tipos: o 
atrito estático 𝑓𝑠⃗⃗ – o sistema força-objeto está parado – e o atrito cinético 𝑓𝑘⃗⃗ ⃗ – o 
sistema força-objeto sofre uma aceleração e começa a se mover – lembrando que a 
força de atrito é sempre contrária a força externa 𝐹 aplicada ao objeto. 
No caso da roda de bicicleta a força externa 𝐹 seria as pedaladas do ciclista, 
e essa força pode: aumentar ou diminuir a velocidade produzindo uma aceleração 
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 6 
𝑎 𝐶𝑀 do centro de massa na direção do movimento, e que a roda gire mais depressa 
ou mais devagar produzindo uma aceleração angular 𝛼 que tende fazer a roda 
deslizar no ponto P (ponto de contato com a superfície) e, consequentemente, surge 
uma força de atrito sobre a roda no ponto P para ser opor a essa tendência. 
O atrito estático 𝑓𝑠⃗⃗ seria o caso do rolamento suave, onde a roda não desliza, 
se derivarmos a equação (2) em relação ao tempo, é possível obter uma relação 
entre 𝑎 𝐶𝑀 e 𝛼. 
 �⃗⃗� 𝑪𝑴 = 𝜶𝑹 
Onde, 𝑎 𝐶𝑀 = 𝑑𝑉𝐶𝑀𝑑𝑡 𝛼 = 𝑑𝜔𝑑𝑡 
(7) 
 
O atrito cinético 𝑓𝑘⃗⃗ ⃗ seria quando a força externa 𝐹 aplicada começasse a gerar 
um movimento na roda (ela desliza). 
 
4.1 ROLAMENTO PARA BAIXO EM RAMPA 
 
Para obter a aceleração ao longo de uma rampa devemos considerar 𝑎 𝐶𝑀,𝑥 e 
fazer uso da 2ª Lei de Newton (versão linear e angular). Para compreender melhor, 
devemos desenhar as forças que agem sobre o corpo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo com a figura acima podemos constatar que: 
Figura 2. Decomposição de forças agindo num corpo descendo por uma rampa. Fonte: [1]. 
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 7 
I. A força gravitacional 𝐹 𝑔 está para baixo com a origem no centro de massa 
do corpo, a componente dela ao longo do eixo x é 𝐹𝑔𝑠𝑒𝑛(𝜃), como 𝐹𝑔 =𝑀𝑔, a componente será 𝑀𝑔𝑠𝑒𝑛(𝜃). 
II. A força normal 𝐹 𝑁 é perpendicular à rampa e atua no ponto 𝑃, na figura ele 
foi deslocado na linha de ação para que ficasse no centro de massa. 
III. A força de atrito estático atua no ponto 𝑃 – pois esse faz contato com a 
superfície da rampa – e está dirigida para cima já que o movimento do 
sistema é para baixo. 
Agora que todas as componentes em x foram demonstradas aplicaremos na 
2ª Lei de Newton, em sua forma linear: 
 𝑭 = 𝑴𝒂𝒙 
Onde, 𝐹 = força 𝑀 = massa 𝑎𝑥 = aceleração ao longo do eixo x 
(8) 
 
Portanto em 𝐹 substituiremos pelas forças atuantes no eixo x e 𝑎𝑥 por 𝑎𝐶𝑀,𝑥. 
 𝒇𝒔 − 𝑴𝒈𝒔𝒆𝒏(𝜽) = 𝑴𝒂𝑪𝑴,𝒙 (9) 
 
Nesta equação existem duas incógnitas, 𝑓𝑠 e 𝑎𝐶𝑀,𝑥, como o objetivo é 
descobrir a aceleração deve-se achar um valor para 𝑓𝑠, o que sabe-se sobre essa 
força é que ela é suficiente para que o objeto role suavemente, mas nãotemos um 
valor (esse que pode ser diferente do valor máximo 𝑓𝑠,𝑚á𝑥). 
Para descobrir 𝑓𝑠 usaremos a forma angular da 2ª Lei de Newton, 
descrevendo a rotação do corpo em torno de um eixo horizontal passando pelo 
centro de massa: 
 𝝉𝒓𝒆𝒔 = 𝑰𝜶 
Onde, 𝜏𝑟𝑒𝑠 = torque resultante 𝐼 = momento de inércia 𝛼 = aceleração angular 
(10) 
 
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 8 
Aqui substituiremos 𝜏𝑟𝑒𝑠 por 𝑅𝑓𝑠, mas por quê? 
Sabendo que a equação matemática do torque é: 
 𝝉 = 𝑭𝒅 
Onde, 𝜏 = torque 𝐹 = força 𝑑 = distância 
(11) 
 
Em relação à força de atrito 𝑓𝑠, o mesmo possui um braço de alavanca 𝑅, 
portanto o seu torque é 𝑅𝑓𝑠. É positivo, pois tende fazer o corpo girar no sentido anti-
horário, aqui se deve atentar ao fato de que 𝑓𝑠 já está contrário ao movimento (está 
para cima enquanto o objeto está rolando para baixo) e quando o torque fizer o 
corpo girar no sentido anti-horário, a força ficará no sentido do sistema. 
Já as forças gravitacionais 𝐹 𝑔 e a força normal 𝐹 𝑁 possuem o braço de 
alavanca nulo em relação ao centro de massa, portanto produzem um torque nulo. 
Com isso definido chegamos a: 
 𝑹𝒇𝒔 = 𝑰𝑪𝑴𝜶 
Onde, 𝑅 = raio 𝑓𝑠 = força de atrito estático 𝐼𝐶𝑀 = momento de inércia da roda em relação a um eixo passando pelo centro 
de massa 𝛼 = aceleração angular 
(12) 
 
Novamente temos duas incógnitas 𝑓𝑠 e 𝛼, como precisamos achar a 𝑓𝑠, o 
isolaremos. Começando isolando 𝛼 na equação (7), tem-se: 
 𝜶 = 𝒂𝑪𝑴,𝒙𝑹 (13) 
 
No nosso sistema de rampa, a 𝑎𝐶𝑀,𝑥 é negativa (sentido negativo de x) e 𝛼 é 
positivo (sentido anti-horário), portanto: 
 𝜶 = −𝒂𝑪𝑴,𝒙𝑹 (14) 
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 9 
Isolando 𝑓𝑠 na equação (12) e substituindo o 𝛼 da equação (14), tem-se: 
 𝒇𝒔 = −𝑰𝑪𝑴 𝒂𝑪𝑴,𝒙𝑹𝟐 (15) 
 
Finalmente achando 𝑓𝑠 poderemos substitui-lo na equação (9). 
 𝒂𝑪𝑴,𝒙 = − 𝒈𝒔𝒆𝒏(𝜽)𝟏 + ( 𝑰𝑪𝑴𝑴𝑹𝟐) (16) 
 
Então é a partir dessa equação (16) que determinaremos a aceleração linear 
de um corpo rolando suavemente em um plano inclinado com um ângulo na 
horizontal θ. 
 
5. IOIÔ 
 
Sabemos que, normalmente, em um movimento duas energias estão 
presentes: a potencial e cinética. 
Agora, analisando para um ioiô mais antigo, quando ele desce rolando perde 
uma quantidade de energia potencial igual a 𝑚𝑔ℎ e ganha energia cinética – na 
forma de translação (
12 𝑀𝑉𝐶𝑀2) e rotação (12 𝐼𝐶𝑀𝜔2) – quando volta a subir, perde 
energia cinética e readquiri energia potencial. 
Agora, para os ioiôs modernos: a corda não é presa ao eixo, mas forma uma 
laçada em torno dele. Quando o ioiô chega ao “final”, uma força dirigida para cima 
interrompe a descida, e então o ioiô passa a girar – com o eixo enlaçado pela corda 
– apenas com a energia cinética rotacional. Ele vai permanecer assim até haver um 
novo puxão que fará a corda se enrolar no eixo, fazendo-o subir. A energia cinética 
rotacional no “final” da corda pode aumentar arremessando o ioiô para baixo para 
que comece a descer a corda com velocidade inicial linear 𝑉𝐶𝑀 e velocidade angular 𝜔, assim ele deixa de começar a rolar para baixo a partir do repouso. 
A análise para achar a aceleração linear 𝑎𝐶𝑀 do ioiô é a mesma feita 
anteriormente, exceto por: 
I. O ioiô desce por uma corda fazendo um ângulo de θ = 90° com a 
horizontal. 
II. O ioiô rola em torno de um eixo de raio 𝑅0. 
III. O ioiô é freado pela força �⃗� que a corda exerce sobre ele. 
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Desenvolvendo chegaríamos na equação (16), e então substituindo as 
características do ioiô: 
 𝒂𝑪𝑴,𝒙 = − 𝒈𝟏 + ( 𝑰𝑪𝑴𝑴𝑹𝟎𝟐) 
Onde, 𝑎𝐶𝑀,𝑥 = aceleração do centro de massa ao longo do eixo x 𝑔 = gravidade 𝐼𝐶𝑀 = momento de inércia da roda em relação a um eixo passando pelo centro 
de massa 𝑀 = massa 𝑅0 = raio inicial 
(17) 
 
6. REVISÃO DE TORQUE 
 
Neste tópico o autor propõe estudar o torque para aplica-lo a uma partícula 
que se move em uma trajetória (não precisa ser circular) qualquer em relação a um 
ponto fixo. O torque passa a ser escrito como um vetor que pode ter qualquer 
direção. 
 �⃗� = �⃗� 𝒙 �⃗⃗� 
Onde, 𝜏 = torque 𝑟 = distância da origem 𝑂 até o ponto em que a partícula se encontra 𝐹 = força 
(18) 
 
A figura 3 descreve essa nova aplicação 
do torque. De uma maneira mais simples: 
 Uma partícula 𝐴 num plano 𝑥𝑦𝑧 tem uma 
força 𝐹 agindo sobre si, e a sua posição 
em relação à origem 𝑂 é dada pelo vetor 𝑟 . (Figura 3-a). 
 Para determinar a orientação do 𝜏 , o vetor 𝐹 é deslocado (sem mudar a orientação) 
Figura 3. Aplicação de torque. Fonte: [1]. 
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até que a sua origem esteja em 𝑂. (Figura 3-b). 
 Usar a regra da mão direita para determinar a orientação do 𝜏 , eixo positivo 
de 𝑧. (Figura 3-c). 
Para determinar o módulo de 𝜏 usaremos a expressão geral: 
 𝒄 = 𝒂𝒃𝒔𝒆𝒏(𝝓) (19) 
 
Ficando: 
 �⃗� = 𝒓𝑭𝒔𝒆𝒏(𝝓) 
Onde, 
ɸ = menor ângulo entre 𝑟 e 𝐹 quando as origens dos vetores coincidem 
(20) 
 
Para a figura 3-b, a equação (20) fica: 
 𝝉 = 𝒓𝑭⊥ 
Onde, 𝐹⊥ = 𝐹𝑠𝑒𝑛(𝜙) 
(21) 
 
Para a figura 3-c, a equação (20) fica: 
 𝝉 = 𝒓⊥𝑭⊥ 
Onde, 𝑟⊥ = 𝑟𝑠𝑒𝑛(𝜙), é o braço de alavanca de 𝐹 
(22) 
 
7. MOMENTO ANGULAR 
 
O momento angular é uma grandeza que corresponde ao momento linear 𝑝 
para movimentos de rotação. 
Na figura 4 temos uma partícula que passa pelo ponto 𝐴 com uma massa 𝑚 e 
um momento linear 𝑝 = (𝑚𝑣 ), o momento angular 𝑙 da partícula em relação a origem 𝑂 é definida por: 
 𝒍 = �⃗� 𝒙 �⃗⃗� = 𝒎(�⃗� 𝒙 �⃗⃗� ) 
Onde, 𝑟 = vetor posição da partícula em relação à 𝑂 
(23) 
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Quando a partícula se move em relação a 𝑂 na direção 
do momento linear 𝑝 = (𝑚𝑣 ), o vetor posição 𝑟 gira em torno 
de 𝑂. Não é necessário que a partícula esteja girando em 
torno de 𝑂 para haver um momento angular. 
Comparando as equações (18) e (23) percebe-se que a 
relação entre momento linear e angular é a mesma entre 
torque e força. 
Para determinar a orientação do momento angular 𝑙 : 
 O vetor 𝑝 é deslocado até que a sua origem coincida 
com o ponto 𝑂. (Figura 4-a) 
 Com a regra da mão direita o vetor 𝑙 está no sentido do eixo positivo de 𝑧, e 
esse sentido corresponde a uma rotação do vetor posição 𝑟 no sentido anti-
horário em torno do eixo 𝑧. 
Para determinar o módulo de 𝑙 usaremos: 
 𝒍 = 𝒓𝒎𝒗𝒔𝒆𝒏(𝝓) 
Onde, 
ɸ = menor ângulo entre 𝑟 e 𝑝 quando as origens dos vetores coincidem 
(24) 
 
Para a figura 4-a, a equação (24) fica: 
 𝒍 = 𝒓𝒑⊥ = 𝒓𝒎𝒗⊥ 
Onde, 𝑝⊥ e 𝑣⊥= os dois vetores são perpendiculares a 𝑟 
(25) 
 
Para a figura x-b, a equação (24) fica: 
 𝒍 = 𝒓⊥𝒑 = 𝒓⊥𝒎𝒗 
Onde, 𝑟⊥ = distância perpendicular entre 𝑂 e a extensão de 𝑝 
(26) 
 
8. SEGUNDA LEI DE NEWTON PARA ROTAÇÕES 
 
Para uma partícula isolada, a 2ª Lei de Newton pode ser escrita na forma: 
 
Figura 4. Momento angular de uma 
partícula. Fonte: [1]. 
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 13 
�⃗⃗� 𝒓𝒆𝒔 = 𝒅�⃗⃗� 𝒅𝒕 (27) 
 
Acima vemos uma relação entre força e momento linear, tomando esta 
equação e sabendo que existe uma relação entre grandezas lineares e angulares, 
podemos escrever a 2ª Lei de Newton aplicada ao movimento de rotaçãocomo: 
 �⃗� 𝒓𝒆𝒔 = 𝒅𝒍 𝒅𝒕 (28) 
 
A equação (28) só vai ser válida se o torque e o momento angular forem 
definidos em relação a um mesmo ponto. Além disso, a soma vetorial dos torques 
que agem em uma partícula é igual à taxa de variação no tempo do momento 
angular. 
 
9. MOMENTO ANGULAR DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS 
 
Analisando o sistema de partículas em relação à origem. Sabe-se que o 
momento angular total �⃗� é a soma de todos os outros momentos angulares 𝑙 . 
 �⃗⃗� = 𝒍 𝟏 + 𝒍 𝟐 + 𝒍 𝟑 + ⋯+ 𝒍 𝒏 = ∑𝒍 𝒊𝒏𝒊=𝟏 (30) 
 
Os momentos angulares podem variar de acordo com o tempo devido às 
forças externas ou interação entre as partículas. Para determinar essa variação, 
deriva-se a equação (30) em relação ao tempo e faz uso da equação (28), tem-se: 
 𝒅�⃗⃗� 𝒅𝒕 = ∑𝒅𝒍 𝒊𝒅𝒕𝒏𝒊=𝟏 
 𝒅�⃗⃗� 𝒅𝒕 = ∑�⃗� 𝒓𝒆𝒔,𝒊𝒏𝒊=𝟏 
 
 
 
 
 
(31) 
Com essa equação chegamos à conclusão que a variação de �⃗� é igual ao 
somatório dos torques, sendo que o único a ser considerado é o torque produzido 
por uma força externa ao sistema, mas por quê? 
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 14 
Bom, existem dois tipos de torques, os internos (produzido por forças 
associadas a outras partículas do sistema) e os externos (produzidos por forças 
associadas a corpos externos ao sistema). As forças exercidas pelas partículas do 
sistema aparecem em pares de forças da terceira lei e esse somatório será nulo, 
portanto são os torques produzidos por forças externas que farão o sistema variar. 
A 2ª Lei de Newton para rotações será: 
 �⃗� 𝒓𝒆𝒔 = 𝒅�⃗⃗� 𝒅𝒕 (32) 
 
10. MOMENTO ANGULAR DE UM CORPO RÍGIDO GIRANDO EM TORNO DE UM 
EIXO FIXO 
 
Considerando um sistema 𝑥𝑦𝑧, o eixo fixo de rotação será 
o eixo 𝑧, o corpo gira em torno dele com uma velocidade angular 
ω. Então o momento angular pode ser calculado somando todas 
as componentes 𝑧 dos momentos angulares de todos os 
elementos da massa do corpo. 
Na figura 5-a podemos ver um corpo de massa Δ𝑚𝑖 
girando em torno do eixo 𝑧 em uma trajetória circular. O vetor 
posição 𝑟 𝑖 é a posição do elemento de massa em relação á 
origem 𝑂, e a distância perpendicular entre o elemento e o eixo 𝑧 
é o raio 𝑟 da trajetória do elemento de massa. 
O módulo do momento angular 𝑙 𝑖 do elemento de massa 
pode ser dado usando a equação (24). 
 𝒍 = 𝒓𝒎𝒗𝒔𝒆𝒏(𝝓) 
 𝒍𝒊 = 𝒓𝒊𝒑𝒊𝒔𝒆𝒏(𝟗𝟎°) = (𝒓𝒊)(𝚫𝒎𝒊𝒗𝒊) 
Onde, 𝑝𝑖 e 𝑣𝑖 = momento linear e velocidade linear 
 
Na figura 5-b podemos ver que aparece o momento angular 𝑙 𝑖 na direção 
paralela ao eixo de rotação e perpendicular a 𝑝𝑖 e 𝑣𝑖. A componente 𝑙 𝑖 paralela ao 
eixo 𝑧, é dada por: 
Figura 5. Momento angular de um corpo 
rígido. Fonte: [1]. 
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 15 
𝒍𝒊𝒛 = 𝒍𝒊𝒔𝒆𝒏(𝜽) = (𝒓𝒊𝒔𝒆𝒏(𝜽))(𝚫𝒎𝒊𝒗𝒊) = 𝒓𝚫𝒎𝒊𝒗𝒊 (33) 
 
O momento angular da componente 𝑧 do corpo rígido pode ser calculado 
somando as contribuições de todos os elementos de massa do corpo, como 𝑣 =𝜔𝑟⊥, tem-se: 
 𝑳𝒛 = ∑𝒍𝒊𝒛𝒏𝒊=𝟏 = ∑∆𝒎𝒊𝒗𝒊𝒓⊥𝒊𝒏𝒊=𝟏 = ∑∆𝒎𝒊(𝝎𝒓⊥𝒊)𝒓⊥𝒊𝒏𝒊=𝟏 = 𝝎(∑∆𝒎𝒊𝒓⊥𝒊𝟐𝒏𝒊=𝟏 ) 
Onde, ∑∆𝑚𝑖𝑟⊥𝑖2 = momento de inércia 𝐼 do corpo em relação ao eixo fixo 
 
(34) 
 
Assim, 
 𝑳 = 𝑰𝝎 (35) 
 
O índice 𝑧 foi omitido, mas deve-se atentar que esse momento angular é em 
torno do eixo de rotação e o momento de inércia 𝐼 é em relação ao mesmo eixo. 
 
11. CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR 
 
Aqui começaremos com a equação (32), a 2ª Lei de Newton para rotações. 
Se nenhum torque externo age sobre o sistema, 
𝑑�⃗� 𝑑𝑡 = 0. Então, em um sistema 
isolado: 
 �⃗⃗� = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 (36) 
 
E essa é conhecida como a Lei de Conservação do Momento Angular. 
O momento angular �⃗� do sistema permanece constante, seja qual for à 
mudança que ocorre dentro do mesmo. 
 (𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒆𝒎 𝒖𝒎 𝒊𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒍𝒊)= (𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒆𝒎 𝒖𝒎 𝒊𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒍𝒇) 
 �⃗⃗� 𝒊 = �⃗⃗� 𝒇 (37) 
 
Como as equações (36) e (37) são vetoriais, são equivalentes nas três 
componentes/direções que é correspondente a conservação do momento angular 
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 16 
nas mesmas. O momento angular pode ser conservado em apenas uma ou duas 
direções devido às forças externas que agem sobre o sistema. 
Vamos considerar um corpo girando em torno do eixo 𝑧, se em certo instante 
a massa é redistribuída de modo que o momento de inércia em relação ao eixo 𝑧 
mude de valor, o momento angular não pode mudar, de acordo com as equações 
(36) e (37). Substituindo a equação (35) na (37): 
 𝑰𝒊𝝎𝒊 = 𝑰𝒇𝝎𝒇 
Onde, 𝐼 e ω são os valores de momento de inércia e velocidade antes e depois da 
redistribuição de massa 
(38) 
 
Quando se tem pesos ou até mesmo a posição do objeto/pessoa mais 
“afastado/aberto” o momento de inércia 𝐼𝑖 é relativamente mais alto e a velocidade 𝜔𝑖 é mais baixa. Quando o peso ou a posição do objeto/pessoa está mais 
“perto/encolhido” o momento de inércia 𝐼𝑓 é relativamente mais baixo e a velocidade 𝜔𝑓 é mais alta. E podemos notar que essa variação em 𝐼 e ω acontece e mesmo 
assim mantém o momento angular, respeitando a Lei de Conservação do Momento 
Angular. Citando algumas situações usadas didaticamente que demonstram isso: 
I. Aluno que gira numa cadeira segurando halteres (ou algum outro peso); 
II. Salto de trampolim; 
III. Salto em distância; e, 
IV. Tour jeté (movimento de balé). 
Até o momento nenhuma exceção a Lei de Conservação do Momento Angular 
foi descoberta. 
 
12. PRECESSÃO DE UM GIROSCÓPIO 
 
Um giroscópio simples é formado por uma roda fixa a um eixo, podendo girar 
em torno dele. Se uma das extremidades é apoiada num suporte, o giroscópio fica 
livre e cai, girando para baixo em torno da extremidade do suporte. Quando ele cai, 
estamos falando rotação, portanto a equação (32) se torna válida e de acordo com 
ela o torque que causa essa queda faz o momento angular variar. 
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O torque é produzido pela força 𝑀𝑔 sobre o centro de massa do giroscópio, o 
braço de alavanca em relação à extremidade, no ponto 𝑂 é 𝑟 (figura 6-a), então o 
módulo de 𝑟 será: 
 𝝉 = 𝑴𝒈𝒓𝒔𝒆𝒏(𝟗𝟎°) = 𝑴𝒈𝒓 (39) 
 
Um giroscópio que gira rapidamente se comporta de outra 
maneira, alguns pontos: 
I. Ele executa um movimento chamado precessão, ou 
seja, começa a cair girando em torno de um eixo 
horizontal que passa por 𝑂 e depois passa a girar 
horizontalmente em torno de um eixo vertical que 
passa por 𝑂. O giroscópio é liberado com o eixo 
ligeiramente inclinado para cima. 
II. Nesse movimento o giroscópio permanece suspenso 
devido à rotação, onde o torque vai fazer variar um 
momento angular já existente. 
III. Se tivermos uma rotação muito rápida o momento 
angular, devido à precessão, é desprezível em 
relação a �⃗� (momento angular devido a rotação da 
roda). O módulo de �⃗� é dado por: 
 𝑳 = 𝑰𝝎 
Onde, 𝐼 = momento de inércia do giroscópio em torno de eixo 
ω = velocidade angular da roda 
(40) 
 
Segundo a figura 6-b, �⃗� é paralelo a 𝑟 , portanto, 𝜏 é perpendicular a �⃗� 
IV. Para calcular a velocidade de precessão (Ω), usando a equação (32) – 
isolando 𝑑�⃗� – e (39): 
 𝒅𝑳 = 𝝉𝒅𝒕 = 𝑴𝒈𝒓 𝒅𝒕 (41) 
 
Figura 6. Giroscópio. Fonte: [1]. 
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Quando �⃗� varia num valor incremental durante um tempo 
incremental 𝑑𝑡. �⃗� precessa em torno do eixo 𝑧 de um ângulo incremental𝑑𝜙. 
V. Com as equações (40) e (41), podemos achar 𝑑𝜙 
 𝒅𝝓 = 𝒅𝑳𝑳 = 𝑴𝒈𝒓 𝒅𝒕𝑰𝝎 (42) 
 
Dividindo a equação acima por 𝑑𝑡: 
 𝛀 = 𝑴𝒈𝒓𝑰𝝎 (43) 
 
O resultado só vai ser válido quando a velocidade ω for elevada. 
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1. INTRODUÇÃO 
 
O presente trabalho tem como finalidade apresentar um resumo do Capítulo 
11 do livro Fundamentos da Física dos autores Jearl Walker, Halliday e Resnick, 9ª 
edição. Os temas abordados foram: rolamento (rotação e translação), momento 
angular e torque. 
Para chegar às definições desses, muitos tópicos foram abordados para 
entendimento. Além da necessidade de ter uma familiaridade com os capítulos 
anteriores. 
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SUMÁRIO 
 
1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 3 
2. ROLAMENTO ......................................................................................................... 4 
3. ENERGIA CINÉTICA DO ROLAMENTO ................................................................ 4 
4. FORÇAS DO ROLAMENTO ................................................................................... 5 
4.1 ROLAMENTO PARA BAIXO EM RAMPA ............................................................. 6 
5. IOIÔ ......................................................................................................................... 9 
6. REVISÃO DE TORQUE ........................................................................................ 10 
7. MOMENTO ANGULAR ......................................................................................... 11 
8. SEGUNDA LEI DE NEWTON PARA ROTAÇÕES ............................................... 12 
9. MOMENTO ANGULAR DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS ............................. 13 
10. MOMENTO ANGULAR DE UM CORPO RÍGIDO GIRANDO EM TORNO DE UM 
EIXO FIXO ................................................................................................................ 14 
11. CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR ................................................... 15 
12. PRECESSÃO DE UM GIROSCÓPIO ................................................................. 16 
13. CONCLUSÃO ..................................................................................................... 19 
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 20 
 
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