Estatística - Dados agrupados com e sem intervalo de classes

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Estatística Básica
CRC 7314
Prof. Nei e João
nei.leite@ufsc.br
10-10-2013
Diagrama de ramos e folhas
NÚMERO DE RAMOS: 
Utilize a fórmula de Dixon e Kronmal quando n ≥ 100, onde o número 
de ramos é dado por k = [10×log(n)]
Para n < 100 utilizar a fórmula de Velleman, dada por k=⌊2×n⌋
NÚMERO DE FOLHAS: 
Utilizando k como um limite superior para o número de ramos, pode-se, 
agora, obter o intervalo entre os ramos. O mais fácil neste caso 
é arredondar esse valor para a potência de 10 mais próxima. Isto faz 
com que exista uma linha para cada ramo.
Em algumas circunstâncias, entretanto, poderá haver um acúmulo 
muito grande de folhas em alguns poucos ramos, prejudicando a 
compreensão. 
Uma subdivisão do ramo em mais linhas poderá melhorar
sensivelmente a apresentação. Com as linhas identificadas pelos
dígitos que correspondem ao ramo, os formatos, então, são:
1×10: 1 linha por ramo, incluindo as folhas de 0 a 9.
2×5: 2 linhas por ramo, incluindo as folhas de 0 a 4 numa linha e
de 5 a 9 em outra. A primeira linha do ramo é identificada
acrescentando-se o asterisco à primeira (*) e à segunda o ponto (.).
5×2: 5 linhas por ramo, incluindo as folhas de 0 a 2 na primeira linha,
de 3 a 4 na segunda, de 4 a 5 na terceira, de 6 a 7 na quarta e
de 8 a 9 na quinta. A identificação é (*) (asterisco) para o primeira
linha, T, de two (2) ou three (3) para a segunda, F, de four (4)
ou five (5) para a terceira, S, de six (6) ou seven (7) para a quarta
e . (ponto) para a quinta.
Quartis Empíricos
- Às vezes a média e o desvio padrão podem não ser medidas
adequadas para representar um determinado conjunto de dados, pois:
- são afetados, de forma exagerada, por valores extremos;
- apenas com estes dois valores não temos idéia da simetria ou
assimetria da distribuição de dados
Para contornar este problema, outras medidas têm de ser considerada:
- Os quartis dividem a distribuição em 4 grupos separados por Q1, Q2 e
Q3.
25° percentil 50° percentil 75° percentil
Menor 
valor
Maior 
valor
Mediana
Encontrando os valores correspondentes a 
Q1, Q2 e Q3
Passo 1: Organize os dados em ordem crescente;
Passo 2: Encontre a mediana. Este é o valor do Q2;
Passo 3: Encontre a mediana dos valores abaixo de Q2. Este
corresponde a Q1;
Passo 4: Encontre a mediana para os valores acima de Q2. Este
corresponde a Q3.
Exemplo
Encontre Q1, Q2 e Q3 para a seguinte série de dados: 15, 13, 6, 5,
12, 50, 22, 18.
Passo 1: 5, 6, 12, 13, 15, 18, 22, 50
Passo 2: Encontre a mediana (Q2): 5, 6, 12, 13, 15, 18, 22, 50
Passo 3: Encontre a mediana dos valores < 14: 5, 6, 12, 13
Passo 4: Encontre a mediana para os valores > 14: 15, 18, 22, 50
Md = 14
Q1 = 9
Q3 = 20
A amplitude interquartis (AIQ) de uma série de dados é
uma medida de variação que dá a amplitude dos 50%
valores centrais da série. É a diferença entre o terceiro e o
primeiro quartil.
Amplitude interquartis (AIQ) = Q3 - Q1
Aplicações
Importante utilização na 
avaliação de outliers!!!
Valor
Mínimo
Valor
MáximoMediana
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Aula Anterior
� Medidas de Tendência Central
� Medidas de Dispersão ou Variabilidade
� Dados não-agrupados
Aula de hoje:
� DADOS AGRUPADOS
� Sem intervalo de classe
� Com intervalo de classe
Seja a distribuição associada a 34 famílias de quatro filhos,
tomando para a variável o número de filhos do sexo masculino:
n°°°° de filhos f
i
x
i
f
i
0 2 0
1 6 6
2 10 20
3 12 36
4 4 16
Σ = 34 Σ = 78
1
1
78 2,29
34
n
i i
i
n
i
i
x f
X X
f
=
=
= ⇒ = =
∑
∑
1 1 2 2 1
1 2
1
...
...
n
i i
n n i
n
n
i
i
x f
x f x f x fX f f f f
=
=
+ + +
= =
+ + +
∑
∑
Média sem intervalo de classes
i x
i
f
i
x
i
f
i
x
i
1 150 ǀ– 153,9 4 152 608
2 154 ǀ– 157,9 9 156 1404
3 158 ǀ– 161,9 11 160 1760
4 162 ǀ– 165,9 8 164 1312
5 166 ǀ– 169,9 5 168 840
6 170 ǀ– 174 3 172 516
Σ = 40 Σ = 6440
4 152 9 156 ... 3 172
40
X ∗ + ∗ + + ∗=
1
1
n
i i
i
n
i
i
f x
X
f
=
=
=
∑
∑
Média com intervalo de classes
Aqui, convencionamos que todos os valores
incluídos em um determinado intervalo de classe
coincidem com o seu ponto médio, e determinamos
a média aritmética utilizando a fórmula:
onde xi é o ponto
médio da classeConsideremos a distribuição:
6440 161
40
X⇒ = =
A tabela a seguir apresenta a distribuição de freqüências dos salários de um
grupo de 50 empregados de uma empresa, num certo mês:
i x
i
f
i
x
i
f
i
x
i
1 1000 ǀ– 1999 20 1500 30000
2 2000 ǀ– 2999 18 2500 45000
3 3000 ǀ– 3999 9 3500 31500
4 4000 ǀ– 5000 3 4500 13500
Σ = 50 Σ = 120000
1
1
120000 2400
50
n
i i
i
n
i
i
f X
X X
f
=
=
= ⇒ = =
∑
∑
Qual o salário médio dos empregados durante este mês?
Exercício 1
R$ 2400,00
- Cálculo semelhante aos de dados não-agrupados
- Necessita cálculo prévio das frequências acumuladas (Fi)
- Deve-se determinar um valor tal que divida a distribuição em dois
grupos com o mesmo número de elementos, empregando a fórmula:
Mediana sem intervalo de classes
2
fi∑
Neste caso, é preciso identificar a frequência acumulada
imediatamente superior à metade da soma das frequências. A
mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal
frequência acumulada
Mediana dados agrupados
n°°°° de filhos fi Fi
0 2 2
1 6 8
2 10 18
3 12 30
4 4 34
Σ = 34
34 17
2 2
fi
= =
∑
A menor frequência acumulada que supera esse
valor é 18, que corresponde ao valor 2 da variável
n° de filhos ∴ Md = 2
Mediana com intervalo de classes
É necessário determinar o ponto do intervalo em que está compreendida a
mediana. Para tanto, temos inicialmente que determinar a classe na qual se
acha a mediana (classe mediana). Tal classe será, evidentemente, aquela
correspondente à frequência acumulada imediatamente superior a
2
fi∑
i x
i
f
i
F
i
1 150 ǀ– 153,9 4 4
2 154 ǀ– 157,9 9 13
3 158 ǀ– 161,9 11 24
4 162 ǀ– 165,9 8 32
5 166 ǀ– 169,9 5 37
6 170 ǀ– 174,0 3 40
Σ = 40
40 20
2 2
fi
= =
∑
classe mediana
*
*
( )
2 anterior
i
fi
Fi h
Md l f
−
= +
∑
onde: 
li* = limite inferior da classe mediana
Fianterior = frequência acumulada da classe anterior à classe mediana
f* = frequência absoluta da classe mediana
h = amplitude do intervalo da classe mediana
(20 13)4158 158 2,54 160,54
11
Md −= + = + =
Calcule a mediana da seguinte distribuição de frequências:
Exercício 2
Custos (R$)
450 ǀ–
550 
550 ǀ–
650
650 ǀ–
750
750 ǀ–
850
850 ǀ–
950
950 ǀ–
1050
1050 ǀ–
1150
fi 8 10 11 16 13 5 1
i x
i
f
i
F
i
1 450 ǀ– 549,9 8 8
2 550 ǀ– 649,9 10 18
3 650 ǀ– 749,9 11 29
4 750 ǀ– 849,9 16 45
5 850 ǀ– 949,9 13 58
6 950 ǀ– 1049,9 5 63
7 1050 ǀ– 1150 1 64
Σ = 64
(32 29)100750
16
Md −= +
750 18,75= +
= R$ 768,75
64 32
2 2
fi
= =
∑
(h)
Moda sem intervalo de classes
Uma vez agrupados os dados, é possível determinar
imediatamente a moda: esta corresponde ao valor da variável
que apresenta maior frequência
Na distribuição do exemplo anterior
∴∴∴∴ Mo = 3
n°°°° de filhos f
i
Fi
0 2 2
1 6 8
2 10 18
3 12 30
4 4 34
Σ = 34
, a frequência máxima (12),
representa a moda:
Moda com intervalo de classes
A classe que apresenta a maior frequência é denominada
classe modal. Pela definição, podemos afirmar que a
moda, neste caso, é o valor dominante que está
compreendido entre os limites da classe modal
O método mais simples para o cálculo da moda consiste
em tomar o ponto médio da classe modal.
Damosa esse valor a denominação de moda bruta.
Temos, então: Mo = (l* + L*) / 2
Onde:
l* é o limite inferior da classe modal.
L* é o limite superior da classe modal.
Moda com intervalo de classes
Custos (R$)
450 ǀ–
550 
550 ǀ–
650
650 ǀ–
750
750 ǀ–
850
850 ǀ–
950
950 ǀ–
1050
1050 ǀ–
1150
fi 8 10 11 16 13 5 1
Assim, para a distribuição:
Temos que a classe modal é i = 4, l* = 750 
e L* =850
Como: Mo = (l* + L*) / 2
⇒ Mo = (750 + 850) / 2 = R$ 800
x f
i
xf x2 x2f
0 15 0 0 0
1 10 10 1 10
2 5 10 4 20
3 5 15 9 45
4 1 4 16 16
5 1 5 25 25
6 0 0 36 0
7 3 21 49 147
40 65 263
65 1,625
40
X = =
2
2
(65)263 157,37540 4,035
39 39
s
−
= = =
n°°°° de faltas n°°°° de alunos
0 15
1 10
2 5
3 5
4 1
5 1
6 0
7 3
2
2 ( )
1
i i
i i
x f
x f
n
n
−
−
∑
∑
Variância sem intervalo de classes
Variância com intervalo de classes
1° Faça uma tabela com a classe (coluna A), frequência
observada (b) e encontre o ponto médio de cada classe (C)
2° Multiplique a frequência pelo ponto médio de cada classe,
colocando o resultado na coluna D
3° Multiplique a frequência pelo quadrado do ponto médio,
colocando o resultado na coluna E
4° Calcule o somatório das colunas B (= n), D (Σf.Xm) e E (Σf.Xm2)
5° Substitua na fórmula:
6° Tire a raiz quadrada para obter o desvio padrão
2 2
2 ( ) ( )
( 1)
m mn f X f X
s
n n
⋅ − ⋅
=
−
∑ ∑
A
Classe
B
Frequência
C
Ponto Médio
D
f . X
m
E
f . X
m
2
5,5 – 10,4 1
10,5 – 15,4 2
15,5 – 20,4 3
20,5 – 25,4 5
25,5 – 30,4 4
30,5 – 35,4 3
35,5 – 40,5 2
n = Σf . X
m
= Σf . X
m
2 = 
Encontre a variância e o desvio padrão para a distribuição de
frequência dos dados abaixo que representa o número de km
que 20 corredores correram durante uma semana
A
Classe
B
Frequência
C
Ponto Médio
D
f . X
m
E
f . X
m
2
5,5 – 10,4 1 8 8 64
10,5 – 15,4 2 13 26 338
15,5 – 20,4 3 18 54 972
20,5 – 25,4 5 23 115 2645
25,5 – 30,4 4 28 112 3136
30,5 – 35,4 3 33 99 3267
35,5 – 40,5 2 38 76 2888
n = 20 Σf . X
m
= 490 Σf . X
m
2 = 13310
2
2 20(13310) 490
20(20 1)s
−
=
−
2 266200 240100 68,7
380
s
−
= = 68,7 8,3s = =