AD1 EAR 2016 2 gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
1a AD 2016/2 EAR Lic. em Matema´tica NA 1 a NA 4 Gabarito Coord. C. Vinagre & H. Clark
1a Questa˜o - [1,5 pontos] Indique claramente a hipo´tese e a tese, e prove detalhadamente que:
se x ∈ R \ {1} e |x+ 3| < 2 enta˜o 1|x− 1| ≤
1
2
.
Prova: (i) Hipo´tese: x ∈ R, x ∈ R, x 6= 1 e |x+ 3| < 2.
Conclusa˜o: 1/|x− 1| ≤ 1/2.
(ii) Por hipo´tese e propriedade de mo´dulo tem-se que −2 < x + 3 < 2. Da´ı, adicionando -4 a cada
membro destas desigualdades, resulta −6 < x−1 < −2. Enta˜o x−1 < 0 e portanto |x−1| = −(x−1).
Da´ı e do anterior vem que |x−1| = −(x−1) > 2. Como por hipo´tese, |x−1| 6= 0, inverte-se e conclui-se
que 1/|x− 1| ≤ 1/2
2a Questa˜o - [2,5 pontos] Considere a afirmac¸a˜o abaixo e fac¸a o que se pede para prova´-la por
induc¸a˜o matema´tica:
12 − 22 + 32 + · · ·+ (−1)n+1n2 = (−1)n+1n(n+ 1)
2
para todo n ∈ N .
(a) [0, 8 pt] Escreva a propriedade P[n] e mostre que vale P[1].
(b) [0, 4 pt] Escreva a hipo´tese de induc¸a˜o.
(c) [1,3 pt] Finalize a prova por induc¸a˜o.
Demonstrac¸a˜o - (a) P[n] e´
12 − 22 + 32 + · · ·+ (−1)n+1n2 = (−1)n+1n(n+ 1)
2
.
• Quando n = 1 tem-se
(−1)1+112 = 1 e, pelo outro lado, (−1)1+1 1(1 + 1)
2
= 1.
Portanto, P[1] e´ verdade.
(b) HI- Seja n ∈ N e suponha que vale P[n], ou seja, que
12 − 22 + 32 + · · ·+ (−1)n+1n2 = (−1)n+1n(n+ 1)
2
.
1
(c) Deve-se provar que vale P[n+1].
12 − 22 + 32 + · · ·+ (−1)n+1n2︸ ︷︷ ︸
a hip. indutiva da´ o valor deste termo
+(−1)n+2(n+ 1)2 =︸︷︷︸
HI
(−1)n+1n(n+ 1)
2
+ (−1)n+2(n+ 1)2
= (−1)n+1
[
n(n+ 1)
2
− (n2 + 2n+ 1)
]
= (−1)n+1
[
n2 + n− 2n2 − 4n− 2
2
]
= (−1)n+1
[
(−1)n
2 + n+ 2n+ 2
2
]
= (−1)n+2
[
n(n+ 1) + 2(n+ 1)
2
]
= (−1)n+2
[
(n+ 1)(n+ 2)
2
]
.
Por (b) e o racioc´ınio acima, provou-se que: para todo n ∈ N, se vale P[n] enta˜o vale P[n+a]. Juntanto
com o item (a), tem-se que as duas condic¸o˜es do PIM esta˜o satisfeitas. Pelo Principio da Induc¸a˜o
Matema´tica, conclui-se que P[n] e´ verdadeira para todo n ∈ N
Questa˜o 3 [2,5 pontos] Fac¸a o que se pede:
(a) [0,5 ponto] Enuncie, de forma matematicamente completa e precisa, as condic¸o˜es da definic¸a˜o
para que um nu´mero real s seja o supremo de um conjunto A ⊂ R;
(b)[2 pontos] Seja A =
{
12n
3n+1 ; n ∈ N
}
. Mostre que inf A = 3 e que supA = 4, usando as definic¸o˜es.
Demonstrac¸a˜o -
• Para mostrar que inf A = 3, duas afirmac¸o˜es devem ser mostradas:
(I1) Mostrando que 3 e´ uma cota inferior de A: De fato, fixado n ∈ N, tem-se que
1 ≤ n.
∴ 3 ≤ 3n
∴ 9n+ 3 ≤ 9n+ 3n = 12n
∴ 3(3n+ 1) ≤ 12n
∴ 3 ≤ 12n
3n+ 1
pois 3n+ 1 > 0.
Assim, para todo n ∈ N vale 3 ≤ 12n3n+1 . Portanto, 3 e´ uma cota inferior para A.
(I2) Mostrando que 3 e´ a maior das cotas inferiores de A: De fato, neste caso, como 3 e´ cota inferior
de A e 3 = 12.13.1+1 ∈ A enta˜o pela Observac¸a˜o 2.4 (2) (para o ı´nfimo) das NA 2, tem-se que o inf A = 3.
2
• Para garantir que supA = 4 duas afirmac¸o˜es devem ser mostradas:
(S1) Mostrando que 4 e´ uma cota superior para A: De fato, seja n ∈ N fixo
12n ≤ 12n+ 4 e´ verdade;
∴ 12n ≤ 4(3n+ 1) ;
∴ 12n
3n+ 1
≤ 4 pois 3n+ 1 > 0.
2
Assim, para todo n ∈ N tem-se que 12n/(3n+ 1) ≤ 4. Portanto, 4 e´ uma cota superior para A.
(S2) Mostrando que 4 e´ a menor das cotas superiores de A: Seja a ∈ R tal que a < 4. Logo 3a < 12.
Portanto, 12− 3a > 0 e enta˜o a
12− 3a ∈ R. Pela Propriedade Arquimediana tem-se que existe um
n0 ∈ N tal que
n0 >
a
12− 3a. (∗)
Da´ı, usando as propriedades alge´bricas de R (e como 12− 3a > 0), tem-se
a < (12− 3a)n0
∴ a < 12n0 − 3n0a
∴ a+ 3n0a < 12n0
∴ (1 + 3n0)a < 12n0 .
∴ a < 12n0
3n0 + 1
pois 3n0 + 1 > 0, ja´ que n0 ≥ 1.
Assim, existe um nu´mero da forma 8n0/(3n0 + 1) ∈ A tal que 8n0/(3n0 + 1) > a. Logo a na˜o e´ cota
superior para A. Portanto, esta´ provado que para todo nu´mero real a < 4 tem-se que a na˜o e´ uma
cota superior para A. Logo, das etapas (S1) e (S2) e Definic¸a˜o 2.4, conclui-se que 4 = supA.
4a Questa˜o - [2,0 pontos] Fac¸a o que se pede:
(a) [1,0 pt] Seja A := [pi,+∞) ∩Q. Mostre que inf A = pi. Note que pi /∈ A!
(b) [1,0 pt] Mostre que: se r e´ um nu´mero racional na˜o nulo e y e´ um nu´mero irracional enta˜o ry e´
um nu´mero irracional.
Observac¸a˜o: Lembre que Q e´ um corpo ordenado assim como R, ou seja, em Q valem as propriedades
expressas nos Axiomas A1-A4, M1- M5 e O1-O3 e todas as propriedades que decorrem destes axiomas.
So´ na˜o vale o Axioma do Supremo.
Demonstrac¸a˜o -(a) Duas afirmac¸o˜es devem ser mostradas:
(i) Como A = {a ∈ Q | a ≥ pi} enta˜o pi e´ uma cota inferior de A, ou seja, a ≥ pi para todo a ∈ A,
pela pro´pria definic¸a˜o de A.
(ii) Mostrando que pi e´ a menor das cotas inferiores de A: Seja c ∈ R tal que c > pi.
Como c e pi sa˜o nu´meros reais e pi < c enta˜o pelo Teorema da Densidade dos Racionais, existe
(pelo menos) um a ∈ Q tal que pi < a < c. Como a ∈ Q e pi ≤ a enta˜o a ∈ A, pela definic¸a˜o de
A. Isto comprova a condic¸a˜o (I2) da Definic¸a˜o 2.4 (existe a ∈ A tal que a < c).
Logo, dos itens (i) e (ii) tem-se pela Definic¸a˜o 2.4 que pi = inf A. 2
(b) Por hipo´tese, r ∈ Q, r 6= 0 e y ∈ R \ Q. Suponha por absurdo que ry ∈ Q, ou seja, que ry = q
onde q ∈ Q. Como r 6= 0 enta˜o y = q
r
. Mas
q
r
∈ Q pois q
r
= q
1
r
e´ o produto de dois racionais (q e
1
r
e portanto, e´ um racional. Mas isto contraria a hipo´tese de que y /∈ Q. Portanto, ry e´ um nu´mero
irracional. 2
5a Questa˜o - [1,5 pontos] Mostre pela definic¸a˜o de limite que a sequeˆncia (an)n∈N definida por
an =
12n
3n+ 1
, n ∈ N
3
converge para 4.
Demonstrac¸a˜o -Seja � > 0 onde � ∈ R. Enta˜o 4
3�
∈ R.
Pela Propriedade Arquimediana, existe um natural n0 >
4
3�
.
Suponha que n ∈ N satisfaz n > n0.
Enta˜o ∣∣∣∣ 12n3n+ 1 − 4
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣12n− 12n+ 43n+ 1
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 43n+ 1
∣∣∣∣ = 43n+ 1 < 43n.
Como n > n0 >
4
3�
e 3� > 0 enta˜o 3�n > 4 e da´ı
4
3n
< �. Logo∣∣∣∣ 12n3n+ 1 − 4
∣∣∣∣ < 43n < � .
Mostrou-se assim que: para todo nu´mero real � > 0, existe n0 ∈ N tal para todo n ∈ N, se n > n0
enta˜o ∣∣∣∣ 12n3n+ 1 − 4
∣∣∣∣ < � .
Da´ı, pela definic¸a˜o de limite, escreve-se: lim
n→∞
12
3n+ 1
= 4.
4