Geometria Plana: Axiomas e Teoremas

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Geometria Plana
Aula 01
Elaine Pimentel
UFRN
11 de Fevereiro de 2014
Pimentel (UFRN) UFRN 11 de Fevereiro de 2014 1 / 16
Motivac¸a˜o
A palavra “geometria” vem do grego geometrein (geo, “terra”, e
metrein, “medida”).
Os Elementos de Euclides e´ um tratado matema´tico e geome´trico
consistindo de 13 livros escrito pelo matema´tico grego Euclides em
Alexandria por volta de 300 a.C.
Os 4 primeiros livros tratam da Geometria Plana, enquanto os demais
tratam da teoria dos nu´meros, dos incomensura´veis e da geometria
espacial.
Na aula de hoje: os axiomas (ou postulados) de Euclides.
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Nesta aula
1 Euclides
2 Um pouco de lo´gica
3 Axiomas de incideˆncia
4 Para casa
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1 Euclides
2 Um pouco de lo´gica
3 Axiomas de incideˆncia
4 Para casa
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Geometria euclideana
No livro 1 dos Elementos de Euclides, inicia-se o estudo da geometria
plana.
Primeiro define-se os objetos geome´tricos cujas propriedades deseja-se
estudar.
Sa˜o 23 definic¸o˜es, entre as quais encontramos as definic¸o˜es de ponto,
reta, c´ırculo, triaˆngulo, retas paralelas, etc.
Em seguida enuncia-se 5 noc¸o˜es comuns, que sa˜o afirmac¸o˜es
admitidas como verdades o´bvias.
Finalmente, enuncia-se 5 axiomas (afirmativas consideradas como
verdadeiras, sem a necessidade de prova).
A partir desses axiomas, ele prova 465 proposic¸o˜es (que sa˜o
afirmativas que seguem logicamente dos axiomas).
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Axiomas de Euclides
1 Pode-se trac¸ar uma u´nica reta ligando quaisquer dois pontos.
2 Pode-se continuar (de uma u´nica maneira) qualquer reta finita
continuamente em uma reta.
3 Pode-se trac¸ar um c´ırculo com qualquer centro e com qualquer raio.
4 Todos os aˆngulos retos sa˜o iguais.
5 Se uma reta, ao cortar outras duas, forma aˆngulos internos, no
mesmo lado, cuja soma e´ menor do que dois aˆngulos retos, enta˜o
estas duas retas encontrar-se-a˜o no lado onde esta˜o os aˆngulos cuja
soma e´ menor do que dois aˆngulos retos.
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Quinto axioma de Euclides: equivaleˆncias
Dados uma reta r e um ponto P fora dela, existe uma u´nica reta s tal
que P ∈ s e r ‖ s.
A soma dos aˆngulos internos de um triaˆngulo e´ sempre igual a dois
aˆngulos retos.
Dados quaisquer treˆs pontos na˜o colineares, existe um c´ırculo
passando por eles.
Em qualquer triaˆngulo retaˆngulo, o quadrado da hipotenusa e´ igual a
soma dos quadrados dos catetos.
Todo aˆngulo inscrito em um semic´ırculo e´ reto.
Quaisquer duas retas paralelas possuem uma perpendicular em
comum.
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Primeira proposic¸a˜o
Proposic¸a˜o 1. Existe um triaˆngulo equila´tero com um lado igual a um
segmento de reta dado.
Prova.
P1: Pelo axioma 3, podemos trac¸ar um c´ırculo com centro em uma
extremidade do segmento de reta e raio igual a este segmento.
P2: Como no passo 1, podemos trac¸ar um outro c´ırculo com centro na
outra extremidade e mesmo raio.
P3: Tome um dos pontos de intersec¸a˜o dos dois c´ırculos como o terceiro
ve´rtice do triaˆngulo procurado.
Qual o problema com esta demonstrac¸a˜o?
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3 Axiomas de incideˆncia
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Axiomas e teoremas
Conceitos primitivos: letras M, U, I
Palavra = sucessa˜o qualquer dessas letras.
Axiomas:
A1. Toda palavra pode ser triplicada.
A2. Uma letra U pode ser substitu´ıda por II.
A3. Quatro letras I seguidas podem ser eliminadas.
A4. Depois de uma letra M e´ permitido colocar uma letra U.
A5. Se em uma palavra aparece IMU, a letra M pode ser eliminada.
Com base nos cinco postulados acima, prove os seguintes teoremas:
Teorema 1. Todas as palavras constru´ıdas a partir da palavra MI
comec¸am com a letra M.
Teorema 2. Todas as palavras constru´ıdas a partir da palavra MI
possuem a letra I.
Teorema 3. E´ imposs´ıvel partir da palavra MI e chegar a` palavra MU.
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Termos primitivos
ponto;
reta;
pertencer a (dois pontos pertencem a uma u´nica reta);
esta´ entre (o ponto C esta´ entre A e B);
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Axiomas de incideˆncia
AI1. Dados dois pontos distintos, existe uma u´nica reta que os conte´m.
AI2. Em toda reta existem pelo menos dois pontos distintos.
AI3. Existem treˆs pontos distintos com a propriedade que nenhuma reta
passa pelos treˆs pontos.
Teoremas:
T1. Toda reta possui pelo menos dois pontos.
T2. Na˜o existe uma reta contendo todos os pontos.
T3. Existem pelo menos treˆs pontos no plano.
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Retas
Definic¸a˜o: Duas retas sa˜o ditas paralelas se a sua intersec¸a˜o for vazia.
Proposic¸a˜o 2. Duas retas distintas ou na˜o se interceptam ou
interceptam-se em um u´nico ponto.
Prova. Sejam m e n duas retas distintas.
Se m e n possuem pelo menos dois pontos distintos em comum enta˜o,
pelo AI1, m e n coincidem, que e´ uma contradic¸a˜o com o fato de m e n
serem retas distintas.
Logo, m e n ou possuem um ponto em comum ou nenhum.
Proposic¸a˜o 3. Para todo ponto P, existem pelo menos duas retas distintas
passando por P.
Prova. AI3: existe um ponto Q distinto de P.
AI1: existe uma u´nica reta r que passa por P e Q.
AI3: existe um ponto R que na˜o pertence a r .
AI1: existe uma reta s distinta de r que conte´m os pontos P e R.
Proposic¸a˜o 4. Para todo ponto P existe pelo menos uma reta r que na˜o
passa por P.
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3 Axiomas de incideˆncia
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Para fazer dia 18/02/2014 e entregar dia 20/02/2014
Prove a Proposic¸a˜o 4.
Quantos pontos de intersec¸a˜o pode ter um conjunto de treˆs retas do
plano? E um conjunto de 4 retas do plano?
Construa um exemplo de uma “geometria” com 6 pontos, em que
sejam va´lidos os axiomas AI1 e AI2 e em que todas as retas tenham
exatamente 3 pontos.
Tente descrever uma geometria em que o axioma AI1 na˜o seja va´lido.
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	Euclides
	Um pouco de lógica
	Axiomas de incidência
	Para casa