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Geometria Plana Aula 02 Elaine Pimentel UFRN 20 de Fevereiro de 2014 Pimentel (UFRN) UFRN 20 de Fevereiro de 2014 1 / 15 Motivac¸a˜o Construc¸o˜es com re´gua e compasso aparecem no se´culo V aC. Nu´mero era o mesmo que nu´mero natural. Na˜o havia nu´meros negativos e as frac¸o˜es na˜o eram consideradas nu´meros, eram apenas razo˜es entre nu´meros. Os gregos tiveram uma ide´ia engenhosa: representar uma grandeza qualquer por um segmento de reta. Esta ide´ia e´ equivalente a dizer que todo nu´mero real positivo esta´ associado a um ponto de uma semirreta graduada. Por exemplo: calcular a hipotenusa de um triaˆngulo retaˆngulo de catetos 2 e 3. Hoje: Pita´goras. Antigamente: construir o triaˆngulo retaˆngulo cujos catetos medem 2 unidades e 3 unidades. Soluc¸a˜o completamente geome´trica. Calcular = construir! Pimentel (UFRN) UFRN 20 de Fevereiro de 2014 2 / 15 Nesta aula 1 A´lgebra x geometria 2 Construc¸o˜es elementares 3 Axiomas de ordem 4 Para casa Pimentel (UFRN) UFRN 20 de Fevereiro de 2014 3 / 15 1 A´lgebra x geometria 2 Construc¸o˜es elementares 3 Axiomas de ordem 4 Para casa Pimentel (UFRN) UFRN 20 de Fevereiro de 2014 4 / 15 Resolvendo a equac¸a˜o ax = bc Os triaˆngulos OAD e OCP sa˜o congruentes. Logo a b = c x e portanto ax = bc. Pimentel (UFRN) UFRN 20 de Fevereiro de 2014 5 / 15 1 A´lgebra x geometria 2 Construc¸o˜es elementares 3 Axiomas de ordem 4 Para casa Pimentel (UFRN) UFRN 20 de Fevereiro de 2014 6 / 15 Trac¸ando perpendiculares Seja P um ponto dado fora de uma reta r dada. 1 Com centro em P trace uma circunfereˆncia qualquer cortando a reta r nos pontos A e B 2 Em seguida, desenhamos dois arcos de circunfereˆncia de mesmo raio, com centros nos pontos A e B, determinando na intersec¸a˜o Q. 3 PQ ⊥ r . Pimentel (UFRN) UFRN 20 de Fevereiro de 2014 7 / 15 Provando que sa˜o perpendiculares 1 Primeira circunfereˆncia: PA = PB; 2 as duas seguintes: QA = QB; 3 os pontos P e Q equidistam de A e B; 4 portanto, eles pertencem a` mediatriz do segmento AB que e´ a reta perpendicular a AB passando pelo seu ponto me´dio. Pimentel (UFRN) UFRN 20 de Fevereiro de 2014 8 / 15 Trac¸ando paralelas Seja P um ponto dado fora de uma reta r dada. Trac¸amos treˆs circunfereˆncias com mesmo raio: 1 a primeira com centro em P cortando a reta r em A; 2 a segunda com centro em A cortando a reta r em B; 3 a terceira com centro em B cortando a primeira circunfereˆncia em Q. Justificativa: PABQ ´e um losango e, portanto, seus lados opostos s˜ao paralelos. Pimentel (UFRN) UFRN 20 de Fevereiro de 2014 9 / 15 1 A´lgebra x geometria 2 Construc¸o˜es elementares 3 Axiomas de ordem 4 Para casa Pimentel (UFRN) UFRN 20 de Fevereiro de 2014 10 / 15 Axiomas para “esta´ entre” Escreveremos A ∗ B ∗ C para dizer que o ponto B esta´ entre os pontos A e C . AO1 Se A ∗ B ∗ C , enta˜o A,B e C sa˜o pontos distintos de uma mesma reta e C ∗ B ∗ A. AO2 Dados treˆs pontos distintos de uma reta, um e apenas um deles esta´ entre os outros dois. AO3 Dados dois pontos distintos B e D, existem pontos A,C e E pertencentes a` reta contendo B e D, tais que A ∗ B ∗ D,B ∗ C ∗ D e B ∗ D ∗ E . Pimentel (UFRN) UFRN 20 de Fevereiro de 2014 11 / 15 Segmentos Def1 Sejam dois pontos distintos A e B, o segmento AB e´ o conjunto de todos os pontos entre A e B mais os pontos extremos A e B. Def2 A semi-reta com origem em A e contendo B e´ o conjunto dos pontos C tais que A ∗ B ∗ C mais o segmento AB, sendo representada por SAB . Prop1 Para quaisquer dois pontos A e B tem-se: a) SAB ∪ SBA = reta determinada por A e B. b) SAB ∩ SBA = AB. Prova. Seja m a reta determinada por A e B. Da definic¸a˜o de semi-reta, segue imediatamente que SAB ∪ SBA ⊂ m. Se C pertence a` reta m, enta˜o o Axioma de Ordem 2 implica somente uma das treˆs alternativas: 1) A ∗ C ∗ B; 2) C ∗ A ∗ B; 3) A ∗ B ∗ C . No caso 1, C pertence ao segmento AB; no caso 2 C pertence a` semi-reta SBA e no caso 3, C pertence a SAB . Em qualquer caso, C pertence a SAB ∪ SBA. Ou seja, m ⊂ SAB ∪ SBA. Pimentel (UFRN) UFRN 20 de Fevereiro de 2014 12 / 15 Semiplanos Def3 Seja uma reta m. Dois pontos distintos fora de m, A e B, esta˜o em um mesmo lado da reta m se o segmento AB na˜o a intercepta, caso contra´rio dizemos que A e B esta˜o em lados opostos de m. O conjunto dos pontos de m e dos pontos C tais que A e C esta˜o em um mesmo lado da reta m e´ chamado de semi-plano determinado por m contendo A e sera´ representado por Pm,A. AO4 Para toda reta l e para qualquer treˆs pontos A,B,C fora de l , tem-se: i) Se A e B esta˜o no mesmo lado de l e B e C esta˜o no mesmo lado de l , enta˜o A e C esta˜o no mesmo lado de l . ii) Se A e B esta˜o em lados opostos de l e B e C esta˜o em lados opostos de l , enta˜o A e C esta˜o no mesmo lado de l . Cor1 Se A e B esta˜o no mesmo lado de l e B e C esta˜o em lados opostos de l , enta˜o A e C esta˜o em lados opostos de l . Prop2 Toda reta m determina exatamente dois semi- planos distintos cuja intersec¸a˜o e´ a reta m. Teor1 Se A,B,C sa˜o pontos distintos na˜o colin- eares e m e´ qualquer reta interceptando AB em um ponto entre A e B, enta˜o l tambe´m intercepta AC ou BC . Se C na˜o esta´ em m enta˜o m na˜o intercepta ambos AC e BC . Pimentel (UFRN) UFRN 20 de Fevereiro de 2014 13 / 15 1 A´lgebra x geometria 2 Construc¸o˜es elementares 3 Axiomas de ordem 4 Para casa Pimentel (UFRN) UFRN 20 de Fevereiro de 2014 14 / 15 Para entregar dia 25/02/2014 Dado um segmento AB descreva o processo de construc¸a˜o de um triaˆngulo equila´tero ABC e sua altura CM. Prove a Proposic¸a˜o 1 (b). Prove o Teorema 1. Pimentel (UFRN) UFRN 20 de Fevereiro de 2014 15 / 15 Main Talk Álgebra x geometria Construções elementares Axiomas de ordem Para casa
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