Álgebra Linear I - Aula 01 - 559 - Matrizes

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Jonas Gonçalves Lopes
Marcelo Gomes Pereira
Álgebra Linear I
aula
01
D I S C I P L I N A
Matrizes
Autores
Governo Federal
Presidente da República
Luiz Inácio Lula da Silva
Ministro da Educação
Fernando Haddad
Secretário de Educação a Distância – SEED
Ronaldo Motta
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Reitor
José Ivonildo do Rêgo
Vice-Reitor
Nilsen Carvalho Fernandes de Oliveira Filho
Secretária de Educação a Distância
Vera Lúcia do Amaral
Secretaria de Educação a Distância- SEDIS
Coordenadora da Produção dos Materiais
Célia Maria de Araújo
Coordenador de Edição
Ary Sergio Braga Olinisky
Projeto Gráfico
Ivana Lima
Revisores de Estrutura e Linguagem
Eugenio Tavares Borges
Marcos Aurélio Felipe
Pedro Daniel Meirelles Ferreira
Revisoras de Língua Portuguesa
Janaina Tomaz Capistrano
Sandra Cristinne Xavier da Câmara
Ilustradora
Carolina Costa
Editoração de Imagens
Adauto Harley
Carolina Costa
Diagramadores
Mariana Araújo Brito
Adaptação para Módulo Matemático
Thaisa Maria Simplício Lemos
Imagens Utilizadas
Banco de Imagens Sedis (Secretaria de Educação a Distância) - UFRN
Fotografias - Adauto Harley
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Divisão de Serviços Técnicos
Catalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central “Zila Mamede”
Lopes, Jonas Gonçalves
 Álgebra linear I / Jonas Gonçalves Lopes, Marcelo Gomes Pereira – Natal (RN) : EDUFRN 
– Editora da UFRN, 2006.
 224 p.
 ISBN 85-7273-290-X 
 1. Álgebra. 2. Sistema de equações lineares. 3. Transformações lineares. I. Pereira, Marcelo 
Gomes. II. Título.
 CDU 512
RN/UFR/BCZM 2006/14 CDD 512
Aula 01 Álgebra Linear I
Apresentação
N esta primeira aula, vamos trabalhar com as tabelas numéricas chamadas matrizes.Introduziremos algumas operações no conjunto de todas as matrizes e mostraremosalgumas de suas principais propriedades. Os assuntos tratados aqui têm importância
fundamental na resolução de equações lineares simultâneas, que são uma parte importante
desta disciplina.
Para esta aula, é necessário apenas que você conheça as quatro operações usuais com
números reais. Na verdade, na prática, trabalharemos mais com números inteiros e frações.
É desejável, também, que você tenha alguma experiência com resolução de equações do
primeiro grau.
Objetivos
Ao término desta aula, você deverá ser capaz de: adicionar ma-
trizes, multiplicar uma matriz por um número real (escalar), mul-
tiplicar duas matrizes, bem como encontrar a transposta de uma
matriz dada e a inversa (se existir) de uma matriz quadrada (pelo
menos 3 × 3).
1
Aula 01 Álgebra Linear I�
Definição de matriz
Em Matemática, é conveniente considerar tabelas quadradas ou retangulares de
números reais da forma
A =


a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · · · · · · · · · ·
am1 am2 · · · amn


Uma tabela desse tipo chama-se matriz e os números (reais) a11, a12, · · · , amn
são os elementos da matriz. A matriz A acima temm linhas e n colunas e, por
isso, chama-se uma matrizm× n (m por n).
Se o número de linhas e colunas for claro ao contexto, a matriz A acima será repre-
sentada na forma abreviada [aij ] . O elemento genérico aij indica o elemento localizado na
i-ésima linha e j-ésima coluna. Por exemplo, a13 é o elemento localizado na primeira linha
e terceira coluna. No lugar do colchete em [aij ], podemos usar um parêntese; neste caso, a
matriz será denotada por (aij). O uso matemático de tabelas assim tem origem muito antiga.
Há registros chineses sobre matrizes que datam de 250 anos antes de Cristo.
As matrizes aparecem em várias áreas da Matemática e suas aplicações. Por exemplo,
uma matriz pode servir de modelo ou representar uma situação do nosso cotidiano. Con-
sidere a matriz 4×3
A =


8 7 5
6 4 9
10 5 6
7 9 8


Nessa matriz A, cada linha pode representar um aluno e cada coluna pode representar
seu grau de aprovação em uma dada avaliação. Isto é, a matrizA pode representar o seguinte
quadro de avaliação:
1a avaliação 2a avaliação 3a avaliação
Aluno 1 8 7 5
Aluno 2 6 4 9
Aluno 3 10 5 6
Aluno 4 7 9 8
Muitas vezes, para se construir uma matriz, é definida uma lei de formação para o
elemento genérico aij da matriz, como no exemplo a seguir.
1ª Avaliação �ª Avaliação 3ª Avaliação
Aluno 1 8 7 5
Aluno 2 6 4 9
Aluno 3 10 5 6
Aluno 4 7 9 8
Aula 01 Álgebra Linear I 3
Exemplo
Em Gonçalves e Souza (1977, p.4), é considerada a seguinte ligação entre pontos (os
quais podem representar pessoas, cidades, nações etc.), dada pelo diagrama:
Essas ligações são indicadas definindo-se aij = 1, se o ponto i está ligado ao j, caso
contrário, isto é, se o ponto i não está ligado ao j, define-se aij = 0. É admitido que nenhum
ponto está ligado a ele mesmo. É fácil ver que a forma matricial deste diagrama é dada por
A =


0 1 0 1
1 0 1 1
0 1 0 0
1 1 0 0


Note que a13 = 0, pois, pelo diagrama, vemos que o ponto 1 não está ligado ao 3.
Também a31 = 0, a34 = 0, a43 = 0. Agora, como nenhum ponto está ligado a si próprio,
veja que a11 = a22 = a33 = a44 = 0. Finalmente, observe que os outros pontos estão
ligados, isto é, a12 = 1, a14 = 1, a21 = 1, a23 = 1, a24 = 1, a32 = 1, a41 = 1, a42 = 1.
Igualdade de matrizes
Duas matrizes A = [aij ] e B = [bij ] são ditas iguais se, e somente se, tiverem
o mesmo número de linhas, o mesmo número de colunas e aij = bij para todos
i, j.
Por exemplo, as matrizes
A =

1 2 4
3 0 5

e B =

1 2 4
−1 0 5

não são iguais, pois, embora tenham o mesmo número de linhas (2) e o mesmo número de
colunas (3) veja que a21 = 3, enquanto b21 = −1.
Aula 01 Álgebra Linear I�
Algumas matrizes especiais
Seja A = [aij ] uma matriz m× n. Se m = n, diz-se que A é uma matriz quadrada de
ordem n. Por exemplo, as matrizes

3 0
4
3 1

e


4 3 1
0 2 6
5 7 −1


são quadradas de ordem 2 e 3, respectivamente.
Numa matriz quadrada A = [aij ] de ordem n, os elementos a11, a22, . . . , ann formam
a diagonal principal de A.
Uma matriz quadrada, na qual todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal
são iguais a zero, chama-se matriz diagonal. Simbolicamente, A = [aij ] de ordem n é uma
matriz diagonal, se aij = 0 para i = j (i, j = 1, . . . , n). Por exemplo, as matrizes:
A =

3 0
0 0

B =

0 0
0 4

C =

1 0
0 −1

D =


5 0 0
0 7 0
0 0 −1


são matrizes diagonais.
Agora, uma matriz é dita matriz nula, se todos os seus elementos são iguais a zero.
Denotaremos a matriz nula por 0. Note que uma matriz nula de ordem n é também uma
matriz diagonal.
Um outro exemplo de matriz diagonal é a matriz identidade, In, de ordem n, em que
todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1. Por exemplo,
I2 =

1 0
0 1

, I3 =


1 0 0
0 1 0
0 0 1

.
Você verá no decorrer deste estudo que essas matrizes especiais desempenham um
papel fundamentalpara o desenvolvimento desta disciplina.
Aula 01 Álgebra Linear I �
A álgebra das matrizes
Denotaremos por Mm×n(IR) o conjunto de todas as matrizes m × n, com elementos
pertencentes ao conjunto IR dos números reais. Introduziremos nesse conjunto algumas
operações, a saber:
Adição de matrizes
Se A = [aij ] e B = [bij ] são duas matrizesm×n, sua soma A+B é definida
como sendo a matriz [aij + bij ] obtida adicionando os elementos correspon-
dentes de A e B.
Observe que a soma A+B é definida somente quando A e B são do mesmo tipo, isto
é, tiverem o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. Por exemplo,
Se A =


3 2 1
0 4 6
5 3 7

 e B =


−1 0 2
1 6 7
9 4 3

, então,
A+B =


3 + (−1) 2 + 0 1 + 2
0 + 1 4 + 6 6 + 7
5 + 9 3 + 4 7 + 3

 =


2 2 3
1 10 13
14 7 10

.
Como no conjunto IR, a adição é comutativa e associativa, segue que no conjunto
Mm×n (IR) a adição de matrizes também tem essas propriedades, isto é, temos para todo
A, B, C ∈ Mm×n (IR):
i) A+B = B +A (propriedade comutativa);
ii) A+ (B + C) = (A+B) + C (propriedade associativa).
A operação adição de matrizes tem ainda as duas seguintes propriedades:
iii) existe um elemento zero, denotado por 0, tal que, A + 0 = 0 + A = A, para todo
A ∈ Mm×n (IR). Veja que esse elemento zero é a matriz nula. De fato, temos A + 0 =
[aij ] + [0] = [aij + 0] = [aij ] = A = 0 +A;
iv) para cada matriz A = [aij ] ∈ Mm×n (IR), existe uma matriz inversa aditiva, denotada
por −A, tal que A+ (−A) = −A+A = 0. Veja que −A = [−aij ].
Uma outra operação a ser considerada no conjunto Mm×n (IR) é a multiplicação por
escalar.
Aula 01 Álgebra Linear I�
Multiplicação por escalar
Aqui escalar significa um número real.
Dada uma matriz A = [aij ] e um escalar r ∈ IR, definimos o produto de r por
A, indicado por rA, como sendo a matriz rA = [rAij ], isto é, a matriz rA é
obtida multiplicando cada elemento da matriz A por r.
Por exemplo, se
A =

−4 2
1 0

e r = −2, então, (−2)A =

(−2) · (−4) (−2) · 2
(−2) · 1 (−2) · 0

=

8 −4
−2 0

.
A operação multiplicação por escalar tem as propriedades descritas a seguir.
Se A e B são matrizesm× n e c, c1, c2 são escalares, então:
1) (c1 + c2)A = c1A+ c2A;
2) c(A+B) = cA+ cB;
3) c1(c2A) = (c1c2)A;
4) 1 · A = A, (−1) · A = −A(−1) · A, 0 · A = 0m×n, em que 0 denota o escalar zero,
enquanto 0m×n é a matriz nulam× n.
Observação: define-se a subtração de duas matrizes A = [aij ] e B = [bij ] por
A−B = A+ (−1) ·B = [aij − bij ].
A próxima operação a ser considerada emMm×n (IR) é a multiplicação de matrizes.
Multiplicação de matrizes
Sejam A = [aij ] uma matriz do tipo m × n e B = [bij ] uma matriz do tipo
n× p, de modo que o número de colunas de A seja igual ao número de linhas
de B. Define-se a matriz produto de A por B, indicada por AB, como sendo a
matriz AB = [cij ],m× p, em que
(∗)cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ p.
Aula 01 Álgebra Linear I �
Assim, para se obter o elemento na i-ésima linha e na j-ésima coluna de AB, multipli-
camos, preservando a ordem natural, os elementos da i-ésima linha de A pelos elementos
da j-ésima coluna de B e adicionamos os resultados dessas multiplicações. Por exemplo, se
A =


2 3 −1
0 1 0
4 −1 2

 e B =


5 1
0 −1
2 1

, então, AB =


8 −2
0 −1
24 7

,
pois
(2)(5) + (3)(0) + (−1)(2) = 8, (0)(1) + (1)(−1) + (0)(1) = −1,
(2)(1) + (3)(−1) + (−1)(1) = −2, (4)(5) + (−1)(0) + (2)(2) = 24,
(0)(5) + (1)(0) + (0)(2) = 0, (4)(1) + (−1)(−1) + (2)(1) = 7.
Dadas as matrizes A =

2 1
−1 3

e B =

3 1
−1 0

,
observe que AB =

5 2
−6 −1

, enquanto BA =

5 6
−2 −1

.
Note que, AB = BA e, portanto, a multiplicação de matrizes não é comutativa. Em
geral, tem-se AB = BA.
Em certos casos particulares, podemos permutar os fatores. Por exemplo, se
C =

−1 2
3 5

e D =

7 8
12 31

, você pode verificar que
CD = DC =

17 54
81 119

.
Murdoch (1972, p. 82) faz o seguinte comentário:
Você pode muito bem perguntar por que escolhemos esta definição aparentemente tão
complicada do produto matricial (∗), em vez de, por exemplo, o processo mais óbvio de
multiplicarmos os elementos correspondentes em duas matrizes m × n, [aij ] e [bij ],
e obtermos o “produto” [aijbij ]. A resposta é que escolhemos a definição que nos
leve ao mais interessante e frutífero desenvolvimento matemático e às aplicações mais
úteis.
Usando as definições de multiplicação e de igualdade de matrizes, você pode verificar
facilmente que um sistema de equações lineares mais incógnitas x1, x2, . . . , xn:


a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm
,
pode ser expresso na forma matricial AX = B, em que
Aula 01 Álgebra Linear I�
Atividade 1
A =


a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · · · · · · · · · ·
am1 am2 · · · amn


, X =


x1
x2
· · ·
xn


e B =


b1
b2
· · ·
bm


Note que a notação matricial abrevia a notação (por equações). Cabe salientar que essa
notação matricial foi introduzida pelo matemático inglês Artur Cayley em 1858.
Propriedades básicas do produto matricial
A lei associativa do produto matricial
Sejam A uma matrizm× n, B uma matriz n× r e C uma matriz r× s. Então,
(AB)C = A(BC).
Leis distributivas
Sejam A e B matrizes m × n, C uma matriz r × m e D uma matriz n × s.
Então, C(A+B) = CA+ CB, (A+B)D = AD +BD.
Mostre a lei associativa do produto, considerando uma matriz A 3× 2, B uma
matriz 2 × 2 e C uma matriz 2 × 3. Também, mostre a lei distributiva con-
siderando matrizes A e B 3× 2, C uma matriz 2× 3 e D uma matriz 2× 3.
Observação: note que a matriz identidade In, de ordem n, age como uma
unidade multiplicativa porque In ·A = A · In = A para toda matriz A, n× n.
Note também que para qualquer matriz quadrada A, n × n, temos
A · 0n×n = 0n×n ·A = 0n×n, em que 0n×n é a matriz nula, já definida.
Aula 01 Álgebra Linear I �
A transposta de uma matriz
A matriz transposta da matriz A = [aij ]m × n, indicada por At, é a matriz
obtida escrevendo as linhas de A como colunas, isto é, At = [aji], n×m.
Veja que se A é do tipo m × n, então, At é do tipo n ×m. Por exemplo, a transposta
da matriz
A =


1 −1 0 2
4 2 1 3
5 6 7 0


3×4
é a matriz At =


1 4 5
−1 2 6
0 1 7
2 3 0


4×3
Propriedades
1) (At)t = A;
2) (A+B)t = At +Bt;
3) (cA)t = cAt, em que c é um escalar;
4) (AB)t = BtAt (a transposta do produto é o produto das transpostas na
ordem inversa).
Verificaremos a validade dessas propriedades trabalhando com matrizes 2× 2.
De fato, se
A =

a11 a12
a21 a22

B =

b11 b12
b21 b22

, então,
AB =

a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22
a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22

e, Bt =

b11 b21
b12 b22

e At =

a11 a21
a12 a22

, de modo que, por cálculo direto,
BtAt =

b11a11 + b21a12 b11a21 + b21a22
b12a11 + b22a12 b12a21 + b22a22

.
Veja que BtAt é a transposta de AB, verificando a validade de 4).
Aula 01 Álgebra Linear I10
Atividade 2
Complete a verificação da validade das propriedades 1, 2 e 3.
Diz-se que uma matrizA é simétrica, seAt = A, e queA é anti-simétrica, seAt = −A.
Exercício resolvido 1
Escreva a matriz A =


4 −1 3
2 5 1
3 0 6

 como a soma de uma matriz simétrica e
uma matriz anti-simétrica.Solução
Se você conhece a matriz A, pode obter a matriz transposta de A, isto é,
At =


4 2 3
−1 5 0
3 1 6

 .
Agora, observe que A =
A+At
2
+
A−At
2
.
Veja que S =
A+At
2
=


4 12 3
1
2 5
1
2
3 12 6

 é simétrica,
enquanto S =
A−At
2
=


0 −32 0
3
2 0
1
2
0 −12 0

 é anti-simétrica.
1
Aula 01 Álgebra Linear I 11
A matriz inversa
Aqui, discutiremos o inverso multiplicativo de uma matriz quadrada de ordem n.
Seja A uma matriz n × n. Se existe uma matriz n × n A, tal que A · A =
A · A = In, dizemos que A é a inversa de A, e a denotaremos por A−1.
Neste caso, A é dita inversível (ou não singular). Se A não possui inversa, A é
chamada não-inversível (ou singular).
Por exemplo, se
A =

3 −5
−1 2

e B =

2 5
1 3

,
então, AB =

3 · 2 + (−5) · 1 3 · 5 + (−5) · 3
(−1) · 2 + 2 · 1 (−1) · 5 + 2 · 3

=

1 0
0 1

= I2 e BA = I2.
Conseqüentemente, A−1 = B, isto é, A é inversível.
Exercício resolvido 2
Suponha que não conheçamos a inversa da matrizA do último exemplo e tentemos
encontrá-la.
Solução
Seja A−1 =

x y
z w

. Devemos ter A ·A−1 = I2A, assim,

3 −5
−1 2

·

x y
z w

=

1 0
0 1


3x− 5z 3y − 5w
−x+ 2z −y + 2w

=

1 0
0 1

.
Usando a definição de igualdade de matrizes, obtemos
(I)

3x− 5z = 1
−x+ 2z = 0
e (II)

3y − 5w = 0
−y + 2w = 1
.
1
Aula 01 Álgebra Linear I1�
Veja que o problema de achar a inversa de A reduziu-se a encontrar as
soluções de dois sistemas com duas equações e duas variáveis.
Para resolver o sistema (I), podemos obter x = 2z na 2a equação e substituir
o valor de x na 1a equação.
Temos 3(2z)− 5z = 1
6z − 5z = 1
z = 1
Segue daí que x = 2 · 1 = 2.
Lembre-se de que esse método de resolução do sistema é chamado de substi-
tuição. Agora, para resolver o sistema (II), usaremos o método da adição.
Para isso, multiplicamos a segunda equação de (II) por 3, e obtemos
(III)

3y − 5w = 0
−3y − 6w = 3
.
Adicionando membro a membro, as equações de (II), encontramos w = 3.
Substituindo esse valor de w na segunda equação de (II), obtemos finalmente
−y + 2 · 3 = 1
⇒ y = 6− 1 = 5
Logo, A−1 =

2 5
1 3

.
Observação: nas aulas 3 (Sistemas de equações lineares) e 4 (Justificativa
do método de Gauss-Jordan), estudaremos detalhadamente os sistemas de
equações lineares e desenvolveremos ummétodo de resolução bastante prático,
o qual facilitará, por exemplo, achar a inversa (se existir) de uma matriz n× n,
para n grande.
Propriedades da inversa
i) (A−1)−1 = A;
ii) (AB)−1 = B−1A−1.
Para provar a propriedade i) basta ver que como A ·A−1 = In, então, A é a inversa de
A−1, ou seja, A = (A−1)−1, enquanto para ii), temos
AB(B−1A−1) = A(B ·B−1)A−1 = A · In ·A−1 = A ·A−1 = In.
Aula 01 Álgebra Linear I 13
Resumo
Você aprendeu que para adicionar duas matrizes adicionam-se os elementos
correspondentes dessas matrizes. Agora, para multiplicar uma matriz por um
número real (escalar), multiplicamos cada elemento da matriz por esse número.
Em relação à multiplicação de duas matrizes A = [aij ] e B = [bij ], o ele-
mento genérico cij da matriz produto AB = [cij ] é obtido multiplicando-se,
preservando a ordem, os elementos da i-ésima linha com os da j-ésima coluna
e adicionando-os, isto é, cij =

airbrj . Isso só é possível, se o número de
colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz BA. A matriz
transposta da matriz A é obtida escrevendo-se as linhas de A como colunas, e
finalmente dizemos que An×n é inversível, se existe A−1 (a inversa de A), tal
que A ·A−1 = A−1 ·A = In.
Auto-avaliação
Dadas as matrizes, A =


2 −1 0
1 2 −1
3 0 1

 e B =


1 0 −1
2 −3 1
−4 0 2

,
calcule
i) A+B
ii)A−B
iii) 2A+ 5B
iv) A ·B
v) At e Bt
vi) A−1
Aula 01 Álgebra Linear I1�
Exercícios propostos
1) Escreva a matriz A = [aij ]2× 3, sabendo-se que aij = 5i+ j − 4.
2) Ache, se possível, os valores de x e y, tais que:
a)

−1 4
0 x− 2

=

y 4
0 7

;
b)

x y
y y

=

1 0
0 1

.
3) Suponha que exista uma reação de “dominância” entre 4 pontos (que podem representar
pessoas, nações etc.) dada pelo diagrama
em que a seta indica a dominância do ponto i sobre o ponto j. Passe para a linguagem
matricial esse diagrama (supondo que nenhum ponto domine ele mesmo).
4) Se A =

1 2
2 −1

e B =

2 1
0 4

, calcule AB e BA.
5) Mostre que a equação matricial


2 −1 6
1 4 2
3 2 −1




x
y
z

 =


2
1
7

 é equivalente a três
equações lineares em x, y e z.
6) Se X =

3 1 2 4

1×4
, calcule XXt e XtX .
7) Será que A =

1 −1
1 −1

é inversível?
Lembrete: solicitamos a você que não verifique as respostas dos exercícios,
que estão após as referências, antes de resolvê-los.
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Referências
ANTON, Howard; RORRES, Chis. Álgebra linear com aplicações. 8.ed. Porto Alegre: Book-
man, 2001.
GOLÇALVES, A.; SOUZA, R. M. L., Introdução à álgebra linear. São Paulo: Editora Edgar
Blucher Ltda, 1977.
MURDOCH, D. C. Álgebra linear. Rio de Janeiro: livros Técnicos e Científicos Editora Ltda,
1972.
1) A =

2 3 4
7 8 9

.
2)
a) y = −1, x = 9.
b) Não é possível, pois encontramos um absurdo do tipo 0 = 1.
3) Do mesmo modo do exercício resolvido 1, defina:
aij = 1, se o ponto i domina o ponto j;
aij = 0, se o ponto i não domina o ponto j.
Obtemos A =


0 1 0 0
0 0 1 1
0 0 0 0
1 0 0 0


.
4) AB =

2 9
4 −2

e BA =

4 3
8 −4

.
5)



2x− y + 6z = 2
x+ 4y + 2z = y
3x+ 2y − z = 7
.
6) XXt = [30]1×1 e XtX =


9 3 6 12
3 1 2 4
6 2 4 8
12 −4 8 16


4×4
.
7) Não, porque obtém-se um sistema que não admite solução.
Respostas dos exercícios Propostos
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Anotações