Transformações Lineares - Parte 1

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CENTRO UNIVERSITÁRIO IESB
CURSO: ENGENHARIA CIVIL							Turma: ENCD3A
DISCIPLINA: Álgebra Linear
TRANSFORMAÇÕES LINEARES (Parte 1/2)
Funções Vetoriais: funções onde as variáveis dependentes e independentes são vetores. 
Sejam V W, dois espaços vetoriais, e . f é transformação linear (TL), onde . 
Exemplo: f: R2 R3, onde e (x,y)=(3x, -2y, x – y ).
	 Se , então = = (6, -6, -1).
 Definição: f: V W é transformação linear se:
 f(u + v) = f(u) + f(v) - f preserva adição de vetores; 
f(u) = f(u), u, v V e real – f preserva a multiplicação de um vetor por um escalar. 
Caso, V=W, f: V V, f é operador linear sobre V.
I: V V é transformação identidade.
f:VW, f(v) = 0 é transformação nula (o zero)
TL multiplicação por A: A(mxn) . v(n,1) = (Av)(m,1)=fA(v)
		 
 •(2,3)
			 •(6,-6,-1)
Propriedades das Transformações Lineares
I) Se f: V W é uma transformação linear, a imagem do vetor nulo 0 é o vetor 0 .
Exemplo: 1) Para TL definida por f(x,y) = (2x – y, 3x – 4y, 5x), tem-se que (0,0) 0 f(0,0) = (0,0,0) . 
 2) f: R3R2, f(x,y,z) = (2x + 3, 3x + 4z) não é TL, pois f(0,0,0) = (3,0) (0,0) R2.
II) Se B={v1, v2, ..., vn} é uma base de V, v V, a1, a2, ..., an R, tal que v = a1v1 + a2v2 + .... +anvn e
 f(v) = a1f(v1) + a2f(v2) + .... + an f(vn). 
Exercícios: 1) Se f: R3 R2, B={v1=(0,1,0), v2=(1,0,1), v3=(1,1,0)} uma base do R3, f(v1)=(1,-2), f(v2)=(3,1) e f(v3)=(0,2), determinar: a) f(5,3,-2) e b) f(x,y,z).
 2) Um operador linear em R2 é definido por f(1,0) = (2,-3) e f(0,1,) = (-4,1). Determinar f(x,y).
 3) Seja f: V W, uma TL. Mostre que: a) f(-v)=-f(v), ié, aplicação ímpar; e b) f(u – v)=f(u) – f(v).
 4) Seja o operador linear no R3, definido por f(x,y,z) = (x+2y + 2z, x + 2y – z , - x + y + 4z). Determinar: a) o vetor R3, tal que f()=( - 1, 8, -11); b) o vetor v R3, tal que f(v) = v.
Núcleo de TL: N(f) = { v | f(v) = 0, 0 ; N(f) , pois 0 de V está nele, uma vez que f(0) = 0 de W.
Exemplos: 1) Seja f: R2 em R2, onde f(x,y)=(x-2y, x+3y). N(f)={(0,0) W }.
	 2) Seja a TL f:R3 R2, definida por f(x,y,z)=(x – y + 4z, 3x + y + 8z). Então,
 N(f) = {(-3z,z,z) R3, z real} ou N(f) = { z(-3,1,1) R3, z real} ou N(f) = {(-3,1,1)} .
 3) Seja TL f: R3R3; f(x,y,z)=(x,y,0), a projeção ortogonal do R3 sobre o plano xOy. Neste caso, o N(f) = {(0,0,z) R3, z real}, pois f(0,0,z) = (0,0,0), para todo z R.
Imagem de uma TL: Im(f) = {w | f(v)=w, para algum v } . Im(f) , pois f(0) = 0 Im(f).
Se Im(f) = W, a TL é sobrejetora, isto é, para todo w , existe pelo menos um v tal que f(v)=w.
Exemplos: 1) Seja TL f: R3R3; f(x,y,z)=(x,y,0), a projeção ortogonal do R3 sobre o plano xOy. Nesse caso, Im(f)={(x,y,0) R3, com x,y reais}. O N(f) = {(0,0,z), z real}.
 2) Seja o operador I: V V, definida por I(v)=v, para todo v de V. Im(I) = V e N(f)={0 de V}
 3) A imagem da TL nula f: V W, com f(v)=0, para todo v de V é Im(f)={0}. O N(f)= V. 
Propriedades do Núcleo e da Imagem de uma TL
O N(f) de uma TL, f: V W, é um subespaço vetorial de V. (Todos os vetores do N(f) estarão em combinação linear com algum escalar, tal que f(v1) + f(v2) = 0 + 0 = 0, para v1 e v2 N(f). Além disso, f(v1) = f(v1) = , isto é, v1 N(f).
A imagem de uma TL, f: V W é um subespaço vetorial de W. Isto é, valem as condições de subespaço vetorial: I) (w1 + w2 ) Im(f); e II) w1 Im(f). 
Se V é um espaço vetorial de dimensão finita e f: V W é TL, então dimN(f) + dim Im(f) = dim V. 
 (dim: dimensão – nº de variáveis livres)
No Exemplo 1) anterior, a dim Im(f)=2 e dim N(f)=1 dim (D(f)) = 3.
No Exemplo 2) anterior, dim N(f) = 0; logo dim Im(f) = dim V.
No Exemplo 3) anterior, dim Im(f) = 0; logo dim N(f)=dim V, já que N(f) = V.
(EXERCÍCIOS nºs 1 a 12, 23 a 28, pág.124 a 127, do livro-texto
STEINBRUCH, A. & WINTERLE, P. Introdução à Álgebra Linear. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 1997.)