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Engenharia Econômica 
Lista de exercícios # 6 
Thiago Fonseca Morello 
fonseca.morello@ufabc.edu.br 
sala 301, Bloco Delta, SBC 
A resolução desta lista deve ser escrita à mão e entregue ao professor, na sala de 
aula, até no máximo dia 25 de Julho. 
Apenas será dada nota não-nula aos exercícios cuja resolução estiver detalhada. A 
mera indicação da alternativa correta em questões de múltipla escolha receberá 
nota nula. 
Todos os exercícios têm o mesmo valor, 2 pontos. 
(Q.1) (Bueno et al., 2011, 6.4) Uma máquina encontra-se à venda pelo preço de 
$45.000,00 e possui um custo anual de operação de $5.000,00. A vida útil da máquina é 
de dez anos, e ela promete um fluxo anual de receitas de $15.000,00. Sabendo-se que o 
valor residual da máquina é de $5.000,00, calcular o VPL do investimento, supondo as 
seguintes taxas de juros anuais: 10%, 15% e 20%. Calcular também a TIR do projeto de 
investimento. 
(Q.2) (Bueno et al., 2011, 6.12, adaptado) Suponha um investimento em uma mina de 
carvão no valor de $500.000,00, que prometa um fluxo anual de receitas de $120.000,00 
durante um período de dez anos. Após o término da extração, ao final do 11º ano, está 
previsto um gasto adicional de $250.000 para repor as condições ambientais. Esse 
projeto é um bom negócio, se a empresa deseja obter uma rentabilidade de 20% ao ano? 
Calcular VPL, TIR e TIRM [Considerar que é gerada receita até o final do décimo ano]. 
R: Os dados do problema são: 
Taxa de juro a.a 0,20 
Custo inicial 500.000,00 
Custo anual - 
Custo ambiental (t=11) 250.000,00 
Receita anual 120.000,00 
Vida útil (anos) 10 
 
O VPL é: 
ܸܲܮ = −500.000 + ଵଶ଴.଴଴଴(ଵା଴,ଶ) + ⋯+ ଵଶ଴.଴଴଴(ଵା଴,ଶ)భబ − ଶହ଴.଴଴଴(ଵା଴,ଶ)భభ = −ܴ$	30.550,35 < 0. O 
projeto, portanto, não é financeiramente recompensador de acordo com o critério do 
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VPL. A TIR é de 18% < TMAR, e também pelo critério da TIR o projeto não compensa 
[o sistema climático global agradece e a humanidade também!]. 
Caso não houvesse o gasto ambiental, teria-se: ܸܲܮ = −500.000 + ଵଶ଴.଴଴଴(ଵା଴,ଶ) + ⋯+
ଵଶ଴.଴଴଴(ଵା଴,ଶ)భబ = ܴ$	3.096,65 > 0. Neste último caso, a TIR informada pelo Excel ® é de 
20,18%. Mesmo se forem ignoradas as casas decimais a partir da terceira, é correto 
dizer que, pelo critério da rentabilidade, o investimento deve ser realizado, uma vez que 
a meta de rentabilidade, dada pela TMAR, é atingida. 
A incorporação do custo ambiental, pois, faz com que o investimento na mina se torne 
não compensador [faz sentido, pois o dano causado pela extração e queima de carvão 
mineral em termos de efeito estufa e saúde pública é grande; é correto levar o investidor 
a ter isso em conta imputando a despesa em recuperação ambiental... Trump que se 
prepare!]. 
(Q.3) (Bueno et al., 2011, 6.13) Suponha dois projetos de investimento com duração de 
15 e 20 anos. O primeiro implica gasto de implantação de $100.000,00 e promete um 
fluxo de receitas líquidas futuras de $10.000,00 por ano. O segundo, no valor de 
$250.000,00, promete um fluxo futuro de receitas de $19.500,00. Sabendo-se que a taxa 
de juros é de 10% ao ano, qual dos dois projetos você escolheria? E se a taxa de juros 
for de 5% e de 4%? 
R: Pelo critério do MMC, a duração comum, Tc, a ser considerada para comparar os 
projetos é de 60 anos. 
Os dados do problema estão na tabela a seguir. A taxa de juro é omitida pois o 
enunciado informa três valores. 
 Projeto 1 Projeto 2 
Custo inicial 100.000,00 250.000,00 
Custo anual - - 
Receita anual 10.000,00 19.500,00 
Valor residual - - 
Vida útil 
(anos) 15 20 
 
 
O primeiro passo para a resolução deste problema está em elaborar uma tabela com o 
fluxo de caixa líquido dos dois projetos. Para isso é preciso utilizar uma planilha ou um 
software matemático, de maneira a calcular corretamente, a partir dos dados do 
problema, os fluxos líquidos em cada período. Esta tarefa é facilitada quando se percebe 
que os fluxos líquidos podem ser divididos em quatro categorias, de acordo com o 
estágio do projeto em que ocorrem. No que segue “τ” denota um período genérico do 
horizonte comum aos projetos. É medido, pois, como contagem de períodos da duração 
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comum. Um período do horizonte do i-ésimo projeto, medido a partir da contagem de 
períodos do projeto, é denotado por ti. 
1. Fluxo líquido inicial: ocorre em τ = 0 e tem valor –P0, em que P0 é o valor do custo 
inicial; 
2. Fluxo líquido final: ocorre em τ = Tc e tem valor RL + VR, em que RL ≡ valor da 
receita líquida (constante) e VR ≡ valor residual (positivo ou negativo, a depender 
dos dados); 
3. Fluxos líquidos intermediários: não ocorrem em τ = 0 e não ocorrem em τ = Tc. Há 
duas subcategorias de fluxos que verificam esta condição. 
a. Fluxos líquidos intermediários terminais: ocorrem no último período da 
duração do i-ésimo projeto, ti = Ti. É preciso atentar para o fato de que o 
último período de uma replicação do projeto coincide com o início do 
primeiro período da replicação subsequente. Desta maneira, o valor dos 
fluxos líquidos intermediários terminais é dado por RL + VR – P0; 
b. Fluxos líquidos intermediários não-terminais: trata-se dos fluxos que 
ocorrem em ti < Ti, i.e., no período operacional dos projetos. Assumem valor 
RL. 
Com base nessas regras é possível programa a planilha ou software para replicar 
corretamente os projetos em um número de vezes adequado. Feito isso, chega-se a 
fluxos de caixa conforme se pode visualizar a seguir. 
Fluxo de caixa líquido, projeto 1 
 
 
Fluxo de caixa líquido, projeto 2 
-120.000,00
-100.000,00
-80.000,00
-60.000,00
-40.000,00
-20.000,00
 -
 20.000,00
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60
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É também possível escrever fórmulas para os fluxos de caixa. Uma maneira de fazer 
isso é com base em uma categorização diferente da anterior, ou seja, trata-se de uma 
perspectiva diferente, a qual tomar por base a natureza dos fluxos e não o período de 
ocorrência. Há três classes de fluxos, (i) fluxos de receita líquida, (ii) fluxos de custo 
inicial e (iii) fluxos de valor residual. O VPL de um projeto é a soma dos VPLs dos 
fluxos de cada uma destas três classes. 
Esta nova perspectiva deve ser combinada com a anterior para determinar os valores dos 
fluxos em cada período, como segue: RLఛ = ൜ 0, ߬ = 0RL௧ ,߬ ≠ 0 Pఛ = ൜P଴, ߬ = 0	݋ݑ	ܯܯܥ(߬, ௜ܶ) = ߬ > 0	݁	߬ < T஼0,ܥ.ܥ VRఛ = ൜VR௜ ,ܯܯܥ(߬, ௜ܶ) = ߬ > 00,ܥ.ܥ 
A notação acima utiliza o operador MMC(a,b), que reportar o MMC dos argumentos. 
Isso pois, sempre que o período comum, τ, for um múltiplo da duração do i-ésimo 
projeto, tem-se a conclusão de uma replicação. 
Com base na notação anterior, o VPL de um projeto genérico pode ser escrito como 
segue: 
ܸܲܮ = ൬ ܴܮ(1 + ݅) + ⋯+ ܴܮ(1 + ݅) ೎்൰+ ൬− ଴ܲ − ଴ܲ(1 + ݅)்೔ − ଴ܲ(1 + ݅)ଶ்೔ −⋯− ଴ܲ(1 + ݅)( ೎் ்೔⁄ ିଵ)்೔൰+ ൬ ܸܴ(1 + ݅)்೔ + ܸܴ(1 + ݅)ଶ்೔ −⋯− ܸܴ(1 + ݅) ೎்൰ 
Ou, alternativamente: 
-300.000,00
-250.000,00
-200.000,00
-150.000,00
-100.000,00
-50.000,00
 -
 50.000,00
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60
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ܸܲܮ = ܴܮ (1 + ݅) ೎் − 1
݅(1 + ݅) ೎் + ൬− ଴ܲ − ଴ܲ(1 + ݅)்೔ − ଴ܲ(1 + ݅)ଶ்೔ −⋯− ଴ܲ(1 + ݅)( ೎் ்೔⁄ ିଵ)்೔൰+ ൬ ܸܴ(1 + ݅)்೔ + ܸܴ(1 + ݅)ଶ்೔ −⋯− ܸܴ(1 + ݅) ೎்൰ 
Para os dois projetos em questão, tem-se: 
VPL (projeto 1) 
= 10.000 (1 + ݅)଺଴ − 1
݅(1 + ݅)଺଴ + ൬−100.000 − 100.000(1 + ݅)ଵହ − 100.000(1 + ݅)ଷ଴ − 100.000(1 + ݅)ସହ൰+ ൬ 0(1 + ݅)ଵହ + 0(1 + ݅)ଷ଴ + 0(1 + ݅)ସହ + 0(1 + ݅)଺଴൰ 
VPL (projeto 2) 
= 19.500 (1 + ݅)଺଴ − 1
݅(1 + ݅)଺଴ + ൬−250.000 − 250.000(1 + ݅)ଶ଴ − 250.000(1 + ݅)ସ଴൰+ ൬ 0(1 + ݅)ଶ଴ + 0(1 + ݅)ସ଴ + 0(1 +݅)଺଴൰ 
Os valores numéricos para cada uma das taxas de juro informadas no enunciado 
constam na tabela abaixo. Pode-se ver que o projeto 1 é a melhor escolha alternativa 
exceto para uma taxa de juro de 20%a.a. 
Taxa de juro a.a / 
Projeto 1 2 
0,1 - 31.370,41 - 98.325,07 
0,15 6.923,79 - 10.612,65 
0,2 22.756,74 24.989,06 
 
 
(Q.4) (Blank e Tarquin, 2012, 5.17, adaptado) Uma empresa de interruptores elétricos 
deve escolher entre três métodos de produção. O método A tem um custo inicial de 
$40.000, um custo anual de $9.000 e uma vida útil de 2 anos. O método B tem custo 
inicial de $80.000, um custo anual de $6.000 com vida útil de 4 anos. O método C custo 
$130.000 inicialmente com vida útil de 8 anos e custo anual de $4.000. Os métodos A e 
B não possuem valor residual, mas o C tem valor residual de $12.000. Qual método 
deve ser selecionado com base na TIR incremental? 
R: Têm-se abaixo os resultados do procedimento de análise incremental. 
 
 
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Passo 1 2 
Defendente A B 
Desafiante B C 
TIR NA NA 
ΔTIR 0,1334 0,1945 
Eliminada A B 
 
O projeto financeiramente superior é, pois, o C. O que está de acordo com o critério de 
máximo VPL (tabela abaixo). 
 A B C 
Custo inicial 40,00 80,00 130,00 
Posição 1 2 3 
VPL - 170,9717 - 166,6506 - 145,7416 
 
(notar que a comparação com o investimento financeiro não se coloca por tratarem-se 
de alternativas que não geram receita). 
(Q.5) (Blank e Tarquin, 2012, 8.18, adaptado) A empresa Konica Minolta planeja 
vender uma impressora que imprime nos dois lados da folha simultaneamente, 
reduzindo pela metade o tempo necessário para completar grandes trabalhos de 
impressão. Para produzir tal máquina, é possível utilizar duas variedades de 
componentes, cujos custos seguem abaixo. Determine qual dos dois tipos devem ser 
selecionados calculando a taxa de retorno do investimento incremental. Assuma uma 
TMAR de 21% a.a. 
 Variedade 1 Variedade 2 
 Custo inicial 50.000,00 95.000,00 
 Custo operacional anual 100.000,00 85.000,00 
 Valor residual 5.000,00 11.000,00 
 Vida útil (anos) 3 6 
 
R: a variedade 2 é mais financeiramente recompensadora, como segue (notar que a 
comparação com o investimento financeiro não se coloca por tratarem-se de alternativas 
que não geram receita). 
Passo 1 VPL 
 Defendente Variedade 1 - 516.512,87 
 Desafiante Variedade 2 - 458.987,95 
 TIR NA 
 ΔTIR 0,45 
 Eliminada Variedade 1 
 
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(Q.6) (Blank e Tarquin, 2012, 8.25, adaptado) Considerando uma TMAR de 18% a.a., 
decida qual das duas alternativas abaixo é a melhor opção de investimento produtivo. 
Para isso, calcule a taxa de retorno do investimento incremental. 
 Alternativa 1 Alternativa 2 
 Custo inicial 40.000,00 71.000,00 
 Custo operacional anual 60.000,00 65.000,00 
 Valor residual 0 18.000,00 
 Vida útil (anos) 2 4 
 
R: a alternativa 2 é financeiramente superior, conforme resultados abaixo. 
Passo 1 VPL 
 Defendente Alternativa 1 - 434.392,68 
 Desafiante Alternativa 2 - 430.200,85 
 TIR NA 
 ΔTIR 0,22 
 Eliminada Alternativa 1