Flexão normal simples - Concreto Armado 1

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Flexão Normal Simples 
 
Hipóteses básicas (Item 17.2.2 - NBR 6118/2014): 
a) as seções transversais se mantêm planas após a deformação; 
b) a deformação das barras passivas aderentes em tração ou compressão deve ser a(o) 
mesma(o) do concreto em seu entorno; 
c) a distribuição de tensões no concreto é feita de acordo com o diagrama parábola-
retângulo, definido em 8.2.10.1, com tensão de pico igual a 0,85 fcd, com fcd definido 
em 12.3.3. (fcd = fck/c). Esse diagrama pode ser substituído pelo retângulo de 
profundidade y = λx, onde o valor do parâmetro λ pode ser tomado igual a: 
— λ = 0,8, para fck ≤ 50 MPa; ou 
— λ = 0,8 – (fck – 50)/400, para fck > 50 MPa. 
e onde a tensão constante atuante até a profundidade y pode ser tomada igual a: 
— cfcd, no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não 
diminuir a partir desta para a borda comprimida; 
— 0,9 c fcd, no caso contrário. 
sendo c definido como: 
— para concretos de classes até C50, c = 0,85 
— para concretos de classes de C50 até C90, c = 0,85 . [1,0 – (fck – 50) / 200] 
o estado-limite último é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção 
transversal pertencer a um dos domínios definidos na Figura 17.1, onde εc2 e εcu são 
definidos em 8.2.10.1. 
 (8.2.10.1): Os valores a serem adotados para os parâmetros εc2 (deformação 
específica de encurtamento do concreto no início do patamar plástico) e εcu 
(deformação específica de encurtamento do concreto na ruptura) são definidos a seguir: 
— para concretos de classes até C50: 
εc2 = 2,0 ‰; 
εcu = 3,5 ‰ 
— para concretos de classes C55 até C90: 
εc2 = 2,0 ‰ + 0,085 ‰ ⋅(fck – 50)0,53; 
εcu = 2,6 ‰ + 35 ‰ ⋅ [(90 – fck)/100]4 
 
O estado limite último pode ocorrer por ruptura do concreto ou por uma 
deformação excessiva da armadura. Admite-se a ocorrência da ruína, quando a 
distribuição das deformações ao longo da altura de uma seção transversal se enquadra 
em um dos domínios da fig. 17.1 (NBR6118/2014). 
Os domínios caracterizam os seguintes tipos de ruína: 
a) deformação excessiva da armadura: quando a deformação na armadura 
mais tracionada atingir o valor de 10‰ ( domínio 1 e 2); 
b) esmagamento do concreto em seções parcialmente comprimidas: quando 
a deformação na fibra mais comprimida atingir o valor de 3,5‰ ( domínios 3,4 e 4a); 
c) esmagamento do concreto em seções totalmente comprimidas: quando a 
deformação na fibra situada a 3h/7 da borda mais comprimida atingir o valor 2‰, sendo 
h a altura da seção ( domínio 5). 
Logo, na flexão simples a ruptura pode ocorrer nos domínios 2,3 e 4. Essas 
restrições decorrem das condições de equilíbrio da seção transversal. 
 
No domínio 2 a deformação de alongamento (sd) na armadura tracionada (As) é 
fixa e igual a 10‰, e a deformação de encurtamento (cd) na fibra mais comprimida de 
concreto varia entre zero e cu , considerando que, para os concretos do Grupo I de 
resistência (fck  50 MPa), cu assume o valor de 3,5 ‰. Sob a deformação de 10 ‰ a 
tensão na armadura corresponde à máxima permitida no aço (fyd). No domínio 2, 
portanto, a armadura tracionada é econômica, isto é, a máxima tensão possível no aço 
pode ser implementada nessa armadura. No caso de vir a ocorrer a ruptura, será com 
―aviso prévio‖, porque como a armadura continuará escoando além dos 10 ‰, a 
fissuração na viga será intensa e ocorrerá antes de uma possível ruptura por 
esmagamento do concreto na região comprimida. Peças subarmadas. 
No domínio 3 a deformação de encurtamento na fibra mais comprimida 
corresponde ao valor último (cu), de 3,5 ‰ para os concretos do Grupo I de resistência 
(fck  50 MPa). A deformação de alongamento na armadura tracionada varia entre yd 
(deformação de início de escoamento do aço) e 10 ‰, o que significa que a armadura 
escoa certo valor. Neste domínio, portanto, tanto o concreto comprimido quanto o aço 
tracionado são aproveitados ao máximo, diferentemente do domínio 2, onde o concreto 
tem deformações de encurtamento menores que a máxima (cu). A ruptura no domínio 
3 é também chamada com ―aviso prévio‖. Peças normalmente armadas. 
No domínio 4 a deformação de encurtamento na fibra mais comprimida está com 
o valor máximo de cu , e a armadura tracionada não está escoando, pois sua 
deformação é menor que a de início de escoamento (yd). Neste caso, conforme se pode 
notar no diagrama  x  do aço, a tensão na armadura é menor que a máxima permitida 
(fyd). A armadura resulta, portanto, antieconômica, pois não aproveita a máxima 
capacidade resistente do aço. Diz-se então que a armadura está ―folgada‖ e a seção é 
chamada superarmada na flexão simples (NBR 6118, 17.2.2). 
As vigas não podem ser projetadas à flexão simples no domínio 4 pois além da 
questão econômica, a ruptura, se ocorrer, será do tipo ―frágil‖, ou ―sem aviso prévio‖, 
onde o concreto rompe (esmaga) por compressão (cd > cu), causando o colapso da 
viga antes da intensa fissuração provocada pelo aumento do alongamento na armadura 
tracionada. Segundo a NBR 6118 (17.2.2), a ―ruptura frágil está associada a posições da 
linha neutra no domínio 4, com ou sem armadura de compressão.‖ 
Como conclusão pode-se afirmar: as vigas devem ser projetadas à flexão simples 
nos domínios 2 ou 3, e não podem ser projetadas no domínio 4. No início do domínio 2 
a c = 0 e no final do domínio 4 a s = 0, que são as piores situações, onde um elemento 
não contribui para resistência. O ideal é o domínio 3. 
Para complementar essa análise, é importante observar que a NBR 6118 (item 
14.6.4.3) apresenta limites para a posição da linha neutra que visam dotar as vigas e 
lajes de ductilidade, afirmando que quanto menor for a relação x/d (x = posição da linha 
neutra, d = altura útil da viga), maior será a ductilidade. Os limites são: x/d 0,45 para 
concretos com fck 50 MPa e x/d 0,35 para concretos com fck > 50 MPa. 
Em seções retangulares submetidas à flexão simples, para haver o equilíbrio, é 
necessário que uma parte da seção esteja comprimida e outra parte esteja tracionada. 
Dessa forma, a resultante das tensões de compressão no concreto, Rcc, juntamente com 
a resultante das tensões de tração nas armaduras, Rsd, podem formar um binário capaz 
de equilibrar o momento fletor solicitante de cálculo Md. 
 
x = posição da linha neutra; 
bW = largura da seção; 
h = altura da seção; 
d = altura útil (é a distância do centroide da armadura até a borda comprimida); 
As = área da seção da armadura tracionada; 
σcd
 
 = cfcd 
 
 
Equações de equilíbrio de forças 
a) Equilíbrio de Forças Normais 
 Rcc = Rsd 
 
Rcc = σcd A’c 
Rcc = cfcd. bW. λ.x 
 Grupo I: 0,85. fcd. bW. 0,8. x = 0,68. fcd. bW. x 
fcd = fck / 1,4 
Rsd = As . σsd 
σsd = tensão de cálculo na armadura tracionada; 
 As= área de aço da armadura tracionada. 
b) Equilíbrio dos Momentos Fletores 
 
Msol = Mresist = Md 
 
As forças resistentes internas, proporcionadas pelo concreto comprimido e pela 
armadura tracionada, formam um binário oposto ao momento fletor solicitante, podendo 
ser escrito: 
 
Md = Rcc . Zcc (momento interno resistente, proporcionado pelo concreto 
comprimido) 
Md = Rst . Zcc (momento interno resistente, proporcionado pela armadura 
tracionada) 
Com Zcc = d – 0,5. λ.x 
 
Md = cfcd. bW. λ.x. (d – 0,5. λ.x) 
Md = 0,85. fcd. bW. 0,8. x. (d – 0,5. 0,8. x) 
Md = 0,85. fcd. bW. 0,8. x.d – 0,32.x
2
.0,85. fcd. bW 
Md = 0,68. fcd. bW.x.d- 0,272.x
2
 fcd. bW 
 
Md é definido como o momento interno resistente proporcionado pelo concreto 
comprimido. Md deve ser considerado em valor absoluto. 
Com a posição x para a linha neutra, comparam-se os valores x comos valores 
x2lim e x3lim define-se qual o domínio em que a viga se encontra (2 ou 3). 
 
 
Momento interno resistente proporcionado pela armadura tracionada: 
Md = σsd As (d – 0,5. λ.x) 
Isolando a área de armadura tracionada: 
 
 
 ( 
 
 )
 
Nos domínios 2 ou 3 a tensão na armadura tracionada (σsd) é igual à máxima 
tensão possível, isto é, fyd : σsd=fyd 
Coeficiente k 
Para diferentes posições da linha neutra, expressa pela relação βx = x/d, são 
tabelados coeficientes Kc e Ks, relativos à resistência do concreto e à tensão na 
armadura tracionada. 
Sabe-se que: 
Md = cfcd. bW. λ.x. (d – 0,5. λ.x) 
Substituindo x por βx.d: 
Md = cfcd. bW. λ. βx.d (d – 0,5. λ. βx.d) 
Md = cfcd. bW. λ. βx.d
2
 (1 – 0,5. λ. βx) 
 
Coeficientes Kc e Ks , relativos à resistência do concreto e à tensão na armadura 
tracionada: 
 
 
 
 
 Então: 
 
 
 ( 
 
 
) 
Logo: 
 
 
 
 
Na determinação do Kc, as unidades devem obrigatoriamente estar em kN e cm 
O coeficiente Kc está apresentado na Tabela A-1 e Tabela A-2. Observe que Kc 
depende da resistência do concreto à compressão (fcd) e da posição da linha neutra, 
expressa pela variável βx. 
 
Substituindo x por βx.d: 
 
 
 ( 
 
 
)
 
 
 ( 
 
 
) 
 
Então Ks: 
 
 ( 
 
 
)
 
A área de armadura tracionada As, em função do coeficiente Ks é: 
 
 
 
 
Ks depende da tensão na armadura tracionada (sd) e da posição da linha neutra, 
expressa por x . 
 
 
 
 
 
 
 
13.2.2 Dimensões mínimas - Vigas e vigas-parede (NBR 6118/2014) 
A seção transversal das vigas não pode apresentar largura menor que 12 cm e a das 
vigas-parede, menor que 15 cm. Estes limites podem ser reduzidos, respeitando-se um 
mínimo absoluto de 10 cm em casos excepcionais, sendo obrigatoriamente respeitadas 
as seguintes condições: 
a) alojamento das armaduras e suas interferências com as armaduras de outros 
elementos estruturais, respeitando os espaçamentos e cobrimentos estabelecidos nesta 
Norma; 
b) lançamento e vibração do concreto de acordo com a ABNT NBR 14931. 
 
 
18.3.2.2 Distribuição transversal (NBR 6118/2014) 
O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da 
seção transversal, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores: 
a) na direção horizontal (ah): 
— 20 mm; 
— diâmetro da barra; 
— 1,2 vez a dimensão máxima característica do agregado graúdo; 
b) na direção vertical (av): 
— 20 mm; 
— diâmetro da barra; 
— 0,5 vez a dimensão máxima característica do agregado graúdo.